Đang tải... (xem toàn văn)
Toán cao cấp a1 Chương 1. Giới hạn hàm số một biến Chương 2. Phép tính vi phân hàm số một biến Chương 3. Phép tính tích phân hàm số một biến Chương 4. Chuỗi số và Chuỗi lũy thừa TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1 – ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2) – NXB Giáo dục. 3. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 4) – NXB ĐHQG TP.HCM. 4. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1) – NXB Giáo dục. 5. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1) – NXB ĐHQG Hà Nội. 6. James Stewart, Calculus Early Transcendentals, Sixth Edition – Copyright © 2008, 2003 Thomson Brooks 7. Robert Wrede, Murray. R. Spiegel, Theory and Problems of Advanced Calculus, Second Edition – Copyright © 2002, 1963 by The McGrawHill Companies, Inc ………………………………………………
Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP A1 ĐẠI HỌC (Số đvhp: – số tiết: 30) Chương Giới hạn hàm số biến Chương Phép tính vi phân hàm số biến Chương Phép tính tích phân hàm số biến Chương Chuỗi số Chuỗi lũy thừa Biên soạn: Đồn Vương Ngun TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp A1 – C1 – ĐH Cơng nghiệp TP HCM Nguyễn Đình Trí – Tốn cao cấp (Tập 2) – NXB Giáo dục Đỗ Cơng Khanh – Tốn cao cấp (Tập 1, 4) – NXB ĐHQG TP.HCM Nguyễn Viết Đơng – Tốn cao cấp (Tập 1) – NXB Giáo dục Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1) – NXB ĐHQG Hà Nội James Stewart, Calculus Early Transcendentals, Sixth Edition – Copyright © 2008, 2003 Thomson Brooks Robert Wrede, Murray R Spiegel, Theory and Problems of Advanced Calculus, Second Edition – Copyright © 2002, 1963 by The McGraw-Hill Companies, Inc ……………………………………………… Chương GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN Bài Giới hạn hàm số Bài Hàm số liên tục tiệm cận đồ thị Bài Đại lượng Vơ bé Bài GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.1 Bổ túc hàm số 1.1.1 Định nghĩa Xét hai tập khác rỗng D Y ℝ Hàm số f quy tắc (hay ánh xạ) cho tương ứng phần tử x ∈ D với phần tử y ∈ Y , ký hiệu f (x ) f : ℝ ⊃ D →Y ⊂ ℝ x ֏ y = f (x ) • Tập D gọi miền xác định (MXĐ - domain) hàm số f , ký hiệu Df • Tập f (Df ) = {f (x ) | x ∈ Df } gọi miền giá trị (range) hàm f • Đồ thị (graph) hàm f có MXĐ D tập hợp điểm Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page {(x, f (x )) x ∈ D } mặt phẳng Oxy 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học • Nếu hàm f thỏa mãn f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df f gọi hàm số chẵn • Nếu hàm f thỏa mãn f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df f gọi hàm số lẻ • Hàm f gọi đồng biến (a;b ) f (x ) < f (x ) x < x với x 1, x ∈ (a;b) ; f gọi nghịch biến (a;b ) f (x ) > f (x ) x < x với x 1, x ∈ (a;b) 1.1.2 Hàm số hợp Giả sử hai hàm số f g thỏa mãn Gg ⊂ Df Khi đó, hàm số h(x ) = ( f g )(x ) = f (g (x )) gọi hàm số hợp f g VD Xét f (x ) = 3x g (x ) = x − , ta có: • Hàm số hợp f g f (g (x )) = 3(g (x ))2 = 3x − 6x + • Hàm số hợp g f g ( f (x )) = f (x ) − = 3x − 1.1.3 Hàm số ngược • Hàm số f gọi song ánh (one-to-one function) x ≠ x ⇔ f (x ) ≠ f (x ) • Xét hàm song ánh f có MXĐ D miền giá trị G Khi đó, hàm số ngược f , ký hiệu f −1 , có MXĐ G miền giá trị D định nghĩa f −1(y ) = x ⇔ f (x ) = y (x ∈ D, y ∈ G ) VD Nếu f (x ) = 2x f −1(x ) = log2 x (x > 0) Chú ý • MXĐ f −1 = miền giá trị f , miền