CHƯƠNG I: DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài Tính giới hạn sau: a) lim d) lim 2n − n + 3n + 2n + n4 1+ Bài Tính giới hạn sau: n + + 2n − a) lim 4n + + n d) lim n + 2.7 2 4n + − 2n − g) lim n + 4n + − n Bài Tính giới hạn sau: cos n a) lim n +1 3sin n + 5cos (n + 1) d) lim n2 + Bài Chứng minh giới hạn sau: n f) lim b) lim ( 3n3 − 2n + 4n +1 + 6n+ 5n + 8n − 2.3n + 6n 2n (3n+1 − 5) n + − n6 n4 + + n2 n − 4n − 4n + f) lim 3n + + n ( e) lim h) lim + + 22 + + 2n + + 32 + + 3n n2 + n − n2 + n − n − n) n + − n6 n4 + − n2 ) c) lim f) lim ( ) n − n3 + n − 1 n2 + − n2 + n − 4n − 4n + i) lim 3n + − n − 2n cos n (−1) n sin(3n + n ) c) lim 3n + 3n − 3n − 2n + 3sin (n3 + 2) + n lim e) lim f) n(3cos n + 2) − 3n b) lim n2 n c) lim 2016n =0 n! d) lim n a) lim a = (a > 0) b) lim n = d) lim n n ! = +∞ e) lim Ths Ngơ Quang Hùng ĐHXD 2n + n − c) lim (2n n + 1)( n + 3) (n + 1)( n + 2)   1 − ÷  n  ( n + 2n − n −1) d) lim ( + n − n + 3n + ) n3 +   1 + + + b) lim  ÷ n( n + 2)   1.3 2.4  1  + + + d) lim  ÷ n( n + 1)   1.2 2.3 Bài Tính giới hạn sau: a) lim f) lim n n2 + + n e) lim 3n3 + 2n + n c) lim n2 + − n − n + 4n + + n Bài Tính giới hạn sau:   1 + + + a) lim  ÷ (2n − 1)(2n + 1)   1.3 3.5    c) lim 1 − ÷1 − ÷    + + + n e) lim n + 3n 2n + n + 2.5n + n b) lim n + 4n + + n f) lim + 2.3n − n e) lim n n2 + 4.3n + n+1 b) lim 2n + 5n +1 c) lim n3 + n + e) lim (n + 1)(2 + n)(n + 1) Bài Tính giới hạn sau: + 3n a) lim + 3n d) lim 2n + b) lim 2n =0 ( n n − 1) = +∞   Bài Cho dãy số (un) với un =  −     − ÷  − ÷, với ∀ n ≥ 2 ÷    n  a) Rút gọn un b) Tìm lim un Bài 1 = − (∀n ∈ N*) n n + + (n + 1) n n n +1   1 + + + b)Tính lim  ÷ n n + + ( n + 1) n  1 + 2 + u1 =  Bài 10 Cho dãy số (un) xác định bởi:  un +1 = un + n (n ≥ 1)  a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n Từ suy lim un u1 = 0; u2 = Bài 11 Cho dãy số (un) xác định bởi:   2un+ = un +1 + un , (n ≥ 1) a) Chứng minh: a) Chứng minh rằng: un+1 = − un + , ∀n ≥ 2 b) Đặt = un – Tính theo n Từ tìm lim un u1 =  Bài 12 Cho dãy số ( un ) xác định sau :  un−1 + (n ≥ 2) un = a) Chứng minh dãy số giảm bị chặn b) Tính lim un u1 = a > Bài 13 Cho dãy số ( un ) xác định sau :  un = arctan un−1 (n ≥ 2) a) Chứng minh dãy số giảm bị chặn b) Tính lim un u1 = Bài 14 Cho dãy số ( un ) xác định sau :  (n ≥ 2) un = + un−1 a) Chứng minh dãy số tăng bị chặn b) Tính lim un Bài 15 Cho < a < b dãy số { xn } , { yn } xác định sau :  x0 = a, y0 = b   xn−1 + yn−1 (n ≥ 2)  xn = xn−1 yn−1 , yn = Chứng minh hai dãy số hội tụ lim xn = lim yn Bài 1: Tìm giới hạn sau: Ths Ngơ Quang Hùng ĐHXD CHƯƠNG II: GIỚI HẠN HÀM SỐ a) lim x3 − x − x + d) lim b) lim+ x − 3x + x→1 x3 − x + x + x4 −1 c) lim x3 − x + x x − 5x + x6 x→−1 x→1 e) lim f) lim x→1 (1 − x) x4 − 8x2 − (1 + x )(1 + x)(1 + x) − x + x + + x n − n g) lim h) lim x →0 x x→1 x −1 Bài 2: Tìm giới hạn sau: x −1 4x +1 − lim a) lim b) x→1 x + − x→2 x −4 x→3 x+2 −2 x+7 −3 d) lim x→2 x5 + x3 + xm −1 x→1 xn −1 i) lim x − 16 x→−2 x + x2 −1 x c) lim x →0 x + − 3x + e) lim x→1 x −1 + 2x2 x2 + −1 f) lim x →0 x + 16 − + x −1 x + − 2x x + + x + 16 − h) lim i) lim x →0 + x − x→−3 x + x x →0 x Bài 3: Tìm giới hạn sau: x + 11 − x + 1+ x − 1+ x 1+ x − − x lim a) lim b) c) lim x→2 x →0 x →0 x x x2 − 3x + g) lim d) lim + 4x − 1+ 6x x2 x →0 e) lim + 4x + 6x −1 x →0 x Bài 4: Tìm giới hạn sau: x2 + a) lim x→+∞ x − x + g) lim x − 5x2 Bài 5: Tìm giới hạn sau: x→+∞ ( x2 + x − x x2 − x + x−2 e) lim ) x − 3x + x x2 + − x + 2x2 + x→+∞ ( 2x −1 − 2x + 1) e) xlim →+∞ f) lim x→−∞   − g) lim  ÷ x→1  − x − x  Bài 6: Tính giới hạn sau: x→+∞ x2 − 5x + x→−∞ x + i) lim ( ( 3x3 − + x2 + x + x2 + ) c) lim x→+∞ ( x →0 − cos x x2 c) lim ) π x→ − sin x π   − x÷ 2  d) lim π x→ x + − x3 − 1   + h) lim  ÷ x→2  x − x + x − x +  b) lim Ths Ngơ Quang Hùng ĐHXD x3 − x + x x +1 f) lim b) lim x − − x − x −   d) lim  x + x + x − x ÷ x→+∞   sin 3x a) lim x→0 sin x x2 − x +1 − 1− x i) lim x →0 x x→+∞ x + x + 3x x→+∞ − x3 − x + c) lim x2 − x + + − x h) lim x→−∞ a) lim b) lim x→±∞ (2 x − 1) x − x→1 + x + x − x x→±∞ 4x2 + + − x f) lim h) lim x →0 x2 + 2x + + x + x→±∞ x + 11 − x + x2 − 5x + x→2 g) lim d) lim cos x − sin x cos x ) + sin x − cos x x→0 − sin x − cos x e) lim i) lim cos x − cos x x →0 sin x π  tan x g) limπ  − x ÷  x→ tan x x→0 arc sin x f) lim j) lim x→0 − cos x.cos x x k) lim π  sin  x − ÷ 6  h) lim π x→ − cos x − cos x cos x x →0 sin x Bài 7: Tính giới hạn sau: − cos x b) lim x→0 ln ( − x ) esin x − a) lim x→0 − cos x − cos x d) lim x→0 − cos x e) lim x →0 cos x − cos x sin x c) lim ( ) sin e x − x →0 tan ( sin x ) ) x→0 arctan e x − ( ) f) lim ( ln + sin 2 x Bài 8: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:  x+3 −2 x ≠  x − x = x = −1 b) f ( x ) =   x = x =   x−5  − x + x − x3 x > x ≠   2 x − − f ( x ) = x = f ( x ) = x = c) d)  x − 3x +  1  x =  ( x − 5) + x ≤  x −1 x < 1 − cos x x ≤  x = x = e) f ( x ) =  f) f ( x) =  − x − x >  x +  −2 x x ≥  x+3  a) f ( x) =  x − −1 x ≠ Bài 9: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác đònh chúng:  x3 + x +  x − 3x + x ≠ −1   a) f ( x) =  x + b) f ( x ) = 5 4  x = −1 2 x +   x2 −  x2 −   x ≠ −2 c) f ( x) =  x + d) f ( x ) =  x −  −4  x = −2  2 Ths Ngơ Quang Hùng ĐHXD x < x = x > x ≠ x = CHƯƠNG III : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Bài Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa điểm : a) f ( x ) = x − x + x0 = b) f ( x ) = x − x