Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài tập  1.1 Đưa cácma trận sauvề dang bậc  thang: −3 2 A =  −4  B=  −5 3     −3 −2 −1  D =  −2  E =  −3 −4 −7 10 Bài tập  1.2 Đưa ma trậnsau dang  2 −1 10 13  B =  A= 4 6 20 19    −1  11 −5     E= D= −5  1 Bài tập  1.3 Xác định  hạng A=    D=  12   −1 −1  21 −2   G=  −1  −9  −4 −6 C =  −5  −4 bậc thang rút gọn: −2 −1  −5 −5  −1 −2  −6 ma trận  sau:  1  B=    2 E= 1  0 3   −2 −1  −2   H=  1 13  −2 −6 10 Bài tập 1.4 Xác định tồn nghiệm hệ sau:   −2 1 −1 C= −2  −2  −1 F =  0 1 −3   1 −3 C =  −1  −3   F =        Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH   x1 2x1 a  6x  x1    3x1 b    5x1  x1    c −x1        x1 d 2x1    2x1 + 2x2 − + 4x2 − + 13x2 − + x2 + + 2x2 + x2 + + 4x2 + − 6x2 x2 − + 6x2 + − x2 + 2x2 − + 2x2 − + 5x2 − + 4x2 − 3x3 = −5 6x3 + x4 = −8 17x3 + 4x4 = −21 x3 + x4 + x5 = x3 + x4 − 3x5 = −2 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 3x3 + 3x4 − x5 = 12 =5 4x3 + x4 = x3 + 5x4 = 5x3 + 4x4 = 2x3 + 2x5 = 3x3 + x4 + 4x5 = 7x3 + 3x4 + 10x5 = 5x3 + 3x4 + 8x5 = Bài tập 1.5 Biện luận hệ phương trình cho ma trận đầy đủ sau theo tham số a, b, c, d   −3   a b 0 a a  −1 −2    b   0 d  0 cd c  Bài tập 1.6 Viết nghiệm hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với ma trận sau:     −2 0 −3 −5 −8   1 0 −3 −1     a A =  b B =     0 −4 0 0  0 0 0 0 0 0     −2 0 0 −3   −3 −2  −6     c C =  d D =  0  0 −7 −5   0 0 0 0 0 Bài tập  1.7  2x1 3x1 a  9x1  2x1    4x1 b 4x1    2x1 Giải hệ phương trình sau phương  pháp Gauss: + 7x2 + 3x3 + x4 =  x1 + x2 − + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 2x1 + 3x2 + e  + 4x2 + x3 + 7x4 = 14 5x1 + 7x2 +  + 5x2 + x3 + 3x4 = x1 + 2x2 +    + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 2x1 + x2 + f + 14x2 + x3 + 7x4 = 3x1 + 2x2 +    − 3x2 + 3x3 + 3x4 = 4x1 ‘ + 3x2 + 2x3 3x3 4x3 3x3 2x3 x3 2x3 + − + + + + + 3x4 x4 x4 4x4 3x4 2x4 x4 = = = = = = = 5 1 −5  2x1    3x1 c 5x1    2x1  −x1    2x1 d 5x1    4x1 Bài tập 1.8   ax1 x1 a  x1 + x2 − 2x2 + x2 − x2 − x3 + 2x3 − x3 + x3 + x4 − 3x4 + 2x4 − 3x4 = = = −2 = + x2 + x2 + 3x2 + 3x2 + x3 + 2x3 + 3x3 + 2x3 + x4 + 3x4 + 5x4 + x4 = = = = −5  x1      3x1 x1 g   2x     x1 2x1    x1 h x1    2x1 + + + + + + + + + 2x2 2x2 x2 3x2 x2 x2 3x2 x2 3x2 Biện luận theo a, b, c, d số nghiệm hệ  phương trình x + 2y   + x2 + x3 + x4 =  2x − y + ax2 + x3 + x4 = a b 3x + y   + x2 + ax3 + x4 = b  x − 3y Bài tập 1.9 Xác định m để hệ phương trình sau có  x1 − 2x2 + x3 +    2x1 + x2 − x3 + x1 − x2 + 2x3 −    4x1 − 2x2 + 2x3 + 3x3 + x3 + x3 − x3 + x3 + x3 + 5x3 − 3x3 + + − + 2z z z 5z = 14 = 10 = = = = = = −7 = 14 =a =b =c =d nghiệm: x4 = 2x4 = 3x4 = −2 =m Bài tập 1.10 Giải hệ sau:   3x1     x1 + 2x2 − 3x3 = 2x1 2x1 + 5x2 − 2x3 = a b x1    3x1 − x2 − 4x3 =  x1   x1 + 2x2 − x3 =    x1  2x1 + 5x2 + 2x3 = 3x1 d c x1 + 4x2 + 7x3 =    4x1  x1 + 3x2 + 3x3 = − 2x2 − 5x3 − 3x2 + x3 + 2x2 − x2 − 4x3 + x4 + 5x4 − 4x4 + 9x4 = = = = 0 0 − 2x2 + 3x3 − 2x4 = − 7x2 − 2x3 + 4x4 = + 3x2 + 5x3 + 2x4 = Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Chương MA TRẬN Bài tập 2.1 Thực phép tính: a A + B với A = −2 −6 b 3A −5A với A = c 2A − 3B với A = −1 −5 B = −2 −6 −7 B = d 5A − 2B; 2A + 3B; A(BC); (AB)C; AT ; B T ; AT B T ; A2 ; AC biết A= −4 e AAT AT A biết A = ; −6 ; C= −3 −5 −1 Bài tập 2.2 Tìm x, y, z, w biết: Bài tập 2.3 Cho A = B= x y z w = x −1 2w + x+y z+w tìm ma trận B ∈ M2×3 cho AB = Bài tập 2.4 Cho ma trận       −3 1 −2 −2 A= ,B =   , C =  −5  −1 −1 Gọi D = [dij ] = 2AB +C không tính toàn ma trận D mà tính cụ thể phần tử: a d11 b d21 c d32 Chương MA TRẬN Bài tập 2.5 Cho A = −1 ;B = −1     4 3  ; D =  −1  ;C =  −3 a Hãy tính tích sau giải thích chúng không tồn tại: AB; BA; AC; DC; CD; C T D b Kiểm tra A(BC) = (AB)C (AB)T = B T AT c Không thực phép tính, tìm D T C Bài tập 2.6         3 −5 −6 15 Cho A =  −1 −1  x =  −1  , y =   , z =   −2 −4 −4 −4 a Tính tích Ax, Ay, Az b Dùng kết câu a) để tính tích A x y z Bài tập 2.7 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau:    −2 A =  −3 ; B =     1 1   1    D=  0 1 ; E =  1 0    −1 −2 −3 ; C =  −3  1   1   −1  ; F =  1 −2  −1 −2 Bài tập 2.8 Tìm ma trận nghịch đảo A = a b c d 1 ; B= 3   −1 −5 −7  ma trận khả nghịch Bài tập 2.9 Cho A =  −1 Không tìm toàn ma trận A tìm Ứng dụng: A = a c3 (A−1 ) b đồng thời hai cột, c1 (A−1 ) c2 (A−1 )    x1 −1    c h2 (A ), từ suy giá trị x2 hệ A x2 =  x3   0    Bài tập 2.10 Tìm điều kiện tham số để ma trận sau khả nghịch, sau tìm ma trận nghịch đảo tương ứng nó:     −3 p a  −7 m +  ; b.A =  1  −m 2m 1   −1 1  Hãy tìm B −1 , từ giải hệ phương Bài tập 2.11 Cho ma trận B =  −1 −1       2 trình Bx = d với i)d =   , ii)d =   , iii)d =  −2  −1 −1 Bài tập 2.12 Giải hệ phương trình sau phương pháp ma trận nghịch   x1 + x2 + x3 + x4    x1 + x2 − 3x3 = −2  x1 + x2 − x3 − x4 x1 + 2x2 − 3x3 = a b x   − x2  2x1 + 4x2 − 5x3 = −6  x3 − x4  x1 + x2 + x3 + x4 = −1    x1 + x2 − x3 − x4 = c x  − x2 + x3 − x4 = −1   x1 − x2 − x3 + x4 = đảo: = = = −1 = −1 Bài tập 2.13 Giải phương trình ma trận sau đây: −1 −2 = b X .X = a −5 −4     −3 −3 14 16 −1 d  −4  X =  10  = X c 10 −2 −1 10     13 −8 −12    e X 12 −7 −12 =  −4 −5 Chương MA TRẬN Chương ĐỊNH THỨC Bài tập 3.1 Không khai triển, sử dụng tính chất để tính định thức ma trận sau:       −5  3      −1 −1    ; C =     0 ; B = A=     1   0 −1  −5 −2 −2 0 0   −5  3    0  D=   −1  0  −2 0 0 Bài tập 3.2 Tính định thức sau cách khai triển theo hàng hay theo cột chọn cách hợp lí nhất: −2 −4 0 ; D3 = ; D4 = −5 D1 = ; D2 = 4 0 −2 −6 −7 Bài tập 3.3 Viết ma trận phụ hợp C = Cof (A) ma trận A sau kiểm tra lại công thức: AC T = (detA)I       2 −1 −2  a A =  ; b A =  ; c.A =  −1 Bài tập 3.4 Chứng minh rằng: ′ ′ ′ a11 + a11 a12 + a12 · · · a1n + a1n a21 a22 ··· a2n an1 an2 ··· ann ′ = ′ ′ a11 a12 · · · a1n a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n a21 a22 · · · a2n + an1 an2 · · · ann an1 an2 · · · ann 0 0 Chương ĐỊNH THỨC 10 Bài tập 3.5 Tính định thức ma trận sau:   a.A =    d.D =  4 a b a+b    ;   b a+b a+b a  a b  b.B =    −5 a e.E =  a + x a+y Bài