ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com LÝ THUYẾT VÀ PHÂN DẠNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI CHƯƠNG III PT HPT CHƯƠNG IV BĐT BPT CHƯƠNG V THỐNG KÊ CHƯƠNG VI LƯỢNG GIÁC NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tập hợp:  Tập hợp khái niệm toán học, thường đặt tên chữ in hoa Ví dụ tập hợp A tập hợp chữ a, b, c Để a phần tử A, ta kí hiệu: a  A đọc a thuộc A Để e không chứa tập A, ta kí hiệu: e  A đọc e không thuộc A hay e không phần tử A  Các phần tử tập hợp thường viết hai dấu ngoặc nhọn "{" "}", cách dấu ";" (nếu có phần tử số) dấu ","  Có hai cách viết tập hợp:  Liệt kê phần tử tập hợp: Ví dụ: Tập hợp B tập hợp số tự nhiên nhỏ viết: B = {0, 1, 2, 3, 4}  Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Ví dụ: Tập hợp B tập hợp số tự nhiên nhỏ viết: B={x  Nx < 4}, N tập số tự nhiên A  Tập hợp minh họa vòng kín (gọi giản c b đồ Ven) a  Một tập hợp có phần tử, có hiều phần tử, có vô số phần tử, phần tử Ví dụ: C = {x} D = {1; 2; 3; ; 100} E = {2; 4; 6; 8; } Tập hơp phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu  Tập hợp con: Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập B A A gọi tập hợp tập hợp B Ví dụ: Tập hợp A = {2; 4; 6; 8} tập hợp B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Các tập hợp số thường sử dụng: N = {0; 1; 2; 3; 4; } N* = {1; 2; 3; 4; } Z: tập hợp số nguyên Q: Tập hợp số hữu tỷ R: Tập hợp số thực NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 10 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com §1 MỆNH ĐỀ I- MỆNH ĐỀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN: Mệnh đề:  Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai  Một câu khẳng định mệnh đề Một câu khẳng định sai mệnh đề sai  Một mệnh đề vừa vừa sai * Chú ý: Người ta thường dùng chữ in hoa P, Q, để kí hiệu cho mệnh đề Ví dụ: Cho mệnh đề P:"4 số chẵn" Mệnh đề chứa biến: Xét câu: "n chia hết cho 3", chưa phải mệnh đề ta không khẳng đònh tính sai  Khi n = ta "4 chia hết cho 3" mệnh đề sai  Khi n = 15 ta "15 chia hết cho 3" mệnh đề Ta gọi P(n): "n chia hết cho 3" mệnh đề chứa biến II- PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ: Cho mệnh đề P Mệnh đề "không phải P" gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P Ta có: P P sai, P sai P III- MỆNH ĐỀ KÉO THEO: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề " Nếu P Q" gọi mệnh đề kéo theo, kí hiệu P  Q Mệnh đề P  Q phát biểu " P kéo theo Q" hay "Từ P suy Q" hay " Vì P nên Q" Mệnh đề P  Q sai P Q sai Các đònh lí toán học mệnh đề thường có dạng P  Q Khi ta nói: P giả thiết, Q kết luận đònh lí; P điều kiện đủ để có Q; Q điều kiện cần để có P NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com IV- MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG: Mệnh đề Q  P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P  Q Nếu hai mệnh đề P  Q Q  P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương Khi ta kí hiệu P  Q (đọc P tương đương Q P điều kiện cần đủ để có Q P Q) Mệnh đề P  Q P Q sai sai trường hợp lại V- KÍ HIỆU  VÀ  :(được sử dụng mệnh đề chứa biến) Mệnh đề chứa kí hiệu , :  Kí hiệu:  (đọc "với mọi")  Kí hiệu:  (đọc "có một" (tồn một) hay "có một" (tồn một))  Mệnh đề:  "Với x thuộc X cho P(x)" kí hiệu " x  X : P( x) "(*) (*) với x0  X ta có P(x0) mệnh đề (*) sai có x0  X cho P(x0) mệnh đề sai  "Tồn x thuộc X cho P(x)" kí hiệu " x  X : P( x) "(**) (**) có x0  X ta có P(x0) mệnh đề (**) sai với x0  X cho P(x0) mệnh đề sai Phủ đònh mệnh đề chứa kí hiệu , :  Phủ đònh mệnh đề" x  X : P( x) " mệnh đề " x  X : P( x) "  Phủ đònh mệnh đề" x  X : P( x) " mệnh đề " x  X : P( x) " LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Mệnh đề  Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai  Một mệnh đề khơng thể vừa đúng, vừa sai Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P  Mệnh đề "Khơng phải P" đgl