Phương Trình – Bất Phương Trình – Hệ Phương Trình Trong Đề Thi Đại Học (2010 – 2015) Câu Giải phương trình : x 2 x    x  1 x2  x    x   tập số thực (2015) ĐK : x  -2 ( x  )( x  ) x2  ( x 1) x  2x  x2 2 x    x4 x 1   (1) x2 2  x  2x  ( )  ( x  )( x   )  ( x  )( x  2x  )  ( x   )( x   )  ( x  )  2 ( x  )2   ( ) Đặt f(t) = ( t  )( t  )  t  2t  2t  với t  R f '( t )  3t  4t    f(t) đồng biến Vậy (2)  x 1  x  x   13  13 Vậy x = hay x =  x 2 x  2x   x   x 12  y  y(12  x )  12  Câu Giải hệ phương trình  (x, y số thực)  x  8x   y  (Khối A – 2014)  x 12  y  y(12  x )  12    x  8x   y  (1) (2) Điều kiện xác định: ≤ y ≤ 12; 12 – x² ≥ Áp dụng Cauchy: x 12  y ≤ |x| 12  y ≤ (x² + 12 – y)/2 y(12  x ) ≤ (y + 12 – x²)/2 (a) (b) Từ (a) (b) → x 12  y  y(12  x ) ≤ 12 (c) Do phương trình (1) có nghiệm khi đẳng thức (c) xảy x = 12  y y = 12 – x² với ≥ x ≥ Thay vào phương trình (2) ta x³ – 8x – = 10  x (d) Để phương trình (d) có nghiệm x³ – 8x – ≥ → x³ ≥ 8x + > 8x → x > 2 Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Xét hàm số f(x) = x³ – 8x – – 10  x f ’(x) = 3x² – + 2x 10  x > với x > 2 mà f(3) = nên x = nghiệm (d) Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {(3; 3)} (1  y) x  y  x   (x  y  1) y Câu Giải hệ phương trình  2y  3x  6y   x  2y  4x  5y  (x, y số thực) (Khối B – 2014)  (1  y) x  y  x   (x  y  1) y Giải hệ phương trình:  (1)  2y  3x  6y   x  2y  4x  5y  (2) Điều kiện: x ≥ 2y ≥ 0; 4x ≥ 5y + (*) Đặt a = x  y b = y (a, b ≥ 0) phương trình (1) tương đương (1 – b²)a + a² + b² = + (a² – 1)b a(1 – b²) + (a² – 1) + (b² – 1) – (a² – 1)b = (1 – b²)(a – 1) + (1 – b)(a² – 1) = (1 – b)(a – 1)(2 + b + a) = b = a = (do a + b + > 0) y = x = y + Với y = → – 3x = x  – 4x  x = Với x = y + 1, điều kiện (*) ≤ y ≤ phương trình (2) trở thành 2y² + 3y – =  y 2(y² + y – 1) + y –  y = (y² + y – 1) (2 + y = ) = y² + y – = y  1 y 1  1  y = (loại) 2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình S = {(1; 3), (  1  ; )} 2 Câu Giải bất phương trình (x  1) x   (x  6) x  ≥ x² + 7x + 12 (Khối D – 2014) Điều kiện x ≥ –2 (x + 1) x  + (x + 6) x  ≥ x² + 7x + 12 (x + 1)( x  – 2) + (x + 6)( x  – 3) ≥ x² + 2x – (x  1)(x  2) (x  6)(x  2) – (x – 2)(x + 4) ≥  x2 2 x 7 3 x 1 x6 (x – 2) [ (*)   (x  4)] ≥ x2 2 x 7 3 Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh x 1 x6    x4 x22 x 7 3 x 1 x6 x  x  2x  –1 Suy ra: (*) x – ≤ x ≥ –2 –2 ≤ x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình [–2; 2]  x   x   y   y Câu Giải hệ phương trình   x  2x(y  1)  y  6y   (x, y  R) (Khối A – 2013)  x   x   y   y Giải hệ phương trình:   x  2x(y  1)  y  6y   (1) (2) Điều kiện x ≥ 1; từ (2) suy 4y = (x + y – 1)² → y ≥ Đặt u = x  ≥ 0; (1) Xét hàm số f(t) = u   u  y4   y (3) 2t t   t với t ≥ → f ’(t) = t4   > với t ≥ Do phương trình (3) f(u) = f(y) u = y x = y4 + Thay vào (2) ta 4y = (y4 + y)² y[y(y³ + 1)² – 4] = y = y(y³ + 1)² = (4) Xét g(y) = y(y³ + 1)² với y ≥ → g’(y) = (y³ + 1)² + 6y³(y³ + 1) > (với y ≥ 0) mà g(1) = nên y = nghiệm