x0 = ; ; x − 3x + x0 = ; x+2 Bài Xác định a, b để hàm số sai khả vi ¡ Tính f ' ( x ) d) f ( x ) = cos x x0 = c) f ( x ) =  x + a x ≤ f x = a) ( )   − x + bx x >  ln + sin x  x > c) f ( x ) =  x  x ≤  ax + bx + c  ln + x + x3  x > e) f ( x ) =  x  x ≤  x + ax + b Bài Tính đạo hàm hàm số sau: ( ) ( e) y = ( x − 1) Bài Tính đạo hàm hàm số sau:  sin x  a) y =  ÷  + cos x  x >   x sin x e) f ( x ) =   ax + bx + c  ( x − x + 5) x ≤ x >  2x +1  c) y =  ÷  x −1  b) y = (1 − x )5 ( x + 1)2 x ≤  esin x − cos x  x > d) f ( x ) =  x  x ≤ ax + bx + c ) a) y = ( x + x + 1) d) y = sin + a b) f ( x ) =  bx π ; f) y = ( − x ) b) y = x.arccos x c) y = sin (2 x + 1) y = cot x e) y = sin + x f) y = xsin x Bài Tính đạo hàm cấp n hàm sau: π π 2x −1   a) y = cos  x + ÷ b) y = c) y = sin x.cos  x − ÷ 3 6  x − 3x −  π  x − 5x + 2 d) y = sin  x + ÷ e) y = cos x.sin x f) y = 12   x−2 Bài Tính đạo hàm cấp n hàm sau cơng thức Lepnit π  2x a) y = x + x − e b) y = ( x − 1) sin  x − ÷ c) y = ln x − x + 3  d) ( d) y = ( x ) ) − x + cos x ( e) y = ( x − 1) cos x ) ( 2x f) y = ( x + 1) e − sin x Bài Dùng quy tắc Lopitan để tính giới hạn sau x2 − 3x + x −2  2x +  a) lim lim  b) ÷ x→+∞ x − x→+∞  x −  x2 − e2 x − lim lim e) d) x→3 x + − x→0 sin x Bài Dùng quy tắc Lopitan để tính giới hạn sau sin x − x ln sin x a) lim b) lim+ x →0 x→0 ln ( − cos x ) x Ths Ngơ Quang Hùng ĐHXD c) lim x − 3x + x2 −1 tan x lim x→0 ln ( + x ) x→1 f) c)   lim  − ÷ x→1  ln x x −  ) 11  − cot x ÷  x →0 x  x  lim d)   lim  − x →0  x x sin x ÷  g) j) lim ( ) sin x3 x − tan x 1  m) lim  − cot x ÷ x →0 x  x  e) lim x + x + x→+∞ h) k) x →0 n) ( ) 1 ln x  2− x  lim  − 2÷ x→0  x ln ( + x ) x ÷   1  lim  − x ÷ x→0  ln ( + x ) e −1 ÷   x   lim  x − ln 1 + ÷÷ x→+∞   x ÷   f)  sin x  x2 lim  ÷ x →0  x  i) lim+ e x − x →0 ( ) sin x  x +1 1 lim  − ÷ x→0  ln ( + x ) x÷  l) o) ( lim x + x + x→+∞ ) ln ( 1+ x ) Bài Tính giới hạn sau a) lim x x x→0 sin x − e + x − sin x d) xlim →+∞ x + x + cos x x3 sin x b) lim x→0 sin x − ln ( + x ) x3 cos e) ( ) ln e x + cos x + lim x→+∞ x lim x→0 ln ( + x ) − x Bài 10 Viết khai triển Maclaurin hàm số sau e x − e− x f ( x ) = sh x = x −1 d) f ( x ) = e) f ( x ) = 2x +1 x − 2x − Bài 11 Viết khai triển Maclaurin hàm sau x a) f ( x ) = đến x5 Từ suy f ( 5) ( ) 2+ x b) f ( x ) = x + x đến x5 Từ suy f ( 5) ( ) 2x ( 5) c) f ( x ) = ( ) đến x Từ suy f 1− x d) f ( x ) = x + x đến x Từ suy f ( ) ( ) f ( x ) = e 2x a) b) x − + x cos x x3 arctan f) x + sin x x→+∞ lim c) 3x + x cos x c) f ( x ) = sin x.cos x f) f ( x) = x − 3x + x+2 Bài 12 Áp dụng cơng thức khai triển Maclaurin để tính giới hạn a) lim sin x − x3 x →0 x ex −1− x x→0 sin x.ln ( + x ) tan x − x d) xlim →0 ln − x