To¸n häc Trung t©m lun thi Lun thi ®¹i häc To¸n häc Lun thi ®¹i häc CHINH PHơC CHUY£N §Ị: HÌNH KHƠNG GIAN tHÇY HIÕU LIVE HäC VI£N: T¤I QUỸT T¢M THI §ËU §¹I HäC To¸n häc LUYỆN THI ĐẠI HỌC – ĐẶNG QUANG HIẾU – 0988 593 390 – FACEBOOK: HIẾU LIVE MỤC LỤC HÌNH KHƠNG GIAN STT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Kiến thức Một số cơng thức giải tam giác cơng thức tính diện tích Lý thuyết quan hệ vng góc Các cơng thức tính thể tích khối đa diện PHẦN A: PHẦN NỀN TẢNG PHẦN I: VẼ CHIỀU CAO VÀ GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Dạng 1: Vẽ chiều cao cho trước Bài tốn 1: Góc đường thẳng với mặt phẳng Dạng 2: Mặt phẳng vng góc với đáy Bài tốn 1: Mặt phẳng chứa đỉnh tam giác đều, cân Bài tốn 2: Mặt phẳng chứa đỉnh tam giác vng PHẦN II: VẼ GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Dạng 3: Hai mặt phẳng vng góc với đáy Dạng 4: Các cạnh bên tạo với đáy góc PHẦN III: VẼ KHOẢNG CÁCH Dạng 1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Dạng 2: Khoảng cách hai đường chéo Bài tốn 1: Dạng kẻng song song để xác định khoảng cách Bài tốn 2: Dạng xác định đường vng góc chung PHẦN B: PHẦN TÍNH TỐN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Dạng đề cho cạnh bên Dạng 2: Dạng đề cho góc đường thẳng với mặt phẳng Dạng 3: Dạng đề cho góc hai mặt phẳng Dạng 4: Dạng đề cho tam giác vng S Dạng 5: Chứng minh tính chất đề xác định Bài tốn 1: Dạng đáy hình thang Bài tốn 2: Dạng đáy hình vng, hình chữ nhật KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU Dạng 1: Khi khơng tìm đường vng góc chung Cho ln khoảng cách hai đường thẳng Kẻ song song để tìm khoảng cách Bài tốn 1: Sử dụng phương pháp sole để tính khoảng cách Bài tốn 2: Sử dụng tính chất hình vng, hình chữ nhật Dạng 2: Tìm đường vng góc chung Lời giải chi tiết Trung Tâm Olympia – Uy Tín – Chất Lượng – Tận Tâm  Trang 9 12 13 14 24 17 18 28 28 24 24 28 30 30 31 39 50 59 61 61 65 68 69 69 79 79 94 103 109 Page Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI TAM GIÁC & CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH Hệ thức lượng tam giác vng : Cho ABC vng A có AH  BC ta có :  Định lý Pitago : c2  a  b2 ; BC2  AB2  AC2  a  a '.c;b2  b '.c ; BA2  BH.BC ; CA2  CH.CB  a.b  c.h ; AB AC = BC AH  1 1 1 (Cơng thức khủng bố IS)  2 2;   2 h a b AH AB AC2  h  a '.b' ; AH2 = BH.CH ; AM  BC ; BC  2AM (Đường trung tuyến nửa cạnh huyền) AB BC AB tan C  AC  sin C   ; ; AC BC AC cot C  AB cosC  2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Cơsin: a  b  c  2bc.cos A b  a  c  2ac.cos B c  a  b  2ab.cos C Các cơng thức tính diện tích  Cơng thức tính diện tích tam giác: S 1 h.c  AH.BC (Đáy x chiều cao) 2 1 S  a.b.sin A  a.csin B  b.csin C 2 (Tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa) Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live  Cơng thức tính diện tích liên quan đến đường tròn: Đường tròn ngoại tiếp tam giác tâm O