Giáo khoa Toán 9 oOo Ôn tập Thi vào 10 Đại số Câu 1: Phát biểu đònh nghóa căn bậc hai số học của một số a ≥ 0. Đònh nghóa căn bậc hai số học: Căn bậc hai số học của một số 0 ≥ a là số không âm 0 ≥= ax có bình phương bằng a. ( )      == ≥ ⇔= aax x ax 2 2 0 Áp dụng : Các số ( ) 2 5 − ; 2 5 là căn bậc hai số học của 9 (theo đònh nghóa). Câu 2: Chứng minh đònh lý “Với mọi a ∈ R thì aa 2 = ”. Chứng minh: Ta phải chứng minh 0a ≥ và 2 2 a a = .  0a ≥ (đònh nghóa giá trò tuyệt đối)  Nếu a≥ 0 thì aa = ⇒ 2 2 a a = . Nếu a < 0 thì aa −= ⇒ ( ) 2 2 2 aa a =−= Vậy: “Với mọi a ∈ R thì aa 2 = ” Áp dụng : ( ) 131313 2 −=−=− ( )    <+− ≥− =−=− 1x với 1x 1x với 1x 1x1x 2 Câu 3: Phát biểu quy tắc khai phương một tích. Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích các biểu thức không âm, ta có thể khai phương từng biểu thức rồi nhân các kết quả với nhau. Áp dụng : 65.6,0.22536,042536,04 ===⋅⋅    <− ≤ === 0a với a7 0a với a7 a.7a49a49 22 Câu 4: Phát biểu quy tắc nhân các căn thức bậc hai. Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các biểu thức không âm ta có thể nhân các biểu thức dưới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó. Áp dụng : Tính: a) 98127.327.3 === ; b) 0a với a4a4a16a16a8.a2 22 ≥==== Câu 5: Phát biểu qui tắc khai phương một thương. Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương B A của hai biểu thức 0B ,0 >≥ A , ta có thể khai phương lần lượt biểu thức bò chia A và biểu thức chia B sau đó lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai. Áp dụng : Tính a) 4 3 16 9 16 9 == ; Trang 1 Giáo khoa Toán 9 oOo Ôn tập Thi vào 10 b)        <− ≥ === 0a với 11 a4 0a với 11 a4 11 a4 121 a4 121 a4 22 Câu 6: Phát biểu qui tắc chia hai căn thức bậc hai. Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: Muốn chia căn thức bậc hai của biểu thức không âm A cho căn thức bậc hai của biểu thức dương B, ta có thể chia biểu thức A cho biểu thức B rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó. Áp dụng : Tính a) 416 5 80 5 80 === ; b) 0a với 525 a3 a75 a3 a75 >=== Câu 7: Nêu đònh nghóa hàm số bậc nhất và các tính chất của nó. a) Đònh nghóa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bỡi công thức y = ax+b trong đó a, b là các số thực xác đònh (a ≠ 0). b) Tính chất: - Hàm số bậc nhất xác đònh với mọi giá trò của x thuộc R, nên: Tập xác đònh của hàm số y = ax + b là R. - Trong tập xác đònh R, hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến nếu a > 0, và nghòch biến nếu a < 0. Áp dụng : Cho hàm số y=(m–2)x+1 là hàm số bậc nhất với a = (m–2). Nên hàm số đồng biến trên R khi m > 2 và Nghòch biến trên R khi m < 2. Câu 8: Nêu tính chất biến thiên của hàm số ( ) 0a,axy 2 ≠= a) Hàm số y=ax 2 xác đònh với mọi giá trò của x∈R, nên tập xác đònh của hàm số y=ax 2 là R. b) Nếu a > 0 thì hàm số y=ax 2 đồng biến trong R + nghòch biến trong R – và bằng 0 khi x=0 Nếu a < 0 thì hàm số y=ax 2 đồng biến trong R – nghòch biến trong R + và bằng 0 khi x=0 Áp dụng: Hàm số y = 2x 2 có a = 2 > 0 nên hàm số y = 2x 2 đồng biến trong R + nghòch biến trong R – và bằng 0 khi x = 0. Ta có ( ) ( ) 1xf 12x f nên 1x 1-2x 0mà , Rx ,x 212121 =<−==<=<∈ + vì hàm số đồng biến trong R + Câu 9: Nêu đònh nghóa phương trình bậc hai một ẩn số. Đònh nghóa: Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, (a≠ 