giá trị f −1 = MXĐ f • Đồ thị hàm y = f −1(x ) đối xứng với đồ thị hàm y = f (x ) qua đường thẳng y = x Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học 1.1.4 Hàm số Lượng giác ngược 1.1.4.1 Hàm số y = arcsin x π π arcsin x = y ⇔ sin y = x , y ∈ − ; 2 1 1 VD Tính arcsin − cot arcsin Giải 1 π π π π π • Ta có arcsin − = − , sin − = − − ∈ − ; 6 2 π π 1 • Đặt arcsin = ϕ , ta sin ϕ = ϕ ∈ − ; 2 4 1 cos ϕ 15 Vậy, ta có cos ϕ = − = , cot arcsin = cot ϕ = = 15 16 4 sin ϕ 1.1.4.2 Hàm số y = arccos x arccos x = y ⇔ cos y = x , y ∈ 0; VD arccos = π ; arccos(−1) = π ; arccos π = ; π 2π arccos − = 1.1.4.3 Hàm số y = arctan x π π arctan x = y ⇔ tan y = x , y ∈ − ; 2 Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học Quy ước arctan(+∞) = VD arctan(−1) = − π π , arctan(−∞) = − 2 π π ; arctan = 1.1.4.4 Hàm số y = arccot x ( ) arccot x = y ⇔ cot y = x , y ∈ 0; π Quy ước arccot(+∞) = 0, arccot(−∞) = π VD arccot(−1) = 3π π ; arccot = 1.2 Giới hạn hàm số 1.2.1 Giới hạn tổng qt Ta viết lim f (x ) = L đọc “giới hạn f (x ) , x tiến đến a , L ” ta làm cho giá x →a trị f (x ) gần với L cách cho x tiến gần đến a (kể hai phía a ) khơng a Định nghĩa Xét hàm f xác định khoảng chứa điểm a Ta nói giới hạn f (x ) x tiến đến a L , ta viết lim f (x ) = L với ε > tồn δ > thỏa mãn: x →a Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học < | x − a | < δ | f (x ) − L | < ε 1.2.2 Giới hạn phía Ta viết lim− f (x ) = L đọc “giới hạn bên trái f (x ) x tiến đến a L ” ta làm x →a cho giá trị f (x ) gần với L cách cho x tiến sát đến a x nhỏ a Tương tự, ta cho x tiến đến (và lớn hơn) a , ta “giới hạn bên phải f (x ) x tiến đến a L ” viết lim f (x ) = L x →a + Chú ý Ký hiệu “ x → a − ” nghĩa ta xét x < a , “ x → a + ” nghĩa x > a Định nghĩa • lim− f (x ) = L với ε > tồn δ > thỏa mãn: x →a a − δ < x < a | f (x ) − L | < ε • lim+ f (x ) = L với ε > tồn δ > thỏa mãn: x →a a < x < a + δ | f (x ) − L | < ε Định lý lim f (x ) = L ⇔ lim− f (x ) = L = lim+ f (x ) x →a x →a x →a 1.2.3 Giới hạn vơ Xét hàm f (x ) xác định khoảng chứa điểm a Khi đó, lim f (x ) = −∞ hay lim f (x ) = +∞ có nghĩa x →a x →a giá trị tuyệt đối f (x ) vơ lớn x tiến đến a , khác a Có dạng sau Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học Định nghĩa • Giả sử hàm số f xác định khoảng chứa điểm a Khi lim f (x ) = +∞ có nghĩa với giá trị x →a dương M tồn δ thỏa mãn < | x − a | < δ f (x ) > M • Giả sử hàm số f xác định khoảng chứa điểm a Khi lim f (x ) = −∞ có nghĩa với giá trị x →a âm N tồn δ thỏa mãn < | x − a | < δ f (x ) < N 1.2.4 Quy tắc giới hạn Giả sử k số lim f (x ) , lim g(x ) tồn Khi x →a x →a 1) lim[k f (x )] = k lim f (x ) 2) lim[ f (x ) ± g(x )] = lim f (x ) ± lim g(x ) 3) lim[ f (x )g(x )] = lim f (x ).lim g(x ) 4) lim x →a x →a x →a x →a x →a x →a x →a x →a x →a f (x ) f (x ) lim = x →a lim g(x ) ≠ x →a g(x ) lim g(x ) x →a Định lý Nếu f (x ) ≤ g (x ) x tiến đến a ( x ≠ a ) lim f (x ) , lim g(x ) tồn lim f (x ) ≤ lim g(x ) x →a x →a x →a x →a Định lý kẹp Nếu f (x ) ≤ h(x ) ≤ g (x ) x tiến đến a ( x ≠ a ) lim f (x ) = lim g(x ) = L lim h(x ) = L x →a x →a x →a Chú ý 1 = +∞, − = −∞, =0 + ±∞ 0 Một số kết giới hạn cần nhớ sin α(x ) tan α(x ) = lim =1 α (x )→ α(x )→ α(x ) α(x ) 1) lim Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học x 2) lim 1 + = lim (1 + x ) = e x →±∞ x →0 x x 3) lim[ f (x )]n = lim