24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG CÂU PHÂN LOẠI Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải BÀI 16: Bài tập tổng hợp phần   Bài 1: Giải phương trình: x  x   x  x   2x  x   50 (Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu – Đồng Tháp 2016) Điều kiện xác định: x     x  4  Phương trình 1  x  x     x   x  x    x  x   50    x     2x  x   50 x    x    x  x   50 x     x  x    48   x x4 2 2  x  x    x  Bài 2: Giải phương trình:  x   x  x  (Trích đề Thi Thử Khóa Pen I – Thầy Lê Bá Trần Phương 2016 Đề 1) Điều kiện xác định: 3  x  PT      x    x   x2  1 x 2x 1  x 1 3x 2   x  1 x  1    1  x     x  1  3 x 2  2x 1  x      x    1   x  3 x 2 Xét hàm số f  x   2x 1 Group Tài Liệu Ôn Thi  3 x 2  x1 với x   3 ;  FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương Ta có f '  x   2x   2 x 1  3 x  3 x 2  1 Ta thấy x  2 nghiệm phương trình  1 , nên x  2 nghiệm phương trình 1 Kết luận: Vậy PT có nghiệm x  ; x  2 Bài 3: Giải bất phương trình: x2  3x  x   x  x   *  x (Trích đề Thi Thử THPT Phú Xuyên B – Hà Tĩnh 2016) Điều kiện xác định: x  *   x x  x  3  x   2x   x   x    x3  x x  x2  5x  0 x x   2x     x3 x x2 2 x x2 0 x   x3   x x2   2    x      x3  x3 20  20   x  x x  x   x  x     x   x3  x3  x 4 20 2     x      x2 Hệ:  x x x   x  x  x   x  x      x  x   x   x3  x3  x 4 20 2     x      0 x1 Hệ:  x x x  0  x  x  x   x  x      x  x   Kết luận: bất phương trình có tập nghiệm: S   ; 1   ;   Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương Bài 4: Giải bất phương trình:   2x   x x x (Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền – Cần Thơ 2016 Lần 2) Điều kiện xác định: 2  x  x  Bất phương trình tương đương với: Trường hợp 1: 2  x  : *   x   x   x2   x *  x x Trường hợp 2: x  BPT  x    x   x    x x  x2   2x    x x  x  (do x    , x  )  x2  x  2x    x  2x    x   2x2  4x  x  x2  2x  x2  2x     x2  2x   0  x2  2x    x     Vậy nghiệm bất phương trình là: S   2 ;      3   Bài 5: Giải bất phương trình:    x    x   8x  9x2 3x  2 x  (Trích đề Thi Thử THPT Trần Hưng Đạo – Đắknông 2016 Lần 1) Điều kiện xác định: x  Bất phương trình cho tương đương với:  2x    x 1 1 x    9x   x  1 3x  2 x   2x  3    3x  x 1 1 x 2x    Do x  nên BPT   x   x    x  x x   Vì:  x    2x      x  2x     x   x  1  *  x    ;  x  x    ;  x   x    , x  x     x  x     x   x  1   x 1 x 1 2 2 2 x   x   Vậy để BPT xảy  VT    x  x   x  x    Bài 6: Giải bất phương trình: x2  x  2  x2  1 x3 x 3 (Trích đề Thi Thử Thạch Thành I – Bắc Ninh 2016 Lần 1) Điều kiện: x  3 Bất phương trình cho tương đương với: Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương x2  x  2   x2    x3 x 3 x2  x   x3 x 3 x x2  x3 x 3  x2     x2  x  x2  x  2   x 1  1  với A     x  3 x  A  x3 x2     x    1  x  (Với x  3 biểu thức ngoặc vuông dương)     Vậy tập nghiệm bất phương trình S   1; 1 Bài 7: Giải bất phương trình: 3x   x   x  3x  x  1 (Trích đề Thi Thử THPT Phan Châu Trinh – Đà Nẵng 2016) Điều kiện xác định: x  Nhận xét x  không thỏa mãn bất phương trình nên ta có  1     3x    x   x3  3x2  x   x  1   x    x  1 x  x  2 3x           x  1  x  x      1 3x          3x      x  1  x  x   x         x  1  x  x    x     x  1   0  x 1           x  1   0 x 1      x   x2  2x   x   x  1  x  x       x  1 x    x     A B  A B   