Tiết 17-18-19: § 2. Tích vô hướng của hai véc tơ: I/ MỤC ĐÍCH YÊU CẦU: 1) Kiến thức: - Học sinh nắm được định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ và các tính chất của tích vô hướng. - Học sinh biết sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng để tính độ dài của một véc tơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai véc tơ và chứng minh được hai véc tơ vuông góc với nhau. 2) Kỹ năng: - Thành thạo cách xác định góc giữa hai véc tơ, cách tính tích vô hướng của hai véc tơ. - Biết chứng minh hai đường thẳng vuông góc. 3) Tư duy: - Hiểu được định nghĩa góc giữa hai véc tơ, định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ, biết suy luận ra trường hợp đặc biệt, biết áp dụng vào bài tập. 4) Thái độ: - Cẩn thận, chính xác. - Toán học bắt nguồn từ thực tiễn. II/ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC: - Thực tiễn học sinh được biết trong vật lý khái niệm công sinh ra bởi lực và công thức tính công theo lực. - Tranh vẽ xác định góc giữa hai véc tơ. III/ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Phương pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động. IV/ TIẾN TRÌNH BÀI: 1) Ổn định lớp: Sỹ số: Vắng: 2) Kiểm tra bài cũ: 1. Nêu định nghĩa tỷ số lượng giác của góc α (0 0 ≤ α ≤ 180 0 ). 2. Xác định các tỷ số lượng giác của góc α = 60 0 . 3. Nêu nhận xét về dấu của các tỷ số lượng giác. 3) Giảng bài mới: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Hoạt động 1: 1) Góc giữa hai véc tơ: GV nêu định nghĩa góc giữa hai véc tơ, giải thích trên hình vẽ. Định nghĩa: Cho hai véc tơ a và b khác véc tơ không. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các véc tơ bOB,aOA == .Khi đó, số đo của góc ∧ AOB được 39 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh gọi là góc giữa hai véc tơ a và b , ký hiệu là ( ) b,a GV đặt câu hỏi - Cách xác định góc giữa a và b như trên có phụ thuộc vào việc chọn điểm O hay không? Chứng minh, từ đó suy ra cách chọn điểm O cho thuận tiện. b A a a O b B - So sánh ( ) b,a và ( ) a,b - Khi nào ( ) b,a = 0 0 , ( ) b,a = 180 0 ? - Nếu ( ) b,a = 90 0 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, ký hiệu: a ⊥ b Ví dụ: Cho ∆ABC có A = 90 0 , B = 50 0 . Hãy xác định góc giữa hai véc tơ sau: C a) BA và .BC b) AB và .BC c) CA và .CB d) AC và .BC A B Hoạt động 2: 2) Định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ: GV đặt vấn đề: Trong vật lý, nếu một lực F tác dụng lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OO’ thì công A của lực F được tính theo công thức: A =  F   OO'  cosϕ Trong đó  F  là cường độ của lực F tính bằng Niu tơn.  OO'  là độ dài của véc tơ OO' tính bằng mét, ϕ là góc giữa hai véc tơ OO' và F , công A được tính - Học sinh trả lời. - ( ) b,a = ( ) a,b - ( ) b,a = 0 0 khi a  b ; ( ) b,a = 180 0 khi a  b . - Học sinh lên bảng tính. Kết quả như sau: 0 50 )BC ,BA ( = 0 130 )BC ,AB ( = 0 40 )CB ,CA ( = F ϕ O O’ 40 bằng Jun. Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh (không kể đến đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của hai véc tơ OO' và F . Định nghĩa: (SGK). ( ) .b ,a.cosb.a b.a = Ví dụ: Cho ∆ABC đều cạnh a, trọng tâm G. Tính các tích vô hướng sau: GC.GB ,AB.AG ,CB.AC ,AC.AB A .BC.GA ,GA.BG G B M C - Nếu a ⊥ b thì a . b có giá trị như thế nào? - Chiều ngược lại có đúng không? Chứng minh rằng: a ⊥ b ⇔ a . b = 0. Bình phương vô hướng: Tích vô hướng a . a được ký hiệu là ( a ) 2 hay đơn giản là a 2 và gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a . Ta có: a . a = a 2 =  a  2 Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A với AB = AC = a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các tích vô hướng sau: ,BC.AB ,BM.BA ,BC.AM B .CB.BM ,CB.MB ,CA.MA M ( ) AC,AB.cosAC.AB AC.AB =+ . 2 a 2 1 .a 0AB.AC.cos6 2 20 === 2 a - 20AC.CB.cos1 CB.AC 2 0 ==+ . 2 a . 0AG.AB.cos3 AB.AG 2 0 ==+ . 6 a - 20GB.GC.cos1 GC.GB 2 0 ==+ . 6 a 0BG.GA.cos6 GA.BG 2 0 ==+ .BC GA vì0 BC.GA ⊥=+ + a . b = 0. + Đúng, vì nếu a . b = 0 thì a hoặc b bằng .0 hoặc cos( a , b ) = 0. Nếu a hoặc b bằng 0 ⇒ a ⊥ b . Nếu cos( a , b ) = 0 ⇒ ( a , b ) = 90 0 ⇒ a ⊥ b . + Học sinh theo dõi và ghi chép. + Học sinh vẽ hình, xác định góc giữa các cặp véc tơ rồi tính các tích vô hướng. Kết quả: , 4 2a BM.BA 0, BC.AM 2 ==+ ,a - BC.AB 2 = , 4 2a CA.MA 2 = , 4 2a CB.MB 2 = . 2 2a - CB.BM 2 = 41 A C Học sinh suy nghĩ và trả lời: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV đặt câu hỏi: - Khi AB  CD thì AB . CD có giá trị đặc biệt? - Khi AB  CD thì AB . CD có giá trị đặc biệt? - Nếu ( ) b,a nhọn thì giá trị của a . b có tính chất gì? - Nếu ( ) b,a tù thì giá trị của a . b có tính chất gì? Chú ý: * AB  CD thì CD.AB CD.AB = > 0. * AB  CD thì CD.AB CD.AB = < 0. ⇒ AB cùng phương CD thì CD.AB CD.AB = . GV nhấn mạnh lại kiến thức trọng tâm của bài. BTVN: BT4, 5, 6(51). AB . CD = AB.CD. AB . CD = - AB.CD. a . b > 0. a . b < 0. Những lưu ý, kiến nghị, bổ sung, sửa đổi sau tiết giảng: Lớp: Đối tượng học sinh: Nội dung 42 Tiết 18: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh I. ỔN ĐỊNH LỚP: Sỹ số: Vắng: II. KIỂM TRA BÀI CŨ: - Định nghĩa góc giữa hai véc tơ. - Định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ – bình phương vô hướng của hai véc tơ. - Làm BT4(51). III. NỘI DUNG BÀI GIẢNG: Hoạt động 3: 3) Các tính chất của tích vô hướng: GV yêu cầu học sinh: - Phát biểu các tính chất của hai số thực. - Dự đoán tính chất nào cũng đúng cho tích vô hướng của hai véc tơ. - Hãy chứng minh các tính chất đúng và chỉ rõ các tính chất sai (vì sao?). GV chính xác hóa. Định lý: Với mọi véc tơ a , b , c và mọi số thực k, ta có: 1) Tính chất giao hoán: a . b = b . a . 2) Tính chất phân phối: a ( b + c ) = a . b + a . c . a ( b - c ) = a . b - a . c . 3) Tính chất kết hợp: (k a ) b = k( a . b ). GV yêu cầu học sinh tính: ( ) ? b a 2 =+ ( ) ? b a 2 =− ( )( ) ? b ab a =−+ GV chính xác hóa. GV: Với hai số thực a và b bất kỳ, ta luôn có: (a.b) 2 = a 2 .b 2 . Vậy với hai véc tơ a , b bất kỳ thì đẳng thức: ( a . b ) 2 = a 2 . b 2 có đúng không? Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD. Học sinh trả lời. Hai học sinh lên bảng. Các học sinh khác nhận xét bài của bạn. Học sinh suy nghĩ trả lời. đẳng thức: ( a . b ) 2 = a 2 . b 2 chỉ đúng khi a , b cùng phương. A B D 43 a) CMR: AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 = 2 BD.CA . b) Từ câu a) hãy CMR: điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góclà tổng các bình phương của các cặp cạnh đối diện bằng nhau. C Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Giải: a) GV hướng dẫn học sinh chứng minh. b) Từ câu a) có ngay: 0 BD.CA BDCA =⇔⊥ .AD BC CD AB 2222 +=+⇔ Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a và số k 2 . Tìm tập hợp những điểm M sao cho MB.MA = k 2 Hướng dẫn giải: GV hướng dẫn học sinh lập luận, từ MB.MA = k 2 ⇔ MO 2 – a 2 = k 2 ⇔ MO 2 = a 2 + k 2 . Từ đó suy ra quỹ tích các điểm M. Bài toán 3: Cho hai véc tơ OB ,OA . Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA. CMR: .OB' .OA OB .OA = Hướng dẫn giải: GV lưu ý học sinh giải quyết bài toán trong cả hai trường hợp: .90 AOB và90 AOB 00 ≥< ∧∧ GV yêu cầu học sinh so sánh OB .OA với .OB' .OA GV phát biểu thành công thức hình chiếu. Véc tơ được gọi là hình chiếu của véc tơ trên đường thẳng OA. Công thức OB' .OA OB .OA = được gọi là công thức hình chiếu. B B O B’ A B’ O A Bài toán 4: Cho đường tròn (O, R) và một điểm M cố định, một đường thẳng ∆ thay đổi luôn đi qua M, cắt đường tròn tại hai điểm A, B. CMR: .R - MO MB.MA 22 = Hướng dẫn giải: Sử dụng công thức hình chiếu của MC trên đường thẳng MB (BC là đường kính của đường tròn đã ( ) ( ) BD CB DB AD VT 22 +++= ( ) DB - ACDB2 2BD AD BC 222 +++= 2DB - DBAC.2 2BD AD BC 2222 +++= VP BDCA.2 AD BC 22 =++= (đpcm). M A O B Một học sinh lên bảng. Các học sinh khác theo dõi, nhận xét. Học sinh dựa vào hướng dẫn của GV để chứng minh. Học sinh theo dõi và ghi bài. Học sinh dựa theo gợi ý của GV để chứng minh. 44 cho) ta suy ra được điều chứng minh. Chú ý: 1) 22 R - d MB.MA = nói trong bài toán 4 gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh (O) ký hiệu là P M/(O) và P M/(O) = d 2 – R 2 (d =MO B O C O B C M A A M 2) Khi M nằm ngoài (O), MT là tiếp tuyến của đường tròn thì: P M/(O) = .MT MT 2 2 = 4) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Hoạt động 4: GV: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho các véc tơ )y ,(x b ),y ,(x a 2211 == . Hãy biểu diễn b vàa theo i và j rồi tính ( ) .b,acos ,a ,b .a 2 GV chính xác hóa và đưa ra định lý. Định lý: 1) .yy x x b .a 2121 += 2) .y x a 2 1 2 1 += 3) ( ) ( ) 0 b,a y x.y x yy xx b,acos 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 ≠ ++ + = 4) a ⊥ b ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0. GV nêu các ví dụ. Ví dụ 1: Cho a = (1, 2), b = (-1, m). a) Tìm m để a ⊥ b . b) Tìm độ dài của a và b , tìm m để  a  =  b . Ví dụ 2: Cho A(1, 1), B(3, 1), C(1, 4). a) CMR: ∆ABC vuông và tính chi vi ∆ABC. b) Tính cosC theo hai cách. Học sinh dựa vào tính chất của tích vô hướng của hai véc tơ đưa ra kết quả. a) a ⊥ b ⇔ 1.