f (x ) , n ∈ ℤ+ x →a x →a lim g (x ) x →a 4) lim [ f (x )]g (x ) = lim f (x ) lim f (x ) > x →a x →a x →a n { } 5) lim n f (x ) = n lim f (x ) , n ∈ ℤ+ (nếu n lẻ, ta giả sử lim f (x ) > ) x →a x →a x →a α 6) lim x →+∞ ln x x = lim x = α ≥ 1, β > α x →+∞ x β 1.2.5 Một số ví dụ 4 − 2x , x < VD Cho hàm f (x ) = , xét tồn lim f (x ) x →2 x − 2, x > ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2x + 12 khơng tồn x →−6 | x + | VD Chứng tỏ lim ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Chứng tỏ lim x sin x →0 = x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ( ) VD Tính L = lim 2x − x − 3x x →−∞ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun VD Tính L = lim x →2 Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học x − 4x + + x −2 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Tính L = lim x →+∞ ( ) 2x − x − x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Tính L = lim x →−∞ ( ) 3x − + x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Tính L = lim x →1 5x − − 8x x −1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2x 3x −1 4x + VD Tính L = lim − x →−∞ x − ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học cot x VD 10 Tính L = lim(cos 2x ) sin x x →0 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Bài HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ 2.1 Hàm số liên tục 2.1.1 Định nghĩa Hàm số f gọi liên tục điểm a lim f (x ) = f (a ) x →a Định nghĩa hàm f liên tục a thỏa mãn điều: 1) f (a ) xác định (nghĩa a ∈ Df ); 2) lim f (x ) tồn tại; x →a 3) lim f (x ) = f (a ) x →a x − x − , x ≠ VD Chứng tỏ hàm số sau liên tục x = : f (x ) = x − ,x =2 3 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Chứng tỏ hàm f (x ) = x khơng liên tục x = x −1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.1.2 Liên tục phía Định nghĩa Hàm số f gọi liên tục bên phải điểm a lim+ f (x ) = f (a ) , liên tục bên trái điểm a x →a lim− f (x ) = f (a ) x →a Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học VD Chứng tỏ hàm số sau khơng liên tục bên phải x = , liên tục bên trái x = : cos x , x < ,x =0 f (x ) = 1 sin x , x > ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.1.3 Liên tục khoảng Định nghĩa Hàm số f gọi liên tục khoảng (a;b ) f liên tục điểm thuộc (a;b ) (Nếu f liên tục phải a liên tục trái b f liên tục đoạn [a;b ] ) VD Chứng tỏ f (x ) = − − x liên tục đoạn [−1; 1] ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.1.4 Các định lý Định lý Nếu f g liên tục a k số k f , f ± g , f g , f ( g (a ) ≠ ) liên tục a g Định lý • Mọi đa thức liên tục ℝ = (−∞; +∞) • Mọi hàm số sơ cấp liên tục miền xác định Định lý Nếu hàm f liên tục b lim g(x ) = b lim f (g(x )) = f (b) Nghĩa x →a x →a lim f (g(x )) = f (lim g(x )) x →a x →a x − 1 VD Tính lim arcsin x →1 x − Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 10 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học • Thể tích V vật thể miền phẳng S giới hạn y = f (x ) , y = , x = a x = b quay quanh Oy b V = 2π ∫ x f (x )dx a VD 14 Tính thể tích V hình phẳng S giới hạn y = 2x − x y = quay xung quanh Oy ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Bài TÍCH PHÂN SUY RỘNG Khái niệm mở đầu • Cho hàm số f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b ] Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x ) trục hồnh b S= ∫ f (x )dx a • Cho