Hình Học Không Gian Trong Đề Thi Đại Học (2010 – 2015) Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ACBD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB, AC (2015) S Do góc SCA = 45o nên tam giác SAC vuông cân A Ta có AS = AC = = a  V  a a  a3 K Gọi M cho ABMC hình bình hành Vẽ AH vuông góc với BM H, AK vuông góc SH K Suy ra, AK vuông góc (SBM) A D H C B 1 1 Ta có:  2  2 2 2 AK SA AH 2a 2a 2a Vì AC song song (SBM) suy d(AC, SB) = d(A; (SBM)) = AK = M a Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SD = 3a/2, hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) (Khối A – 2014) Gọi H hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) → H trung điểm cạnh AB HD² = AH² + AD² = 5a²/4 → HD = a S SH vuông góc với (ABCD) → SH vuông góc D A với HD SH² = SD² – HD² = 9a²/4 – 5a²/4 = a² → H F SH = a E VS.ABCD = (1/3)SH.SABCD = (1/3).a.a² = a³/3 B C (đvtt) Gọi E hình chiếu vuông góc H lên BD; F hình chiếu vuông góc H Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh lên SE BD vuông góc với SH HE nên BD vuông góc với mặt phẳng (SHE) → BD vuông góc với HF Nên HF vuông góc với mặt phẳng (SBD) → d(A; (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HF Mặt khác BHE Δ vuông cân H → HE = BE = HB a  ta có SE² = SH² + HE² = a² + a²/8 = 9a²/8 → SE = HF = SH.HE / SE = a/3 Vậy d(A; (SBD)) = 2a/3 3a = 3HE Câu Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB; góc đường thẳng A’C mặt đáy 60° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) (Khối B – 2014) Gọi H hình chiếu vuông góc A mặt phẳng đáy → H trung điểm AB A’ góc A’CH = góc A’C tạo với đáy = 60° CH = a = a² → A’H = CH.tan 60° = 3a/2 SABC B’ K 3a 3 → VS.ABC = A’H.SABC = M A Gọi M hình chiếu vuông góc H AC → HM vuông góc với AC A’H vuông góc với AC → AC vuông góc với (A’MH) Vẽ đường cao HK ΔA’MH → AC vuông góc với HK HK vuông góc với A’M → HK vuông góc với (ACC’A’) → HK = d(H; (ACC’A’)) HM = AH sin BAC = (a/2)sin 60° = a A’M = C’ C H B a 39 9a 3a 3a = → HK = A’H.HM / A’M = A 'H  HM   4 16 13 2 H trung điểm AB → d(B; (ACC’A’)) = 2HK = Toán Tuyển Sinh Group 3a 13 www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A; mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC (Khối D – 2014) S Từ S kẻ SH vuông góc với BC H → SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) SH = a Tam giác ABC vuông cân A có AH vừa trung tuyến vừa đường cao → AH vuông góc với BC AH = BC/2 = a/2 K H B C A Ta có: BC vuông góc với SH; BC vuông góc với AH Nên BC vuông góc với (SAH) Từ H kẻ HK vuông góc với SA K Khi HK đường vuông góc chung SA BC Tam giác SHA vuông H HK  SH  HA   3a a a d(SA, BC) = HK =  16 3a Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, góc ABC = 30° SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) (Khối A – 2013) Gọi H, I trung điểm BC, AB → SH vuông góc với BC; mà (SBC) vuông góc với đáy → SH vuông góc với đáy Ta có BC = a, suy SH = a ; AC = BC.sin 30° = a/2 AB = BCcos 30° = a S B I A H C → VS.ABC = (1/3)SH.SΔABC = (1/6).SH.AB.AC = a³/16 ΔABC vuông A nên AH = HB → SA = SB = a → SI vuông góc với AB SI = 3a a 13  16 3V a 39 3a SΔSAB = SI.AB  → d(C; (SAB)) = S.ACB  16 SΔSAB 39 SA2  AI2  a  Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) (Khối B – 2013) Gọi H, K trung điểm AB CD Vẽ HI vuông góc với SK I ΔSAB nên SH vuông góc với AB Mà mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD) Suy SH vuông góc với (ABCD) SH = a a3 ; VS.ABCD = (1/3)SH.SABCD = S CD vuông góc với SH, HK → CD vuông góc với (SHK) → CD vuông góc với HI Mà HI vuông góc với SK Suy HI vuông góc với (SCD) B Mặt khác AB // (SCD) nên