Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 08 KĨ THUẬT TÌM NGHIỆM KÉP CỦA PT VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Hai cách để kiểm tra tính chất nghiệm phương trình, tính chất nghiệm kép Cách Dùng bảng TABLE ( Mode ) để khảo sát đồ thị hàm số Ví dụ Ta xét toán phương trình sau x + = x + x − ( x ∈ ℝ) Sử dụng chức TABLE ( mode ) với điều kiện x ≥ X 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 nên ta có bảng sau: F(X) 0.5857 0.1362 0.4395 0.8377 1.2998 1.8088 2.3542 2.9289 3.5178 Từ bảng giá trị trên, ta nhận đồ thị có dấu hiệu parabol tiếp xúc với trục hoành nghiệm Cách Dùng tính chất đạo hàm Ví dụ Ta xét toán phương trình sau x + = x + x − ( x ∈ ℝ) Trước hết, sử dụng máy tính CASIO với chức SHIFT CALC để tìm nghiệm phương trình, với d 2x + − x − 2x − hiểu ta tìm nghiệm x = Sau ta xét giá trị dx x =1 ( ) thay giá trị x = vào biểu thức đạo hàm cấp hàm số f ( x ) = x + − x − x − ( ) d 2x + − x − 2x − = dx x =1 Do kết luận x = nghiệm kép phương trình ( x − 1) x Ví dụ [Video] Giải phương trình + =1 33 x − 32 x + 20 x − 12 x + Ví dụ [Video] Giải phương trình x x + + ( x + 1) − 3x = x + Ví dụ [Video] Giải phương trình x − x + + x − x + = x + x + Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x − 11x + 21 = 3 x − A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X − 11X + 21 − 3 X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ( ) Nhập vào máy tính X − 11X + 21 − 3 X − : ( X − 3) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Như (1) có nghiệm x = Ta có f ( x ) = x − 11x + 21 − 3 x − ⇒ f ' ( x ) = x − 11 − Ta tính f ' ( 3) = Để tính f '' ( 3) ta bấm sau:  d  d Bấm SHIFT nhập x − 11 − dx  dX  ( 4x − 4)    x =3 ( x − 4)  13 13 Bấm dấu = đợi lúc máy tính ⇒ f '' ( 3) = ≠ 3  f ( 3) =  Như  f ' ( 3) = ⇒ x = nghiệm kép (1)   f '' ( 3) ≠ 3a + b = 4.3 − =   a=  4 1⇒ Ta cần cân ax + b = x − ⇒  a= = = 2  b = 3 3 ( 4x − 4) ( 4.3 − )  B Lời giải ĐK: x ∈ ℝ (*) 1  Khi (1) ⇔  x + − x −  − x − + x − 11x + 21 = 3  ( ) ⇔ x + − 3 x − + x − 12 x + 18 = (2) x+3 2  Đặt T = ( x + 3) + ( x + 3) x − + ( x − ) =  x − +  + ( x + 3) ≥    x = −3 x+3  Dấu " = " xảy ⇔  x − +  = ( x + 3) = ⇔     x − = Điều vô lý nên dấu " = " không xảy ⇒ T > Khi (2) ( x + 3) ⇔ − 27 ( x − ) T + ( x2 − 6x + 9) = ( x − 3) ( x + 15) + x − = x + x − 81x + 135 ⇔ + ( x − 3) = ⇔ ( ) T T x = ( x − ) =  x + 15  ⇔ ( x − 3)  + 2 = ⇔  ⇔ (3) T + x + 15 =  T   2T + x + 15 =  x + 15 x + 15 2 = ⇒ ( x + 3) + ( x + 3) x − + ( x − ) + =0 (4) Ta có T + 2 x+3 x + 15  VT ( ) =  x − + =0  + ( x + 3) +   2 x +  ( x + x + ) + ( x + 