Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Một mã khối tuyến tính gồm tập hợp vector có độ dài cố định gọi từ mã Độ dài từ mã số lượng ký hiệu có từ mã, ký hiệu n Khi ký hiệu có hai ký hiệu mã gọi mã nhị phân Với mã nhị phân có 2n dãy có độ dài n Trong số này, chọn 2k từ mã (k < n) Như khối k bit mang thông tin mã hoá thành từ mã có độ dài n Ký hiệu mã (n, k) tốc độ mã Rc ≡ k/n Trọng lượng từ mã số lượng ký hiệu khác có từ mã (ví dụ từ mã 01001 có trọng lượng 2) Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Các hàm mã hoá giải mã sử dụng phép toán số học cộng nhân từ mã Các phép toán số học tuân theo nguyên tắc trường đại số (chúng ta xét trường GF (2)) Phép cộng nhân GF (2): + = 0, + = 1, + = 1, + = 0.0 = 0, 0.1 = 0, 1.0 = 0, 1.1 = Tổng quát, trường hữu hạn GF (q) xây dựng q số nguyên tố luỹ thừa số nguyên tố Khi q số nguyên tố, phép cộng phép nhân dựa phép toán modulo q Khoảng cách Hamming hai từ mã số lượng ký hiệu tương ứng khác hai từ mã Khoảng cách hai từ mã Ci , Cj ký hiệu dij (ví dụ khoảng cách hai từ mã 01001 10010 4) Giá trị nhỏ tập hợp {dij } gọi khoảng cách tối thiểu mã ký hiệu dmin Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Giả thiết Ci Cj hai từ mã mã (n, k) α1 , α2 hai giá trị ký hiệu Bộ mã gọi tuyến tính α1 Ci + α2 Cj từ mã (bộ mã tuyến tính có từ mã toàn ký hiệu 0) Ký hiệu từ mã Ci , i = 1, , M C1 = [00 0] wr trọng lượng từ mã thứ r dmin = {wr } r ,r =1 Một số khái niệm sở đại số tuyến tính hữu ích với mã khối tuyền tính Không gian vector S gồm 2n vector mã (n, k) gồm 2k vector tạo thành không gian Sc có sở k từ mã Không gian không Sc mã tuyến tính, gồm có 2n−k từ mã có n − k bit mang thông tin, có số chiều n − k (tất vector trực giao với tất vector Sc ) Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Layout Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Ký hiệu vector k bit mang thông tin Xm = [xm1 xm2 xmk ] đầu mã hoá từ mã Cm = [cm1 cm2 cmn ] Việc mã hoá để tạo mã khối tuyến tính (nhị phân) biểu diễn qua phương trình cmj = xm1 g1j + xm2 g2j + + xmk gkj , j = 1, 2, , n Biểu diễn dạng ma trận với G ma trận sinh mã khối  ← g1  ← g2  G=  C m = Xm G   → g11 g12 g21 g22 →    =    ← gk → gk1 gk2  g1n g2n     gkn Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Mã (n, k) có 2k từ mã có số chiều k, nên hàng G phải độc lập tuyến tính, tức tạo không gian k chiều G nhất,  0  G = Ik P =   G đưa dạng "hệ thống"  p11 p12 p1n−k p21 p22 p2n−k     0 pk1 pk2 pkn−k P xác định n − k bit kiểm tra parity với k bit k bit mang thông tin Mã dạng gọi mã "hệ thống" Một ma trận sinh "tương đương" với ma trận sinh có dạng hệ thống phép biến đổi sơ cấp hàng cột Hai mã (n, k) tạo hai ma trận sinh tương đương gọi tương đương Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Linear Block Codes Ví dụ Xét mã (7, 4) với ma trận sinh  0 0 G= 0 0 0 0 1 0 1  1  = [I4 P] 0 Một từ mã biểu diễn Cm = [xm1 xm2 xm3 xm4 cm5 cm6 cm7 ] cm5 = xm1 +xm2 +xm3 , cm6 = xm2 +xm3 +xm4 , cm7 = xm1 +xm2 +xm4 Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Gắn với mã khối (n, k) mã kép/dual code có số chiều n − k Mã kép tuyến tính (n, n − k) có 2n−k vector, không gian không mã (n, k) Ma trận sinh mã kép, ký hiệu H có n − k vector độc lập tuyến tính không gian không Mỗi từ mã Cm trực giao với từ mã mã kép Như ′ Cm H = 0, ′ GH = Nếu mã (n, k) hệ thống H = −P′ In−k H ma trận kiểm tra parity mã (n, k) Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Ví dụ Mã hệ thống (7, 4) tạo ma trận H  1 H = 0 1 ma trận G ví dụ trước có  1 0 1 0 0 ′ Xét Cm H ta có xm1 + xm2 + xm3 + cm5 = xm2 + xm3 + xm4 + cm6 = xm1 + xm2 + xm4 + cm7 = ′ Như Cm H tương đương với việc thêm bit kiểm tra parity vào