tập 3.6 Tính định thức sau đây: a 1−λ 2 1−λ 3 1−λ b  −2 −5   1  −4 −4  b c b + x c + x ; b+y c+y   c.C =    f.F =   −3 −5   −4 −2  −1  a + b ab a2 + b2 b + c bc b2 + c2  c + a ca c2 + a2 2−λ 0 2−λ −1 ; c −2 − λ −1 −1 − λ −2 − λ 2 2−λ Bài tập 3.7 Tìm t để ma trận sau khả nghịch cách tính định thức       t−2 t−1 −3 t + −1 t + −2 ; b  −3 t + −3 ; c  t−5  a  0 t−4 −6 t−4 −6 t + Bài tập 3.8 Chứng minh rằng: a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a a1 b1 a1 x + b1 y + c1 a2 b2 a2 x + b2 y + c2 a3 b3 a3 x + b3 y + c3 = b a1 + b1 x a1 − b1 x c1 a2 + b2 x a2 − b2 x c2 a3 + b3 x a3 − b3 x c3 a1 b1 c1 = −2x a2 b2 c2 a3 b3 c3 a bc c b ca c ab = (b−a)(c−a)(c−b) Bài tập 3.9 Tìm ma trận nghịch đảo cách ( phương pháp lập ma trận khối (A|In ) phương pháp ma trận phụ hợp A−1 = (Cof (A))T ): detA         1 1 1 1 2 3    1 −1 −1  ; D =  1 −1 −1  A =  −1 ; B =  ; C =   −1 −1   −1 0  −1 −1 −1 0 −1 Bài tập  3.10 2x1    x1 a x1    2x1  2x1    5x1 c 3x1    2x1 Không giải hệ phương trình, tìm nhanh x2 hai cách 5x1 − x2 + + x2 + x3 =    3x1 − 2x2 + + 3x2 + x3 = b 3x + x2 + 5x3 = −7  + 2x2 +   2x1 − x2 + + 3x2 − 3x3 = 14  − x2 + x3 − 3x4 = −x1 + x2 +    − x2 + x3 − 2x4 = 2x1 + 2x2 + d + 2x2 + 2x3 − 3x4 = 3x1 + x2 +    − 3x2 + 3x3 − 7x4 = 4x1 + 2x2 + x3 2x3 2x3 x3 − − + − 2x4 3x4 5x4 3x4 = = = −6 = x3 x3 2x3 3x3 + x4 + 3x4 + 2x4 + x4 = = = = −5 45 Bài tập 4.23 a dim W = b dim W = c dim W = d dim W = e dim W = f dim W = Bài tập 4.24 Giả sử E không gian M(3, 3) cần tìm số chiều a dim E = b dim E = c dim E = Bài tập 4.25 a dim U = b dim U = Bài tập 4.26 a + Ta có U = Sp{(1; 0; 0; 0), (0; 2; 1; 0); (0; −1; 0; 1)} nên U không gian R4 + Ta có W = Sp{(1; 0; 0; 1), (0; 2; 1; 0)} nên W không gian R4 b + Cơ sở U (1; 0; 0; 0), (0; 2; 1; 0), (0; −1; 0; 1) dim U = + Cơ sở W (1; 0; 0; 1), (0; 2; 1; 0) dim W = + Cơ sở U ∩ W       −2 1 0 −1 0 Ta có C =  0 −1  →  −2  →  −2  −2 0 0 0 Vậy sở U ∩ W {(0; 2; 1; 0)} Bài tập 4.27 a Đặt P = {(x1 ; x2 ; x3 ) : x1 +3x2 +4x3 = 0} ⇒ Cơ sở P S = {(−3; 1; 0); (−4; 0; 1)} + Chọn (1; 0; 0) ∈ R3 ∈ P Khi đó, {(−3; 1; 0); (−4; 0; 1), (1; 0; 0)} sở R3 b Đặt P = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) : x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0} ⇒ Cơ sở P S = {(−1; 1; 0; 0); (−2; 0; 1; 0), (−1; 0; 0; 1)} + Chọn (1; 0; 0; 0) ∈ R4 ∈ P Khi đó, {(−1; 1; 0; 0); (−2; 0; 1; 0), (−1; 0; 0; 1), (1; 0; 0; 0)} sở R4 Bài tập 4.28 a E = Sp{(x2 − 4)(x2 + 1); (x2 − 4)x} nên E không gian P4 [x] b Tìm dim E = Bài tập 4.29  ∈ E  (0; 0; 0) a E không gian R ⇔ ∀u, v ∈ E ⇒ u + v ∈ E ⇔ m =  ∀α ∈ R, ∀u ∈ E ⇒ αu ∈ E Chương ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI 46 b Tìm dim E = Bài tập 4.30   E = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 :  x1 x2 x3 2 =0 = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 − x3 = = = Sp{(1; 0; 1), (0; 1; 0)}    ⇒ E không gian R3 Cơ sở E {(1; 0; 1), (0; 1; 0)} dim E =    Bài tập 4.31 a −4 ;    ; b −1 Bài tập 4.32 a x = (−1; −5; 9)    c −2 ; b x = (0; 1; −5)    d   a+b a−b    ;      e.    