bán kính R: S abc (Tích cạnh chia lần bán kính) 4R Đường tròn nội tiếp tam giác tâm K bán kính r: p abc (nửa chu vi) S  p.r (nửa chu vi x bán kính) Cơng thức Heron: S  p(p  a)(p  b)(p  c)  Cơng thức tính nhanh tam giác đặc biệt: ABC vng A : S  AB.AC x2 ABC cạnh x: S  Chiều cao tam giác đều: h  x b) Cơng thức tính diện tích tứ giác tính chất! (Thường dùng)  Hình vng:  S  AB2  a (Bình phương cạnh)  AC  AB (Đường chéo cạnh bên nhân )  AC  BD (Hai đường chéo vng góc)  OA = OB = OC = OD (O tâm đường tròn ngoại tiếp)  BAC  CAD  ADB  BDC   450 (Đường chéo chia đơi góc vng)  AD / /BC;AB / /DC (các cặp cạnh đối song song) Hình chữ nhật: S  a.b  AB.AD (Chiều dài x chiều rộng) OA = OB = OC = OD (O tâm đường tròn ngoại tiếp) AD / /BC ;  AD  BC AB / /DC  AB  BC (các cặp cạnh đối song song nhau) Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live  Hình thoi:  S  AC.BD  AB2 sin BAD (Tích đường chéo chia 2) (Hoặc bình phương cạnh nhân sin góc xen giữa)  AC  BD (Hai đường chéo vng góc) OA  OC   OB  OD (O trung điểm đường chéo) AC # BD   AD / /BC;AB / /DC (các cặp cạnh đối song song)  Hình bình hành:  S  b.h  AD.BH  a.bsin BAD (Chiều cao x đáy)  (Hoặc tích hai cạnh bên nhân sin góc xen giữa) OA  OC   OB  OD (O trung điểm đường chéo) AC # BD  AD / /BC ;   AD  BC AB / /DC  AB  BC (các cặp cạnh đối song song nhau)  Hình thang thường:  S (a  b).h (AB  CD).AH  2 (S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao)  AB / /CD  Hình thang thường có hai góc vng: (a  b).h (AB  CD).AD  2  AD chiều cao hình thang   Hình thang cân: (Tính chất nhỏ)  S DH  KC  c  b  2c  a DC  2DH  AB Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live c) Cơng thức tính diện tích đường tròn bán kính R : S  R  d d) Cơng thức mặt cầu bán kính R : S  4r  d V 4r 3 Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live LÝ THUYẾT QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) d  a, d  b   a, b  (P)   d  (P) a, b cat   Nếu d vng góc với (P) d vng góc với đường thẳng nằm (P) d  (P)    d  a a  (P)  HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba Q a a  mp(P)  mp(Q)  mp(P)  a  mp(Q) P P (P)  (Q)  (P)  (Q)  d  a  (Q) a  (P), a  d  a Q d P (P)  (Q)  a   a  (R) (P)  (R) (Q)  (R)  Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Q a R Page Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live 3.GĨC TRONG KHƠNG GIAN Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) a góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 a' P Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng b a Q P 4.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: O Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm O H, H hình chiếu điểm O mp(P)) d(O; (P)) = OH P Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: a Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) P H O H d(a;(P)) = OH 3.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB a A b B Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live CÁC CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: h V= B.h B B : dien tich day với  h : chieu cao a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước a b) Thể tích khối lập phương: a V = a3 c a b với a độ dài cạnh a THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V= Bh B : dien tich day với  h : chieu cao Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm h B Page Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live S TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: C' A' Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: A B' C B VSABC SA SB SC  VSA'B'C' SA ' SB' SC' (Lưu ý: Chỉ với hình chóp đáy tam giác) PHẦN I: THỂ TÍCH HÌNH CHĨP THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: 1 VS.ABCD  b.h  SH.SABCD 3  b : diện tích đáy với   h : chiều cao LƯU Ý: Cần tính chiều cao diện tích đáy CÁC BƯỚC VẼ HÌNH! (Khi đọc hình phải biết đầy đủ đề rùi) - Bước 1: Vẽ đáy Bước 2: Xác định chân đường cao (điểm H) - Sẽ có dạng để vẽ Bước 3: Từ chân đường cao vẽ thẳng lên Bước 4: Lấy điểm đường cao rùi nối Bước 5: Tìm thơng tin góc đường thẳng với mặt phẳng, góc hai mặt phẳng (Sẽ học mẹo) Bước 5’: Vẽ khoảng cách (sẽ học mẹo) Bước 6: Điền đầy đủ thơng tin (vng góc, góc, độ dài cạnh)  Bước 7: Giải tốn! CÁCH VẼ ĐÁY ĐỂ CĨ HÌNH ĐẸP! ĐÁY HÌNH VẼ TAM GIÁC (Vẽ tam giác lộn ngược) Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live HN  AC a 3a   SH  HN tan SNH  2 a3  VS ABCD  SH.SABC  d(AH;SB) Kẻ tia Bx / / AH  d( AH; SB)  d( H;(SBx)) BC a sin HBI  2 1 3a    HK  2 HK SH HI 3a  d ( AH; SB)  HK  HI  BH.sin HBI  HI  Bx    d ( H;( SBx ))  HK HK  SI  Ta có AH = HC = AC = a  Tam giác AHC Xét tam giác HIB vng I HBI  AHC  600 (đồng vị) (SAB)  (ABC)  AB Kẻ SH  AB  SH  (ABC) Vì tam giác SAB cân S => H trung điểm AB Vì tam giác SAB vng S => SH  SABC  H56 AB a  2 a2 a3  VS.ABC  SH.SABC  24 d(SB;AC) Kẻ tia Bx//AC => (SBx) // AC  d(SB;AC) = d(AC;(SBx)) = d(A;(SBx)) Đổi chân đường cao: d(A;(SBx)) AB  2 d(H;(SBx)) HB  d(A;(SBx))  2d(H;(SBx)) bước kẻ vng góc: HJ  Bx    d(H;(SBx))  HK HK  SJ  Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm CAB  HBJ  600 a a  HJ  HB.sin HBJ  sin 600  1 1 28  2    2 2 HK HJ SH 3a a 3 a        HK  a 21 a 21  d(SB; AC)  2HK  14 Page 142 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live  SIB    SIC   SI  SI   ABC  Kẻ IH  AC  Góc (SAC) với (ABC) SHI  600 AB  a; AC  AB  BC  5a AHI ABC AI HI AI BC 2a.3a 6a    HI    AC BC AC 5a AI   SI  HI tan SHI  S ABC  H57 6a ; AB BC  6a 2  VS ABC 12a3  SI.S ABC  (Có thể dựa vào góc sin HAI để suy tỉ lệ trên) d(SB;AC) Kẻ tia Bx//AC => d( AC; SB)  d( A;(SBx)) d ( A;( SBx)) AB  2 d ( I ;( SBx)) IB  d ( A;( SBx))  2d ( I ;( SBx )) BAC  ABK  sin BAC  sin ABK  BC IK BC.IB 3a.2a 6a   IK    AC IB AC 5a  1 3a    IE  IE SI IK  d ( SB; AC)  IE  6a IK  Bx    d ( I ;( SBx))  IE IE  SK  