mệnh đề phủ định P kí hiệu P  Nếu P P sai, P sai P NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com Mệnh đề kéo theo Cho hai mệnh đề P Q  Mệnh đề "Nếu P Q" đgl mệnh đề kéo theo kí hiệu  Mệnh đề P  Q sai P Q sai Chú ý: Các định lí tốn học thường có dạng P  Q Khi đó: – P giả thiết, Q kết luận; – P điều kiện đủ để có Q; – Q điều kiện cần để có P P  Q Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo PQ Mệnh đề QP đgl mệnh đề đảo mệnh đề PQ Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P Q  Mệnh đề "P Q" đgl mệnh đề tương đương kí hiệu P  Q  Mệnh đề P  Q hai mệnh để P  Q Q  P Chú ý: Nếu mệnh đề P  Q định lí ta nói P điều kiện cần đủ để có Q Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Kí hiệu    "x  X, P(x)"  "x  X, P(x)"  Mệnh đề phủ định mệnh đề "x  X, P(x)" "x  X, P(x) "  Mệnh đề phủ định mệnh đề "x  X, P(x)" "x  X, P(x) " Phép chứng minh phản chứng Giả sử ta cần chứng minh định lí: A  B Cách 1: Ta giả thiết A Dùng suy luận kiến thức tốn học biết chứng minh B Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ chứng minh A sai Do A khơng thể vừa vừa sai nên kết B phải Bổ sung Cho hai mệnh đề P Q  Mệnh đề "P Q" đgl giao hai mệnh đề P Q kí hiệu P  Q  Mệnh đề "P Q" đgl hợp hai mệnh đề P Q kí hiệu P  Q P Q  P Q , P Q  P Q  Phủ định giao, hợp hai mệnh đề: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com §2 TẬP HỢP I- KHÁI NIỆM TẬP HP: Tập hợp phần tử:  Tập hợp (còn gọi tập) khái niệm Toán học  Để a phần tử tập A, ta viết a  A (đọc a thuộc A)  Để b không phần tử tập A, ta viết b  A (b không thuộc A) Cách xác đònh tập hợp:  Liệt kê phần tử (viết phần tử hai dấu móc{ })  Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử  Người ta thường minh họa tập hợp hình phẳng bao quanh đường kín gọi biểu đồ Ven B Tập hợp rỗng:  Tập hợp rỗng, kí hiệu , tập hợp không chứa phần tử  Nếu A tập rỗng A chứa phần tử: A    x : x  A II- TẬP HP CON: Nếu phần tử tập A phần tử tập B ta nói A tập hợp B viết A  B (đọc A chứa B) A  B ta viết B  A (đọc B chứa A hay B bao hàm A) Như vậy: A  B  x : x  A  x  B ) A tập B ta viết A  B Ta có: A  B  x : x  A x  B A B AB B A AB Tính chất: a) A  A với tập hợp A b) Nếu A  B B  C A  C c)   A với tập hợp A NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 C B A SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com III- TẬP HP BẰNG NHAU: Khi A  B B  A ta nói tập hợp A tập hợp B viết A = B Như vậy: A = B  (x : x  A  x  B) LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Tập hợp  Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa  Cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập hợp  Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu  Tập hợp – Tập hợp  A  B   x  A  x  B  + A  A, A +   A , A + A  B, B  C  A  C  A  B   A  B B  A  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com §3 CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP I- GIAO CỦA HAI TẬP HP: Tập C gồm phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B gọi giao A B Kí hiệu: C = AB  A  B = {x  x A x  B} x  A x  B  x A B   A B II- HP CỦA HAI TẬP HP: Tập C gồm phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp A B Kí hiệu: C = AB  A  B = {x  x A x  B} x  A x  B  x A B   A B III- HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HP: Tập C gồm phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B Kí hiệu: C = A\B  A\ B = {x  x  A x  B} x  A x  B  x A\ B   A B * Đặc biệt: Khi B  A A\B gọi phần bù B A, kí hiệu C AB B A NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com §4 CÁC TẬP HỢP SỐ I- CÁC TẬP HP SỐ ĐÃ HỌC: Tập hợp số tự nhiên N: N = {0, 1, 2, 3, } N* = {1, 2, 3, } = N\{0} Tập hợp số nguyên Z: Z = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Tập hợp số hữu tỉ Q: a b Q = {a,b  Z , (b  0)} với a b phân số tối giản Số hữu tỉ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn * Công thức đổi số thập phân sang số hữu tỉ: n,(a1a2 an) = n + a1 a a n 10 n  Tập hợp số thực R: Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi số vô tỉ Tập hợp số thực R gồm: số hữu tỉ số vô tỉ Mỗi số thực biểu diễn điểm trục số ngược lại - -2 -1 âm vô cực (-, + kí hiệu - số) Ta có quan hệ: N  Z  Q  R + dương vô cực II- CÁC TẬP HP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R: Khoảng: (a; b) = {x  R, a < x < b} ( a (a;   ) = {x  R, a < x} ( a ) b ) b (  ; b) = {x R, x < b} R = (  ;   ) Mọi số thực R viết: - < x < + Đoạn: [a; b] = {x  R, a  x  b} NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 [ a ] b SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com Nửa khoảng: [a; b) = {x  R, a  x < b} [ a ) b (a; b] = {x  R, a < x  b} ( a ] b [a;   ) = {x  R, a  x} [ a (  ; b] = {x R, x  b} ] b LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Một số tập tập hợp số thực  N*  N  Z  Q  R  Khoảng: (a; b)   x  R a  x  b ; (a; )   x  R a  x ; (; b)   x  R x  b [a; b]   x  R a  x  b  Đoạn: [a; b)   x  R a  x  b ; (a; b]   x  R a  x  b ;  Nửa khoảng: [a; )   x  R a  x ; (; b]   x  R x  b NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Diện tích tam giác S= = = = = 1 aha  bhb  chc 2 1 bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 abc 4R pr (cơng thức Hê–rơng) p( p  a)( p  b)( p  c) Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước Hệ thức lượng tam giác vng (nhắc lại) Cho ABC vng A, AH đường cao  BC  AB2  AC (định lí Pi–ta–go)  AB2  BC.BH , AC  BC.CH  AH  BH CH , AH  AB  AC B A H C  AH BC  AB.AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C Hệ thức lượng đường tròn (bổ sung) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định  Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO2  R2  Nếu M ngồi đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT PM/(O) = MT  MO2  R2 T B A R O M C D NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Đường thẳng y = ax + b: Đồ thò hàm số y = ax + b đường thẳng gọi đường thẳng y = ax + b Hệ số góc đường thẳng: y  d O x  Tang góc  tạo đường thẳng d với trục Ox gọi hệ số góc đường thẳng d k = tan  Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc a Đường tròn:  Đường tròn tâm O, bán kính R hình gồm điểm cách điểm O khoảng R Đường tròn tâm O, bán kính R thường kí hiệu C(O; R) C(O; R) = {M  OM = R}  Tiếp tuyến đường tròn đường thẳng tiếp xúc với đường tròn điểm  Tiếp tuyến đường tròn vuông góc với bán kính tiếp điểm  Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (O; R) khoảng cách từ O đến  bán kính R Tiếp điểm M R Tiếp tuyến đường tròn O Quan hệ hai vectơ:  Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng      u phương v k  R\{0} : u =k v     u  v  u v = NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng: Vectơ u gọi vectơ phương đường   thẳng  u  giá u song song trùng với  Nhận xét:  Nếu u vectơ phương đường thẳng  ku (k ≠ 0) vectơ phương  Do đường thẳng có vô số vectơ phương  Một đường thẳng hoàn toàn xác đònh biết điểm vectơ phương đường thẳng y Vectơ phương đường thẳng u v x O Phương trình tham số đường thẳng: a) Đònh nghóa:  Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  qua điểm M0(x0; y0) nhận vectơ u  (u1; u2 ) x  x  u t làm vectơ phương có phương trình tham số là:  , tR tham số  y  y  u2 t b) Liên hệ vectơ phương hệ số góc đường thẳng:  Nếu đường thẳng  có vectơ phương u  (u1; u2 ) với u1 ≠  có hệ số góc k  u2 u1 Vectơ pháp tuyến đường thẳng:  Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng  n  n vuông góc với vectơ phương  Nhận xét:  Nếu n vectơ pháp tuyến đường thẳng  k n k   vectơ pháp tuyến  Do đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến  Một đường thẳng hoàn toàn xác đònh biết điểm vectơ pháp tuyến NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 y Vectơ pháp tuyến đường thẳng u n O x SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Phương