tổ hợp tuyến tính bit mang thông tin Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Layout Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Mã Hamming nhị phân lớp mã khối tuyến tính (m số nguyên dương): (n, k) = (2m − 1, 2m − − m) Với m = ta có mã Hamming (7, 4) Ma trận H có n = 2m − cột gồm tất vector có n − k = m phần tử, ngoại trừ vector Với mã Hamming nhị phân, dmin = Phân bố trọng lượng mã n Ai z i = A(z) = i =0 [(1 + z)n + n(1 + z)(n−1)/2 (1 − z)(n+1)/2 ] n+1 với Ai số lượng từ mã có trọng lượng i Bộ mã xét ví dụ mã Hamming Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Layout Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Mã vòng lớp mã khối tuyến tính thoả mãn tính dịch vòng: C = [cn−1 cn−2 c1 c0 ] từ mã [cn−2 cn−3 c0 cn−1 ] từ mã mã vòng Liên kết từ mã C = [cn−1 cn−2 c1 c0 ] với đa thức C (p) có bậc không vượt n − 1: C (p) = cn−1 p n−1 + cn−2 p n−2 + + c1 p + c0 với mã nhị phân, hệ số đa thức 0, Chia pC (p) cho p n + C1 (p) pC (p) = cn−1 + n n p +1 p +1 với C1 (p) = cn−2 p n−1 + cn−3 p n−2 + + c0 p + cn−1 C1 (p) biểu diễn từ mã C1 = [cn−2 c0 cn−1 ] C1 (p) = pC (p) mod (p n + 1) Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Tổng quát p i C (p) = Q(p)(p n + 1) + Ci (p) Chúng ta tạo mã vòng dùng đa thức sinh g (p) có bậc n − k Đa thức khai triển p n + có dạng g (p) = p n−k + gn−k−1 p n−k−1 + + g1 p + Định nghĩa đa thức mang tin X (p) X (p) = xk−1 p k−1 + xk−2 p k−2 + x1 p + x0 Các từ mã mã vòng Cm (p) = Xm (p)g (p), m = 1, 2, 2k Dễ dàng chứng minh mã xây dựng từ đa thức g (p) thoả mãn tính dịch vòng Bộ mã vòng sinh từ đa thức sinh tạo không gian Sc không gian S có k chiều Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Ví dụ: với n = p + = (p + 1)(p + p + 1)(p + p + 1), dùng đa thức sinh bậc trên, hai mã tạo từ đa thức sinh tương đương Tổng quát, p n + = g (p)h(p) h(p) ma trận parity có bậc k Định nghĩa đa thức đối/reciprocal polynomial h(p) p k h(p −1 ) = p k (p −k + hk−1 p −k+1 + hk−2 p −k+2 + + h1 p −1 + 1) = + hk−1 p + hk−2 p + + h1 p k−1 + p k Đa thức đối thành phần khai triển p n + p k h(p −1 ) đa thức sinh mã vòng (n, n − k) Mã vòng mã đối mã (n, k) sinh từ g (p) tạo nên không gian không mã (n, k) Linear Block Codes Ma trận sinh ma trận kiểm tra parity Mã Hamming nhị phân Mã vòng Ví dụ Xét mã đối mã vòng ví dụ Mã đối mã (7, 3) ứng với đa thức parity h1 (p) = (p + 1)(p + p + 1) = p + p + p + Đa thức đối p h1 (p −1 ) = + p + p + p Xem thêm ví dụ mã tài liệu [...]... Hamming nhị phân là lớp mã khối tuyến tính (m là số nguyên dương): (n, k) = (2m − 1, 2m − 1 − m) Với m = 3 ta có mã Hamming (7, 4) Ma trận H có n = 2m − 1 cột gồm tất cả vector có n − k = m phần tử, ngoại trừ vector 0 Với mã Hamming nhị phân, dmin = 3 Phân bố trọng lượng bộ mã n Ai z i = A(z) = i =0 1 [(1 + z)n + n(1 + z)(n−1)/2 (1 − z)(n+1)/2 ] n+1 với Ai là số lượng từ mã có trọng lượng i Bộ mã xét ở... ] cũng là một từ mã của cùng bộ mã vòng Liên kết từ mã C = [cn−1 cn−2 c1 c0 ] với đa thức C (p) có bậc không vượt quá n − 1: C (p) = cn−1 p n−1 + cn−2 p n−2 + + c1 p + c0 với mã nhị phân, các hệ số của đa thức hoặc bằng 0, hoặc bằng 1 Chia pC (p) cho p n + 1 C1 (p) pC (p) = cn−1 + n n p +1 p +1 với C1 (p) = cn−2 p n−1 + cn−3 p n−2 + + c0 p + cn−1 C1 (p) biểu diễn từ mã C1 = [cn−2 c0 cn−1... Ci (p) Chúng ta có thể tạo ra bộ mã vòng dùng một đa thức sinh g (p) có bậc n − k Đa thức này là khai triển của p n + 1 và có dạng g (p) = p n−k + gn−k−1 p n−k−1 + + g1 p + 1 Định nghĩa đa thức mang tin X (p) là X (p) = xk−1 p k−1 + xk−2 p k−2 + x1 p + x0 Các từ mã của bộ mã vòng là Cm (p) = Xm (p)g (p), m = 1, 2, 2k Dễ dàng chứng minh bộ mã xây dựng từ đa thức g (p) như trên thoả mãn tính dịch