phương trình (4) Với y = x = 1; với y = x = Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S = {(1; 0); (2; 1)} 2x  y2  3xy  3x  2y   (x, y  R) Câu Giải hệ phương trình  2 4x  y  x   2x  y  x  4y (Khối B – 2013) 2  2x  y  3xy  3x  2y   Giải hệ phương trình sau  2  4x  y  x   2x  y  x  4y điều kiện 2x + y ≥ x + 4y ≥ (1) x² – 2xy + y² + x² – xy + 2x – 2y + x + = (x – y)² + 2(x – y) + + x(x – y + 1) = (x – y + 1)² + x(x – y + 1) = (x – y + 1)(2x – y + 1) = y = x + y = 2x + Với y = x + 1: (2) 3x² – x + = 3x   5x  3x² – 3x + (x + 1) – 3x   x   5x  = (x  x)(3  x   3x  Toán Tuyển Sinh Group  (1) (2) (điều kiện x ≥ –1/3) ) =0 x   5x  www.facebook.com/groups/toantuyensinh x² – x = x = V x = Khi hệ phương trình có nghiệm (0; 1) (1; 2) Với y = 2x + 1: (2) trở thành – 3x = 3x + 4x    9x   = x(3 + 4x   9x  4 ) = x = Khi hệ phương trình có ngiệm  4x   9x   (0; 2) Vậy tập nghiệm hệ phương trình cho S = {(0; 1), (1; 2)}  xy  x   2  2x  x y  x  y  2xy  y  Câu Giải hệ phương trình  (x, y  R) (Khối D – 2012) (1)  xy  x   2  2x  x y  x  y  2xy  y  Giải hệ phương trình:  (2) (2) x²(2x – y + 1) – y(2x – y + 1) = (x² – y)(2x – y + 1) = y = x² y = 2x + Với y = x², (1) trở thành x³ + x – = (x – 1)(x² + x + 2) = x = → y = 1  →y=  1  1 ; 5), ( ;  5) } Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm: S = {(1; 1), ( 2 Với y = 2x + 1, (2) trở thành 2x² + 2x – = x =  x  3x  9x  22  y3  3y2  9y  Câu Giải hệ phương trình  2 x  y  x  y   (x, y  R) (Khối A – 2012) x  3x  9x  22  y3  3y2  9y  Giải hệ phương trình  2 x  y  x  y   (1) (2) (1) (x – 1)³ – 12(x – 1) = (y + 1)³ – 12(y + 1) (3) (2) (x – 1/2)² + (y + 1/2)² = điều kiện có nghiệm –1 ≤ x – 1/2 ≤ –1 ≤ y + 1/2 ≤ hay –3/2 ≤ x – ≤ 1/2 – 1/2 ≤ y + ≤ 3/2 Xét hàm số g(t) = t³ – 12t [–3/2; 3/2] g’(t) = 3(t² – 4) < với t thuộc [–3/2; 3/2] hàm số g(t) nghịch biến [–3/2; 3/2] (3) g(x – 1) = g(y + 1) x – = y + y = x – Thay vào (2) ta x² + x² – 4x + – x + x – = 1/2 x² – 2x + 3/4 = x = 3/2 x = 1/2 Vậy {(3/2; –1/2), (1/2; –3/2)} tập nghiệm phương trình cho Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu Giải bất phương trình: x   x  4x  ≥ x (Khối B – 2012) Giải bất phương trình: x   x  4x  ≥ x (1) điều kiện x ≥ x² – 4x + ≥ ≤ x ≤ – x ≥ + Nhận xét x = thỏa mãn bất phương trình (1) x Nếu x > 0: (1) Đặt t = (2) x x 1  x   ≥ (2) x x (điều kiện t ≥ 2) 3  t  t ≥ 3>t≥5/2 t  ≥ – t – t ≤  2  t   (3  t) t≥5/2 Suy t² ≥ 25/4 x + 1/x + ≥ 25/4 4x² – 17x + ≥ x ≥ x ≤ 1/4 Kết hợp điều kiện ta < x ≤ 1/4 x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = [0; 1/4] U [4; +∞) 2  5x y  4xy  3y  2(x  y)  Câu 10 Giải hệ phương trình  2   xy(x  y )   (x  y) (x, y  R) (Khối A – 2011) 2  5x y  4xy  3y  2(x  y)  Giải hệ phương trình sau:  2  xy(x  y )   (x  y) (1) (2) Phương trình (2) xy[(x + y)² – 2xy] + – (x + y)² = (xy – 1)(x + y)² – 2(xy – 1)(xy + 1) = (xy – 1)[(x + y)² – 2(xy + 1)] = xy = V x² + y² = Với xy = → x = / y Thay vào (1) ta có: / y – 4y + 3y³ – 2(1 / y + y) = 3y4 – 6y² + = y² = y = V y = –1 y = → x = 1; y = –1 → x = –1 Với x² + y² = 2; từ (1) → 5x²y – 4xy² + 3y(2 – x²) – 2x – 2y = 2x²y – 4xy² – 2x + 4y = xy (x – 2y) – (x – 2y) = (xy – 1)(x – 2y) = xy = (đã xét) x = 2y 10 10 y = – 5 10 10 ; Vậy tập nghiệm hệ phương trình S = {(1; 1), (–1; –1), ( ), 5 10 10 ; ( )} 5 Với x = 2y x² + y² = → 5y² = → y = Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 11 Giải phương trình:  x   x  4  x  10  3x (x  R) (Khối B – 2011) Điều kiện: 2  x  (*) Khi đó, phương trình cho tương đương:    x  2  x  4  x  10  3x (1) Đặt t   x  2  x , (1) trở thành: 3t  t  t  t   t  0, suy ra:  t  3, suy ra:  x  2  x   x    x   x  , thỏa mãn (*)  x  2  x  3, vô nghiệm (  x  2  x   với x   2;2 ) Vậy, phương trình cho có nghiệm: x  Câu 12 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  2x  (y  2)x  xy  m    x  x  y   2m (x, y  R) (Khối D – 2011)  2x  (y  2)x  xy  m Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm   x  x  y   2m  (x  x)(2 x  y)  m hệ phương trình cho tương đương với   (x  x)  (2x  y)   2m Đặt u = x² – x; v = 2x – y u.v  m u(1  2m  u)  m  u  v   2m  v   2m  u Hệ cho trở thành  (1) m(2u + 1) = u – u² (1) (2) (3) u  u2 Vì u = x² – x ≥ –1/4 nên (3) m = 2u  Xét hàm số f(u) = (u – u²)/(2u + 1) với u ≥ –1/4 f’(u) =  2u  2u  (2u  1) ; f’(u) = u = 1  Bảng biến thiên Hệ phương trình cho có nghiệm khi m ≤ Toán Tuyển Sinh Group 2 www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 13 Giải bất phương trình x x  2(x  x  1) ≥1 (Khối A – 2010) Giải bất phương trình x x  2(x  x  1) ≥1 (1) Điều kiện x ≥ Ta có 2(x² – x + 1) = x² + (x – 1)² + > → – 2(x  x  1) Nên (1) x  x ≤ – Mặt khác: 2(x  x  1) < 2(x  x  1) ≤ – x + 2(x  x  1)  2[(1  x)2  ( x )2 ] ≥ – x + Từ (2) (3) suy (1) có nghiệm – x = ≤ x ≤ – 2x + x² = x x = x (2) x (3) x ≥ x ≥ 3 (4x  1)x  (y  3)  2y  Câu 14 Giải hệ phương trình sau  2 4x  y   4x  (x, y  R) (Khối A – 2010) (4x  1)x  (y  3)  2y  Giải hệ phương trình sau  2 4x  y   4x  (1) (2) Điều kiện x ≤ 3/4; y ≤ 5/2 phương trình (1) (4x² + 1).2x = (5 – 2y + 1)  2y (3) Xét hàm số g(t) = (t² + 1).t có đạo hàm g’(t) = 3t² + > với số thực t → g(t) đồng biến R (3) g(2x) = g(  2y ) 2x =  2y (4) Từ (4) suy x ≥ y = (5 – 4x²) / Thay vào (2) ta có: 4x² + (5 – 4x²)² / +  4x = (5) Nhận xét x = x = 4/3 không thỏa mãn (5) Xét hàm số h(x) = 4x² + (5 – 4x²)² / +  4x (0; 3/4) h’(x) = 8x – 4x(5 – 4x²) – = 4x(4x² – 3) –  4x < với < x < 3/4  4x → h(x) nghịch biến (0; 3/4); mà h(1/2) = Nên phương trình (5) có nghiệm x = 1/2 Suy y = Vậy (1/2; 2) nghiệm hệ phương trình cho Câu 15 Giải phương trình: 3x    x  3x  14x   (x  R) (Khối B – 2010) Giải phương trình: 3x    x  3x  14x   (1) Điều kiện: –1/3 ≤ x ≤ (a) phương trình (1) 3x 1     x  3x 14x   Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh 3(x  5) x 5   (x  5)(3x  1)  3x     x (x – 5)( (2)   3x  1) = 3x     x Vì   3x  > với –1/3 ≤ x ≤ 3x     x Nên (2) x = Vậy phương trình có nghiệm x = Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh