Đang tải... (xem toàn văn)
I. Số học (số vô tỷ và phép khai căn) Bài 1. Chứng minh 7 là số vô tỉ. HD giải Giả sử 7 là số hữu tỉ thì có thể đặt m 7 n (tối giản). 2 2 2 2 m 7 hay 7n m n (1). Đẳng thức này chứng tỏ m 2 chia hết cho 7 mà 7 là số nguyên tố nên m 7. Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số m n không tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 không phải là số hữu tỉ; do đó 7 là số vô tỉ. (ĐPCM) Tổng quát: Căn bậc 2 của các số nguyên tố đều là số vô tỉ Bài 2: So sánh các số thực sau (không dù
Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) I.- Số học (số vô tỷ phép khai căn) ***Bài Chứng minh số vô tỉ HD giải Giả sử số hữu tỉ đặt m2 m (tối giản) hay 7n m (1) 7 n n Đẳng thức chứng tỏ m chia hết cho mà số nguyên tố nên m Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n2 = 49k2 n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 số nguyên tố nên n phân số m không tối giản, trái giả thiết n Vậy số hữu tỉ; m n chia hết số vô tỉ (ĐPCM) * Tổng quát: Căn bậc số nguyên tố số vô tỉ ***Bài 2: So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a) c) 15 23 19 27 b) 17 d) 45 HD giải: Đưa số phương > < so sánh a) b) c) 15 16 Vậy 15 < 17 16 49 45 23 19 23 16 23 2.4 25 27 3 ***Bài Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn nhỏ HD giải Các số 1,42 2 Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) ***Bà : Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ HD giải : Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải số vô tỉ ***Bà : Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phương a số vô tỉ HD giải: Chứng minh ***Bài Chứng minh số sau số vô tỉ : 1 a) b) m với m, n số hữu tỉ, n ≠ n HD giải = m2 – a) Giả sử = m (m : số hữu tỉ) b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ) n =a–m n số hữu tỉ (vô lí) = n(a – m) số hữu tỉ, vô lí ***Bà Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? HD giải: Có, chẳng hạn (5 2) ***Bà 8: Xét xem số a b số vô tỉ không : a) ab a số vô tỉ b b) a + b a số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) Trả lời: a) Có thể b & c) Không thể Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) ***Bài 0,9999 (20 chữ số 9) Tìm 20 chữ số thập phân số : Giải: Đặt 0,999…9 = a Cần chứng minh 20 chữ số thập phân Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có : < a < a(a – 1) < a2 – a < a2 < a Từ a2 < a < suy a < 0,9999 Vậy a chữ số a < = 0, 9999… 9…… ( 20 chữ số sau dấu phẩy) 20 chữ số ***Bài 10: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : G 3x 5x x x HD giải: Đặt biểu thức > 0; Giải tim x ***Bài 11 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A x2 x E 1 3x B G 2x x C 9x x x2 x 4 D x 5x H x 2x x HD giải: Đặt biểu thức > 0; Giải tim x ***Bài 12 So sánh : 13 c) a) a b= 1 b) 1 n n n+1 n (n số nguyên dương) Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) HD giải a) Xét a2 b2 Từ suy a = b 13 (2 1) Vậy hai số b) c) Ta có : Mà n n 1 n n n n n n nên n+1 n n n n+2 n n n II Đại Số học (bất đẳng thức Cauchy) ***Bài 13 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 2 a b c a b c HD giải: Biến đổi BT 1 1 1 2(c b a 1 1 2 = a b c c abc a b c ab bc ca a b = 1 Suy điều phải chứng minh a b c ***Bài 14: So sánh : a) a b= 1 b) n n c) 13 1 n+1 n (n số nguyên dương) HD giải a) Xét a2 b2 Từ suy a = b b) 13 (2 1) Vậy hai số c) Ta có : Mà n n 1 n n n n n n nên ***Bài 15 Giải phương trình : n+1 n n n n+2 n n n 3x 6x 5x 10x 21 2x x Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) HD giải Viết lại phương trình dạng : 3(x 1)2 5(x 1)2 16 (x 1) Vế trái phương trình không nhỏ 6, vế phải không lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1 ***Bài 16 Cho S 1 1 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 Hãy so sánh S 1998 1999 HD giải Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : Thay vào ta có S > ***Bài 17 ab a b 1998 1999 a) Cho a, b, c > Chứng minh : bc ca ab abc a b c b) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab HD giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương bc ca bc ab ca ab , ta có: ; ; a b a c b c bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab ca ab 2 2c; 2 2b ; 2 2a a b a b a c a c b c b c cộng vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c b) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) 122 ≥ 60P P ≤ 3a 5b 3a.5b 12 12 max P = 5 Dấu xảy 3a = 5b = 12 : a = ; b = 6/5 ***Bài 18: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = HD giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : = x + y + z ≥ 3 xyz (1) Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 (x y)(y z)(z x) (2) 2 Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A A ≤ 9 3 2 max A = x = y = z = 9 ***Bài 19: Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x y2 2 xy 55 Cách : Xét; x y 2(x y) x y 2(x y) 2xy (x y 2) Cách : x y2 x y2 Biến đổi tương đương 2 2 (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ xy x y (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ (x2 + y2 – 4)2 ≥ Cách : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy : x y x y 2xy 2xy (x y) 2.1 (x > y) (x y) (x y) xy xy xy xy xy Dấu đẳng thức xảy khi: x 6 6 6 6 ;y ;y x 2 2 ***Bà 20 : Tìm giá trị nhỏ : A x y z với x, y, z > y z x HD giải: giả sử x ≥ y ≥ z Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z : A x y z x y z 33 y z x y z x Bộ tập bồi dưỡng HSG Toán lớp (N.1) x y z x y z Do x y z y z x y z x Cách : Ta có : x y z x y y z y x y Ta có (do x, y > 0) y z x y x z x x y x nên để chứng minh x y z y z y ta cần chứng minh : z x x y z x (1) (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z y z x PHH sưu tầm & soạn lại HD giải - 2015