Kẻ SH  AB  SH   ABC  H58 HK  BC   HI  AC   Góc (SBC) , (SAC) với (ABC) SKH  SIH  300 SH  3SH  HK  KI  tan 300 Xét tam giác HKB vng K KH 3SH HB    SH sin KBH sin 60 Xét tam giác HIA vng A HI 3SH HA    SH sin HAI sin 60 a Mà HA  HB  AB  SH  a  SH  Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 143 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live a2 a3  VS ABC  SH.SABC  48 d(SA;BC) Ax / / BC  d ( SA; BC)  d ( B;( SAx )) SABC  a d ( B;( SAx )) BA   2 d ( H;( SAx )) HA  d ( B;( SAx ))  2d ( H;( SAx )) HN  Ax    d ( H;( SAx ))  HF HF  SN  Xét tam giác HAN vng N có HA  HB  SH  a a HN  AH.sin HAN  sin 600  1    HF  2 HF SH HN  d ( SA; BC)  HF  CBA  HAN  600 Nhận thấy SA2  SB2  AB2  4a2  Tam giác SAB vng S Kẻ SH  AB  SH   ABCD 1 a    SH  SH SA SB 2 S ABCD  AB  4a a3  VS ABCD  SH.S ABCD  3 H59 d(SB;AC) Kẻ tia Bx / / AC  d(SB; AC)  d( A;(SBx)) HB  SB  SH  3a d ( A;( SBx )) AB   d ( H;( SBx )) AH  d ( A;( SBx))  d ( H;( SBx)) HE  Bx    d ( H;( SBx))  HI HI  SE  CAB  HBE  450 ( Sole)  HE  BH.sin HBE  3a 1 3a    HI  2 HI SH HE 10  d ( SB; AC)  2a HI  Kẻ SH  AB  SH   ABCD Góc SB với (ABCD) SBH Xét tam giác SAB vng S có SH  AB H60 AB  SA sin ABS   a  2a; SB  AB  SA2  a 1 a    SH  SH SA SB Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 144 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live SABCD  AB  4a2 a3  VS ABCD  SH.S ABCD  3 d(SA;BD) Kẻ tia Ax / / BD  d(SA; BD)  d( B;(SAx)) AH  SA2  SH   1 a 21    HE  2 HE HG SH 14  d ( SA, BD)  HE  a 2a 21 d ( B;()) BA 2a     d ( B;())  4d ( H;()) d ( H;()) HA a Gọi H trung điểm AD => SH   ABCD Đốn HCB vng C (Thử tính cạnh để dùng pitago đảo) Xét tam giác AHB vng A AH  AD  a; AB  3a  HB  AH  AB  a 10 Xét tam giác HDC vng C HD  a; DC  a  HC  DH  DC2  a Kẻ DE // BC => DEBC hình bình hàng  DE = BC; EB = DC = a  AE = AB – EB = 2a Xét tam giác ADE vng A AE  2a; AD  2a H61  DE  AE  AD2  2a  BC Nhận thấy: BC2  HC2  BH  10a2  Tam giác HCB vng C  Góc (SBC) với (ABC) SCH  600 SH  HC tan SCH  a ( AB  DC) AD  4a2 a3  VS ABCD  SH.S ABCD  3 d(SA;BC) S ABCD  Kẻ tia Ax / / BC  d(SA; BC)  d(C;(SAx)) Kẻ HI  Ax (H,I,C thẳng hàng HC vng góc BC mà BC//Ax) Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 145 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live  AHI đồng dạng  CHD AH HI AH HD a.a a   HI    CH HD CH a  CI  HI  HC  a 3a a  2 d (C;( SAx)) CI    d (C;( SAx)=3d(H;(SAx)) d ( H;( SAx)) HI HI  Ax    d ( H;( SAx ))  HK SK  SI  1 78    HK  2 HK SH HI 13  d ( SA; BC)  3HK  78 13 CB   SAB   Góc tạo SC với (SAB) BSC  300 BC SB   a  SA  SB  AB  a tan BSC a3 SABCD  AB  a2  VS ABCD  SA.S ABCD  3 H62 d(DE,SC) Kẻ tia Cx / / DE  d( DE; SC)  d( D;(SCx)) Kéo dài AD cắt Cx F => DF = CE (vì EDFC hình bình hành) FAK FCD; FC  FD2  DC  a 3a a 3a a FA AK FA.CD 3a DF  EC   AF  AD  DF     AK    2 FC CD FC a d ( D;( SCx)) DF 1    d ( D;( SCx))  d ( A;( SCx)) d ( A;( SCx)) AF 3 1 3a 38  2  AH  2 