d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) = HI 1/HI² = 1/SH² + 1/HK² = 4/(3a²) + 1/a² = 7/(3a²) I A D H K C Vậy khoảng cách từ A đến (SCD) d(A, (SCD)) = HI = a 21 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc BAD = 120°, M trung điểm cạnh BC góc SMA = 45° Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) (Khối D – 2013) Ta có: góc ABC = 180° – góc BAD = 60° Suy ΔABC → AM = a a2 ; SABCD = AM.BC = 2 ΔSAM vuông cân A nên SA = AM = S a VS.ABCD = (1/3).SA.SABCD = a³/12 Gọi H hình chiếu vuông góc A SM BC vuông góc với AM, SA → BC vuông góc với (SAM) → BC vuông góc với SM → AH vuông góc với (SBC) Do AD // (SBC) nên d(D,(SBC))=d(A, (SBC)) = AH Mặt khác ΔSAM vuông cân A → AH = H A D B M C AM a  Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Vậy d(D, (SBC)) = a Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60° Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a (Khối A – 2012) Góc SCH góc SC mặt phẳng (ABC) → góc SCH = 60° Gọi D trung điểm cạnh AB Suy DA = DB = a/2 Mặt khác HA = 2HB → HA = 2a/3 HB = a/3 Do HD = a/2 – a/3 = a/6 CD vuông góc với AB (do ΔABC đều) CD = a ; CH = CD2  HD2  a S K a 21 a 21 a a   3 12 SH = CH.tan 60° = VS.ABC = SH.SABC A D C N H Qua A kẻ đường thẳng d // BC; kẻ HN B vuông góc với d N; kẻ HK vuông góc với SN K Khi AN vuông góc với HN, SA → AN vuông góc với (SHN) → AN vuông góc với HK Suy HK vuông góc với (SAN) AB d(H, (SAN)) = (3/2).HK AH a SH.HN a 42  Ta có HN = AH sin HAN = (2a/3).sin 60° = → HK = 12 SH  HN BC // (SAN) → d(BC, SA) = d(B, (SAN)) = Vậy d(BC, SA) = a 42 Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vuông góc A cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a (Khối B – 2012) Gọi O trọng tâm ΔABC; D trung điểm cạnh AB Ta có SO vuông góc với (ABC) suy SO vuông góc với AB mà AB vuông góc với CD ΔABC Suy AB vuông góc với (SCD) nên AB vuông góc với SC Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh mà AH vuông góc với SC Vậy SC vuông góc với (ABH) Mặt khác SA = SB = SC = 2a S a a a 33 CD = ; OC = → SO = SC2  OC2  3 a 11 DH = SO.CD / SC = ; suy SABH = a 11 AB.HD  H A C D CH = CD2  HD2 = a/4; SH = SC – CH = 7a/4 VS.ABH = SH.SABN  7a O B 11 96 Câu 10 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a (Khối D – 2012) A’C = a ΔA’AC vuông cân → A’A = AC = a → BB’ = a 2 Mà ΔABC vuông cân → AB = BC = a/2 Suy B’C’ = a/2 SΔBB’C’ = (1/2)BB’.B’C’ = a2 a3 Vậy VABB’C’ = (1/3).AB.SΔBB’C’ = 48 Dựng AH vuông góc với A’B H Ta có BC vuông góc với AB, A’A → BC vuông góc với mặt phẳng (ABA’) → BC vuông góc với AH Nên AH vuông góc với (BCD’) D’ C’ → d(A, (BCD’)) = AH 1/AH² = 1/A’A² + 1/AB² = 6/a² Vậy d(A, (BCD’)) = AH = A’ a B’ D C H A Toán Tuyển Sinh Group B www.facebook.com/groups/toantuyensinh Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60° Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a (Khối A – 2011) S Ta có (SMN) // BC → MN // BC → N trung điểm AC (SAB) (SAC) vuông góc với (ABC) nên SA H vuông góc với mặt phẳng (ABC) → SA vuông góc với BC mà BC vuông góc với AB → BC vuông góc với C N D (SAB) A Hay BC vuông góc với SB M → góc SBA góc tạo (SBC) (ABC) B → góc SBA = 60° → SA = AB tan SBA = 2a MN = BC / = a; MB = AB/2 = a → SBCNM = (1/2)MB.