(-1) + 2m = 0 ⇔ m = . 2 1 b) +  a  = ,5 2 1 22 =+ m 1 b 2 += + a  =  b  ⇔ 5 = 1 + m 2 ⇔ m = ± 2. a) 3) (0, AC 0), (2, AB ==+ 0 90 A AC AB 0 0.3 2.0 AC. AB =⇒⊥⇒=+=+ ⇒ ∆ABC vuông tại A. + AB = 2, AC = 3, BC = 13 ⇒ chu vi ∆ABC là: 5 + 13 . b) + Cách 1: ∆ABC vuông tại A 45 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV yêu cầu học sinh đưa ra công thức tính AB . với A(x, y), B(x’, y’). GV nhấn mạnh lại kiến thức trọng tâm của bài. BTVN: BT7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14(52). ⇒ cosC = . 13 133 13 3 CB CA == + Cách 2: . 13 133 133. 9 0 CA.CB CB.CA cosC = + == + Học sinh tính tọa độ của AB từ đó súy ra công thức tính AB . Những lưu ý, kiến nghị, bổ sung, sửa đổi sau tiết giảng: Lớp: Đối tượng học sinh: Nội dung 46 Tiết 19: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh I. Ổn định lớp: Sỹ số: Vắng: II. KIỂM TRA BÀI CŨ: - Phát biểu các tính chất của tích vô hướng. - Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. - Phương tích của điểm M đối với đường tròn tâm O bán kính R. BÀI MỚI: Bài tập 4: Trong trường hợp nào thì tích vô hướng a . b có giá trị dương, có giá trị âm, bằng 0? Bài tập 5: Cho tam giác ABC, tổng các góc ( ) ( ) ( ) AB ,CA CA ,BC BC ,AB ++ có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau: 90 0 , 180 0 , 270 0 , 360 0 ? Bài tập 6: Cho tam giác vuông ở A, B = 30 0 . Tính giá trị của các biểu thức sau: . 2 )CB ,AC( tan )BC ,BAsin( )BC ,ABcos( a) ++ ).BA ,CAcos( )BA ,BCcos( )AC ,ABsin( b) ++ Bài tập 7: Cho bốn điểm bất kỳ A, B, C, D. CMR: 0. AB.DC CA.DB BC.DA =++ Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý “Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm”. Bài tập 8: CMR: điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông tại A là .ABBC.BA 2 = Bài tập 9: Cho ∆ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. CMR: 0. CF.AB BE.CA AD.BC =++ Bài tập 10: Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của + Tích vô hướng a . b có giá trị dương, có giá trị âm, bằng 0 khi M nằm ngoài, M nằm trong, M nằm trên đường tròn (O, R). + 360 0 . + Học sinh tính toán: . 2 3 1 a) + . 2 3 2 b) + + Học sinh: - Xen điểm O bất kỳ vào các véc tơ, dùng tính chất phân phối của tích vô hướng để bỏ dấu ngoặc, ta đi đến kết quả. - Áp dụng đẳng thức trên suy ra ba đường cao trong một tam giác đồng quy. + Học sinh: AC.BA BA )AC BA(BA BC.BA 2 +=+= Mà ∆ABC vuông tại A ⇔ 0. AC.BA = Vậy ta có đpcm. + Học sinh: Chú ý vận dụng tính trung điểm của D, E, F (chẳng hạn AC AB AD2 += ) thay vào đẳng thức trên, ta được đpcm. 47 hai đường thẳng AM và BN. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh a) CMR: .BI.BA BI.BN ,AI.AB AI.AM == b) Tính BI.BN AI.AM + theo R. Bài tập 11: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M. Trên a lấy hai điểm A và B, trên b lấy hai điểm D và C đều khác M sao cho MD.MC MB.MA = CMR: Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Bài tập 12: Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a và một số thực k 2 . Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA 2 – MB 2 = k 2 . Bài tập 14: Trong mặt phẳng tọa độ, cho ∆ABC có đỉnh A(-4, 1), B(2, 4), C(2, -2). a) Tính chu vi và diện tích ∆ABC. b) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm H, I, G. + Học sinh: a) Chú ý đến hình chiếu của AB trên đường thẳng AI và áp dụng công thức hình chiếu, ta có được điều cần chứng minh. b) KQ: 4R 2 . + Học sinh: Gọi C và D’ là các giao điểm của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C và đường thẳng b. Ta chứng minh D ≡ D’. + Học sinh: Gọi O là trung điểm của đoạn AB, H là hình chiếu của M trên OB. Lập luận để đi đến k OB.OH4. 2 = Từ đó suy ra H là điểm cố định trên đường thẳng AB không phụ thuộc vào vị trí của M. Vậy tập hợp những điểm M là đường thẳng vuông góc với OB tại H. + Học sinh: a) - Chu vi ∆ABC là: c ABC = ( ) 5 16 + - Diện tích ∆ABC là: S ∆ ABC = 18. b) G(0, 1), .1, 4 1 -I ,1, 2 1 H             Từ đó ⇒ hai véc tơ GI vàGH cùng phương ⇒ H, I, G thẳng hàng. Những lưu ý, kiến nghị, bổ sung, sửa đổi sau tiết giảng: Lớp: Đối tượng học sinh: Nội dung 48 [...]... đường trung tuyến ứng với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c của ∆ABCChứng minh công thức sau đây, gọi là gọi là công thức trung tuyến b2 + c2 a 2 - 2 4 2 2 c + a b2 c 2 + a 2 = 2m 2 ⇒ m 2 = b b 2 4 a 2 + b2 c2 2 2 a 2 + b 2 = 2m c ⇒ m c = - 2 4 + Học sinh: 2 2 b 2 + c 2 = 2m a ⇒ m a = Từ kết quả bài toan 1 suy ra công thức cần chứng minh Hoạt động 4: 4) Diện tích tam giác: Cho ∆ABC, biết AB = c, BC =... AB = AI + IB tính AB2 + AC2 theo a và m AC = AI + IC A B 2 2 Khi đó: AB2 +AC2 = AB + AC = 2m 2 + I a2 2 C + Học sinh: Bài toán 2: Cho hai điểm P, Q phân biệt Tìm tập hợp các điểm M sao cho MP2 + MQ2 = k2, trong đó Gọi I là trung điểm của PQ, đặt PQ = a, theo bài toán 1, ta có: k là hằng số cho trước MP 2 + MQ 2 = 2MI 2 + a2 k2 a2 ⇒ MI 2 = 2 2 4 Từ đây đưa ra kết quả Bài toán 3: Ký hiệu ma, mb, mc lần... Hay CO2 – R2 = CO 2 – R 2 O’ O E ⇔ CE2 = CF2 (Pitago) B Vậy CE = CF F C Bài 12: Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố + Học sinh: định ở bên trong đường tròn đó Hai dây cung thay a) Ta có: O, P cố định và R không đổinên phải đổi AB và CD luôn đi qua P và cùng vuông góc với tính AB2 + CD2 theo R và OP nhau KQ: AB2 + CD2 = 8R2 + 4.OP2 a) CMR: AB2 + CD2 không đổi b) KQ: PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 4R2 b)... CA.AB bằng: a) - 1 ; 2 b) 1 ; 2 c) 3 ; 2 d) - 3 2 d) - 3 2 Đáp án: b) 5b) AB.BC + BC.CA + CA.CB bằng: a) - 1 ; 2 b) 1 ; 2 c) 3 ; 2 61 1 ; cos 2 d) - 1 + tan 2 = co Đáp án: a) Bài 6: ∆ABC có: A = 600, AC = 1, AB = 2 Cạnh BC bằng: a) 3; 3 3 ; 2 b) c) - 3; d) - 3 3 2 Đáp án: a) Bài 7: ∆ABC có: A = 120 0, AC = 1, AB = 2 Cạnh BC bằng: a) 5 + 2 3; b) 5 − 2 3 ; c) - 3; d) - 3 3 2 Đáp án: a) Bài 8: Cho... giác, biết: a) a = 6,3; b = 6,3; C = 540 b) a = 7; b = 23 ; C = 1300 c) b = 32; c = 45; A = 870 a) A = B = (1800 – C) :2 = 630; c = asinC ≈ 5,7 sinA b) a2 = b2 + c2 – 2bccosA ≈ 28 98 ,27 ⇒ a ≈ 53,8 sinB = 56 bsinA ≈ 0,5940 mà B nhọn ⇒ B ≈ 360; a C ≈ 570 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh c) c2 = b2 + a2 – 2bacosC ≈ 784,98 ⇒ c ≈ 28 ,0 sinA = asinC ≈ 0,1916 c mà góc A nhọn nên A ≈ 110; B ≈ 390 +... G vào các véc tơ MA, MA, MA và thay thế VT của biểu thức, khai triển, ta sẽ suy ra được đpcm MA2 + MB2 + MC2 = 3 MG2 + GA2 + GB2 + GC2 b) Tìm tập hợp những điểm M sao cho: 58 MA2 + MB2 + MC2 = k2 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh b) Vận dụng câu a), ta có: GM 2 = [ 1 2 k - ( GA 2 + GB 2 + GC 2 ) 3 ] Từ đó suy ra tập hợp những điểm M Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, gọi N là trung điểm... 37(67): Từ vị trí A người ta quan sát một ∧ AB2 = AH2 + HB2 = 42 + 20 2 = 416 cây cao, biết AH = 4m, BH = 20 m, BAC =450 ⇒ AB ≈ 20 ,4 (m) Tính chiều cao của cây ∧ sin HAB = C HB 20 = ≈ 0,9804 mà A nhọn AB 20 ,4 ∧ ∧ ∧ ⇒ HAB ≈ 79 0 ⇒ ABC ≈ 70 0 ⇒ ACB ≈ 56 0 Trong ∆ABC có: ⇒ BC = A 450 20 ,4.sin450 ≈17,4 (m) sin56 0 Vậy cây cao 17,4 m 4 H BC AB = 0 sin45 sinC 20 B + Học sinh: Bài tập 38(67): Trên nóc một tòa... 600, C = 450 Tỷ số a) 2 ; 2 b) 2; c) 6 ; 2 AB bằng: AC d) 6 3 Đáp án: c) Bài 9: ∆ABC có tổng hai góc ở đỉnh B và C bằng 120 0 và độ dài cạnh BC = a Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: a) a 2 ; 2 b) a; c) a 3 ; 2 d) a 3 3 Đáp án: d) Bài 10: ∆ABC có: AB = 6, BC = 10, CA = 12 Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AM Khi đó AN bằng: a) 75 ; 2 b) 65 ; 2 c) 85 ; 2 d) 95 2 Đáp án: b) Bài 11:... vuông góc với nhau là: - Hai trung tuyến CM và BN vuông góc với b2 + c2 = 5a2 A nhau tại trọng tâm G khi và chỉ khi ∆GCB vuông tại G, hay: M N G B C Bài 10: Cho ∆ABC> CMR: a) cotA = b +c - a ; 4S 2 2 2 a 2 + b2 + c2 b) cotA + cotB + cotC = 4S + Học sinh: Vận dụng định lý sin và hệ quả định lý côsin, tính được: a) cotA = b2 + c2 - a 2 ; 4S b) Làm tương tự, ta có kết quả câu b) Bài 11: Cho hai đường...  y = y0 + tb (a2 + b2 ≠ 0)  x= 2+ t   y = 1 - 2t a) Hãy chỉ ra một véc tơ chỉ phương của ∆ b) Tìm các điểm của ∆ ứng với các giá trị của t + Học sinh: bằng: 0, - 4, 1 /2 a) u (1, -2) c) Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc ∆? b) M1 (2, 1); M2( -2, -7); M3(5 /2; 0) M(1, 3), N(1, -5), P(0, 1), Q(0, 5)  72 u c) M, Q ∈ ∆ còn N, P ∉ ∆ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ví dụ 2: Cho đường thẳng . trung tuyến. . 4 a - 2 c b m 2m c b 22 2 2 a 2 a 22 + =⇒=+ . 4 b - 2 a c m 2m a c 22 2 2 b 2 b 22 + =⇒=+ . 4 c - 2 b a m 2m b a 22 2 2 c 2 c 22 + =⇒=+ Hoạt động. ( ) BD CB DB AD VT 22 +++= ( ) DB - ACDB2 2BD AD BC 22 2 +++= 2DB - DBAC .2 2BD AD BC 22 22 +++= VP BDCA .2 AD BC 22 =++= (đpcm). M A O B Một học sinh lên