www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG CÂU PHÂN LOẠI Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải BÀI 14: Tỷ số, tích số, tam giác đồng dạng, định lý Thales Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng  AD  : 3x  y  14  Gọi E  0; 6  điểm đối xứng với C qua AB Gọi M trung điểm CD, BD cắt ME 2 4 điểm I  ;   Tìm tọa độ đỉnh A , B , C , D 3 3 Tam giác CDE có hai trung tuyến BD cắt ME I I trọng    14  tâm tam giác CDE Vậy EM  EI   ;    1;7   M  1;1 2 3  01 H oc Phương trình đường thẳng CD qua M vuông góc AD: CD  : x  3y   B I nT hi D A  AD  : 3x  y  14   D  4;  Tọa độ D nghiệm hệ:  CD  : x  y   M trung điểm CD C  2;  E 3x + y - 14 = D uO iL ie B trung điểm EC B  1; 3    Vì ABCD hình chữ nhật đó: AB  DC   6; 2   A  5; 1 C M s/ Ta Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng  BD  : x  y   Điểm G thuộc cạnh BD cho BD  4BG Gọi M điểm đối xứng với A qua G Hạ up MH  BC , MK  CD Biết H  10;  , K  13;  đỉnh B có tọa độ số tự nhiên chẵn Tìm tọa độ A B m /g ro đỉnh hình chữ nhật ABCD Ta chứng minh G , H , K thẳng hàng Gọi E , F tâm hình chữ nhật ABCD , MHCK Ta có: G trung điểm BE Do MBAE hình bình hành Vậy ME  AB  2HE H trung điểm EM Do GH FH đường trung bình tam giác MAE , MCE Do đó: GH // AC, HF // AC Do G , H , K thẳng hàng Ta có: Phương trình co G E H F D C w fa ce bo ok M K w w  BD  : x  y    17  đường thẳng  HK  : x  y  38  Tọa độ G nghiệm hệ:   G  ;7     HK  : x  y  38   BD  : x  y    B  7;   Do GH  GP  GB nên tọa độ B nghiệm hệ:    17  13   B  10;   G; GH  :  x     y         Vì đỉnh B có tọa độ số tự nhiên chẵn B  10;  Mặt khác: BD  BG  D  4;  Ta viết phương trình đường thẳng  DK  : y  ta có đường thẳng  BC  : x  10    BC  : x  10 Vậy ta tìm C nghiệm hệ:   C  10;  Vì: BA  CD  A  16;   DK  : y  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ABC , cạnh AB, AC lấy điểm M, N cho BM  CN Gọi D, E trung điểm BC MN Đường thẳng DE cắt đường thẳng  1  1 AB, AC P Q Phương trình đường thẳng  BC  : x  10 y  25  P  0;  , Q  0;   Tìm tọa độ 2  2  đỉnh B, C biết A nằm đường thẳng x  y   Gọi J trung điểm MC Vì JE, JD đường trung bình tam giác 1 CMN , CMB đó: JE // CN, JD // BM JE  CN , JD  BM 2 Mặt khác BM  CN DJE cân J   CQD   AQP  , JDE   APQ  Do đó: APQ ∽ JDE Ta có: JED P A Q M E Vậy APQ cân A Ta viết phương trình đường trung trực N PQ  d  : y  Do tọa độ A nghiệm hệ phương 01 H oc C D nT hi  AQ  : x  y    C  5;    BC  : x  10 y  25  uO  AP  : x  y   Tọa độ B :   B  5;  Tọa độ C :  BC  : x  10 y  25  B D 2 x  y    A  1;  Từ ta viết phương trình:   d  : y  trình đường thẳng:  AP  : x  y   ,  AQ  : x  y   J ie Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC  AB đỉnh C  15; 9  Tiếp iL tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC điểm I  5;1 Tìm tọa độ s/ Vì IA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo tính chất góc tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung, ta có:   BCA   IAB ∽ ICA IAB Ta đỉnh A, B biết A có hoành độ âm phương trình đường thẳng  AI  : x  2y   m /g ro up A I C B bo ok co IB IA AB IB IB IA  AB        Do đó:   IA IC AC IC IA IC  AC     3 5 Do ta có: IC  IB  B  0;    IB  2  w fa ce  I ; IA  :  x  2   y  12  125  A  5;  Vậy: IA  IB  5 Tọa độ A nghiệm hệ :   AI  : x  y   0, x A  w w Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A  0;  , tâm đường tròn nội tiếp