c.p(x) = + 6x + 2x2 Bài tập 4.33 a Vì dim P2 [x] = nên để {p1 , p2 , p3 } trở thành sở P2 [x] ta cần điều kiện để {p1 , p2 p3 } độc lập tuyến tính ⇔ α1 p1 + α2 p2 + α3 p3 = ⇒ α1 = α2 = α3 = (1)     1 1 1      → −m −m Ta có A =      0 −2 + m −1 −3 (1) xảy ⇔ r(A) = ⇔ −2 + 2m = ⇔ m = b p(x) = α1 p1 + α2 p2 + α3 p3     0 −1 1     →  −2 A∗ =      0 1 −1 −3 ⇔ p(x) = −p1 + 3p2 + p3 Bài tập 4.34       −1   E = Sp   ,  −2  ,     −3  −4        Cơ sở E , −2  dim E =   −3 −4 47 Bài tập 4.35 a Vì dim P3 [x] = mà B có véc tơ nên ta cần chứng minh B độc lập tuyến tính B tập sinh Ta chứng minh B = {1, − x, (1 − x)2 , (1 − x)3 } tập sinh P3 [x] Lấy p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ P3 [x], giả sử có α1 + α2 (1 − x) + α3 (1 − x)2 + α4 (1 − x)3 = a + bx + cx2 + dx3 ⇔ (α1 +α2 +α3 +α4 )+(−α2 −2α3 −3α4 )x+(α3 +3α4 )x2 −α4 x3 = a+bx+cx2 +dx3   α +α +α +α = a α1 = a + b + c + d       −α2 −2α3 −3α4 = b α2 = −b − 2c − 3d ⇔ ⇔ α3 +3α4 = c α3 = c + 3d       −α4 = d α4 = −d ⇒ a+bx+cx2 +dx3 = (a+b+c+d).1+(−b−2c−3d)(1−x)+(c+3d)(1−x)2 −d(1−x)3 ⇒ B = {1, − x, (1 − x)2 , (1 − x)3 } tập sinh P3 [x] Vậy B = {1, − x, (1 − x)2 , (1 − x)3 } sở P3 [x] b Áp dụng kết câu a ta suy (u)B = (−4; 11; −7; 2) Bài tập 4.36 Tự chứng minh Tương tự 4.38 Bài tập 4.37 PB,C     −1    1 ⇒ [x]C =  = −1 −2  −3    −1  Bài tập 4.38 a PE ,B =    −6 −2 Bài tập 4.39 a PB,C = −1 1 Bài tập 5.1 a f ánh xạ tuyến tính Tự chứng minh c f ánh xạ tuyến tính Tự chứng minh e f không ánh xạ tuyến tính Tự giải thích g f ánh xạ tuyến tính Tự chứng minh Bài tập 5.2  1     b PB,E =    b PB,C   0 =  0 b f không ánh xạ tuyến tính Tự giải thích d f ánh xạ tuyến tính Tự chứng minh f f ánh xạ tuyến tính Tự chứng minh h f không ánh xạ tuyến tính Tự giải thích Chương ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI 48 a Tự chứng minh, Kerf = {0} Imf = Sp{x2 , x2 + x, 2} a 0 −2a b Tự chứng minh, Kerf = , a ∈ R Imf = Sp c Tự chứng minh, Kerf = {p(x) ∈ Pn [x]| b −b d Tự chứng minh, Kerf = 0 , 0 , an a2 a1 + · · · + + + a0 = 0} Imf = R n+1 , b ∈ R Imf = Sp 0 , 1 , e Tự chứng minh, KerT = {0} Imf = F Bài tập 5.3 a Tự chứng minh b Giả sử: x y z t A= a b b c ;B = c Tự chứng minh d KerT = b −b Bài tập 5.4 f (p) =  a y ⇒A= c ,y ∈ R b−y  ,b ∈ R a − b + c a + b + c Bài tập 5.5 a Tự chứng minh b Cơ sở Kerf {(3; −1; 1)} dim Kerf = Bài tập 5.6 a Cơ sở KerT {(1; −2; 1; 0)T , (−7; 3; 0; 1)T } dim KerT = b Cơ sở ImT {(1; 1; 3)T , (2; 3; 8)T } dim ImT = Bài tập 5.7 a Cơ sở KerT {(1; 2; −1)} dim KerT = b Cơ sở ImT {(1; 3; −2), (2; 5; −1)} dim ImT = Bài tập 5.8 0 0 49 a Tự chứng minh, Kerf = a b c 0 , a, b, c ∈ R b Tự chứng minh, Kerf = {A ∈ M(3, 3)|a11 + a22 + a33 = 0} c Tự chứng minh,Kerf = b −b ,b ∈ R Bài tập 5.9 Tự chứng minh Bài tập 5.10 a x1 = −3 x2 = Bài tập 5.11 a (24; −26) Bài tập 5.12 a A = Bài tập 5.13 a A = 1 −1 2t −4t 1t 2t b x1 = −2 x2 = b (−19; 4) c (−15; −5)   1 b A =  1  0 với t ∈ R Bài tập 5.14 d (802; −477; 398; 57) c A = 1   0 b A =  3t 3t  với t ∈ R 5t 5t a Tự chứng minh Cơ sở f (E) {(−1; 3; 2), (−1; 1; 1)}, dim f (E) = −2 , dim f (E) = b Tự chứng minh Cơ sở f (E) c Tự chứng minh Cơ sở f (E) {2x + 1, x2 + x + 2}, dim f (E) = Bài tập 5.15 a f đơn ánh, f toàn ánh b f song ánh c f đơn ánh, toàn ánh d f đơn ánh, f toàn ánh e f đơn ánh, f toàn ánh Bài tập 5.16 a Cơ sở Kerf {(−1; 1; 0)} sở Imf {(1; 0), (0; 1)} b Kerf = {(0; 0; 0)} nên Kerf sở sở Imf {(0; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0} Chương ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI 50 c Cơ sở Kerf −1 0 , −1 , −1 0 sở Imf {1} d Kerf = {0} nên Kerf sở sở Imf {x, x2 } e Cơ sở Kerf {(1; 0; 0), (0; 0; 1} sở Imf {(1; 1; 1)} Bài tập 5.17 a B = {p1 = + 2x, p2 = − x, p3 = −1 + 3x2 } Gọi E = {1, x, x2 } sở tắc P2 [x] Ta xét ánh xạ tọa độ: f : P2 [x] → [R]3 xác định sau pi → [pi ]E Để xét tính độc lập tuyến tính {p1 , p2 , p3 } ta xét tính độc lập {[p1 ]E , [p2 ]E , [p3 ]E } Ta có       −1 [p1 ]E =   , [p2 ]E =  −1  , [p3 ]E =   0 Lập ma trận có cột vectơ E -tọa độ p1 , p2 , p3     −1 −1  →  −7  A =  −1 0 0 Ta có r(A) = nên ta suy {[p1 ]E , [p2 ]E , [p3 ]E } độc lập tuyến tính Vậy B độc lập tuyến tính b Tương tự, B độc lập tuyến tính c Tương tự, B độc lập tuyến tính d Tương tự, B phụ thuộc tuyến tính Bài tập 5.18    −2  a Cơ sở Kerf   r(f ) = r(A) =     −2         r(f ) = r(A) = b Cơ sở Kerf  −1       51   −1             c Cơ sở Kerf   −5  r(f ) = r(A) =           Bài tập 5.19 a T đơn cấu toàn cấu c T toàn cấu, đơn cấu Bài tập 5.20 a dim KerD = r(D) = n d dim KerT = r(T ) = Bài tập 5.21 [f ]B,C Bài tập 5.22 [f ]E ,B b T đẳng cấu d T đẳng cấu b dim KerD = r(D) = n e dim KerS = r(S) = c dim Kerf = r(f ) =   = 1  −2  −1 −1  =  −1 −1  Bài tập 5.23 a Tự tìm b Tự chứng minh c [f ]B,E   −1 0  = 1 1 Bài tập 5.24 a m = Kerf = {(0; y; −y), y ∈ R} dim Kerf = b [f ]B,C = 2 Bài tập 5.25 a Tự chứng minh b a = −3 c + Nếu a = −3 f đơn cấu nên Kerf = {(0; 0; 0)} dim Kerf = + Nếu a = −3 Kerf = {(a; a; a), a ∈ R} ⇒ dim Kerf = Bài tập 5.26 Tự chứng minh Kerf = {ax2 − ax, a ∈ R}    [f ]B =  −6 −2  2  Chương ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI 52 Bài tập 5.27 Tự chứng minh Kerf = b 0 ,b ∈ R  1/3 1/3 2/3   −2/3 1/3 2/3 [f ]B =    2/3 2/3 −2/3 0 Bài tập 6.1 a b c d e    s   2   2s + 2t , s + t = Tập véc tơ riêng A ứng với λ = (kép)   t    t    −t  , t = λ =   −2t     −s + t  2   t Tập véc tơ riêng A ứng với λ = (kép) , s + t =   s     t    t ,t = λ =   t    s   2   t Tập véc tơ riêng A ứng với λ = (kép) , s + t =   2s + 2t    t     −3t , t = λ =   −3t     −t  Tập véc tơ riêng A ứng với λ = −1 (bội 3)  −t  , t =   t    s    , s2 + t2 = t Tập véc tơ riêng A ứng với λ = (kép)    −3s + 3t     t  λ =  t  , t =   t Bài tập 6.2 a,d không chéo hóa Bài tập 6.3 b,c chéo hóa       53 a λ1 λ2     1 1 0 =1 , P =  1  D =   =5 1 0      1 0  λ1 = λ2 = , P =  −2 −1  D =   b  λ3 = −3 0 −3 c λ1 λ2     −1 −1 −1 0 =2  D =   ,P = =3 1 0      −5 −3 −5 −1 0  λ1 = −1 d λ2 = , P =  2  D =    λ3 = 1 0 e f λ1 λ2 λ1 λ2     1 1 0 =1 , P =  1  D =   =3 1 0     −2 −2 0 =2  D =   ,P = = −1 1 0 −1 Bài tập 6.4 a Tập véc tơ riêng f ứng với λ1 = {(s − t, s, t), s2 + t2 = 0} λ2 = {(t; t; 0), t = 0}     s    , s = λ2 = b Tập véc tơ riêng f ứng với λ1 =      t    t ,t =   −2t c Tập véc tơ riêng f ứng với λ1 = {ax2 + bx + a, a2 + b2 = 0} λ2 = {ax2 − ax + 2a, a = 0}         Bài tập 6.5 B =   ,   ,  32    0 −72 Bài tập 6.6 B = {(1; −1; 0), (−3; 0; 2); (1; 1; −1)} Chương ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI 54 Bài tập 6.7 Tự chứng   minh −1    −6 −4 [T ]B =    −6 −6 KerT = {0} ⇒ r(T ) = 3 Tự chứng minh C = {x2 + 3x, x + 1, x2 − 4} Bài tập 6.8 Tự chứng   minh −1    −6 −4 [T ]B =    −6 −6 KerT = {0} ⇒ r(T ) = C C Tự chứng minh = {−x2 + x + 3, −x2 + 1, 3x2 + x} = {x2 − x − 3, x + 3, x2 + 2x + 5} Bài tập 6.9 Ta có Ak = P D k P −1 với P ma trận chéo hóa A D dạng chéo A a     −1/4 1/2 1/4 0 −2 −1          1/4 1/2 3/4 −1 Ak = P D k P −1 =      k −1/4 −1/2 1/4 0 1   3/4 + 1/4 5k −1/2 + 1/2 5k 1/4 − 1/4 5k   k k k  −1/4 + 1/4 1/2 + 1/2 1/4 − 1/4 =   k k k 1/4 − 1/4 1/2 − 1/2 3/4 + 1/4 b  −1 −1  (−1)k 0  −1/3 −1/3 2/3         (−1)k  1  Ak = P D k P −1 =    −1/3 2/3 −1/3    1/3 1/3 1/3 0 5k 1  2/3 (−1)k + 1/3 5k −1/3 (−1)k + 1/3 5k −1/3 (−1)k + 1/3 5k  k k = 2/3 (−1)k + 1/3 5k −1/3 (−1)k + 1/3 5k  −1/3 (−1) + 1/3 −1/3 (−1)k + 1/3 5k −1/3 (−1)k + 1/3 5k 2/3 (−1)k + 1/3 5k c  −4 −1 −2  3k 0     k   −1  Ak = P D k P −1 =     0 1  3k − 2 3k − 3k −  k k k =  −1 + −1 + −4 + −3k + −3k + −3 3k + −1 −1 −3             55 Bài tập 7.1 a 5x + 2y − = ′ b 4x − = ′ d y = ′ ′ √ ′ e 2x − y ′ = √ ′ c 4x − 3x′ + 8y ′ = Bài tập 7.2 a Dạng Ellip b Dạng Ellip d Dạng Parabol c.Dạng Hyperbol e Dạng Ellip Bài tập 7.3    x = − √ x′ + √ y ′ 5 a Ta có ′ ′   y= √ x + √ y √ √ ′ ′ ′ ⇒ 9x2 − y + 5x′ − √ 5y + 20 =  X = x′ + Đặt √  Y = y′ + ⇒ 9X − Y = −5 Đồ thị    x = − x′ + y ′ 2 c Ta có ′ ′   y= x + y 2 ′ ′ ⇒ x + 9y − 18y ′ = Đặt X = x′ Y = y′ − ⇒ X + 9Y = Đồ thị f Dạng Hyperbol    x = x′ − y ′ 2 b Ta có ′ ′   y= x + y 2 ′2 ′2 ⇒ 2x + 8y − 16x′ − 16 = Đặt X = x′ − Y = y′ ⇒ X + 4Y = 24 Đồ thị    x = − √ x′ + √ y ′ 10 10 d Ta có ′ ′   y= √ x + √ y 10√ 10 √ ′2 ′ ′ ⇒ 10x + 10x + 10y − =   X= x′ + √ Đặt 10  Y = √10y ′ − ⇒ X2 = − Y Đồ thị Chương ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI 56 Bài tập 7.4 a - hình b - hình f - hình g - hình 10 c - hình h - hình d - hình i - hình e - hình j - hình Bài tập 7.5 x2 y + = 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 5, bán trục nhỏ 25 3, đỉnh A1 (−5; 0), A2(5; 0), B1 (0; −3), B2 (0; 3), tiêu điểm F1 (−4; 0), F2 (4; 0) a Ellip có phương trình y2 x2 + 15 = 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 45 √ √ 15 5; 0), A (3 5; 0), B1(0; − 15 , đỉnh A (−3 ), B2 (0; 15 ), 2 2 b + z = 1: Ellip có phương trình √ 5, bán trục nhỏ tiêu điểm F1 (− 75 ; 0), F2 ( 75 ; 0) √ y2 x2 + = 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 2, +z = 2: Ellip có phương trình √ √18 √ √ √ 3, đỉnh A (−3 2; 0), A (3 2; 0), B (0; − 3), B (0; 3), tiêu điểm bán trục nhỏ 2 √ √ F1 (− 15; 0), F2 ( 15; 0) c + z = 0: Tập rỗng x2 y + = ⇒ O(0; 0) 36 √ x2 y2 + z = Ellip có phương trình + = 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục lớn 3, √ √ √12 √ √ bán trục nhỏ 2, đỉnh A (−2 3; 0), A (2 3; 0), B (0; − 2), B (0; 2), tiêu điểm 2 √ √ F1 (− 10; 0), F2 ( 10; 0) + z = 2: Phương trình y2 x2 − = 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục thực 4h h |h|, bán trục ảo |h|, đỉnh A1 (0; − |h|), A2 (0; |h|), tiêu điểm F1 (0; − |5h|), F2 (0; |5h|), tiệm cận y = ±2x x + h = 0: Hai đường thẳng cắtt có phương trình y = ± d + h < 0: Hyperbol có phương trình 57 x2 y2 +h > 0: Hyperbol có phương trình − = 1, tọa độ tâm (0; 0), bán trục thực h √ √ √ √ 4h √ √ h, bán trục ảo h, đỉnh A1 (−2 h; 0), A2 (2 h; 0), tiêu điểm F1 (− 5h; 0), F2 ( 5h; 0), x tiệm cận y = ± Bài tập 7.6 a b Hình 7.1: Mặt trụ tròn c Hình 7.3: Mặt trụ hyperbol e Hình 7.5: Mặt Paraboloit elliptic Hình 7.2: Mặt Hypeboloid tầng d Hình 7.4: Mặt Ellipxoit f Hình 7.6: Mặt Hyperboloit tầng Chương ĐƯỜNG BẬC HAI PHẲNG VÀ MẶT BẬC HAI 58 g Hình 7.7: Mặt Paraboloit Hyperbolic i Hình 7.9: Mặt Nón Ellip Bài tập 7.7 h Hình 7.8: Mặt Trụ Parabol j Hình 7.10: Mặt Hyperboloid tầng Tài liệu tham khảo [1] Bùi Xuân Hải - Trần Nam Dũng - Trịnh Thanh Đèo - Thái Minh Đường - Trần Ngọc Hội , Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia TPHCM, (2001) [2] Hồ Hữu Lộc, Bài tập Đại số tuyến tính, Đại học Cần Thơ, (2005) [3] Ngô Thu Lương - Nguyễn Minh Hằng, Bài tập Toán cao cấp tập 2, NXB Đại học Quốc Gia TPHCM, (2000) [4] Nguyễn Viết Đông - Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ, Bài tập Toán cao cấp tập 2, NXB Giáo Dục, (2000) [5] Tống Đình Quỳ - Nguyễn Cảnh Lương, Giúp ôn tập tốt TOÁN CAO CẤP tập 4, NXB Đại học Quốc Gia HÀ NỘI, (2000) [6] http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers/2318 59 [...]... là ImT = Sp triệt của T là KerT = Sp 1 1 b Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T : R2 → R3 sao cho khônggian  triệt   0  1 của T là KerT = Sp và không gian ảnh của T là ImT = Sp  3  −1   5 Bài tập 5.14 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính Chứng minh f (E) là không gian con của không gian W, sau đó tìm cơ sở và số chiều của f (E) trong mỗi trường hợp sau: a f : R3 → R3 , f (x1 ; x2 ;... dụng tính chất của ánh xạ tọa độ, hãy xác định tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của mỗi tập các đa thức sau: a B = {p1 = 1 + 2x, p2 = 3 − x, p3 = −1 + 3x2 } b B = {p1 = 1 − 2x2 − 3x3 , p2 = x + x3 , p3 = 1 + 3x − 2x3 } 25 c B = {p1 = 1 + x3 , p2 = 3 + x − 2x2 , p3 = −x + 3x2 − x3 } d B = {p1 = (1 − x)3 , p2 = (2 − 3x)2 , p3 = 3x2 − 4x3 } Bài tập 5.18 Không gian triệt của ánh xạ tuyến tính. .. của ánh xạ tuyến tính T : [R]n → [R]m tương ứng, xác định bởi công thức sau: a T : [R]2 → [R]2 , T x1 x2 = 2x1 + x2 x1 − x2 Chương 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 24     x1 x1 + x2 + x3  x1 + x2 b T : [R]3 → [R]3 , T  x2  =  x3 x1   x1 c T : [R]3 → [R]1 , T  x2  = x1 + x2 + x3 x3 Bài tập 5.13 a Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T : [R]2 → [R]2 sao cho không gian 2 2 và không gian ảnh của... 1 2x1 + 3x2 + kx3 = 3  x1 + kx2 + 3x3 = 2 Xác định giá trị của k sao cho: a Hệ có nghiệm duy nhất b Hệ không có nghiệm c Hệ có vô số nghiệm Bài tập 3.18 Cho hệ phương trình:   kx1 + x2 + x3 = 1 x1 + kx2 + x3 = 1  x1 + x2 + kx3 = 1 Xác định giá trị của k sao cho: a Hệ có nghiệm duy nhất b Hệ không có nghiệm c Hệ có vô số nghiệm Bài tập 3.19 Cho phương trình  1  2 3 ma trận sau:    2 λ −1 7 2λ... hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] với phép cộng hai hàm số và phép nhân một số thực với một hàm số Bài tập 4.2 Xác định mỗi tập sau có phải là không gian con của M(n, n) không? Tại sao?(Ký hiệu M(n, n) là không gian vectơ các ma trận cỡ n × n) a Tập hợp A tất cả các ma trận tam giác trên cỡ n × n b Tập hợp B tất cả các ma trận chéo cấp n c Tập hợp C tất cả các ma trận bậc thang cỡ n × n... và K là hai không gian con của không gian vectơ V Ta gọi tổng giao của các không gian con H và K tương ứng là: H ∩ K = {v ∈ V : v ∈ H và v ∈ K} H + K = {v + w : v ∈ H và w ∈ K} a Chứng minh rằng H + K và H ∩ K là những không gian vectơ con của V b Cho ví dụ, chẳng hạn khi V = R2 , để chứng tỏ hợp của hai không gian con nói chung không phải là không gian con (Hợp của hai không gian con được hiểu theo... 0), (3; 1; 5; 2)} f Sp(S) với S = {1 + 2x − x2 , 1 − x + x2 + x3 , 1 + 2x − x3 } Bài tập 4.24 Tìm số chiều của các không gian con của M(3, 3) sau đây: a Không gian con các ma trận chéo b Không gian con các ma trận đối xứng c Không gian con của các ma trận tam giác trên Bài tập 4.25 Tìm số chiều mỗi không gian con của P5 [x] sau đây: a U = {(1 + x2 )p : p ∈ P3 [x]} b U = {p ∈ P3 [x] : p(−x) = −p(x)∀x}... Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang C với: a B = {b1 = (1; 1), b2 = (1; 0)} và C = {c1 = (0; 1), c2 = (1; 1)} b B = {b1 = (1; 0; 1), b2 = (1; 1; 0), b3 = (0; 1; 1)} và C = {c1 = (0; 1; 1), c2 = (1; 1; 0), c3 = (1; 0; 1)} Chương 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài tập 5.1 Cho mỗi ánh xạ sau đây, hãy chứng minh nó là ánh xạ tuyến tính hoặc chỉ ra tại sau nó không phải là ánh xạ tuyến tính a f : R2 → R, f (x, y) =... 0) = (0; −2), T (0; 0; 1) = (−1; 1) d T : P2 [x] → P2 [x], T (x2 ) = x2 + 3, T (x) = 2x2 + 4x − 1, T (1) = 3x − 1 Bài tập 5.20 Bằng cách xét số chiều của không gian triệt hay không gian ảnh, hãy xác định số chiều của không gian triệt và hạng của mỗi ánh xạ tuyến tính sau đây: a D : Pn [x] → Pn − 1[x], D(p) = p , ∀p ∈ Pn [x] (D là phép lấy đạo hàm) ′ b D : Pn [x] → Pn [x], D(p) = p , ∀p ∈ Pn [x] ′ c f... tập 5.21 Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 được cho bởi f (e1 ) = 2e1 − e3 và f (e2 ) = e2 + e3 Hãy tìm ma trận biểu diễn f đối với cặp cơ sở B = {e1 − e2 , e1 + e2 } và C = {e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 } Chương 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 26 Bài tập 5.22 Gọi E = {e1 , e2 , e3 } là cơ sở chính tắc của R3 , B = {v1 , v2 , v3 } là cơ sở của không gian vectơ V và f : R3 → V là ánh xạ tuyến tính xác định bởi f