AH SA AK 19 AK  CF   d ( A ;( SCx ))  AH Kẻ  a 38 AH  SK   d ( SC; DE )  AH  19 Góc (SBC) (ABC) SBA  60 SA  AB.tanSBA  2a Giao tuyến (  ) với (ABC) đường thẳng qua M song song với BC  N trung điểm AC (vì MN // BC) Ta có MN đường trung bình tam giác ABC H63 BC a BCNM hình thang có MB vng góc với MN, BC  MN  SBCNM   BC  MN  MB   2a  a  a  3a2 2 Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 146 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live VS BCNM  SA.SBCNM  a3 3 d(AB;SN) Kẻ Nx // AB  d( AB; SN)  d( AB;(SNx))  d( A;(SNx))  1 1    2 2 AH AD SA a 2a  AH     13 12a2 39 39  d ( SN; AB)  13 13 d( A;(SNx ))  AH Xét tam giác AND vng D có AN  AC  AB  BC  a 2; DNA  NAD  450 (Vì Nx//AB tam giác ABC vng cân) AD  AN.sin DNA  a 2.sin 450  a Gọi G trọng tâm tam giác BCD => SG   ABCD  Góc SA với (ABCD) SAG  450 BC  AD  2a  AC  AB  BC  3a  OC  AO  AC 3a  2  GC  OC  a  AG  AC  GC  2a  SG  AG tan SAG  2a S ABCD  AB BC  2a2 H64 a3  VS ABCD  SG.S ABCD  3 Xét tam giác ADC vng D có DK  AC d(AC;SD) Dx / / AC  AC / /( SDx )  d ( AC; SD)  d ( G;( SDx )) GE  Dx    d ( G;( SDx ))  GH GH  SE  Kẻ DK vng góc AC => KDGE hình chữ nhật (Tránh nhầm vng O khơng phải hình vng, hình thoi) 1 2a    DK   GE 2 DK AD DC 1 2a 22    GH  2 GH GE SG 11 (3 góc vng) => GE  DK Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 147 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live ABCD hình bình hành BC  AD  a  AB2  AD2  BD2  6a2  Tam giác BAD vng A => ABCD hình chữ nhật SABCD  AB BC  2a2 4a2  VS ABCD  SG.S ABCD  3 d(AC;SB) Kẻ Bx / / AC  d( AC; SB)  d(G;(SBx)) Kẻ H65 GI  Bx    d ( G;( SBx ))  GH GH  SI  Gọi N  CD  Bx ; kẻ CF  BN CFIG hình chữ nhật (3 góc vng)  GI = CF  Xét tam giác BCN vng C có CF  BN  ACNB hình bình hành (do cặp cạnh đối //)  AB = CN = 2a 1 3a    CF   GI 2 CF BC CN 1    GH  a 2 GH SG GI  d ( AC; SB)  a SBC  900  BC  SB    BC   SAB  BC  AB   BC  SA(1) CD  SD    CD   SAD  CD  AD   CD  SA(2) SDC  900  (1)  (2)  SA   ABCD  H66 AD / /(SBC)  d(SB; AD)  d( A;(SBC)) Kẻ AB  BC  a   d ( A;( SBC))  AH  AH  SB  Xét tam giác SAB vng A có AH  SB Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 148 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live 1  2 AH SA AB 1     SA  a SA AH AB S ABCD  AB  a 1 a  2  AI  2 AI SA AK  d ( AC; SB)  AI  a 3 a3  VS ABCD  SA.S ABCD  3 d(AC;SB) Kẻ tia Bx / / AC  d( AC; SB)  d( A;(SBx)) AK  Bx    d ( A;( SBx))  AI AI  SK  AK  OB  BD a (Vì AKBO hình chữ  2 nhật) Nhận thấy AB2  AC2  BC2  3a2  Tam giác ABC vng A Dựng DH   ABC  DA = DB = DC => AH = BH = CH  H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  H trung điểm BC (Vì tam giác ABC vng A) BC a 3a   SH  DB  BH  2 2 AB AC a S ABC   2 a3  VS ABC  SH.S ABC  BH  H67 Xét tam giác ABC vng A d(AD;BC) 1 a    AK   HE 2 AK AC AB Kẻ tia Ax / / BC  d( AD; BC)  d( H;(SAx ))  Kẻ HE  Ax    d ( H;( SAx ))  HI HI  SE  Kẻ AK  BC => AKHE hình chữ nhật 1 3a 70    HI  2 HI SH HE 35  d ( AD; BC)  HI  3a 70 35  AK = HE Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 149 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live SH   ABC  Góc SA với (ABC) SAH  600 Xét tam giác SHA vng H SH  SA.sinSAH  a 3; AH  SA.cosSAH  a Tam giác ABC cân A  AH  BC Xét tam giác AHC vng HAC  H có ABC  600 HC  AH tan HAC  a  BC  HC  2a H68 AH BC  a2  SH.S ABC  a3  S ABC   VS ABC d(AM;BC) Kẻ MK  BC  MK  ( ABC) (Vì MK // SH) MK đường trung bình tam giác SHC => MK  AHKE hình chữ nhật (3 góc vng) => KE  AH  a 1 a 21    KI  2 KI MK KE a 21  d ( AM; BC)  SH a  2 Kẻ tia Ax / / BC  d( AM; BC)  d( K;( MAx )) KE  Ax    d ( K ;( MAx ))  KI KI  ME  Gọi H trung điểm BC => SH  BC Mà (SBC)  ( ABCD)  SH  ( ABCD) Tam giác SBC cạnh 2a => SH  a H69 Gọi M trung điểm AB => AMCD hình vng (Vì cạnh có góc vng)  AB  MB  MC  MB Xét tam giác CMB vng M BC  MC  MB  4a2  MC  MC  a  AD  MC  CD  a 2; AB  MC  2a Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 150 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live  S ABCD    2a  AB  DC  AD (Vì ACH  CHE  HEA  900 ) HE  AC  AD2  DC  2a 1 1     2 HK SH HE a  a a 2  VS ABCD  3a2   SH.S ABCD  a3 3 d(BC;SA) Kẻ tia Ax //BC BC / /( SAx )  d ( BC; SA)  d ( BC;( SAx ))  d ( H;( SAx )) d ( H;( SAx ))  HK  HK     2a   12a2 21a 21a  d ( SA; BC)  7 Tam giác ABC vng C (tự chứng minh vng góc)  ACHE hình chữ nhật AC  (SBD)  (SBD)  ( ABCD) Kẻ SM  BD  SM  ( ABCD) Xét tam giác ABD vng A BD  AB2  AD2  5a Ta có: SD2  SB2  BD2 => Tam giác SBD vng S 1 12a    SM   SM SB SD Xét tam giác ABD vng A có AI  BD (vì AC vng góc (SBD) AB  3a  9a AB  BI BD  BI    BD 5a Xét tam giác ADC vng B có BI  AC 1   2 BI BC BA2 1 1 16   2    2 BC BI BA 81a2  9a   3a      9a  BC  9a   4a   3a   AD  BC  AB   75a2  S ABCD   2 1 12a 75a 15a3  VS ABCD  SM.S ABCD   3 d(SA;BD): Kẻ tia Ax // BD  d(SA;BD) = d(BD;(SAx) = d(M;(SAx) d(M;(SAx) = MK 2 H70 Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm  IMFA hình chữ nhật (vì có MFA  FMI  MIA  900 )  MF=IA Xét tam giác ABD vng A AI  BD AD AB  AI BD AD AB 4a.3a 12a  AI     MF BD 5a 1 25     2 MK SM MF 72a  MK  6a 6a  d ( SA; BD)  5 Hoặc em để ý Tam giác SMF vng cân M MK  SF SM 6a   2 Page 151 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live Gọi I trung điểm AB => SI  AB Mà (SAB) vng góc (ABCD) => SI   ABCD Ta có AC  CD (Tự chứng minh) Kẻ IK  CD (Tức IK//AC => K nằm ngồi đoạn CD)  Góc (SCD) với (ABCD) SKI  600 Gọi F giao AB CD FB CB a    => B trung điểm FA AD 2a AF  FB = AB = a d(AB;SD) Kẻ Dx// AB ; d(AB;(SDx) = d(I;SDx) = IH IK//AC (vì vng góc CD) IF = AD = 2a (vì ADFI hình chữ nhật có góc vng) a a IK FI 23 1 1 59    2    2 AC AF 2a IH SI IF  3a   2a  108a2   3 3a  IK  AC  AB  BC    4 6a 177 6a 177 3a  IH   d ( AB; SD)  SI  IK tan SKI  59 59 ( AD  BC) AB 3a S ABCD   2 3a3  VS ABCD  SI.S ABCD   H71 Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 152 