Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương 24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG CÂU PHÂN LOẠI Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải BÀI 15: Bất đẳng thức kết hợp điều kiện Bài 1: Cho số thực x , y , z   thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: y x z A   x 1 y 1 z 1    x 36 (1) x 50 x  50 y 36 (2) y  50 y  50 z z 1   36 (3) z 50 50 Thật vậy: (1)   3x  1  x    x   Chứng minh tương tự cho (2) (3)  A  Đẳng thức xảy x  y  z  x x 1 3 Đẳng thức xảy x  x   4 y  y 1 z  z 1  36 36 x  y  z      50 50 50 50 10 Kết luận: Vậy giá trị lớn A x  y  z  10 Bài 2: Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x  y  z2  Chứng minh rằng: y x z 3 9    x 1 y 1 z 1 Ta có đánh giá:  x 96 3   (1) (1)  x  x 1 x2 Đẳng thức xảy x  Tương tự ta có:  y x z 96  1       x 1 y 1 z 1 y z x Bài 3: Cho a , b, c    x     x  y 96 3 z 96 3     y 1 4 z 1 y z2  3 9 Đẳng thức xảy x  y  z      a b c a2 b2 c2    Tìm giá trị nhỏ của: P    a2 b2 c2 a1 b1 c1 x2 27  x   x  10  x  1    0, x  Ta có: f  x     x1  x 2 8  x  1 x   Mọi giảng, tài liệu chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán hình thức coppy nhớ ghi nguồn Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Do đó: P  f  a   f  b   f  c   Admin: Chương Dương 27  a b c  15 27  a b c  15   P   P     a2 b2 c2 8 a2 b2 c2 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 4: Cho a , b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ : P  a  b  c   a  1 a    b   b    c   c    Ta có: f  x   x   x  1 x   x   x  1 x  x  x    x  1   x3 2  x3 2   x    x3 2   x   x   2x    x   x   0x  Do đó: P  f  a   f  b   f  c    a  b  c   Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 5: Cho a , b, c  a  b  c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ của: P    2  x  1 x  x  Ta có: f  x    x x    0, x  x 1 2 x2  x4   Do đó: P  f  a   f  b   f  c     a4 a2   b4 b2   c4 c2  1 3 a  b  c  a  b  c   Đẳng thức xảy a  b  c  2   Bài 6: Cho a , b, c  a  b  c  ab  bc  ca  Tìm giá trị lớn biểu thức:  a  b   b  c   c  a P 2 2  a  b   b  c   c  a   22x2  x    x  2 28 x3 11 x   81 x  81 Ta có: f  x     P  f  a  b  f b  c   f c  a    81 x    0, x    2 11 28 a  b   b  c   c  a    Đẳng thức xảy ra: a  b  c   81 27 Bài 7: Cho a , b, c  abc  Tìm giá trị nhỏ : P  Xét: f  x   a3 a2  a   b3 b2  b   c3 c2  c  x3  ln x  , với x   0;   Khi ta có: x  x1 f ' x   x2 x2  x  x  x1      x  1  x 3x  x  12 x  x     x2  x  x Sử dụng khảo sát bảng biến thiên hàm số ta f  x   f  1  Vậy: P  f  a   f  b   f  c     ln a  ln b  ln c    Đẳng thức xảy a  b  c     Bài 8: Cho a , b, c  a2  b2  c   27 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a3  b3  c  a2  b2  c Mọi giảng, tài liệu chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán hình thức coppy nhớ ghi nguồn Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 15 15ln Xét: f  x   x  x  ln x    , với x   0;   Khi ta có: 2  Admin: Chương Dương  f ' x  3x  x  15 x x 2  3x    x  11x  x  1 x 2  f ' x   x  Sử dụng khảo sát bảng biến thiên hàm số ta f  x   f  1   P  f  a   f b  f c      15 45ln ln a   ln b   ln c    2      P  Đẳng thức xảy a  b  c      Bài 9: Cho a , b, c  a2  b2  c  a  b  c Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a2  b2  c      Xét: f  x   ln x   x  x  ln , với x   0;   Khi ta có: f 'x  2x x 1  2x  2x      x   x  1 x 1  f ' x   x  Sử dụng khảo sát bảng biến thiên hàm số ta f  x   f  1     ln P  f  a   f  b   f  c   a2  b2  c  a  b  c  3ln  ln  P  Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 10: Cho a , b, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn : P  Xét: f  x  a2   b  c   b3 b2   c  a   c3 c2  a  b   x  12  x  1 17 12  x   0x   0;  25 25 25 x  x  x3 x    x a3  Khi đó: P  f  a   f  b   f  c    17  Đẳng thức xảy a  b  c   a  b  c   36 25 25 Bài 11: Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x  y  z  x  y  z Chứng minh rằng: x3  y3  z3  Đề thi thử THPT Chuyên Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2016 lần Ta có đánh giá: x3  x2  x    x  1  x    x  Đẳng thức xảy x  3 y4  y3  y    y  1 y  y   y  Đẳng thức xảy y  3 z5  z4  z    z  1 3z  3z  z   z  Đẳng thức xảy z  3     Mọi giảng, tài liệu chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán hình thức coppy nhớ ghi nguồn Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương  x3  x2  y  y  z  z  x3  y  z    x3  y  z  Đẳng thức