arctan x ( c) lim sin x − x − x x →0 x3 sin ( sin x ) − x f) lim x→0 tan x − sin x b) lim ) x 1+ x) −1 ( lim e) x →0 − cos x CHƯƠNG IV : TÍCH PHÂN Bài Tính ngun hàm sau: xdx a) I = ∫ ( x + 1) ( x + 1) d) I= 2x + −1 x ∫ + x−2 dx Ths Ngơ Quang Hùng ĐHXD b) J = ∫ e) I = 2x ∫ dx −2 x − 9x + x c) I = + 12 x + dx f) ∫ dx −1 x I =∫ ( 4x + x + 10 dx )( + x + 4x2 + x + ) g) I = ∫ j) I =∫ m) I = ∫ (x dx )( − x + x − x + 10 x + 41x − 91 ( ( x − 1) x − x − 12 ) dx 3x + ( x + 1) x2 + k) I = ∫ dx n) I = ∫ dx q) I = ∫ x3 − x3 − x 4− x dx dx 3x + 3x + x3 − 3x + x2 p) I = ∫ ) h) I = ∫ x3 + x + dx i) I =∫ l) I =∫ o) I = ∫ x7 (1+ x ) 4 x + x3 x4 − x3 + x x ( x + 1) dx dx dx 4x −1 I =∫ r) dx x + 2x + x + dx Bài Tính tích phân sau: dx 1+ x b) I = ∫ x +1 a) I = ∫ 3x + dx d) I= g) I = j) I= ∫ ∫ ∫ 1+ x dx f) ln x + ln x dx h) I = ∫ x i) − x2 dx x+ x 1 − x2 ∫ x6 2 dx 2 k) I = ∫ x − x dx n) I = dx q) I = dx ∫ ∫ 3 ∫ x2 − x2 I= ln ∫ l) I =∫ ( x5 + x dx dx r) I= dx x e +1 dx x2 + ) xdx 2x +1 +1 o) I = ∫ x5 x − I= x x3 x − 1dx e ∫ x3 dx 2 m) I = ∫ p) x x −1 x x +9 ∫ e) I = I= dx c) I = ∫ 1 + x2 x2 dx Bài Tính tích phân sau: 20 a) I = ∫ x ( − x ) dx d) I = ∫ g) I = sin x + cos x dx + sin x ln e x − 1dx ∫ j) I =∫ x2 + x − x +1 b) I = ∫ e) I = ∫ x2 + x4 + ( x + 1) dx ( x + x.e x h) I = ∫ 0e k) I = ∫ ) x cos  ÷dx c) 2 I =∫ x + sin x x dx I = f) ∫ ( − x ) 10 dx x dx dx + e2 x i) I= xdx x + x +1 l) I= π ∫ π π cos xdx ∫ cos4 x + sin x Ths Ngơ Quang Hùng ĐHXD cos x + sin x dx + sin x Bài Tính tích phân sau: e ( ) a) I = ∫ x + x ln xdx d) I = π ln ( sin x ) ∫ j) I =∫ dx ( x + 1) π c) I = ∫ x ln ( x + ) dx π ∫x cos xdx f) I = ∫ e x cos xdx 0 1  x g) I = ∫  + ln x ÷e dx x  1 xe x b) I = sin x.ln ( + cos x ) dx ∫ e) I = dx cos x π π ln x h) I = ∫ k) I = ( 1+ x) π 2 dx x i) I =∫ l) I = ∫ x sin x cos xdx dx sin x π ∫ x cos xdx 0 Bài Tính tích phân suy rộng sau: a) I = ∫ x ln xdx d) I = +∞ ∫ j) I= m) I = x +4 x + 5x + +∞ ∫ dx x3e − x dx h) I = +∞ ∫ +∞ +∞ ∫ arc cot x x3 +∞ ∫ x k) I = dx x3 + ∫ dx e x dx 1+ x e) I = ∫ ∫ arctan x ∫ +∞ p) I = +∞ −∞ e g) I = b) I = n) I = q) I= dx ln x x e−2 x cos xdx dx x3 + +∞ ln ∫ +∞ ∫ π 2 dx ( + x ) dx x4 1 sin dx x x d) I = ∫ ex −1 g) I = ∫ j) I= sin x 1− x +∞ ln ∫ dx e) I = π − cos x ∫ dx ( + x ) dx h) I = ∫ Ths Ngơ Quang Hùng ĐHXD x dx sin x e − x x3 dx k) I = +∞ ∫  12  x  e x − 1÷dx  ÷   +∞ ∫ f) I =∫ i) I= l) I= x 1− x +∞ ∫ +∞ ∫ o) I = r) I= x x2 + arctan x x3 c) I = f) I= π x3 ( 4+ x ) dx +∞ ∫ l) dx ∫ sin xdx i) dx ( + x ) dx +∞ ∫ dx dx dx +∞ ln ∫ ( x + 1) 1 Bài Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng sau: +∞ +∞ 1 dx dx a) I = ∫ b) I = ∫ x + sin x 1+ x 1 c) I = I =∫ α x ln x dx x dx tan x e − I= π ∫ cos x − tan x − dx