Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích hàm nhiều biến Chương 3: Tích phân kép • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - 0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân kép 0.2 – Tọa độ cực 0.3 – Ứng dụng hình học 0.4 – Ứng dụng học I Định nghĩa, cách tính tích phân kép Cho vật thể (hình trụ cong) giới hạn mặt bậc hai f  f ( x, y ) giới hạn xung quanh đường thẳng song song oz, tựa biên D giới hạn miền D (đóng, bị chặn) Tìm thể tích vật thể I Định nghĩa, cách tính tích phân kép I Định nghĩa, cách tính tích phân kép I Định nghĩa, cách tính tích phân kép I Định nghĩa, cách tính tích phân kép I Định nghĩa, cách tính tích phân kép Cho vật thể giới hạn mặt bậc hai f ( x, y ) giới hạn miền D (đóng, bị chặn) giới hạn xung quanh đường thẳng song song oz, tựa biên D Tìm thể tích vật thể 1) Chia D cách tùy ý thành n miền không dẫm nhau: D1, D2, , Dn Có diện tích tương ứng S D1 , S D2 , , S Dn 2) Trên miền lấy tùy ý điểm M i ( xi , yi )  S Di n 3) Thể tích vật thể: V   f ( M i )  S Di  Vn i 1 4) V  limVn n I Định nghĩa, cách tính tích phân kép Định nghĩa tích phân kép Cho f = f(x,y) xác định miền đóng bị chặn D Tích phân kép f miền D giới hạn (nếu có) n  I   f ( x, y )dxdy  lim   f ( M i )  S Di  n  i 1  D Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích D I Định nghĩa, cách tính tích phân kép Tính chất tích phân kép 1) Hàm liên tục miền đóng, bị chặn, có biên trơn tùng khúc khả tích miền 2) S D   1dxdy D 3)   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy D D 4)   f ( x, y )  g ( x, y ) dxdy   f ( x, y )dxdy   g ( x, y )dxdy D D D 5) Nếu D chia làm hai miền D1 D2 không dẫm lên nhau:  f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy D D1 D2 6) ( x, y )  D, f ( x, y )  g ( x, y )   fdxdy   gdxdy D D Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn x  y  y; x  y  y; y  x 3; x  Diện tích miền D là: S D   dxdy D  /3 6sin    d  rdr  /3  / r2 SD    /2 6sin  2sin   /2 d   16sin  d 2sin  SD    3  /3 III Ứng dụng hình học Để tính thể tích khối  1) Xác định mặt giới hạn bên trên: z  z2 ( x, y ) 2) Xác định mặt giới hạn bên dưới: z  z1 ( x, y ) 3) Xác định hình chiếu  xuống 0xy: D  proxy  V    z2 ( x, y )  z1 ( x, y )  dxdy D Chú ý: 1) Có thể chiếu  xuống 0xz, 0yz Khi mặt phía trên, mặt phía phải theo hướng chiếu xuống 2) Để tìm hình chiếu  xuống 0xy, ta khử z phương trình  III Ứng dụng hình học V     x  y 1 V  (2  x)  ( x  x   y ) dxdy   x  y dxdy x  y 1  x  r cos    y  r sin  Đổi sang tọa độ cực: 2 0  2  r r      d 0   V   d   r  r  dr V 1  Ví dụ 2 Tính thể tích vật thể giới hạn z  x  y ; y  x ; y  1; z  Mặt trên: z  x  y Mặt phía dưới: z  Hình chiếu: D D III Ứng dụng hình học   V   x  y  dxdy D  1  x  D: x  y  1   V   dx  x  y dy 1 x 1  y V    x y   dx  x2 1     x   V    x     x   dx 3    1   88  105 Ví dụ 2 Tính thể tích vật thể giới hạn ( x  1)  y  z; x  z  Mặt phía trên: z  z2 ( x, y )  x  2 z  z ( x , y )  ( x  1)  y Mặt phía dưới: Hình chiếu: khử z phương trình ( x  1)  y  x   x  y  Hình ch  D : x2  y2  V  x  y 1  z2  z1 dxdy Ví dụ 2 Tính thể tích vật thể giới hạn z  x  y  1; x  y  1; mặt tọa độ Mặt phía trên: z  x2  y2  Mặt phía dưới: z  Hình chiếu: tam giác màu đỏ A B 0   tam giaù c  2x 2   y   dxdy Mặt Ví dụ 2 Tính thể tích vật thể giới hạn z   y ; z  y  2; x  1; x  Có thể chiếu xuống 0xy tương tự ví dụ trước Chiếu vật thể xuống 0yz: Mặt phía trên: x  Mặt phía dưới: x  1 x z ể tích vật thể cần tính: z V    x2 ( y, z )  x1 ( y, z ) dydz D D 4 y V   dy  (2  (1))dz 2 y 1 4 y V   3z 1  dy y 2 y  V    y   y dy 1 V  III Ứng dụng hình học Mặt S cho phương trình z = z(x,y), D hình chiếu S xuống 0xy Chia miền D thành n miền D1, D2, , Dn S chia thành mặt S1, S2, , Sn Lấy điểm Pi ( xi , yi ,0)  Di Tương ứng điểm M i ( xi , yi , zi )  Si T mặt tiếp diện với S Mi Ti mảnh có hình chiếu Di Với Di nhỏ ta coi diện tích Ti diện tích gần mảnh Si n S  Sn   S (Ti ) i 1 Gọi i góc hai mảnh Di Ti : S ( Di )  S ( Di )  cos i Ta có i góc pháp tuyến Mi với mặt S trục Oz III Ứng dụng hình học  ' ' Véctơ pháp S Mi : ni  ( f x ( xi , yi ), f y ( xi , yi ), 1) cosi  n S  Sn   i 1   f x' ( xi , yi ) f x' ( xi , yi ) n S  lim   n  i 1     f y' ( xi , yi ) f y' ( xi , yi )     f x' f y'   1   S ( Di )    S ( Di )   Diện tích mặt cong có phương trình z = f(x,y), có hình chiếu xuống mặt phẳn xy D tính cơng thức: 2  f   f  S         dxdy  x   y  D Ví dụ 2 Tính diện tích phần mặt paraboloid z   x  y nằm hình trụ x2  y2  Hình chiếu S xuống 0xy: D : x2  y  2 hương trình mặt S: z   x  y z x'  2 x; z 'y  2 y Diện tích phần mặt paraboloid: S    D 2      dxdy z x' S  x  y 1 z 'y 2 2 0  x  y dxdy   d   4r  r  dr Bài tập Bài tập