(MN + BC) = 3a²/2 VS.BCNM = (1/3)SA.SBCNM = a³ Dựng hình chữ nhật AMND → ND vuông góc với AD mà ND vuông góc với SA nên ND vuông góc với mặt phẳng (SAD) Kẻ AH vuông góc với SD H Khi ND vuông góc với AH → AH vuông góc với (SDN) Suy AH vuông góc với SN Mặt khác AB // ND hay AB // (SND) Nên d(AB, SN) = d(A, (SND)) = AH Ta có: AD = MN = a; SD² = SA² + AD² = 13a² → SD = a 13 d(AB, SN) = AH = SA.AD 2a 3.a 2a 39   SD 13 a 13 Câu 12 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 60° Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a (Khối B – 2011) Gọi O giao điểm AC BD; E trung điểm AD Dựng CH vuông góc với BD H → A1O vuông góc với (ABCD) → A1O vuông góc với AD OE vuông góc với AD Suy AD vuông góc với mặt phẳng (A1EO) → AD vuông góc với A1E Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Nên góc A1EO góc tạo (ADD1A1) (ABCD) → góc A1EO = 60° Mặt khác OE = AB/2 = a/2 Nên A1O = OE.tan 60° = D1 C1 A1 B1 a D C SABCD = AB.AD = a² Thể tích khối lăng trụ cho V = H A1O.SABCD = 3a³/2 E O Ta lại có CH vuông góc với BD, A1O nên A B CH vuông góc với (A1BD) Vì CB1 // A1D nên CB1 // (A1BD) suy d(B, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) = CH BD = AB2  AD2 = 2a Từ CH.BD = CB.CD = AB.AD suy CH = Vậy d(B, (A1BD)) = a a Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a góc SBC = 30° Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a (Khối D – 2011) Vẽ SH vuông góc với BC H Vì (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) SH = SB.sin SBC = a SΔABC = AB.BC/2 = 6a² A VS.ABC = (1/3).SH.SΔABC = 2a³ Hạ HD vuông góc với AC D Hạ HK vuông góc với SD K → AC vuông góc với (SHD) → AC vuông góc B với HK Nên HK vuông góc với (SCA) AC² = AB² + BC² = 25a² → AC = 5a BH² = SB² – SH² = 9a² → BH = 3a → CH = 4a – 3a = a → CH = BC / Suy d(B, (SAC)) = 4d(H, (SAC)) = 4HK Mặt khác HD = (AB / AC).CH = 3a / 1/HK² = 1/SH² + 1/HD² = 28/(9a²) → d(B, (SAC)) = 4HK = Toán Tuyển Sinh Group S K D H 6a 7 www.facebook.com/groups/toantuyensinh C Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a (Khối A – 2010) Ta có SCDNM = SABCD – SAMN–SBCM = AB² – S 1 AM.AN  BC.BM 2 = a² – a²/8 – a²/4 = 5a²/8 VS.CDNM = 1 5a a 3 SH.SCDNM  a  3 24 K ΔADM = ΔDCN (c–g–c) A → góc ADM = góc DCN mà góc ADM + góc CDH = 90° M → góc DCN + góc CDH = 90° B → CN vuông góc với MD mà MD vuông góc với SH → MD vuông góc với mặt phẳng (SCN) Kẻ HK vuông góc với SC K → MD vuông góc với HK; HK vuông góc với SC → HK đoạn vuông góc chung MD SC Do HK = d(MD, SC) Mắt khác CN = CD2  DN  HC = CD² / CN = HK = SH.HC SH  HC2  N D H C a 2a ; a 3.2a 25.3a  20a 2a Vậy d(MD, SC) = 19  2a 19 Câu 15 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a Góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60° Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a (Khối B – 2010) Gọi M trung điểm BC, có G thuộc A’M GM/A’M = 1/3 Khi AM vuông góc với BC tam giác ABC A’A vuông góc với (ABC) → A’A vuông góc với BC Suy BC vuông góc với (A’AM) nên BC vuông góc với A’M Do góc A’MA góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) Suy góc A’MA = 60° Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh A’ a ; A’A = AM tan 60° = 3a/2 a3 VABC.A’B’C’ = (1/3).A’A.SABC = AM = C’ B’ Gọi H trọng tâm tam giác ABC → HG // A’A Suy GH vuông góc với (ABC) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC → I thuộc đường thẳng GH IA = IG HA = G a ; HG = A’A/3 = a/2 < HA < IA = IG Nên H nằm I G Đặt IA = IG = R IH = R – A a/2 IA² = IH² + AH² R² = a² / + (R – a / 2)² R = 7a/12 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC R = 7a/12 H I C M B Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC cho AH = AC/4 Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm cạnh SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a (Khối D – 2010) AC = a ; AH = a S a 14 a → CM = SH.AC / SA = → SH = SA  AH  AM² = AC² – CM² = 2a² – 7a² / = a²/4 Suy AM = a/2 = SA/2 Vậy M trung điểm SA a 14 Ta có VS.ABC = (1/3)SH.SABC = 24 M D C H A B a 14 → VS.BCM = (SM / SA).VS.ABC = (1/2).VS.ABC = 48 Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh