ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM XUÂN THẾ KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN VUI Huế, 2014 Giới thiệu đặt vấn đề Trong kỷ qua, nhiều thuật ngữ khác sử dụng dạy học tốn để mơ tả kết kiến thức mà nhiều người quan tâm, có lý thuyết ý nghĩa tốn học ( Brownell, 1944/1945), hiểu biết mối quan hệ cụ thể đối tượng toán học ( Skemp, 1976), thói quen thích nghi (Hatano & Inagaki, 1986) Tuy nhiên, kể từ năm 1980 , phổ biến quan điểm cho kiến thức tốn học gồm hai loại chính: kiến thức có tính khái niệm kiến thức có tính quy trình Mặc dù nguồn gốc quan điểm khó để xác định xác, biết đến rộng rãi sau Hiebert xuất sách năm 1986 Mặc dù kiến thức khái niệm kiến thức quy trình khơng phải ln ln phân biệt cách rõ ràng, nhiên việc phân biệt hai loại kiến thức hữu ích để hiểu rõ phát triển kiến thức toán học cho học sinh Theo từ điển Webster (Merriam-Webster’s Collegiate Dictionary), 2012, khái niệm ý tưởng trừu tượng tổng quát khái quát hóa từ nhiều trường hợp riêng Kiến thức khái niệm thường không gắn liền với loại vấn đề cụ thể Nó rõ ràng tiềm ẩn khơng diễn đạt thành lời (Goldin Meadow, Alibali, & Church, 1993) Một số nhà nghiên cứu giáo dục tốn khác có quan điểm với nhiều ràng buộc hơn: thuật ngữ kiến thức khái niệm bao gồm không biết (kiến thức khái niệm) mà cịn cách mà khái niệm biết cách sâu sắc với liên kết đa dạng (Star, 2005, p.408) Sau vấn số nhà nghiên cứu giáo dục toán, Baroody cộng (2007) đề xuất rằng: kiến thức khái niệm nên định nghĩa kiến thức kiện, khái quát hóa ngun tắc mà khơng địi hỏi kiến thức phải kết nối cách đa dạng Ví dụ: cho học sinh biểu diễn phụ thuộc quảng đường xe máy lượng xăng tiêu thụ tương ứng Hình 1: Một quan điểm PowToon Scientists develop groundbreaking antidote Cần Việt hóa mơ hình Khơng nên có hình người phụ nữ mơ hình Theo quan điểm này, có trí chung kiến thức khái niệm nên định nghĩa kiến thức khái niệm Một định nghĩa hồn chỉnh địi hỏi kiến thức phải có kết nối đa dạng đơi sử dụng khứ quan điểm nghiên cứu gần xem phong phú kết nối khía cạnh kiến thức khái niệm mà tăng lên với thành thạo Kế tiếp, xem xét thuật ngữ kiến thức quy trình Một quy trình chuỗi bước, hoạt động thực để hoàn thành mục tiêu Theo Canobi (2009), RittleJohnson cộng (2001) kiến thức quy trình biết hay kiến thức bước yêu cầu để đạt mục tiêu khác Các quy trình mô tả cách sử dụng cấu trúc kĩ năng, phương án, hoạt động bên (Byrnes & Wasik, 1991, p.777) Các quy trình là: (1) thuật toán – dãy hành động xác định trước, dẫn đến câu trả lời thực đúng, (2) hành động phải tiếp nối cách phù hợp để giải vấn đề cho (ví dụ bước giải phương trình) Hình 2: Một quan điểm PowToon Scientists develop groundbreaking antidote Cần Việt hóa mơ hình Khơng nên có hình người phụ nữ mơ hình Kiến thức phát triển thơng qua việc luyện tập giải tốnquyết vấn đề gắn chặt với loại toánvấn đề riêng biệt Hơn nữa, chất liên tiếp quy trình làm cho chúng tách rời dạng kiến thức khác (Hiebert & LeFevre, 1986) Cũng giống kiến thức khái niệm, kiến thức quy trình đơi địi hỏi số điều kiện bổ sung Chẳng hạn lĩnh vực giáo dục toán, Star (2005) cho rằng: thuật ngữ kiến thức quy trình biểu thị khơng biết (kiến thức quy trình) mà cịn cách mà quy trình biết (khơng sâu sắc khơng có kết nối đa dạng) John Anderson (1993) cho rằng: kiến thức quy trình kiến thức mà người bộc lộ rõ trình thực họ… kiến thức quy trình khơng thể báo cáo Trong giải vấn đề toán học, người thường biết sử dụng quy trình khơng tự động hóa địi hỏi lựa chọn, phản ánh, xếp bước có ý thức Kiến thức quy trình diễn tả thành lời (Star & Newton, 2009) Nhìn chung, hầu hết nhà nghiên cứu trí kiến thức quy trình khả thực chuỗi hành động để giải vấn đề Ví dụ: cho học sinh lớp 12 khảo hàm số bậc Những yêu cầu bổ sung có xuất nghiên cứu trước lại không nhắc đến tài liệu Hiebert & Lefevre (1986) cho rằng, kiến thức quy trình có liên quan đến khả thực trình, kiến thức khái liên quan đến kiến thức mối quan hệ Kiến thức kiến thức quy trình dựa nhiều vào kỹ tính tốn sử dụng cáci quy trình hình thức biểu diễn khác Trái ngược với kiến thức khái niệm, kiến thức quy trình khơng địi hỏi hiểu biết sâu sắc khái niệm Kiến thức quy trình liên quan đến thuật tốn, theo nghĩa bước Các bước thực tuần tự, hành động phải xác định bước cụ thể Dựa phân tích dài hạn, Haapasalo & Kadijevich (2000) đề nghị mơ tả đặc điểm sau kiến thức khái niệm kiến thức quy trình: • • Kiến thức quy trình biểu thị cách thức thực thuật tốn, quy trình cụ thể Điều thường địi hỏi khơng kiến thức đối tượng tốn học sử dụng, mà kiến thức định dạng cú pháp cần thiết cho hệ thống đại diện thể chúng Kiến thức khái niệm biểu thị kiến thức mạng cụ thể khéo léo Các yếu tố mạng khái niệm, quy định (thuật tốn, qui tắc…thủ tục, vv), chí vấn đề đưa hình thức biểu diễn khác Thuật ngữ “khái niệm” thực xác định ngầm: nút, liên kết mạng, chí mạng lưới khái niệm khác Haapasalo & Kadijevich (2000) đưa phân tích tồn diện việc cải thiện quan điểm nhà nghiên cứu, làm để họ phù hợp với mơ hình giảng dạy học tập đại Haapasalo & Kadijevich (2000) cho rằng, phân loại chung kiến thức khái niệm kiến thức quy trình dựa nghiên cứu thực nghiệm dường khơng thực tế Bởi kiến thức khái niệm kiến thức quy trình khơng thể đo trực tiếp, họ thấy thích hợp để áp dụng vào nhiệm vụ khái niệm quy trình, sau nghiên cứu hoạt động học sinh Theo Hiebert & Lefevre (1986), liên khết kiến thức khái niệm kiến thức quy trình có nhiều thuận lợi cho việc tiếp thu sử dụng kiến thức quy trình Vậy lợi việc liên kết gì? Thứ nhất, cho phép cá nhân có lý để hiểu ý nghĩa đối tượng, qua ngôn ngữ trung gian Thứ hai, khả lựa chọn sử dụng hiệu quy trình hưởng lợi từ liên kết Hiebert & Lefevre (1986) Thứ ba, kiến thức khái niệm tăng khả phát sử dụng sai quy trình quy trình khơng phù hợp Phân tích (Haapasalo & Kadijevich, 2000) cho thấy bốn quan điểm quan hệ phụ thuộc nhân kiến thức khái niệm (viết tắt C) kiến thức quy trình (viết tắt P): Quan điểm kế thừa: P điều kiện cần chưa đủ cho C (Kline (1980), Kitcher (1983),Vergnaud (1990), Gray & Tall (1993) Sfard (1994)) Quan điểm tương tác động: C điều kiện cần chưa đủ cho P (Byrnes & Wasik (1991)) Quan điểm đồng hoạt hóa: P điều kiện cần đủ cho C (Hiebert (1986), Byrnes & Wasik (1991) Haapasalo (1993)) Quan điểm bất hoạt hóa: P C không liên quan (Nesher (1986) Resnick & Omanson (1987)) Tiếp theo việc xem xét tác động sư phạm ba quan điểm đầu tiên, Haapasalo & Kadijevich (2000) xác định hai phương pháp sư phạm: tiếp cận phát triển (developmental approach) tiếp cận giáo dục (educational approach) Cách tiếp cận phát triển dựa ý tưởng cho kiến thức quy trình trước kiến thức khái niệm Cách tiếp cần giáo dục cho kiến thức quy trình kích hoạt kiến thức khái niệm Vai trò giáo viên có tác động quan trọng Haapasalo (1993) rằng, giáo viên, đặc biệt lớp làm hướng dẫn quy trình, tin tưởng kiến thức khái niệm xuất hệ Mặt khác, lớp cao THPT, kiến thức khái niệm đưa đầu tiên, sau thực hành theo quy trình Ma (1999) cho thấy rằng, mức độ kiến thức giáo viên định chiến lược phương án giảng dạy Nhiều giáo viên định hướng nhằm dạy kiến thức khái niệm, điều không phảni ánh giảng dạy Khi học sinh không giải vấn đề, giáo viên giải thích chi tiết thuật tốn giải hiểu biết Theo nghiên cứu NAEP (National Assessment of Educational Progress, (1983), chín số mười sinh viên đồng ý với câu phát biểu “ln ln có quy tắc làm theo để giải vấn đề toán học” Lý cho thái độ q trình tiếp xúc với toán mà giáo viên chứng minh thuật tốn, đưa ví dụ để học sinh làm theo cách tương tự, học sinh tự làm tốn cách xác theo thuật tốn học.Ví dụ, học sinh học được, làm cách để tính giá trị hàm số cho giá trị tham số khác Điều dẫn đến việc làm cho nhiều học sinh tin tốn học nên ghi nhớ tìm hiểu ý nghĩa.Có sở để nói rằng, rẩt nhiều học sinh bậc THPT tập trung ghi nhớ quy trình (thuật tốn) thay cho việc tìm hiểu mối liên hệ đối tượng Các em nói rằng, kiến thức quy trình (thuật tốn) gặp thường xuyên, đặc biệt tốn THPT Nếu giả định đúng, phận học sinh, chũng ta nên suy nghĩ lại cách thức truyền đạt để học sinh rút mối liên hệ khái niệm cách sâu Theo Resnich Omanson (1987), gần nhà giáo dục toán cho “sẽ có nhu cầu thực hành kỹ cao tính tốn tương lai, tập trung vào kỹ giảng dạy có chủ ý khơng đúng” Tun bố đề cập đến hai câu hỏi Một câu hỏi liệu phần tuyên bố đúng? Chúng ta thực nhìn thấy xã hội mà có xu hướng kỹ thuật tính tốn cao dư thừa? Một điển hình cho tình thấy phần Hàm số THPT Hàm số khái niệm quan trọng chương trình Tốn THPT Kiến thức hàm số có lẽ hầu hết yêu cầu quan trọng việc học tập nghiên cứu toán học Hàm số sử dụng để mô tả mối quan hệ biến cho việc giải toán Dubinsky & Harel (1992) cho rằng, khái niệm hàm số khái niệm quan trọng từ mẫu giáo đến tốt nghiệp trung học Mặc dù với tầm quan trọng vậy, học sinh cấp học THPT mơ hồ khái niệm hàm số Ví dụ: Một học sinh lớp 10 vẽ đồ thị đường thẳng, cách xác định điểm sau nối chúng lại Một học sinh lớp 12 dễ dàng vẽ đồ thị hàm số bậc cách xác định hướng bề lõm, tọa độ đỉnh, xác định vài điểm sau nối chúng lại Tuy nhiên, việc hiểu lại làm khơng phải số lượng lớn học sinh giải thích Trong kiểm tra, kì thi, toán hàm số thường tập trung vào kỹ (khảo sát vẽ đồ thị, tìm số nghiệm phương trình, tìm điều kiện tham số,…) che dấu vắng mặt kiến thức khái niệm Và thông thường, học sinh nắm vững phương pháp làm đáp án Điều vơ tình tạo lý để giáo viên học sinh tin học sinh hiểu khái niệm tốn học, có lẽ điều khơng Vậy có quan tâm nhiều cho việc giảng dạy kiến thức khái niệm trường học, liệu kiến thức quy trình có bị bỏ qua, quan tâm hơn? Điều khơng xảy ra, nhiều lập luận rằng, kiến thức quy trình điều kiện cần thiết cho kiến thức khái niệm Nói cách khác, ngaày mục tiêu việc giảng dạy Toán học (mà cụ thể Nghiên cứu Hàm số) giúp học sinh hiểu kiến thức khái niệm, kiến thức quy trình cơng cụ để đạt mục tiêu Trong báo “Phát triển Kiến thức Khái niệm Kiến thức Qui trình Tốn học: Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics (2012)”, Bethany RittleJohnson, Michael Schneider đưa số nghiên cứu kiến thức khái niệm kiến thức quy trình Tốn học Trong luận án Tiến sĩ “Kiến thức Khái niệm Kiến thức Qui trình Hàm số Tốn học, Conceptual and ProceduralKnowledge of Mathematical Functions (2012)”, Pål Lauritzen có nghiên cứu kiến thức khái niệm kiến thức quy trình hàm số nói chung, kể bậc đại học Hiện nay, kiến thức khái niệm kiến thức quy trình đề tài chưa nghiên cứu sâu nước Do vậy, tơi chọn đề tài “Kiến thức Qquy trình Kkhái niệm Hàm số Trung học Pphổ thông” Tổng quan vấn đề nghiên cứu Nghiên cứu đưa giả thiết hai kiến thức khái niệm kiến thức quy trình áp dụng thành công phần hàm số THPT Nếu thừa nhận hai quan trọng, vấn đề đặt làm để dạy cho học sinh nắm kiến thức khái niệm kiến thức quy trình Hơn nữa, có phương pháp giảng dạy đưa ra, dựa sở mối liên hệ kiến thức khái niệm kiến thức quy trình Luận văn cố gắng tìm hiểu nghiên cứu kiến thức khái niệm kiến thức quy trình tốn học, từ tìm hiểu mối liên hệ dạy học tốn thơng qua việc áp dụng phương pháp dạy học thông qua việc phát triển kiến thức khái niệm kiến thức quy trình Từ đó, luận văn sâu nghiên cứu vấn đề cụ thể sau: • • • • • Làm rõ khái niệm kiến thức khái niệm kiến thức quy trình, mối quan hệ phụ thuộc chúng Khám phá khái niệm hàm số, tìm hiểu hai dạng kiến thức khái niệm kiến thức quy trình, mối liên hệ hai loại kiến thức hàm số bậc học THPT Khảo sát học sinh để xem xét:, liệu học sinh giỏi kiến thức quy trình liệu có giỏi kiến thức khái niệm ngược lại hay không? Nghiên cứu phương pháp đo kiến thức khái niệm kiến thức quy trình hàm số bậc học THPT Điều tra khả áp dụng hàm số nhiệm vụ Toán học phụ thuộc vào hai loại kiến thức khái niệm kiến thức quy trình Tìm hiểu đề xuất số giảng nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức quy trình hiểu áp dụng kiến thức khái niệm Kiến thức quy trình hàm số Kiến thức khái niệm hàm số Khả áp dụng hàm số Hình 3: Các mối quan hệ điều tra nghiên cứu Các câu hỏi nghiên cứu Haapasalo & Kadijevich (2000) nhấn mạnh rằng, kiến thức khái niệm kiến thức quy trình khơng thể đo trực tiếp, thơng qua nhiệm vụ tốn học mang tính quy trình khái niệm Một mục tiêu nghiên cứu phát triển biện pháp đáng tin cậy để đo kiến thức khái niệm kiến thức quy trình hàm số Các đặc tính sau sử dụng cho kiến thức quy trình hàm số, kiến thức khái niệm hàm số khả áp dụng hàm số luận văn này: Kiến thức quy trình vềcủa hàm số biểu thị việc sử dụng động thành công cụ thể thuật tốn cụ thể quy trình chúng áp dụng hàm số Điều liên quan đến việc sử dụng thành cơng buớc thuật tốn quy tắc khác Kiến thức khái niệm hàm số biểu thị việc sử dụng mạng lưới đặc biệt mối quan hệ hàm số, bao gồm việc sử dụng mối quan hệ hình thức biểu diễn khác nhau, mối quan hệ toán học khác chủ đề kiến thức toán học trước Nó bao gồm khả để lựa chọn phương pháp thích hợp phản ánh kết cơng việc tốn học Khả áp dụng hàm số mô tả hàm số áp dụng cách thích hợp vào trường hợp cụ thể Khả áp dụng hàm số bao gồm khả giải toán học vấn đề liên quan đến khái niệm toán học tiên tiến xây dựng dựa khái niệm hàm số Các câu hỏi nghiên cứu là: i ii iii Chúng ta đo Kiến thức khái niệm Kiến thức quy trình học sinh hàm số bậc học THPT nào? Các kiến thức có tính quy trình kiến thức có tính khái niệm hàm số học sinh bậc học THPT có quan hệ với nào? Khả để áp dụng hàm số liên quan đến kiến thức có tính quy trình kiến thức có tính khái niệm hàm số nào? Phương pháp nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu học sinh trường THPT Nghiên cứu chủ yếu sử dụng phương pháp định tính đo lường, cụ thể: • • • • • Nghiên cứu hàm số chương trình SGK hàm số bậc học THPT Thực nghiệm quan sát lớp học, tìm hiểu giáo án giáo viên THPT hàm số Bảng hỏi cá nhân, test kiểm tra, đánh giá kiến thức khái niệm kiến thức quy trình hàm số Phỏng vấn Đo lường phân tích PHỤ LỤC TEST (Kiến thức quy trình) A B Các hình vẽ sau diễn tả quy tắc đặt điểm tập A tương ứng điểm tập B Hình minh họa cho hàm số từ A->B ứng với quy tắc cho: Cho hàm số Tính Tính giá trị lớn hàm số Viết biểu thức hàm số bậc biết đồ thị qua hai điểm Cho hàm số Tính (-3) 6 Xét tính chẵn lẽ hàm số Xác định giao điểm đồ thị hai hàm số Cho hàm số Gọi A tọa độ đỉnh; B C tọa độ giao điểm với trục hồnh Tính độ dài đoạn BC Xét tính liên tục hàm số điểm TEST (Kiến thức khái niệm) Hình sau chắn biểu diễn tọa độ điểm nằm đồ thị hàm số Hãy vẽ đồ thị hàm số qua điểm cho.: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Hãy tính: Hãy cho biết giá trị lớn hàm số có đồ thị sau: Câu này, Thế phải đưa lời giải dự kiến nào? Cho hàm số bậc có dạng Đồ thị cho hình vẽ Hãy xác định Cho hai hàm số có đồ thị hình vẽ Hãy phác thảo đồ thị hàm số Cho đồ thị hàm số sau, phác họa đồ thị hàm số mà không cần phải xác định thêem điểm Giá tiền dịch vụ taxi (ngàn/km) hai hãng A B tương ứng với số quãng đường (km) minh họa hai đồ thị sau: - Nếu quảng đường bao nhiều km số tiền phải trả hai hang Nếu cần 5km nên chọn hãng taxi để tiết kiệm chi phí Một người đàn ơng bắn viên đạn từ mặt đất Giả sử viên đạn bay theo quỹ đạo hàm số có biểu thức Hãy xác định độ cao tối đa quảng đường xa mà viên đạn đạt được, bỏ qua ảnh hưởng môi trường Cho hàm số có đồ thị hình sau, Hàm số có liên tục hay không? Đưa lý cho câu trả lời TÀI LIỆU THAM KHẢO Không phân biệt tiếng Anh Việt, xếp vào TLTK Tiếng Việt [1] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông, (2006) Sách giáo khoa Đại số 10 (Nâng cao) Nhà xuất Giáo dục [2].Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh – Đặng Hùng Thắng, (2007) Sách giáo khoa Đại số 11 (Nâng cao) Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh Theo thứ tự alphabet Tên tác giả; Không đánh số dùng tên năm [1].PÅL Lauritzen, (2012) Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematical Functions, Dissertations in Education, Humanities, and Theology, University of Eastern Finland [2] Bethany Rittle-Johnson, and Michael Schneider, (2012) Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics, The Oxford Handbook of Numerical Cognition, Oxford University Press [3] Star, Jon R., and Gabriel J Stylianides 2013 Procedural and Conceptual Knowledge: Exploring the Gap Between Knowledge Type and Knowledge Quality Canadian Journal of Science, Mathematics, and Technology Education 13, no 2:169-181 [4] Wes Maciejewski, Joyce Mgombelo, Annie Savard, 2011 Meaningful procedural knowledge in mathematics learning Nhà Xuất Bản? [5] Lenni Haapasalo, Djordje Kadijevich, 2000 Two Types of Mathematical Knowledge and Their Relation, Journal for Mathematics Teaching, Volume 21, Issue , pp 139-157 [6] Bethany Rittle-Johnson and Kenneth Koedinger, 2009 Iterating between lessons on concepts and procedures can improve mathematics knowledge British Journal of Educational Psychology (2009), 79, 483–500 [7].Djordje Kadijevich, 2007 Towards relating procedural and conceptual knowledge by CAS Megatrend University & Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts, Belgrade, SERBIA [8].Lenni Haapasalo, 2012 Two pedagogical approaches linking conceptual and procedural knowledge University of Eastern Finland, Finland [9].Dilek Tanisli, Nilüfer Y Kose, 2013 Preservice Mathematics Teachers’ Knowledge of Students about Algebraic Concepts Australian Journal of Teacher Education, 38(2) [10].Lindsey E Richland , James W Stigler & Keith J Holyoak, 2012 Teaching the Conceptual Structure of Mathematcs EDUCATIONAL PSYCHOLOGIST, 47(3), 189–203, 2012 [11].http://www.powtoon.com/