trình tổng quát đường thẳng: a) Đònh nghóa: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  qua điểm M0(x0; y0) nhận n  a; b  làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: a(x - x0) + b(y - y0) = hay ax + by + c = với c = ax0 + by0 Nhận xét: Nếu đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c =  có vectơ pháp tuyến n = (a; b) có vectơ phương u = (-b; a) b) Các trường hợp đặc biệt: Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = (1) c b  Nếu a = (1) trở thành bx + c = hay y   Khi đường thẳng  vuông góc với trục Oy điểm (0; c  b y - ) c b x O c a  Nếu b = (1) trở thành ax + c = hay x =  y Khi đường thẳng  vuông góc với trục Ox điểm c a (  ;0 ) - O  Nếu c = (1) trở thành ac + by = Khi đường thẳng  qua gốc tọa độ O c x a y x O  Nếu a, b, c khác ta đưa (1) dạng x  y  c a a0 c b y b0 - với a0   , b0   Đây phương trình đường thẳng theo đoạn chắn  Đường thẳng cắt Ox Oy M(a0; O) N(0; b0) O c b - c a x Vò trí tương đối hai đường thẳng: Xét hai đường thẳng 1 2 có phương trình tổng quát là: a1x + b1y + c1 = a2x + b2y + c2 = Tọa độ giao điểm 1  nghiệm hệ phương trình: a1 x  b1 y  c1   a2 x  b2 y  c2  (I) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Ta có trường hợp sau: a) Hệ (I) có nghiệm (x0; y0)  cắt  điểm M x0 ; y0  b) Hệ (I) có vô số nghiệm  1 trùng  c) Hệ (I) vô nghiệm  1 song song  Góc hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng 1: a1x+b1y+c1 = 0, 2: a2x+b2y+c2=0 Góc hai đường thẳng 1, 2 kí hiệu (1, 2) Đặt  = (1, 2), ta có: cos  a1a2  b1b2 a12  b12 a22  b22 n1   n2 * Chú ý:    1  2  n1  n2  a1a2 + b1b2 =  Nếu 1 2 có phương trình y = k1x + m1 y = k2x + m2 1  2  k1.k2 = -1 Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  có phương trình ax + by + c = điểm M0(x0; y0) Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu d(M0, ), tính công thức: d M ,    ax  by  c a2  b2 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng  Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng  ta cần xác định điểm M0 ( x0 ; y0 )   VTCP u  (u1; u2 )   x  x  tu 1; PTTS :  y  y  tu  PTCT : x  x0 u1  y  y0 u2 (u1  0, u2  0)  Để lập phương trình tổng qt đường thẳng  ta cần xác định điểm M0 ( x0 ; y0 )   VTPT n  (a; b)  PTTQ : a( x  x0 )  b( y  y0 )  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com  Một số tốn thường gặp: +  qua hai điểm A( x A ; y A ) , B( xB ; yB ) (với x A  xB , y A  yB ): PT : x  xA xB  x A  y  yA yB  y A x y   a b y  y0  k ( x  x ) +  qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): PT : +  qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: PT : Chú ý: Ta chuyển đổi phương trình tham số, tắc, tổng qt đường thẳng  Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta thực sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với d – Xác định I = d   (I hình chiếu M d) – Xác định M cho I trung điểm MM Cách 2: Gọi I trung điểm MM Khi đó:  M đối xứng M qua d   MM   ud (sử dụng toạ độ)  I  d  Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , ta thực sau: – Nếu d // : + Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d – Nếu d   = I: + Lấy A  d (A  I) Xác định A đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A I  Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, , ta thực sau: – Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua I – Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d VẤN ĐỀ 2: Các tốn dựng tam giác Đó tốn xác định toạ độ đỉnh phương trình cạnh tam giác biết số yếu tố tam giác Để giải loại tốn ta thường sử dụng đến cách dựng tam giác Sau số dạng: Dạng 1: Dựng tam giác ABC, biết đường thẳng chứa cạnh BC hai đường cao BB, CC Cách dựng: – Xác định B = BC  BB, C = BC  CC – Dựng AB qua B vng góc với CC – Dựng AC qua C vng góc với BB – Xác định A = AB  AC NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Dạng 2: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường cao BB, CC Cách dựng: – Dựng AB qua A vng góc với CC – Dựng AC qua A vng góc với BB – Xác định B = AB  BB, C = AC  CC Dạng 3: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM  CN – Xác định A đối xứng với A qua G (suy BA//CN, CA// BM) – Dựng dB qua A song song với CN – Dựng dC qua A song song với BM – Xác định B = BM  dB, C = CN  dC Dạng 4: Dựng tam giác ABC, biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC trung điểm M cạnh BC Cách dựng: – Xác định A = AB  AC – Dựng d1 qua M song song với AB – Dựng d2 qua M song song với AC – Xác định trung điểm I AC: I = AC  d1 – Xác định trung điểm J AB: J = AB  d2 – Xác định B, C cho JB  AJ , IC  AI Cách khác: Trên AB lấy điểm B, AC lấy điểm C cho MB   MC VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình: a1x  b1y  c1   a2 x  b2 y  c2  (1)  1 cắt 2  hệ (1) có nghiệm   1 // 2  hệ (1) vơ nghiệm   hệ (1) có vơ số nghiệm   1  2 a1  a1  a1  a2 a2 a2 b1 (nếu a2 , b2 , c2  ) b2 b1  b1  b2 b2 c1 c2 c1 c2 (nếu a2 , b2 , c2  ) (nếu a2 , b2 , c2  ) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta thực sau: – Tìm giao điểm hai ba đường thẳng – Chứng tỏ đường thẳng thứ ba qua giao điểm VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M0 ,  )  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ax0  by0  c a2  b2 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN )   – M, N nằm phía   (ax M  byM  c)(axN  byN  c)  – M, N nằm khác phía   (ax M  byM  c)(axN  byN  c)  Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 2 là: a1 x  b1y  c1 a12  b12  a2 x  b2 y  c2 a22  b22 Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC ta thực sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác ngồi (dựa vào tính chất đường phân giác góc tam giác) Cho ABC với đường phân giác AD phân giác ngồi AE (D, E  BC) ta có: DB   AB AB DC , EB  EC AC AC – Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Cách 2: – Viết phương trình đường phân giác d1, d2 góc tạo hai đường thẳng AB, AC – Kiểm tra vị trí hai điểm B, C d1 (hoặc d2) + Nếu B, C nằm khác phía d1 d1 đường phân giác + Nếu B, C nằm phía d1 d1 đường phân giác ngồi VẤN ĐỀ 4: Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  (có VTPT n1  (a1; b1 ) ) 2: a2 x  b2 y  c2  (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) ) (n , n ) (n1 , n2 )  90 (1 , 2 )   0 180  (n1 , n2 ) (n1 , n2 )  90 n n a1b1  a2 b2 cos(1, 2 )  cos(n1, n2 )   n1 n2 a12  b12 a22  b22 Chú ý: 00   1, 2   900  1  2  a1a2  b1b2   Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì: + 1 // 2  k1 = k2 + 1  2  k1 k2 = –1  Cho ABC Để tính góc A ABC, ta sử dụng cơng thức: cos A  cos  AB, AC   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 AB AC AB AC SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương trình đường tròn có tâm bán kính cho trước: y Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có phương trình là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 M(x; y) R b * Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm gốc tọa độ O có bán kính R là: x2 + y2 = R2 I(a; b) x O a Nhận xét: Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = phương trình đường tròn (C) a2 + b2 - c > Khi (C) có bán kình R = a  b  c Phương trình tiếp tuyến đường tròn: M Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R Tiếp tuyến  điểm M(x0; y0) nằm đường tròn (C) có phương trình: (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = M0 I LÝ THUYẾT & BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm bán kính đường tròn  Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: ( x  a)2  (y  b)2  R2 (C) có tâm I(a; b) bán kính R  Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: x  y2  2ax  2by  c  – Biến đổi đưa dạng ( x  a)2  (y  b)2  R2 – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a2  b2  c Chú ý: Phương trình x  y2  2ax  2by  c  phương trình đường tròn thoả mãn