15 ) 3 =  4x − +  +   x +  x + 20 x + 57  =  4x − +  +   Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 10  71  x 3+   + x+3  3 3 =  4x − + >  +   Do (3) ⇔ x = thỏa mãn (1) Đ/s: x = C Nhận xét Cũng với hướng làm ta làm mịn sau: 1  Phương trình ⇔  x + − x −  − x − + x − 11x + 21 = 3  ( ) ⇔ x + − 3 x − + x − 12 x + 18 = (2) 11  47  Ta có VT (1) =  x −  + > ⇒ x − > ⇒ x − > ⇒ x > 2  Đặt T = ( x + 3) + ( x + 3) x − + ( x − ) > 0, ∀x > Do (2) ( x + 3) ⇔ − 27 ( x − ) T + ( x2 − 6x + 9) = ( x − 3) ( x + 15) + x − = x + x − 81x + 135 ⇔ + ( x − 3) = ⇔ ( ) T T  x + 15  (3) ⇔ ( x − 3)  + 2 =  T  x + 15 Với x > T > ⇒ + > nên (3) ⇔ ( x − 3) = ⇔ x = thỏa mãn (1) T Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x − x + = x − + 3 x − A Phân tích CASIO Nhập vào máy tính X − X + − X − − 3 X − = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ( ) Nhập vào máy tính X − X + − X − − 3 X − : ( X − 3) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm Như (1) có nghiệm x = 1 Ta có f ( x ) = x − x + − x − − 3 x − ⇒ f ' ( x ) = x − − − x − 3 ( 3x − )2 Ta tính f ' ( ) = Để tính f '' ( ) ta bấm sau:  d d  1 Bấm SHIFT nhập 2x − − − dx  dX x − 3 ( 3x − 5)2  Bấm dấu = đợi lúc máy tính ⇒ f '' ( ) = ≠    x=2   f ( 2) =  Như  f ' ( ) = ⇒ x = nghiệm kép (1)   f '' ( ) ≠ Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 2a + b = 2.2 − = a =  ⇒ Ta cần cân ax + b = x − ⇒  1 = = b = −1 a = 2x − 2.2 −  2c + d = 3.2 − =  c = 1 Ta cần cân cx + d = 3x − ⇒  ⇒ c= = =  d = −1 2  3 x − 3.2 − ( ) ( )  Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: B Lời giải (*) Khi (1) ⇔ x − − x − + x − − 3 x − − x + + x − x + = ĐK: x ≥ ( ) ( Đặt T = ( x − 1) + ( x − 1) x − + ) ( 3x − ) x −1  3  =  3x − +  + ( x − 1) > 0, ∀x ≥   2 ( x − 1) − ( x − 3) + ( x − 1) − ( 3x − 5) + x − x + = ⇔ Do (2) (2) T x −1 + 2x − x − 4x + x3 − 3x + ⇔ + + ( x − 2) = T x −1 + 2x − ( x − 2) ⇔ ( x + 1)( x − ) + + ( x − 2) = T x −1 + 2x − x +1  2 ⇔ ( x − 2)  + + 1 = (3) T  x −1 + 2x −  x +1 Với x ≥ > T > ⇒ + + > nên (3) ⇔ x = thỏa mãn (*) T x −1 + 2x − Đ/s: x = 81 =2 x−2 ( x ∈ ℝ) x −1+ x − PHÂN TÍCH CASIO Phương trình có chứa phân thức nên để nhân liên hợp với phân thức khó khăn Nhưng trước hết, dùng SHIFT CALC ta tìm nghiệm phương trình x = kiểm tra tính chất 81 nghiệm cách xét đạo hàm hàm số f ( x ) = x − 10 x + 19 + −2 x−2 x −1+ x −   81 1 +  x−2  Ta có f ' ( x ) = x − 10 − − ⇒ f ' ( ) = nên suy x = nghiệm kép x−2 x −1+ x − Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x − 10 x + 19 + ( ) phương trình cho Vì thế, trước tiên ta tạo đẳng thức ( x − ) sau giải