xảy x  y  z    Bài 12: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 25a P 25a Ta có bất đẳng thức:  a  b2  16ab a  b  16 ab c2   a 25b2  a 2b2  c  16bc Đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo DakNong 2016 lần  a  3b (1) TH: a  3b   (1)   TH: a  3b  (1)  625a   a  3b  a  b  16 ab   a  b   71a  21b  a  3b   (luôn đúng) 2 25b Nên (1) với a, b  Đẳng thức xảy a  b Tương tự ta có: thức xảy b  c  P  a  3b  8b  3c   P  a   a  b  c   8c  Áp dụng AM-GM: a   3c c2  c2  3 a   a a  c2   a a  a  5b  3c  2b  c  16bc  b  3c Đẳng c2 3  a  a    c  8c  15  c2  c  P  3.2c  c  8c  15  c  2c  15   c  1  14  14 a c   c b Đẳng thức xảy   1,   a  b  c  b a  a  b  c  Bài 13: Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  x Chứng minh rằng:     x  y7  y  z7  z   27  Đề Khảo Sát Chất Lượng THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2015  x  x   x    x  1 x5  x4  3x3  3x2  x   x  Ta có đánh giá : Đẳng thức xảy x  Tương tự ta có: y  y   y  z  z   z         Khi đó: x7  x  y7  y  z7  z   x  y  z       Áp dụng bất đẳng thức Holder: x   1  y  1   z   x  y  z  Mà ta có: x  y  z     x  y  z   xy  yz  zx          x7  x  y7  y  z7  z   x  y  z   27 Đẳng thức xảy x  y  z  Mọi giảng, tài liệu chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán hình thức coppy nhớ ghi nguồn FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Group Tài Liệu Ôn Thi Admin: Chương Dương Bài 14: Cho a , b, c số thực thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng:  a4  b4  c  a3  b3  c 4  Bất đẳng thức  a  a  b  2b  c  2c    Ta có đánh giá: a  a  a  16   a   a  a   a   Tương tự: b  2b  8b  16 , c  2c  8c  16  a4  b4  c  a  b3  c   a  b  c   48     a4  b4  c  a  b3  c Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 15: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a b c     bc  ac  ab Áp dụng AM-GM:  a bc 1     4a  1  a  Do a  b  c   a , b , c   0,1 Ta có đánh giá: Tương tự :  4b  1  b  4a  1  a      b ac 1     4b  1  b  4a   1  a  2   a b c     bc  ac  ab 10 c ab 1     4c  1  c  2 99a    3a  1 11a  15  a   0,1 100 99b  4c 99c   , 100 100  1  c  4b  1  b   4c  1  c  Đẳng thức xảy a  b  c   99  a  b  c   100  a b c     10  bc  ac  ab 10 Bài 16: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2 a  b  c  ab  bc  ca Bất đẳng thức  a  b  c  a  b  c  Ta có đánh giá: a  a  3a   a 1   a  a   a  Tương tự: b 2  b  3b , c  c  3c  a  b  c  a  b  c   a  b  c   Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 17: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Ta có đánh giá: a2 a  ab  b  a2 a  ab  b  b2 2b  bc  c  c2 2c  ca  a 11a  3b (1) 16 TH: 11a  3b   (1) Mọi giảng, tài liệu chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán hình thức coppy nhớ ghi nguồn Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Admin: Chương Dương TH: 11a  3b  (1)   a  b   a  3b  3b  14a   3b  14 a  3b  11a  Vậy (1) đúng, đẳng thức xảy a  b Tương tự: P 11  a  b  c    a  b  c  16  8a  b  c Kết luận: Vậy giá trị nhỏ P 2b  bc  c  c2 11b  3c , 16 2c  ca  a  11c  3a 16 1 Đẳng thức xảy a  b  c   16 b2 1 a  b  c  Bài 18: Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x ln y  y ln z  z ln x Ta có đánh giá: ln x  x  Xét hàm số: f  x   ln x  x  với x   f 'x  1 x 1  f '  x    x  BBT: x x x f’(x)    f(x) Dựa vào bảng biến thiên  f  x   f  1   ln x  x  Tương tự: ln y  y  , ln z  z   P  x  y  1  y  z  1  z  x  1  x  y  z  xy  yz  zx  Mà: xy  yz  zx  3  P330 Đẳng thức xảy x  y  z  Kết luận: Vậy giá trị lớn P x  y  z  Bài 19: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Áp dụng AM-GM: a2 b  c 4bc   b  c   ac   a  c   2  a  b b2    5bc  a  c   5ac a2 b  c   5bc b2 a  c  5ac Do a  b  c   a , b , c   0,1 Ta có đánh giá:   4a2 b  c  4b 9a  c   4a2 1  a  4b 1  b  2 a 9a     3a  1  a   0,1 1 a Mọi giảng, tài liệu chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán hình thức coppy nhớ ghi nguồn Group Tài Liệu Ôn Thi FB:https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Tương tự: 2  a  b 1  P  a2  b2   a  b     a  b  Áp dụng AM-GM: a  b  18  Admin: Chương Dương 2  a   b    a    9b    b 9b     P     a  b                a  b   a    b        1 b      2 2 ab 3 2 1  P   a  b     a  b   a  b      18 8 3 9 a  b  c   Đẳng thức xảy  a  b  abc 3   a  b  c  Kết luận: Vậy giá trị nhỏ P  1 a  b  c  Mọi giảng, tài liệu chia sẻ miễn phí nghiêm cấm buôn bán hình thức coppy nhớ ghi nguồn