điều kiện: a2  b  c  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) bán kính R (C) Khi phương trình đường tròn (C) là: ( x  a)2  (y  b)2  R2 Dạng 1: (C) có tâm I qua điểm A – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng  – Bán kính R = d ( I ,  ) Dạng 3: (C) có đường kính AB – Tâm I trung điểm AB – Bán kính R = AB Dạng 4: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng  – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I giao điểm d  – Bán kính R = IA Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng  – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Tâm I (C) thoả mãn: I  d d (I , )  IA – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng  điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng  qua B vng góc với  – Xác định tâm I giao điểm d  – Bán kính R = IA Dạng 7: (C) qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 d ( I ,  )  d ( I ,  ) (1) – Tâm I (C) thoả mãn:  d ( I ,  )  IA (2)  – Bán kính R = IA Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định 1 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 2 – Nếu 1 // 2, ta tính R = d (1 , 2 ) , (2) thay bới IA = R Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 có tâm nằm đường thẳng d  – Tâm I (C) thoả mãn: d (I , 1 )  d (I , 2 ) I  d – Bán kính R = d (I , 1 ) Dạng 9: (C) qua ba điểm khơng thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Cách 1: – Phương trình (C) có dạng: x  y2  2ax  2by  c  (*) – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c  phương trình (C) Cách 2: – Tâm I (C) thoả mãn: IA  IB  IA  IC NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com – Bán kính R = IA = IB = IC Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC – Viết phương trình hai đường phân giác hai góc tam giác – Xác định tâm I giao điểm hai đường phân giác – Bán kính R = d ( I , AB ) VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Tập hợp tâm đường tròn Để tìm tập hợp tâm I đường tròn (C), ta thực sau: a) Tìm giá trị m để tồn tâm I b) Tìm toạ độ tâm I Giả sử: I  x  f (m)  y  g(m) c) Khử m x y ta phương trình F(x; y) = d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện m a) để giới hạn miền x y e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm F(x;y)=0 với phần giới hạn d) Tập hợp điểm đường tròn Thực tương tự VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm đường thẳng d: Ax  By  C  đường tròn (C): x  y2  2ax  2by  c  , ta thực sau:  Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R – Xác định tâm I bán kính R (C) – Tính khoảng cách từ I đến d + d (I , d )  R  d cắt (C) hai điểm phân biệt + d (I , d )  R  d tiếp xúc với (C) + d (I , d )  R  d (C) khơng có điểm chung  Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) d (C) nghiệm hệ phương trình:  Ax  By  C   2  x  y  2ax  2by  c  (*) + Hệ (*) có nghiệm  d cắt (C) hai điểm phân biệt + Hệ (*) có nghiệm  d tiếp xúc với (C) + Hệ (*) vơ nghiệm  d (C) khơng có điểm chung NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối hai đường tròn (C1) (C2) Để biện luận số giao điểm hai đường tròn (C1): x  y2  2a1x  2b1y  c1  , (C2): x  y2  2a2 x  2b2 y  c2  ta thực sau:  Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với bán kính R1, R2 +  (C1) cắt (C2) điểm R1  R2  I1I  R1  R2 I1I  R1  R2 +  (C1) tiếp xúc ngồi với (C2) I1I  R1  R2 +  (C1) tiếp xúc với (C2) I1I  R1  R2 +  (C1) (C2) ngồi I1I  R1  R2 +  (C1) (C2)  Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) (C1) (C2) nghiệm hệ phương trình:  x  y  2a x  2b y  c  1  2 x  y  a x  b y  c  2 0 (*) + Hệ (*) có hai nghiệm  (C1) cắt (C2) điểm + Hệ (*) có nghiệm  (C1) tiếp xúc với (C2) + Hệ (*) vơ nghiệm  (C1) (C2) khơng có điểm chung VẤN ĐỀ 6: Tiếp tuyến đường tròn (C) Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng   tiếp xúc với (C)  d (I , )  R  Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M0 ( x0 ; y0 )  (C) –  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT IM0  Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước – Viết phương trình  có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) – Dựa vào điều kiện: d (I , )  R , ta tìm t Từ suy phương trình   Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A( x A ; y A ) ngồi đường tròn (C) – Viết phương trình  qua A (chứa tham số) – Dựa vào điều kiện: d (I , )  R , ta tìm tham số Từ suy phương trình  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §3 PHƯƠNG TRÌNH ELIP Đònh nghóa đường elip:  Cho hai điểm cố đònh F1 , F2 độ dài không đổi 2a lớn F1 F2 Elip tập hợp điểm M mặt phẳng cho: F1M  F2 M  2a  Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm elip Độ dài F1F2  2c gọi tiêu cự elip Phương trình tắc elip: Cho elip (E) có tiêu điểm F1 F2 Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F1(-c; 0), F2(c; 0) Khi phương trình tắc elip (E) có dạng: x2 y2  1 a2 b2 2 c = a A1 với b = a - c M(x; y) A2 O F1 F2 x B1 Hình dạng elip:  (E) có trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng gốc O  (E) cắt trục Ox hai điểm A1(-a;0), A2(a;0) cắt  (E) cắt trục Oy hai điểm B1(0;-b), B2(0;b)  Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi đỉnh elip  Đoạn thẳng A1A2 gọi trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi trục nhỏ elip  Tỉ số B2 b B2 A1 -a F1(-c; 0) A2 F2(c; 0) a O x -b B1 e gọi tâm sai elip Liên hệ đường tròn đường elip: a) Từ hệ thức b  a  c ta thấy tiêu cự elip nhỏ b gần a, tức trục nhỏ elip gần trục lớn Lúc elip có dạng gần đường tròn b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x  y  a Với điểm M(x; y) thuộc đường tòn ta xét điểm M'(x'; y') cho  x '  x  y '  b y (với  a < b < a) tập hợp điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình x ' y'  1 a2 b2 y M(x; y) M'(x'; y') O H x elip (E) Khi ta nói đường tròn (C) co thành elip (E) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0) M  (E )  MF1  MF2  2a (a > c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự Phương trình tắc elip x2 a  y2 b 1 (a  b  0, b2  a2  c2 )  Toạ độ tiêu điểm: F1(c; 0), F2 (c; 0)  Với M(x; y)  (E), MF1, MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M c c x , MF2  a  x a a MF1  a  Hình dạng elip  (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng  Toạ độ đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b)  Độ dài trục: trục lớn: A1 A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b  Tâm sai (E): e c a (0 < e < 1)  Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x   a, y   b (ngoại tiếp elip) Đường chuẩn elip (chương trình nâng cao) a e  Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: x    Với M  (E) ta có: MF1 d ( M , 1 )  MF2 d ( M , 2 ) e (e < 1) VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (E) Đưa phương trình (E) dạng tắc: x2 a2  y2 b2  Xác định a, b, c Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) – Toạ độ đỉnh A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b) c a – Tâm sai e  a e – Phương trình đường chuẩn x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (E) Để lập phương trình tắc (E) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (E) Chú ý: Cơng thức xác định yếu tố (E): c + Các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) a đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b) + b2  a2  c + Các + e VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (E) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y)  (E): MF1  a  c c x , MF2  a  x a a VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF1  MF2  2a  Tập hợp elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a Dạng 2: x2 a2  y2 b2 1 (a > b)  Tập hợp elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ [...]... Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com §1 HÀM SỐ I- ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ: 1 Hàm số Tập xác đònh của hàm số: Nếu với mỗi giá trò của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trò tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x Tập hợp D được gọi là tập xác đònh của hàm số 2 Cách cho hàm số: a) Hàm số cho bằng bảng: Ví dụ: Qng đường đi được y (tính bằng km) và thời...ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com §5 SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ I- SỐ GẦN ĐÚNG: Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng II- SAI SỐ TUYỆT ĐỐI: 1 Sai số tuyệt đối của một số gần đúng: Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì  a  a  a được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a 2 Độ chính xác của một số gần đúng: Nếu  a  a  a  d thì -d ... < 0 và x nhận các giá trò tùy ý ta nói x dần tới - Khi x dần tới + hay - thì x2 dần tới + III- TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ 1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ: Hàm số y = f(x) với tập xác đònh D  là hàm số chẵn nếu  x  D thì -x D và f(-x) = f(x)  là hàm số lẻ nếu  x  D thì -x  D và f(-x) = -f(x) * Chú ý: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ 2 Đồ thò của hàm số chẵn, hàm số lẻ:... chỉ một số y  R  x đgl biến số (đối số) , y đgl giá trị của hàm số f tại x Kí hiệu: y = f(x)  D đgl tập xác định của hàm số  T = y  f ( x) x  D đgl tập giá trị của hàm số 2 Cách cho hàm số  Cho bằng bảng  Cho bằng biểu đồ  Cho bằng cơng thức y = f(x) Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa 3 Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y = f(x)... hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D  Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x)  Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x) Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 1: Tìm tập. .. một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng  Đồ thò của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng y y y = x3 y=x 2 x O x O Đồ thò hàm số chẵn: y = x2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Đồ thò hàm số lẻ: y = x3 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com LÝ THUYẾT & BÀI TẬP 1 Định nghĩa  Cho D  R, D   Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x  D với một và chỉ... trên, nhưng cộng thêm một đơn vò vào chữ số của hàng quy tròn 2 Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính độ chính xác cho trước: Ví dụ: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng biết: a) a = 2841275 với độ chính xác d = 300; b) 3,1463  0,001 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 www.TOANTUYENSINH.com CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1...  a + d Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d, và quy ước viết gọn là a = a  d * Chú ý: Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đạc đôi khi không phản ánh đầy đủ tính chính xác của phép đo đó III- QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG 1 Ôn tập quy tắc làm tròn số: Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0 Nếu chữ số sau hàng quy tròn... Hàm số y = x nghòch biến trên khoảng (-  ;0) và đồng biến trên khoảng (0;+  )  Bảng biến thiên: x - + y 0 + + 0  Đồ thò: Trong nửa khoảng [0; +  ) đồ thò của hàm số y = x y trùng với đồ thò của hàm số y = x Trong khoảng (-  ; 0) đồ thò của hàm số y = x trùng với đồ thò của hàm số y = -x * Chú ý: Hàm số y = x là hàm số chẵn, đồ 1 -1 O 1 x thò của nó nhận Oy làm trục đối xứng LÝ THUYẾT & BÀI TẬP... 2 khi và chỉ khi a = b 2 Các hệ quả: Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghòch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 a 1  2 , a a >0 Hệ quả 2:  Nếu hai số x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y  Nếu hai số x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y Ý nghóa hình học:  Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông