SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH NĂM HỌC 2014- 2015 MÔN: TOÁN - KHỐI 11 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) Câu 1( 4,0 điểm) cos x + sin x + sin x − = x cos −1  23 − 33 − n3 −  ÷ Tính giới hạn sau: I = nlim  →+∞ 23 + 33 + n +1   Giải phương trình Câu 2( 4,0 điểm) Một hộp đựng 50 viên bi đánh số từ đến 50, chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để tổng số ghi viên bi chọn số chia hết cho Cho tam giác nhọn ABC có góc B 450 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = cotA + cotC Câu 3( 4,0 điểm) ( x − y ) ( x + xy + y + 3) = ( x + y ) + Giải hệ phương trình sau:   x + + 16 − y = x + Cho khai triển: ( + x ) ( + x + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a14 x14 Tìm giá trị a6 ? Câu 4( 6,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, có BD nằm đường thẳng d: x + y – = 0, điểm M( -1; 2) thuộc đường thẳng AB, điểm N(2; -2) thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết điểm B có hoành độ dương Cho tứ diện ABCD, M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) A’, B’, C’ Tìm vị trí điểm M cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I(1 ; 1) đường tròn (C) có tâm I, bán kính R = Viết phương trình đường tròn ảnh đường tròn (C) qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 45 phép vị tự tâm O, tỉ số k = Câu 5( 2,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz Chứng minh : 10 x ( 3x − 1) + y ( y − 1) + z ( z − 1) ≥ ……………………………… Hết………………………………… Họ tên thí sinh:………………………………… Số báo danh:……………… Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích thêm ĐÁP ÁN Câu 1.1 2đ Giải phương trình Nội dung cos x + sin x + sin x − = x cos −1 π x Điều kiện cos − ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ + lπ ( l ∈ Z ) 2 Phương trình cho tương đương với: cos2 x + sin x + 6sin x − = cos x ⇔ ( sin x − 1) cos x + − 2sin x + 6sin x − =  sin x =  sin x = ⇔ ( sin x − 1) cos x − sin x + = ⇔  ⇔   cos x − sin x = −  cos x − sin x = −1  2 π  sin x = x = + k 2π  ⇔  ⇔ cos x + π  = −1  5π x= + k 2π   6÷   5π + k 2π (với k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình: x =  23 − 33 − n3 −  I = lim ÷ Tính giới hạn sau:  n →+∞ 23 + 33 + n +1   ( 1.2 ) k −1 k −1 k + k + k −1 k + k +1 = = Ta có: k + k + k − k + k + ( k − 1) + ( k − 1) + suy un = Điểm 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 23 − 33 − n3 − 23 + 33 + n +   22 + +   32 + +  + +   n − n2 + n +  ÷ = ÷ ÷ ÷  2 2  + +   + +  + +   n + ( n − 1) + ( n − 1) + ÷  ( n + n + 1) ( n − 1) ! = ( n + n + 1) = 3n ( n + 1) ( n + 1) ! ( n + n + 1)  23 − 33 − n3 −  I = lim ÷ = lim = nên  n →+∞ + + n +  n →+∞ ( n + n )  0,5 0,5 Câu 2.1 0,5 0,5 - Số cách chọn viên bi từ 50 viên bi C50 - Trong 50 viên bi ban đầu chia làm ba loại: có 17 viên bi ghi số chia cho dư 1; 0,5 17 viên bi ghi số chia cho dư 16 viên bi ghi số chia hết cho 3 3 TH1: Chọn viên bi loại C17 + C17 + C16 = 1920 cách 1 TH2: viên bi chọn viên loại C17 C17 C16 = 4624 1920 + 4624 409 = xác suất để chọn viên bi thỏa mãn toán là: 19600 1225 0,5 2.2 2sin 450 = cos ( A − C ) + cos450 cos ( A − C ) + Vậy 0,5 lớn ⇔ cos ( A − C ) = ⇔ A = C suy P nhỏ cos ( A − C ) + Pmin = 2 >0, Do tam giác ABC nhọn nên cos ( A − C ) + Câu 3.1 0,5 0,5 sin ( A + C ) 2sin B = Ta có P = cot A + cot C = sin A.sin C cos ( A − C ) − cos ( A + C ) 0,5 0,5 tam giác ABC cân B góc B 45 1+ ( x − y ) ( x + xy + y + 3) = ( x + y ) + Giải hệ phương trình sau:   x + + 16 − y = x + 16 Đk: x ≥ −2, y ≤ Từ phương trình (1): x − x + x − = y + y + y + ( 1) ( 2) ⇔ ( x − 1) = ( y + 1) ⇔ y = x − , y = x – vào (2) ta 3 Pt : x + + 22 − 3x = x + ⇔ x + − x − + 22 − x − 14 + x = x − x − 3   −x + x +   − x2 + x + 2 ⇔  + ÷  ÷= x − x −  x + + x +   22 − x + 14 − x  ( ) ( ) 4  1  1   ⇔ ( x2 − x − 2)   +  ÷ ÷+ 1 =   x + + x +   22 − x + 14 − x    x = −1 ⇔ x2 − x − = ⇔  x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1; -3) (2; 0) 3.2 Cho khai triển: ( + x ) 10 0,5 ( + 4x + 4x ) 2 0,5 0,5 0,5 = a0 + a1 x + a2 x + + a14 x14 Tìm giá trị a6 ? Ta có ( + x ) 10 ( + 4x + 4x ) = ( 1+ 2x) 2 10 2 + ( + x )    2 10 10 12 14 = ( + x ) 2 + ( + x )  = ( + x ) + ( + x ) + ( + x )   10 6 Hệ số x6 kt ( + 2x ) 4.2 C10 Hệ số x6 kt ( + 2x ) Hệ số x6 kt ( + 2x ) 14 12 6 6 6 6 Vậy hệ số a6 = 4.2 C10 + 4.2 C12 + C14 0,5 4.2 C12 C14 0,5 0,5 0,5 Câu 4.1 Gọi H hình chiếu vuông góc uuuu r M đường thẳng d, ta có tọa độ điểm H(t; – t) MH ( t + 1;1 − t ) , uuuur r uuuur mà MH ⊥ d ⇔ MH u = ⇔ t + − + t = ⇔ t = ⇔ MH ( 1;1) 0,5 suy MB = MH = , điểm B thuộc d nên B(b; – b); 2 MB = ⇔ ( b + 1) + ( − b ) = ⇔ b = 1; b = −1(l ) , điểm B(1; 2) 0,5 Ta có pt đường thẳng AB: y = 2; AD: x = tọa độ điểm A(2; 2) Điểm D giao điểm BD AD nên D(2; 1) 3 3 Gọi I trung điểm BD, suy I  ; ÷, suy C(1;1) 2 2 Vậy A(2;2), B(1;2), C(1;1), D(2,1) 4.2 0,5 0,5 Trong mặt phẳng (ABC) : AM ∩ BC = {A1} BM ∩ AC = {B1}, CM ∩ AB = {C1} Trong (DAA1) : Kẻ đường thẳng qua M song song với AD cắt DA1 A’ Xét tam giác DAA1 có MA’ // AD nên 0,5 MA ' MA1 S ∆MBC = = DA AA1 S ∆ABC MC ' MC1 S ∆MAB = = , DC CC1 S ∆ABC MB ' MB1 S ∆MAC = = DB BB1 S ∆ABC MA ' MB ' MC ' + + = ( S MBC + S MAC + S MAB = S ABC ) Suy DA DB DC MA ' MB ' MC ' MA ' MB ' MC ' Ta có + + ≥ 33 DA DB DC DA DB DC Tương tự ta có 0,5 0,5 DA.DB.DC (không đổi) 27 Vậy giá trị lớn MA’.MB’.MC’ DA.DB.DC, đạt 27 Suy MA’.MB’.MC’ ≤ MA ' MB ' MC ' MA1 MB1 MC1 = = = ⇒ = = = DA DB DC AA1 BB1 CC1 0,5 Hay M trọng tâm tam giác ABC 4.3 ( Gọi I1 ảnh I qua phép quay tâm O, góc quay 450 I1 0; ) Gọi I’ ảnh I1 qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = I’(0 ; 2) Do phép đồng dạng có cách thực phép quay phép vị tự I có ảnh I’(0 ;2) Gọi (C’) ảnh (C) qua phép đồng dạng nói (C’) có tâm I’ bán kính R ' = kR = 2 nên phương trình đường tròn (C’) x + ( y − ) = câu 0,5 0,5 0,5 0,5 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz Chứng minh : x ( 3x − 1) + y ( y − 1) + z ( z − 1) ≥ 1 + + =3 x y z Từ giả thiết: xy + yz + zx = 3xyz ⇔ 0,5 1 Đặt a = , b = , c = ⇒ a + b + c = x y z Ta có a3 a3 = = 2 x ( 3x − 1) ( − a) ( b + c) y ( y − 1) z ( z − 1) b3 = = ( − b) ( b + c) ( a + c) suy ( b + c) + ( a + c) + ( a + c) 0,5 c3 ( a + b) + b3 ( a + c) + c3 ( b + a) + b + c b + c 3a + ≥ 8 + a + c a + c 3b + ≥ 8 ( a + b) b3 b3 b3 ( b + c) Áp dụng BĐT Cô – si ta có: a3 a3 = a3 BĐT cho tương đương với c c3 ( − c) = + ≥ a + b a + b 3c + ≥ 8 c3 ( b + a) 2 ≥ a +b+c = (dpcm) 4 0,5 0,5 dấu ‘=’ xảy a = b = c = 1, hay x = y = z = Chú ý : Nếu thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa câu