0) trong đó x là ẩn số, a, b, c là các hệ số đã cho, a ≠ 0. Trang 2 Giáo khoa Toán 9 oOo Ôn tập Thi vào 10 Áp dụng : a) ( ) 0mxm2xmmxx2x 22 =−−+⇔+=+ ; b) ( ) 01p2px3x2p11x3px2 22 =−−+⇔+=−+ . Câu 10: Phát biểu và chứng minh hệ thức Viét. Hệ thức Vi-et: Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 , x 2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = x 1 +x 2 = – a b P = x 1 .x 2 = a c Chứng minh: Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 , x 2 nên tổng và tích hai nghiệm đó là: S = x 1 +x 2 = a b a2 b2 a2 bb a2 b a2 b −= − = ∆−−∆+− = ∆+− + ∆+− P = x 1 .x 2 = ( )( ) a c a4 bac4b a4 bb a2 b a2 b 2 22 2 −= −− −= ∆+∆+− −= ∆−− ⋅ ∆+− Áp dụng : Tìm hai số x và y biết: 13yx 22 =+ và x + y = -1. Ta có ( )    −=+ −= ⇔      −=+ =−+ ⇔      −=+ =+ 1yx 6xy 1yx 13xy2yx 1yx 13yx 2 22 Hai số x, y là nghiệm của phương trình bậc hai sau: t 2 + t – 6 = 0. Giải phương trình, ta được hai số cần tìm là 2 và –3. Hình Học: Câu 1: Phát biểu đònh nghóa đường tròn. Đònh nghóa: Tập hợp (quỹ tích) các điểm cách điểm O cho trước một khoảng cách không đổi R > 0 được gọi là đường tròn tâm O bán kính R Áp dụng: Tìm quỹ tích các điểm M sao cho AMB = 1v, trong đó AB là một đoạn thẳng cho trước. a. Phần thuận: Gọi I là trung điểm của AB. Tam giác AMB vuông tại M (vì AMB = 1v) Mà MI là trung tuyến (vì I là trung điểm của AB) Nên IM = IA = IB (tính chất trung tuyến của tam giác vuông) Do đó M nằm trên đường tròn (I) đường kính AB. b. Phần đảo: Lấy M’ nằm trên đường tròn (I) đường kính AB. Tam giác ABM có IM = IA = IB = R Trang 3 BA M Giáo khoa Toán 9 oOo Ôn tập Thi vào 10 Nên tam giác ABM vuông tại M (tính chất trung tuyến tam giác vuông) Do đó AMB = 1v c. Kết luận: Tập hợp (quỹ tích) các điểm M là đường tròn (I) đường kính AB, với I là trung điểm của AB Câu 2: Chứng minh đònh lý: “Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung đó ra hai phần bằng nhau”. Chứng minh: Nếu I trùng O thì CD là đường kính, nên ta có I là trung điểm của CD. Nếu I không trùng O thì: ∆OCD cân tại O (OC = OD = R) Mà OI là đường cao (AB ⊥ CD) Nên OI là đường trung tuyến (tính chất của tam giác cân) Do đó: I là trung điểm của CD. Câu 3: Chứng minh đònh lý: “Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm”. Chứng minh: Gọi x’x là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Kẻ OA ⊥ x’x tại A. Vì x’x là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA = R Do đó điểm A nằm trên đường tròn (O; R) Hay x’x vuông góc với bán kính OA của đường tròn (O) tại A. Câu 4: Chứng minh đònh lý: “Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại mút nằm trên đường tròn thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn”. Chứng minh: Gọi x’x ⊥ OA tại A với OA là bán kính của đường tròn (O; R). Ta có d = OA = R Nên x’x là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) Câu 5: a) Đònh nghóa góc nội tiếp Đònh nghóa: Góc nội tiếp là một góc có đỉnh nằm trên một đường tròn và hai cạnh của nó cắt đường tròn đó. b) Chứng minh đònh lý: “Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bò chắn”. Chứng minh: Trường hợp tâm O nằm trên một cạnh của góc nội tiếp. ∆OBC cân tại O (vì OB = OC = R) nên: OBC = OCB (hai góc ở đáy) mà: góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề nó nên: COA = CBA + OCB = 2. CBA mà: Sđ COA = Sđ CA (đònh nghóa) nên: Sđ ABC = 2 1 Sđ CA (Tính chất bắc cầu) Câu 6: Chứng minh đònh lý: “ Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bò chắn” (Chỉ yêu cầ chứng minh trường hợp tâm của đường tròn nằm bên ngoài góc). Chứng minh: Trường hợp tâm O nằm ngoài góc BAx : Trong tam giác OAB cân tại O (OA = OB = R). Kẻ OH ⊥ AB Ta có OH là đường cao và phân giác của ∆OAB cân (tính chất tam giác cân) BOA = 2.AOH (tính chất đường phân giác) Mà: AOH = BAx (góc có cạnh tương ứng vuông góc) Trang 4 B C D O A x Q O A Q x' A B C O H Q x Q O A Q B Giáo khoa Toán 9 oOo Ôn tập Thi vào 10 Suy ra: BOA = 2. BAx (tính chất bắc cầu) Mà: Sđ BOA = 2 1 Sđ AB (cung tròn và góc ở tâm chắn nó có cùng số đo độ). Nên: Sđ BAx = 2 1 Sđ AB (tính chất bắc cầu) Câu 7: Chứng minh đònh lý: “Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng một nửa tổng số đo hai cung bò chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy”. Chứng minh: Góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề nó, nên trong tam giác ACE, ta có: AED = ACD + CAB Mà: Sd ACD = 2 1 Sđ AD (góc nội tiếp bằng nửa cung nó chắn) Và: Sđ CAB = 2 1 Sđ BC (góc nội tiếp bằng nửa cung nó chắn) Do đó: Sđ AED = 2 1 Sđ ( AD + BC ) (tính chất bắc cầu) Câu 8: Chứng minh đònh lý: “ Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng hai góc vuông”. Chứng minh: Sđ BAC = 1/2 Sđ BDC (góc nội tiếp bằng nửa cung nó chắn) Sđ BDC = 1/2 Sđ BAC (góc nội tiếp bằng nửa cung nó chắn) Sđ (BAC + BDC) = 2 1 Sđ ABCD (cộng vế theo vế) BAC + BDC = 2 1 .360 0 = 180 0 (hay 2v) Câu 9: Phát biểu các tính chất cơ bản của mặt phẳng. Tính chất 1: Nếu một đường thẳng a đi qua hai điểm phân biệt A và B của một mặt phẳng (P) thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng (P). Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất (đường thẳng chung của hai mặt phẳng cắt nhau gọi là giao tuyến). Tính chất 3: Qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng . - Đònh lý 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó . - Đònh ly ù2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau. ( Phải bổ sung hình vẽ minh họa cho từng tính chất và từng đònh lý). Câu 10: Chứng minh đònh lý: “ Nếu đường thẳng a không thuộc (P) mà song song với một đường thẳng b nằm trên (P) thì a song song với (P)”. )( // )( // )( Pa Pb ba Pa ⇒      ⊂ ∉ Trang 5 E C D A B O C D A B m P M a Q b Giáo khoa Toán 9 oOo Ôn tập Thi vào 10 Vì a // b nên có mặt phẳng (Q) qua a và b (theo đònh nghóa hai đường thẳng song song). Do đó: Giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng b (đònh nghóa giao tuyến của hai mặt phẳng) Giả sử đường thẳng a không song song với mặt phẳng (P) mà đường thẳng a không chứa trong (P). Do đó đường thẳng a có một điểm chung là M với mặt phẳng (P). Ta có: M∈ a mà a∈(Q) nên M∈(Q) và M∈(P) (theo chứng minh trên). Do đó: M nằm trên giao tuyến của (P) và (Q). Hay M∈ b, mà M∈ a(theo chứng minh trên) nên a và b cắt nhau tại M. Điều này trái với giả thiết của đònh lý là a // b Vậy: a // (P). Trang 6 . 3 BA M Giáo khoa Toán 9 oOo Ôn tập Thi vào 10 Nên tam giác ABM vuông tại M (tính chất trung tuyến tam giác vuông) Do đó AMB = 1v c. Kết luận: Tập hợp. nhất chia cho kết quả thứ hai. Áp dụng : Tính a) 4 3 16 9 16 9 == ; Trang 1 Giáo khoa Toán 9 oOo Ôn tập Thi vào 10 b)        <− ≥ === 0a với 11