Với: A   3x     x  1 x    ,     x   ; B   x  1   x     x       )vì x  x  1, biểu thức ngoặc vuông luôn dương) x   Kết hợp điều kiện ta có nghiệm bất phương trình cho  x  x  x  Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương Bài 8: Giải bất phương trình: 5x  13  57  10 x  3x x   19  3x  x2  2x  (Trích đề Thi Thử THPT Phủ Cừ - Hưng Yên 2016) Điều kiện xác định: 3  x  19 ;x  Bất phương trình tương đương:   x   19  x x   19  x x   19  x x  2x   x   19  x  x  x   x5  13  x   2 x      19  x   x x2 3       x2  x    x5 9 x      x2  x   x2  x   13  x   19  3x        2    *   x x2     x5 13  x    19  x   9 x           Vì   x5 9 x       19   với x   3 ;  \4 3  13  x    19  x     Do *   x  x    2  x  (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm bất phương trình S   2 ; 1 Bài 9: Giải bất phương trình: x   x   x  15 (Trích đề Thi Thử THPT Việt Trì – Phú Thọ 2016 Lần 1) Nhận xét: x   x  15  x    x  BPT    x     x  1  x  15   9x2  9x2     x  1  9x2  x  15  0   3x  3x    3x  1    3    x  15   9x        1   x  1   x  1         x  15     9x   Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương  3x    x  3 Kết hợp điều kiện suy nghiệm bất phương trình x  Bài 10: Giải bất phương trình:  x2  20  x  x2  1 (Trích đề Thi Thử THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc 2016 Lần 2) Bất phương trình cho tương đương với: x     x  20  x   x  16 16  x x20 x    x  20   4x  4x    x  2   1    2  x    x  20    Từ  1 suy x   x  20  x    x  Do 4x  4x2    4x   x  20    4x    x  20  x    x    x  20    Vậy nghiệm bất phương trình x  Bài 11: Giải bất phương trình:  x  1 x2  x   x x2    x  1 (Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền –Cần Thơ 2016 Lần 1) Cách 1: Sử dụng nhân liên hợp: Điều kiện xác định: x   Bất phương trình tương đương với:  x  1      x  1  x  x      x2  2x    2x x2   x2  2x   2 x  x  1 x  1 0 x2   x2  2x   x  3x  1 x2  2x    0 x   x  x      x  1    x2   x2  2x   x2  x2  2x   x2  4x       x  1  0 2 x   x  2x     Do: x2   x2  2x   x      x2  2x   x2  4x  x2   x2  2x  0 Vì bất phương trình có tập nghiệm: S    ; 1 Cách 2: Sử dụng hàm đặc trưng: Điều kiện xác định: x   Bất phương trình tương đương với:  x  1  x  1    x  1   x   2x     2x  Xét hàm đặc trưng f  t   2t  t t  với t   Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương Ta có: f '  t    t   t2 t2   , t   Do f  t  hàm số đồng biến liên tục  Do đó: f  x  1  f  x   x   x  x  1 Vì bất phương trình có tập nghiệm: S    ; 1 Bài 12: Giải phương trình: x  x   x   x  x  (Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền – Cần Thơ 2016 Lần 2) Phương trình tương đương với: x  x    x    x  x    x  1 Đặt a  x2  x  ,a  b  x  5a  3b   Phương trình trở thành: a2  3b2  5a  3b    a  b  4a  b   Với a  b  x  x   x   x  x    Với 4a  b  x2  x   x      16 x  x    x  1 (Vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm nghiệm x  Bài 13: Giải phương trình:  x   x     x  1 x  x   (Trích đề Thi Thử Khóa Pen I – Thầy Lê Bá Trần Phương 2016 Đề 2) Ta có:  x   x     x  1 x  x    x    x  1 x  x    x  x x    x  1   x  1  x  1    x    x  x 2  1 Xét hàm số f  t   t  t t  với t   Ta có f '  t    t   t2 t2   t   Vậy hàm số f  t  đồng biến liên tục  Vậy  1  f  x  1  f   x   x    x  x   Bài 14: Giải phương trình: x