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live AC  AB  a  SA  SC  AC  a S ABCD  AB  a  VS ABCD a3  SA.S ABCD  3 d(BD;SC) BD  (SAC); BD   SAC   O Kẻ OH  SC ; OH  BD  OH đường vng góc chung BD SC H72  d( BD; SC)  OH OH SA  OC SC OH SA   OC SC sin SCA  AC a SA a OC.SA a  OH     SC SC a  d ( BD; SC)  a 6 SH   ABC  => Góc tạo SA với (ABC) SAH Xét tam giác SAH vng H a a AM  SA.cosSAH  SH  SA.sin SAH  Tam giác ABC AM  BC H73  BC  a AM BC a  S ABC   a3  VS ABC  SH.S ABC  24 d(BC;SA) BC   SAH  ; BC   SAH   H Kẻ HI  SA; HI  BC => HI đường vng góc chung d ( BC; SA)  HI 1 a    HI  2 HI SH AH (Có thể dùng góc A cạnh AH) Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 153 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live SCDNM  S ABCD  S ANM  SCMB 1 AN AM  MB BC 2 a a a 5a  a   a  2 2  AB   VS CDNM 5a3  SH.SCDNM  24 Tự chứng minh DM  NC DM  SH  DM  (SCN) Kẻ HK  SC H74 HK  DM(Vi DM  (SCN))  HK đường vng góc chung SC DM  d( DM; SC)  HK 1 1    2 HK SH HC a   Xét tam giác NDC vng D  DH  NC HC.NC  DC DC  HC   NC  HK  DC DC  DN 2  a2 a  2a 5   2a       19 12a2 57a 57a  d ( MD; SC)  19 19 H  AN  BM  SBM    SAN   SH  SH   ABCD Tự chứng minh AN  BM Xét tam giác AMB vng A có AH  MB AD a  ; AB  a 2 1 a    AH  2 AH AM AB AM  a 15 3a2 S ABND  S ABCD  SBCN  AB  BC.CN  a 15  VS ABND  SH.S ABND  20  SH  AH tan SAH  H75 MH  AM  AH  d(SM;AN) AN   SMH  ; AN   SMH   H Kẻ HK  SM; HK  AN => HK đường vng góc chung a 10 1 a 195    HK  2 HK SH MH 65  d ( SM; AN )  HK  a 195 65 d(SM; AN)  HK Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 154 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live Tự chứng minh MD  AC Dựa vào  BAC  MDA Xét tam giác ADC vng D có DH  AC AD  a; CD  AD  2a tan BAC  tan MDA  1 2a    HD  2 HD AD DC Xét tam giác CHD vng H DC  AB  2a HC  DC  HD2  SHDC  H76 4a 5 4a2 HC HD  a3 VS HCD  SH.SHCD  15 d(SD;AC) AC   SDM  ; AC   SDM   H Kẻ HE  SD ; HE  AC HE đường vng góc chung => d(SD; AC)  HE Xét tam giác SHD vng H có 2a 5 1 2a    HE  2 HE SH HD SH  a; HD  SH  AD  SH   ABCD  Góc SD với (ABCD) SDH  600 AC  AB  BC  2a  BD AC  a  AB  Tam giác AOB  AO  OB  H77  Gọi I trung điểm AO => BI  AO (1) Mặt khác AO  SI    AO   SHI   AO  HI (2) AO  SH  Từ (1) (2) => B,I,H thẳng hàng Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 155 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live BKI Xét tam giác ABH vng A có ABI  300 ; AB  a BHS 2a 4a ; SB  SH  HB  3 cos HBA IK IB IKB SHB   SH SB a a IB.SH 3a  IK    SB 4a 3 3a  d ( AC; SB )  IK  HB  a 3 2a  HD  AD  AH  AH  AB tan ABH  SH  HD tan SDH  a S ABCD  AB BC  a a3 VS ABCD  SH.S ABCD  3 AB  d ( AC; BC) AC  SH    AC  ( SBH ); AC  ( SBH )  I AC  BH  Kẻ IK  SB; IK  AC => IK đường vng góc chung d( AC; SB)  IK Tam giác OAB cạnh a => BI  a NỖ LỰC ĐẬU ĐẠI HỌC EM NHÉ! NOTHING IS IMPOSSILE  Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 156 [...]...Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT (Đều vẽ là hình bình hành) Chỉ khác ở kí hiệu: - Với hình thoi thêm 2 đường chéo vuông góc Với hình vuông kí hiệu góc vuông và 2 đường chéo vuông góc Với hình chữ nhật chỉ kí hiệu góc vuông HÌNH THANG THƯỜNG (Vẽ đáy lớn trên, đáy nhỏ dưới) Với hình thang có... _ Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 33 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live a 13 Hình chiếu vuông góc 2 của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD và Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD  H4 tính khoảng cách từ A đến (SBD) theo a a3 2 2a 34 ;d  Đáp... _ _ _ _ _ - BÀI TOÁN 2: MẶT PHẲNG CHỨA ĐỈNH LÀ TAM GIÁC VUÔNG (KHÔNG CÂN, ĐỀU) Hình chiều của đỉnh nằm trên giao tuyến (Không phải trung điểm) Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy SA = a, SB  a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD _ ... thể tích hình chóp _ _ _ H18 _ _ _ _ _ _ _ Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 15 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live - ABCD là hình vuông... Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 22 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live - Đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3HD Gọi M là trung điểm của AB Biết H38 - rằng... Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 23 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live - Đáy là hình vuông cạnh a tâm O - Hình chiếu của S trên (ABCD) là trung điểm của AO - Góc giữa (SCD) và (ABCD) là 600 - Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ trọng... _ _ Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 31 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live B-2013 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng H2 , mặt bên SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc (ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ A đến... _ _ _ _ Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 10 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu Live - H5 Đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD - Cạnh SD tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 600 ... 2a - Mặt phẳng (SAC) tạo với (ABC) một góc 600 - Hình chiếu của S lên (ABC) là trung điểm H của cạnh BC H21 - Tính thể tích khối chóp S.ABC _ _ _ _ _ _ Trung tâm Olympia – Uy Tín – Chất lượng – Tận Tâm Page 16 Khóa học LUYỆN THI ĐẠI HỌC – Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 – Facebook: Hiếu... _ _ _ _ - DẠNG 4: CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU HOẶC HÌNH CHÓP ĐỀU Hình chiếu trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy  Đáy là tam giác đều: Trùng với trọng tâm tam giác  Đáy là tam giác vuông: Trùng với trung điểm cạnh huyền  Đáy là hình vuông, chữ nhật: Trùng với giao 2 đường chéo - Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC = a 3 AB = a, AC = a 2,