điểm I  0;1 Gọi E trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh B, C biết AH  HE B có hoành độ âm AI AB  IE BE   HBE  , Mặt khác, cạnh tương ứng vuông góc nên HAD A Theo định lý Thales cho đường phân giác ta có:   HBE    HCE  Lại có ABC cân A, đó: HAF HAF  AE  AE BE AE BE AE    8 Vậy: HBE ∽ BAE    BE EH  BE  BE EH EH AE   AB   1   2  tan ABC  tan ABC Do đó:  BE BE cos ABC F I D H B E www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 C www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   Vậy: AI  3IE  E  0; 1 Do ta viết phương trình đường thẳng BC qua E vuông góc với AE là:  BC  : y  1 Vì AE   BE   E; EB  : x   y  12   B 2 2; 1 , C 2; 1 AE  2 Vậy:  2  BC  : y  1, xB      Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có D  10;  trung điểm AB Trên tia CD lấy D H oc 01  22  I  ;   cho ID  2IC Gọi M  7; 2  giao điểm AI BC Tìm tọa độ đỉnh ABC 3  Trên đoạn thẳng BC lấy điểm G cho IG // AB Theo định lý A IG CG CI 1    CG  GB Thales cho CBD ta có: BD CB CD IG  Mặt khác theo định lý Thales cho MAB ta có: AB   MG MI IG 1 D     MG  GB MA  MI  A  9;  MB MA AB Vì D  10;  trung điểm AB ta có B  11;  I ie uO nT hi 1 Mặt khác, CG  GB MG  GB đó: B G M C   2 MG  CG  CB  BM  BC  C  6; 3  15 Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD Gọi M  3; 1 điểm nằm Ta iL đoạn AC cho AC  AM , gọi N  1;  điểm đoạn AB cho AB  3BN , gọi P  2;  điểm I N B /g ro up s/ đoạn BD cho BD  DP Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD Gọi I giao điểm PM AB, J giao điểm MN A AD, T điểm nằm cạnh AC cho AC = 3TC   7 3 MI MP Ta có:  ,   PM  MI  I  ;   M BC AD 2 2 J co m Đường thẳng qua I N  AB  : x  y  17  E C w fa ce bo ok T P AC  AC NT NM MT AT  AM D Vì:      JA MJ AM AM AC       18  24  IN MT NT Do đó:     IN   IA  A  5;   Vậy: AB  AN  B  4;  IA MA JA 3 5     w w       34  8 Mặt khác: AC  AM  C  3;  Vì ABCD hình bình hành nên: BA  CD  D  6;    5   7  Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC  AB Lấy D  ;  cạnh AB 2  Gọi E điểm nằm cạnh AC cho CE  BD DE cắt BC K  17; 3  (E nằm D K) Biết C  14; 2  Viết phương trình cạnh AC www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Lấy F cạnh BC cho FE // AB Theo định lý KE FE  Thales cho KBD , ta có: Mặt khác, theo KD DB FE CE FE AB    định lý Thales cho ABC ta có: AB AC CE AC   KE FE AB     KE  KD Vì CE  BD đó: KD CE AC 3 A D E B F C K  25  Từ ta tìm tọa độ điểm E  ; 5  viết phương trình đường thẳng  AC  : x  y  30    Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AC  AB Phương trình đường chéo  BD  : x   Gọi E điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AC  AE , gọi M trung điểm cạnh D AB AE   ta AC AB có ABE ∽ ACB Vậy: BC  2BE , mà BC  2BM EBM 1 cân B Mặt khác, IE  IA  AB , IM  AB (đường trung 2 bình ABC ) Vậy IB đường trung trực EM Do EM  BD Phương trình đường thẳng EM qua E vuông góc BD  EM  : y  H oc 01 5  BC Tìm tọa độ đỉnh A , B , C , D biết E  ;7  , SBEDC  36 , điểm điểm M nằm đường thẳng 2  x  y  18  đồng thời điểm B có tung độ nhỏ Ta chứng minh: EM  BD Thật vậy, hi A D B Ta iL ie uO nT E I M C m /g ro up s/  11  2 x  y  18   M  ;7  Vậy tọa độ M nghiệm hệ:     EM  : y  Như ta có ME  Mặt khác, SBEDC  2SBEC  4SBEM  d B ; EM  ME  18  d B ; EM   ok co Gọi tọa độ tham số điểm B  4; b  , ta có: d B; EM   b7   b  13  b  Vì B có tung độ bé ta bo chọn B  4;1 Vì M trung điểm BC ta tìm C  7;13  w fa ce     Do: AC  AE  A  1;  Lại có ABCD hình bình hành, vậy: BA  CD  D  4;17  Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh C  5; 2  , trung điểm I AC w w nằm đường thẳng x  y   , phương trình đường thẳng  AB  : 3x  y   Phân giác AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm E không trùng với A Gọi M N hình chiếu D xuống cạnh AB AC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết diện tích tứ giác AMEN đỉnh B có tung độ âm A  Dễ dàng chứng minh AD  MN 1   SAMEN   MN.AE= AD.AE.sin BAC 2 I M AC AE   AD.AE  AB.AC  ACD ∽ AEB  N AD AB C B D  S  Vậy: SAMEN   AB.AC.sin BAC ABC 1 12 AB   AB  13  Do đó: d C ;  AB  AB  E 2 13   www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   3a   I   2t ; t   x  y   0, A  a;   3x  y      I trung điểm AC đó: a    4t ,   3b    3b      13  b  1, b  Gọi B  b;   x  y   Vì AB  13   b          Do B  1; 2   B  5;  Vì đỉnh B có tung độ âm B  1; 2  3a   1   2t  a  3, t    A  3;1 , I  4;   2 2  Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Trên đoạn thẳng   900 Biết A 2; , D 1;1 , phương trình đường thẳng ADC  AEB HB, HC lấy D E cho      Gọi F , G , I hình chiếu A , B , C BC , CA , AB Theo hệ thức lượng cho tam giác vuông A D ADC ta có: AD2  AG.AC Theo hệ thức lượng cho tam giác vuông AEB ta có: AE2  AI AB hi G H E D iL ie uO nT I B C F s/ Ta   BGC   900 tứ giác BIGC nội tiếp Mặt khác BIC Vậy AI.AB  AG.AC Do đó: AD  AE Khi tọa độ E nghiệm hệ phương trình:  CE  : x  y   0, xE    E  3;1  2  A; AD  :  x     y    Mặt khác:  CD  : x  y   qua D vuông góc AD 01 điểm E có hoành độ dương Tìm tọa độ đỉnh B , C H oc CE  : x  y   ro up CD  : x  y    C  5; 1   BD  : 3x  y   qua D Do tọa độ C nghiệm hệ:  CE  : x  y   co m /g vuông góc với AC Ta có: đường thẳng  EB  : x  y   qua E vuông góc AE bo ok  BD  : 3x  y    B  3; 2  Do tọa độ B nghiệm hệ:   EB  : x  y   ce Bài 12: Tam giác ABC vuông A có hai trung tuyến AM BN vuông góc Chứng minh đó: w fa AC  AB w Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có: BG  BN w Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có: AB2  BN.BG đó: AB2  BN 3 Mặt khác: AN  BN  AB2  AB2  AB2  AB2 2 C N M G Do đó: AC  AN  AB2  AC  AB A B Áp dụng: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A  1;1 có hai trung tuyến AM BN vuông góc Biết diện tích tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh B biết B nằm đường thẳng  : x  y   www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài 13: Cho tam giác ABC cân A với hai đường cao AH BK Chứng minh rằng: 1 a)   2 BK BC AH b) BC  2CK.AC a) Gọi D điểm cho A trung điểm CD Ta có BCD vuông B 1 Theo hệ thức lượng tam giác vuông BCD ta có:   2 BK BC BD Mà BD  AH (AH đường trung bình BCD ) 1 Do đó:   2 BK BC AH b) Theo hệ thức lượng tam giác vuông BCD ta có: D A D Gọi K hình chiếu B AC Biết CK.AC  , tọa độ điểm B  2;1 Tìm H oc Mà CD  AC , BC  2CK.AC Áp dụng: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A 01 BC  CK.CD tọa độ đỉnh C biết đỉnh C nằm đường thẳng d : x  y   H C hi B K uO nT Bài 14: Tam giác ABC vuông B có BC  AB Lấy D, E cạnh BC cho BD  DE  EC Chứng minh   AEB   ACB  rằng: ADB Ta có: AD2  AB2  BD2  AB2 A iL ie Mặt khác DE.DC  AB  AB   AB2 AD CD   DEA ∽ DAC DE AD   DAC   ACB   ADB   AEB   ACB  ADB Mà s/ Ta Vậy AD  DE.DC  /g ro up   DEA   DAC B D E C (đpcm) Áp dụng: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông B Lấy D, E cạnh BC m   AEB   ACB  , đồng thời phương trình đường cho BD  DE  EC Biết tọa độ đỉnh A  1;1 , ADB ok co thẳng  BC  : x  y   Tìm tọa độ đỉnh B C bo Bài 15: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E trung điểm AB Đường thẳng DE cắt AC F cắt CB G ce Chứng minh rằng: FD2  FE.FG EB // CD , EB  CD nên EB đường trung bình tam giác GCD FD AD BC    Vậy B trung điểm CG Do đó: FG CG CG FE AE AE FE FD    Vậy   FD  FE.FG Mặt khác: FD CD AB FD FG Áp dụng: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật w w w fa G ABCD Gọi E trung điểm AB Đường thẳng DE cắt AC F cắt CB G Biết F  1;1 , điểm D nằm đường thẳng  : x  y   FE.FG  Tìm tọa độ đỉnh E E A B F D C Bài 16: Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến AM, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H AB AC a) Chứng minh rằng: DE  BH CH b) Chứng minh rằng: DE  AM c) Chứng minh rằng: Nếu SABC  2SAEHD tam giác ABC vuông cân A www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 a) AEHD hình chữ nhật DE  AH  BH CH   MCA   MAE   AED   900  DE  AM b)   MAE     AED  EAH  90  MCA c) Ta có: SAEHD  2SADE Mà: 4 C E M H A D SADE AD AE AH AH AH AM       2 2 SABC AB AC  AB AC   AH BC  BC BC Vậy: SABC  4SADE  SABC  SAEHD Do đó: SABC  2SAEHD AH  AM  ABC vuông cân A B Áp dụng: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A , trung tuyến AM, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H AB AC Gọi G trọng tâm tam giác ABM , 01 K  7; 2  điểm nằm đoạn MC cho GA  GK Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết D H oc đỉnh A có hoành độ nhỏ , SABC  2SAEHD phương trình đường thẳng  AG  : 3x  y  13  BE FC Ta AC c) Chứng minh rằng: AH  BC BE.CF  BC HE.HF BE CF   d) Chứng minh rằng: AB AC     s/ a) BC   BH  HC   BH  CH  BH HC nT  uO ie AB3 iL b) Chứng minh rằng: hi Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F hình chiếu H cạnh AB, AC a) Chứng minh rằng: BC  AH  BE  CF C up BH  CH  BE2  EH  CF  HF  BE2  CF  AH BH BC BH AB BH AB.BE AB3 BE       AC CH BC CH AC CH AC CF AC FC AH  BH CH  AH  BH 2CH   BE.AB CF AC   BE.CF  AB.AC  m  co c) AB2 ok b) /g ro AH  BH CH Do đó: BC  BE  CF  AH F H w w fa ce bo  AH  BE.CF.AH.BC  AH  BE.CF.BC AH BH AH CH AH Chú ý rằng: HE.HF    AH  BC HE.HF AB AC BC.AH 2 B A BE CF BE.AB CF AC BH CH AH CH E d)        1 AB AC AB2 AC AB2 AC AC AC Áp dụng: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F w hình chiếu H cạnh AB, AC Biết phương trình đường thẳng  AC  : x  y   , tọa độ điểm B  3;1 BE  2CF Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài 18: Cho tam giác ABC vuông A, có đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD đồng quy I Chứng minh rằng: BH  AC www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Lấy E đối xứng với I qua M Khi IH // EC, ID // EA BH IB IB DB   Do đó: , CH IE IE DA Mặt khác theo định lý Thales cho đường phân giác thì: DB CB BH CB   Vậy  BH CA  CH CB  BH  BH  CA DA CA CH CA Áp dụng: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác C H E M I ABC vuông A, có đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác A D B CD đồng quy I Biết AC   , B  1;1 Tìm tọa độ điểm C biết C nằm đường thẳng w w w fa ce bo ok co m /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 :xy40 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01