phương trình lại để tìm nhân tử chung ( x − ) , sau: x − 10 x + 19 + 81 81 = x − ⇔ ( x − 12 x + 36 ) + x − 17 + −2 x−2 =0 x −1 + x − x −1 + x − 2 x − 23x + 106 + ( x − 16 ) x − 81   ⇔ ( x − ) +  x − 17 − x − + =0  = ⇔ ( x − 6) + x −1+ x −  x −1+ x −  Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Bây giờ, ta cần xét đến phương trình x − 23 x + 106 + ( x − 16 ) x − = ( ∗)  ax + b = x − a=  1 x =6   nên nhân tử cần tìm  Ta lại xét  ⇒  x−2 − x−  2  ( ax + b ) ' = x − ' b = x =6   ( ) ( ) Do ( ∗) ⇔ x − 46 x + 212 + ( x − 16 ) x − = ⇔ x − 60 x + 180 + ( x − 16 ) x − − x − = ( x − 16 )( x − ) − x − 16 x + 26  2 = ⇔ ( x − 6)  − =  = ⇔ ( x − 6) x+2+4 x−2 x+2+4 x−2  x+2+4 x−2  Nên phương trình cho x + 26 2 ⇔ ( x − 6) + ( x − 6) = ⇔ ( x − 6) = ⇔ x = x + + x − x −1+ x − x + 26 Vì + > 0; ∀x ≥ x + + x − x −1+ x − ⇔ ( x − 6) ( )( ) LỜI GIẢI Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương với: ( x − 12 x + 36 ) + x − 17 + ⇔ ( x − 6) + ⇔ ( x − 6) Vì + 2 x − 23 x + 106 + ( x − 16 ) x − 81 −2 x−2 =0 x −1+ x − =0 x −1+ x − x + 26 2 + ( x − 6) = ⇔ ( x − 6) = ⇔ x = x + + x − x −1+ x − (x + + 4 x + 26 x−2 )( x − + x−2 ) > 0; ∀x ≥ Nên phương trình có nghiệm x = ( Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình x + 12 + x − = x x − + − x ) ( x ∈ ℝ) Lời giải: Điều kiện: ≥ x ≥ Sử dụng máy tính CASIO ta thu nghiệm kép x = 5 2   x − = = x  x − = = x  x − x − = x + x − − x x − Khi  suy  ⇒ − x = − x =   − x − = 13 − x − − x   đẳng thức cần tạo nên phương trình cho tương đương với: ( ( ( 4x ) ) ) ( ) + x − − x x − + 13 − x − − x + x − = 2 x = x −  ⇔ x − 5x − + − 5x − + x − = ⇔  − 5x = ⇔ x =   x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( ) ( ) Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình ( ) ( ) ( ) x + − x + 13 x + − x = x − + Lời giải: ( ) ( x ∈ ℝ) Điều kiện: x ≥ Ta có − x − + = ( x − 1) − x − + − x = x − − − x Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Nên phương trình cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) x + − x + 13 x + − x − x + x − − = ( ) ⇔ x x + + 13 x x + − 12 x − 12 x + x − − = ( ) ( ) ⇔ x  x + ( x + 13) − 12 ( x + 1)  + ( x − − 1) = ⇔ x x + ( x + − 12 x + ) + ( x − − 1) = ⇔ x x + ( x + − 12 x + + ) + ( x − − 1) = ⇔ x x + ( x + − 3) + ( x − − 1) = ( ∗) x x + x + − ≥ ( ) nên phương trình ∗ trở thành:  x +1 > ⇒  ( ) ( x − − 1) ≥  ⇔ x x x + + 13 x + − 12 x − 12 + x − − = 2 2 2 Vì x ≥ ⇒ x 2 x + = x +1 − = x −1 −1 = ⇔  ⇔x= 2 x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1  Ví dụ [Tham khảo] Giải phương trình ( x − 3)  x + x  = ( x − 1) x + + x − 11 2  Lời giải: Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương với: ( ( x ∈ ℝ) ) pt ⇔ ( x − 3) x + x = ( x − 1) x + + x − 22 ⇔ x − x + x x − x = ( x − 1) x + + x − 22 ⇔ x − x − ( x − 1) x + + x x − 12 x + 22 = ( ) ⇔  x − x + − ( x − 1) x + + x + 1 + x x − x − 12 x + 20 = ( ) ( ⇔ x − − 2x + + x + ( ( )( x −2 ) ( ∗) =0 )  x −1 − 2x + ≥  Vì x ≥ ⇒ x + > ⇒  nên phương trình ( ∗) trở thành:  x +5 x −2 ≥0   x − = x + x − − 2x + = x − = ⇔  ⇔ x =  x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = )( ) ( Ví dụ 10 [Tham khảo] Giải phương trình x + x + x + = x x + x + + x + x + Lời giải: ( )  x2 − x x + + x + = x − x +  Điều kiện: x ≥ −1 Ta có  4 x − x 3x + x + + x + x + = x − 3x + x +  Khi phương trình cho tương đương với: ( ) ) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ) ( ( pt ⇔ x − x3 − x + x + + x − x + + x − x + x + ( ) ( ) =0 ⇔ x ( x − x − 1) − ( x3 − x − 1) + x − x + + x − x + x + ( ⇔ x ( x − x − 1) − ( x + 1) ( x − x − 1) + x − x + ( ⇔ ( x − x − 1) + x − x + ) + ( 2x − ) + ( 2x − 3x + x + ) ) =0 3x + x + ) =0 =0  x2 − x − =  x ≥ 1+ ⇔ x = x + ⇔ ⇔x= x − x −1 =  2 x = x + x + Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1+ Ví dụ 11 [Tham khảo] Giải phương trình x − x + = ( x − 1) x + + x3 + x − x + PHÂN TÍCH CASIO Sử dụng SHIFT SOLVE với x = ta nghiệm x ≃ 3.302774567 Kiểm tra điều kiện nghiệm kép với TABLE ( Mode ) Xét F ( X ) = X − X + − ( X − 1) X + + X + X − X + Nhập giá trị • Start ? START = 3.1 • End ? END = • Step ? STEP = 0.1 Qua bảng bên, ta nhận thấy nghiệm nằm lân cận giá trị 3.3 đồng thời hàm số F ( X ) có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành Vì Đồng thời ta lại có: x3 + x − x + = BẢNG GIÁ TRỊ X F(X ) 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 0.0228 5.919.10 −3 4.346.10 −6 5.366.10 −3 0.0222 0.0507 0.0911 0.1435 0.208 0.2849 nghiệm x ≃ 3.302774567 nghiệm kép F ( X ) = ( x + 3) ( x − x + ) Thay x ≃ 3.302774567 vào thức ta được:  x + ≃ 2.302775405   x + ≃ 3.302774567 − = x − ⇒  x + ≃ 2.510532726   x + ≃ x − x + x x 2.510531957 − + =  ( Vậy ta tạo đẳng thức để có biểu thức x − − x + LỜI GIẢI Điều kiện: x ≥ −2 Vì x ≥ −2 nên x + > x3 + x − x + = ) ( ( x ∈ ℝ) ) x + − x2 − x + ( x + 3) ( x − x + ) = x + x − x + Khi đó, phương trình cho tương đương với: pt ⇔ x − x + = ( x − 1) x + + x + x − x + ( ) ⇔  x − x + − ( x − 1) x + + x +  + x + − x + x − x + + x − x + = + 13  x − = x + =0⇔ ⇔x= 2  x + = x − x + + 13 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ( ⇔ x −1− x + ) +( x + − x2 − x + ) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016