x    x    x    x  2 (Trích đề Thi Thử THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang 2016) Điều kiện: x  Ta có: x x    x    x    x  2   x  1 x    x  1  x    x     x    x  1 Xét hàm số f  t   t  t  t  f '  t   3t  2t  f '  t   , t   suy hàm số f  t  đồng biến liên tục  Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương  1 Phương trình có dạng f   x   f  2x  3 Từ hai điều phương trình  x   x   1  x   x     x   x  12 x   Bài 15: Giải phương trình: 2x    2x    4x  4x2  x  x   x  1   (Trích đề Thi Thử THPT Khoái Châu – Hưng Yên 2016 Lần 1) Điều kiện:   x  Ta có: x    x    x  x    2x    2x x  x   x  1   2   x  1  x  1    2x    2x   *    2      Xét hàm số f  t   t  t  ;   có f '  t   2t   t   ;   nên hàm số f  t  đồng biến liên tục 0;   Do phương trình *  trở thành f  x  1  2x    x  1 2x    2x  f           x    x    x  1  4x  4x    2x    2x     4x  4x  3   2x   2x      2x   2x     x  3 x  1  x   x      x   x     2x   2 2   x   x  1  2x   2x  3 2x     x  1  x   2x  0   2x 2x     2x   2x  2x   2x   0  2x    x    Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x   x  2 Bài 16: Giải bất phương trình: x   x2  x  2x  2x   (Trích đề Thi Thử Triệu Sơn – Thanh Hóa 2016 Lần 1) Điều kiện xác định: x  1,x  13 Ta có: x    x1 2 x2  x  2x  2x    x  2  x1 2  x1 2  2x   x1 2 x2  x  2x       x  2 Trường hợp 1: Nếu x     x  13 1 x1 2 2x    *  Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương Thì *    x  1  x    x  1 x   x  Do hàm số f  t   t  t hàm đồng biến liên tục  , mà *  :  f  Suy x    ;    2x   f  x   2x   x   x3  x2  x  1   1    0 ;  , kết hợp với điều kiện     1 suy bất phương trình vô nghiệm Trường hợp 2: Nếu x     1  x  13   Thì *    x  1  x    x  1 x   x  Do hàm số f  t   t  t hàm đồng biến liên tục  , mà *  : f    2x   f x1   2x   x  1 Với 1  x   , bất phương trình Với   x  13 , bất phương trình   x  1   x  1 1 Suy ra: x   1;     1 trình x   1;      ;   , kết hợp với điều kiện   suy nghiệm bất phương    ; 13    Kết luận: x   1;     1  ; 13    Bài Giải 17: phương trình: x  x   3 x  x  x   x  x  (Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2016 Lần 1) Cách 1: Đưa đẳng thức: 3x3  x2   3x  x  x   Điều kiện xác định:  PT  x  x   x  x   3 x  x  x    x  x   x  x   3 x  x  x       3x3  x2     3 x  x  x     x     x  1  Dấu xảy   3x  x    x     3 x  x  x   Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM: 3x3  x2   Điều kiện xác định:  3x  x  x   Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:    3x3  x2  2   3x3  x2  x  x  x    3 x  x  x   Suy ra: x  x   x  x   3 x  x  x   3x2  x    x  1   x  1 Thử lại: x  1 thỏa mãn phương trình cho Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là: x  1 Bài 18: x2  4x   Giải phương trình:  3x 1 x    x  1    1   x  x1 x  x    (Trích đề Thi Thử THPT Quốc Học Huế 2016) Điều kiện xác định: x  1   x2  x   x2  x  1  3x   x  1  x2  x        x3    x  x  x  x   x  x    x  1 x  x     x   x          x   x2  x   1  x   x   x  x  x     x   x  x   1  x   x  x2  x  x   Vì x      x   x  x  x     0    2  x  2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình cho x  2 Bài 19: Giải phương trình: x  x  14 x x2    x  14 x  x     x2     (Trích đề Thi Thử THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh 2016) Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương  5t   Với t   8t   5t  8t  12t  12t  13  12t  12  12t  12t  f '  t   , t   1;   Kết hợp với f  t  liên tục  1;    f  t  đồng biến  1;   Do  1;   phương trình f  t   có nghiệm có nghiệm Mặt khác 2   1;    t  nghiệm f  t    x    x    f    Vậy nghiệm phương trình x  Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM:  Điều kiện: x   *  Ta có VT 1   x   11  47   3 x    x    x    4 Lại có x2  11x  21   x    x   x  , x     Với x  áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  4x      3  4x   8.8  12 4x  Kết hợp với    x  11x  21  3 x  Dấu xảy  x  Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình x  Bài 43: Giải phương trình: x  x  x   x  x   1 (Trích đề Thi Thử THPT Nguyễn Trãi 2015 Lần 3) Điều kiện xác định : x  (1)  x 2   x  x  1  x   x     x  x  1  x  x   x  1 u  x  x  u;v   Thay vào pt ta : v  x  Đặt:  u  v 3 u  v  u.v  u  v     3 u v v u  3uv  v  u   Do đó: x2  x    3 1 x  1  x  1  x     x   2 Vậy nghiệm pt(1) : x  1   Bài 44: Giải phương trình: x  15  x  x  15  15x  x  x (Trích đề Thi Thử THPT Cao Bá Quát – Quảng Nam 2015) Điều kiện  x  15 Biến đổi phương trình tương đương: Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương 15  x   x 15  x  x    15  x  x  Đặt u  15  x2 , v  x (u,v  0) , phương trình trở thành:   u2  3uv  4v  u  v   u2   3v   u  v  v     u   3v    v  v  v  v    v   Khi u  3v   v  3v   v   v u   v2 2 Với u  2v , 15  x  x  15  x  x  x  x  15   x  2  19   x  2  19  L  Với u  v  , 15  x2  x  *  Với điều kiện:  x  15  x   15   16   nên phương trình *  vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x  2  19 Bài 45: Giải bất phương trình: x  x  x    x  x   (Trích Đề Thi THPT Quốc Gia 2015 – Đề Minh Họa) Điều kiện: x   Với điều kiện đó, kí hiệu   bất phương trình cho, ta có:  2  x2  2x   x x  1 x  2   x2  2x    x  x   x  1  x  x     x  1   x  x    x    x  x    x         Do với x thỏa mãn 1 , ta có x  x    x   nên  3  x  x  2  x   x2  6x     13  x   13   Từ  1   , tập nghiệm bất phương trình: S  1  ;  Bài  x  2 46: Giải  bất phương 13   trình: x   x   x  5x   Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương (Trích đề Thi Thử THPT Chu Văn An – An Giang 2015) Điều kiện: x  1  2x   a  1  a  2b ; x   a  b Đặt  x   b   2 a,b   x  a  b ; x  5x   ab  Bất phương trình trở thành:  a2  b2   a  2b   ab  a  2b2      a2  b2  a  2b   b  a  b   a  b    a  b  a  2b    a  2b    a  b     a  2b  a  b  1   x  1  x  1   1 Trường hợp 1:  x   x     x    x3 2    2x   x     1  x   x  1  x  1   Trường hợp 2:  x   x     x    x  1    2x   x     x  1; x      Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  1    ;  Bài 47: Giải bất phương trình:  x   2x  x   0 (Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Đại Học Vinh – Nghệ An 2015) Điều kiện: x  Đặt a  x  ,b  x , a  , b  b  a   b2  2a2 Bất phương trình trở thành  a  b  3a        b  2a   a  b  3a   a2     2 b  a b 2    a  b  3a     a a       b b  Đặt t  , t  , bất phương trình trở thành 1  2t   4t 1  3t      104t  108t  40t  4t     2t  1 52t  28t  6t        2t  1 t 52t  28t     2t   , t  52t  28t   Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương x 1 Suy 2x   x   x   x    x  x  2 Kết hợp với điều kiện, suy nghiệm bất phương trình  x     Bài 48: Giải bất phương trình x  x   x  x  14  x  (Trích đề Thi Thử THPT Chí Linh – Hải Dương 2015) Điều kiện : x   1  x  x     x  1  4   x  x   x   16   8x3  2x   x1   2 Xét hàm số f  t   t  t ; f '  t   3t   0t   f  t  đồng biến liên tục 1;   mà (2) có:  f  2x   f  x   x ;  x   1;   nên    x   x  2 x     x   x   x    x    x     x  17 x  17    x   x  17  17   17  17 17  17  x  ;x  x  8  Bài 49: Giải bất phương trình 3x  x2 1  x2 (Trích đề Thi Thử THPT Nguyễn Hiền – Đà Nẵng 2015) Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với:  x2  x2 3x x2 3x        1 2 1 x 1 x 1 x  x2 Đặt t  x  x2 Với t   t  , (1) trở thành: t  3t     t  x 1 x   x   x2 2 1  x  : bất phương trình (2) Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương  x  : bất phương trình    x   x   x    Tập nghiệm bất phương trình (2) S1   1;  Với t  x 1 x   x   x2 x   Bất phương trình (3)   2 2    3  2  x   x  x 5 2  ;1     2 2  ; 1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S  S1  S2   1;          Tập nghiệm bất phương trình (3) S2   Bài 50: Giải bất phương trình: x  5x    x  x  x      (Trích đề Thi Thử THPT Mạc Đĩnh Chi 2015)   x  x    x x  x   (*)    1   x  Điều kiện: x  x  x       x  1  Khi (*)  x  x  x    x  5x   x  x  x     x  x    3x (**) Trường hợp 1: x  1  , chia hai vế cho x  , ta có: (**)  Vì: t  1 x2  2x  x2  2x   3 x x x2  2x  , t  , ta có bpt: t  4t     t  x  x  x   1  17  65 x2  2x  x  3 2 x  x  x   Trường hợp 2: 1   x  , x  x   , (**) thỏa mãn Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương  1  17  65  ;  2   Vậy tập nghiệm bpt (*) S   1  ;    Bài 51: Giải bất phương trình:  x  x x    x  x  (Trích Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Tỉnh Hải Dương 2015 - 2016) Điều kiện: x  Phương trình có dạng x  x  1 x    x2  x   x  x  1 x    x  x     x  1  Đặt t  x x  2 x1 x1 2 x x  2 x1 2  1 t  ta 2t  3t      t  (do t  )  t  x x  2 Với t   x x  2 x1  x   13  x   13   x2  6x      x   13 Vậy bất phương trình có nghiệm x   13 Bài 52: Giải bất phương trình:  x2  x   x   10  x  x (Trích đề Thi Thử Sở Giáo Dục Bắc Giang 2015) Điều kiện: x  2  4x  x7    x   10  x  x  x  x   4x2  x     x2 2  x2 2     x   x  x    x     x2 2   4x2  x   x    4x2  x   x     x       x     2x  x   2x  x     x   x   x   2 x     x   x   x   2 x    41  ;      Giải hệ bất pt tập nghiệm là: T   2 ; 1   Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương x   x2   3x  x2 (Trích đề Thi Thử THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh 2015) Bài 53: Giải bất phương trình x   3  41 0x (*) Điều kiện: 1  x   2  3x  x  Ta có: x   x  x   x    3x  x    x2  x  1  x    x  x  1  x    5  34 x  x x x x x x 3 2 1    x  10 x     Kết hợp điều kiện (*), ta suy 1 x 1 x 1 x  5  34 x   nghiệm bất phương trình 2 5  34 3  41 x Bài 54: Giải bất phương trình: x x  3x   2 1  x 3x   3x2  x 3x  (Trích đề thi thử lần – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2016) Điều kiện xác định: x  Ta có: x x  3x    1  x 3x   3x2  x 3x    x2  3x        x   x  x    x 1    x x        3x   x   x2       3x     0   x  3x      x     x  3x  x    3x    x  3x  3x   0  x2  3x    x  x    0 x    x       x  x  x x   x  x  1  x  x   Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương     x     x  3x  x 3x  x  3x   x  3x   x  3x     3x      Vì x 3x    0, x  Do đó: x  x    x  3 1 3          Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình là: x   ;   \  Bài 55: Giải phương trình: x  x  x  x    x  1 x  (Trích đề thi thử lần – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2016) Điều kiện: x   Ta có: x  x  x  x    x  1 x   x  x   x  x    x  x x   x     x  x       2   x  x    x  x    x  x     x  x         Do x  x   x  x  x  x   x  x   Xét hàm số f  t   t  t với t   f '  t   2t   Do đó: f  x  x    f  x  x    x  x   x  x      Thay x  x   x  x  vào phương trình đầu ta có: x  x  x  x    x  1 x   x  x  x  x    x  1 x   x  x x   x  x  x      Trường hợp 1: x  (Thỏa mãn) Trường hợp 2: x  x   x  x    x   Group Tài Liệu Ôn Thi  13 FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x   x    13 Bài 56: Giải phương trình: x  15x   5x   x   (Trích đề thi thử lần – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2016) Điều kiện: x  , ta có: x  15x   5x   x        x  10 x  12  x  x   x   x      x  5x   x2  5x  x  5x    x2  5x   0 x   7x     x2  5x     0 x  5x  x   x        7   x  5x       0  x  5x    x   x               x  x   x   x   24   0  x  5x     x   7x   x  5x           x   5 x  x  17  7 x     x  5x   0  x   x    x  5x     Vì x     5x   5x  6  Xét f  x   x  17  7 x  với x  nên 5 x  5x   Ta có: f '  x     49 7x   0, x  Do đó: f  x  đồng biến liên tục với x  6 Do đó: f  x   f    5  5x   5x   x  5x    43  85 0 x  17  7 x  x   7x  Group Tài Liệu Ôn Thi  0, x  FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương Vậy x  x    x   x  (Thỏa mãn điều kiện) Bài 57: Giải phương trình: x  x  13x   3x   5x  (Trích đề thi thử lần – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2016) Điều kiện: x  Ta có: x  x  13x   3x   5x       x  x  11x   x  x   x   x      x   x  3x   x2  3x  x  3x   x2  3x  x   5x 0   1  x2  3x   x    0 x  3x  x   5x         1  x  3x    x    3      x   5x   x  3x        x  x   x  1 5x 3x   3x   0  x  3x      x   x x  x      Vì x   x  x   x  1 x x   5x  3x   3x  x  3x  0  x  3x   3  x Do đó:  x   Bài 58: Giải phương trình: x  16 x  31x  x    x  1 x  (Trích đề thi thử lần – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2016) Điều kiện: x  Ta có: x  16 x  31x  x    x  1 x     x  16 x  28 x  12 x    x  1 x   x  Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương    x  1 x  1  x  14 x   x  1  2 0 x 1 x  x  1   0   x  1  x  14 x     x   x      x  1    x  1  x  14 x     2      x 1 x    x 1 x    x  1  x  14 x   0  x   x     x  14 x   0   x  1  x  14 x    x 1 x x 1 x       x  1 Vì          0 x  14 x     x 1 x x 1 x        x 1 x  x 1 x    0x  x   x   Bài 59: Giải phương trình: x2  x   x   x  (Trích đề thi thử lần – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2016) Điều kiện xác định: x  2 Cách 1: Nhân liên hợp nghiệm vô tỷ: Ta có: x2  x   x   x   x2  x   x   x        x   x   2x   2x2  6x    x  1   x     x    x 1 x  2   2x2  6x  2x   2x2  6x   0  x2  x  x 1 x    x2  x   2x   2x2  6x  0    x2  x    0  x 1 x   2x   2x2  6x      Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương   x  x 1     x2  x    x  x 1 x          x2  x   2x   2x2  6x   x   x   x  2x   2x2  6x  2x2  6x   x   x   x  2x   2x2  6x       0 0 2x  6x   x    x  x   x2  x   2x2  6x   x  0   x2  x    x2  x    x   2x2  6x    x   2x2  6x   x   x2  x   0 2x2  6x   x  0 1  Thử lại nghiệm ta thấy có x  1 thỏa mãn Cách 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình bản: Ta có: x2  x   x   x   x2  x   x   x   x      x  1  x   x   x  2 Đặt x   a , x   b , phương trình trở thành:  a  b2   a  b    a  b   a  b   a  2b  a  ab  b   a  b    a  b 2  x  1 Với a  b  x   x     x  1  x  2 x 1 Cách 3: Đánh giá bất đẳng thức Cauchy – AM GM – Cauchy Schwarz:  Ta có: x   x    x  1  x  2  Do x2  x   x   x   x2  x  Vậy dấu bất đẳng thức Cauchy Schwarz phải xảy ra, đó:  x  1 1 x1 x   x 2 x   x     Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương  Bài 60: Giải phương trình: x  x  x   x  x  2x  (Trích đề thi thử lần – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2016) Điều kiện xác định: x   Ta có: x  x  x   x  x   2x     x   x2   2x4  x   2x  Trường hợp 1: x  (Thỏa mãn điều kiện) Trường hợp 2: x   x x   x   2x 2x   x  2x    2x  Xét hàm số: f  t   t  t với t    f '  t   t   0, t   Vậy f  t  hàm số đồng biến liên tục với t   1 Do vậy: f    f x Khi đó:   2x    2x  x  2x    x 2x  x     x  x  1   x  1 x  x    x  (Thỏa mãn điều kiện) Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm x  x  Bài 61: Giải phương trình: x  x    x  x   x  3x (Trích đề thi thử lần – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2015) Điều kiện: x   x  Ta có: x  x   x  x   x  3x   x2  3x  x2  x   x2  x   x  3x  x  3x  Trường hợp 1: x2  3x    x   x  1 Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương Trường hợp 2: x  x   x  x   x  3x  Khi kết hợp với phương trình ta được:  x2  x   x2  x   x2  3x     x  x   x  x   x  x  Trừ với vế hai phương trình hệ ta được: x  x    x  x    x  x    x  2  Thử lại nghiệm ta thấy nghiệm x   x  1  x  2  thỏa mãn Vậy bốn nghiệm phân biệt phương trình ban đầu Bài 62: Giải bất phương trình: x.3 3x  x  x  3x  (Trích đề thi thử lần 10 – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2015) Điều kiện: x  3x    x  Khi bất phương trình trở thành:  x.3 3x  x  x  3x   x   x  x     x  x  x         x x3  3x    x  x   x  x    3  x2  x   x  3x2 0  x  x  3x2   x  x  1   x  1    3 3 3  x  x  3x2   3x  x   3x  x       0    2  1 Ta có:  3x  x   3x  x    3x  x     0x  2    3 Và x  x  1  0x  0,1  x    0x  Do  x  1   x  Bài 63: (Thỏa mãn điều kiện) Giải bất phương trình:  x   x  x3  x2  4x   x  x  (Trích đề thi thử lần 13 – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2015) Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương Điều kiện xác định: x   2; 3 Ta có bất phương trình tương đương với: x       x2  4x   x   x  x    x    1 0  x2  x   x     x   x x    x    1 Vì x   2; 3 nên x    0 x   x x 1  3 x Do x2  x    1  x  Bài 64: Giải bất phương trình: x   x2 4 x3 4x  (Trích đề thi thử lần 14 – Lớp Toán thầy Đoàn Trí Dũng năm 2015) x2 x2  x3  x34 x3   1 Ta có: x   4x  4x  Điều kiện: x       x3 2  x  1  x2  x   4x    x  1  x   2  x  2   x  1     2 x 0  2x   4x  x3 2   x Group Tài Liệu Ôn Thi   4x  0   3     x   ;   \1 4  4x    x2  x   4x   FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương [...]... t  7 Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương t  5  x3  5 x  2  y  2   t  7  x  3  7 x  4  y  4 Đối chiếu điều kiện ta có:  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    2 ; 2  ;  4 ; 4  ;  6 ; 6  Bài 30: Giải phương trình: 3 x  2  2 x  1  x  1 (Trích đề Thi Thử THPT Hai Bà Trưng – Thừa Thi n Huế 2015... bất phương trình: x  x  2  x 3  4 x 2  5x  x 3  3x 2  4 (Trích đề Thi Thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2015 Lần 3) BPT  x  x  2  x  x  2   1    2    x  2   x  2 x  1  x 1   Group Tài Liệu Ôn Thi  x  2   x  1  x  2 2 2   1   x  0 (1) FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương  x2:  1  0  2  x2:  1   x ... 2 x  2  0 (Trích đề Thi Thử THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An 2014 Lần 3 Khối A,B) Điều kiện: x  1; 2  x  1 ; 2  ta có:  x  1  x2  2 x  1  x2  x2  1  1  2 x2  2  2 x2  4 2      x  1  2 x2  2  x  1  x  1  2  x  2 x2  2  0 Suy ra: BPT  6 x 2  2  3x  1 x 2  1  3x  6  0 Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương...     Bài 32: Giải phương trình: 3 x 3 x  7 x  3 x  7  7 x 3  12 x 2  5 x  6 (Trích đề Thi Thử THPT Chuyên KHTN Hà Nội 2015 Lần 5) Điều kiện: x  Khi đó 1  x 3  x  7  3 x 3 x  7 x  3 x  7  8 x 3  12 x 2  6 x  1  Group Tài Liệu Ôn Thi  FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương   x 3 x7  3   2 x  1  x  3 x  7  2 x  1  3 x  7... trình là x  2  2 Bài 37: Giải phương trình  x  5  x  1  1  3 3x  4 (Trích đề Thi Thử THPT Mang Thít – Vĩnh Long 2015) Điều kiện: x  1 *  Ta có:  x  5  x  1  1  3 3x  4   x  1 x  1  3  x  1  4 x  1  2  3 x  4  3 3 x  4 Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương      3 x  1  1  3x  4  3 3x  4 x1 1... 2 (Trích đề Thi Thử THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2015 Lần 1) Điều kiện:  3  x  3 *  Khi đó ta có  2 x3  x2  6 x  9   9  9  3x2  2  x 6  4 x 5  23 x 4  48 x 3  45 x 2  108 x  0   x  2 x  3   16 x   x  2 x  3  2 x 4  x 3  10 x 2  9 x  36  0 4   8 x 3  30 x 2  72 x  288  0 Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/... nghiệm của pt(1) là : x  1 5 2   Bài 44: Giải phương trình: x 2  2 15  x 2  x  15  3 15x  x 3  4 x (Trích đề Thi Thử THPT Cao Bá Quát – Quảng Nam 2015) Điều kiện 0  x  15 Biến đổi phương trình tương đương: Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương 15  x   3 2 x 15  x 2  4 x  2   15  x 2  x  0 Đặt u  15  x2 , v  x (u,v... tập nghiệm của bất phương trình: S  1  3 ; 3  Bài  x  2 46: Giải  bất phương 13   trình: 2 x  3  2 x  1  2 x 2  5x  3  1 Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương (Trích đề Thi Thử THPT Chu Văn An – An Giang 2015) Điều kiện: x  1  2x  3  a  1  a 2  2b 2 ; x  2  a 2  b 2 Đặt  x  1  b   2 2 2 a,b  0  x... vì t  0 và 52t 2  28t  6  0 Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương x 1 Suy ra 2x  1  2 x  1  2 x  4  x  1   2 x  x  2 2 Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của bất phương trình là 1  x  2    Bài 48: Giải bất phương trình 8 x 3  2 x  4  x  1 x  14  8 x  1 (Trích đề Thi Thử THPT Chí Linh – Hải Dương 2015) Điều kiện... đề Thi Thử THPT Nguyễn Hiền – Đà Nẵng 2015) Điều kiện x  1 Bất phương trình đã cho tương đương với: 1  x2  x2 3x x2 3x   1    2  0  1 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1  x2 Đặt t  x 1  x2 Với t  1 thì  t  1 , khi đó (1) trở thành: t 2  3t  2  0   t  2 x 1 x 2  1  x  1  x2 2 1  x  0 : bất phương trình (2) đúng Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/