hàm số f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a; +∞) ( b → +∞ ) Khi đó, diện tích S tính khơng tính Trong trường hợp tính hữu hạn +∞ S= ∫ b f (x )dx = lim a b →+∞ ∫ f (x )dx a 4.1 Tích phân suy rộng loại 4.1.1 Định nghĩa b Cho hàm số f (x ) xác định [a; +∞) , khả tích đoạn [a;b ] Giới hạn (nếu có) lim b →+∞ ∫ f (x )dx a gọi tích phân suy rộng loại f (x ) [a; +∞) , ký hiệu +∞ ∫ b f (x )dx = lim b →+∞ a ∫ f (x )dx a Định nghĩa tương tự: b ∫ −∞ b f (x )dx = lim a →−∞ a +∞ b ∫ f (x )dx = lim Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 41 −∞ ∫ f (x )dx ∫ f (x )dx b →+∞ a →−∞ a 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học Chú ý • Nếu giới hạn tồn hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ; ngược lại tích phân phân kỳ • Nghiên cứu tích phân suy rộng khảo sát hội tụ tính giá trị hội tụ (nếu được) +∞ VD Khảo sát hội tụ tích phân I = ∫ b • Trường hợp α = 1: I = lim b →+∞ ∫ b dx = lim ln x = +∞ (phân kỳ) 1 b →+∞ x b • Trường hợp α khác 1: I = lim dx xα b →+∞ ∫ 1−α b dx 1 1−α α − , α > x = lim = lim b − = 1 − α b →+∞ − α b →+∞ xα + ∞, α < ( ) Vậy α > : tích phân hội tụ I = α −1 α ≤ : tích phân phân kỳ I = +∞ VD Tính tích phân I = dx (1 − x )2 −∞ ∫ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Chú ý +∞ • Nếu tồn lim F (x ) = F (+∞) , ta dùng cơng thức x →+∞ ∫ f (x )dx = F (x ) +∞ a a b • Nếu tồn lim F (x ) = F (−∞) , ta dùng cơng thức x →−∞ +∞ • Tương tự: ∫ ∫ −∞ f (x )dx = F (x ) −∞ +∞ −∞ f (x )dx = F (x ) b −∞ +∞ VD Tính tích phân I = dx + x −∞ ∫ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 4.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 4.1.2.1 Tiêu chuẩn 0 ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a; +∞) +∞ +∞ ⇒ ∫ f (x )dx hội tụ g (x )dx hội tụ ∫ a a Các trường hợp khác tương tự Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 42 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học +∞ ∫ VD Xét hội tụ tích phân I = 10 e −x dx ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 4.1.2.2 Tiêu chuẩn +∞ ∫ +∞ f (x ) dx hội tụ ⇒ ∫ a f (x )dx hội tụ a Các trường hợp khác tương tự +∞ ∫e VD Xét hội tụ tích phân I = −x cos 3x dx ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 4.1.2.3 Tiêu chuẩn f (x ) =k x →+∞ g (x ) Giả sử f (x ), g (x ) liên tục, dương [a; +∞) lim +∞ • Nếu < k < +∞ ∫ +∞ ∫ g(x )dx f (x )dx a +∞ • Nếu k = ∫ g(x )dx hội tụ phân kỳ a +∞ hội tụ a k = +∞ • Nếu +∞ ∫ g(x )dx phân kỳ a ∫ f (x )dx hội tụ a +∞ ∫ f (x )dx phân kỳ a • Các trường hợp khác tương tự +∞ VD Xét hội tụ tích phân I = ∫ dx + x + 2x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Chú ý +∞ Nếu f (x ) ∼ g (x ) x → +∞ ∫ +∞ f (x )dx a +∞ VD Xét hội tụ tích phân I = ∫ Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) ∫ g(x )dx có tính chất a dx + sin x + x Page 43 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… +∞ VD Điều kiện α để I = ∫ A α > ; dx x lnα x + B α > ; hội tụ là: C α > ; D α > ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… +∞ VD Tìm điều kiện α để I = ∫ (x + 1)dx hội tụ ? 2x α + x − ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 4.2 Tích phân suy rộng loại 4.2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f (x ) xác định [a; b) , lim− f (x ) = ∞ khả tích đoạn [a; b − ε ] (ε > 0) x →b b −ε Giới hạn (nếu có) lim ∫ f (x )dx gọi tích phân suy rộng loại f (x ) [a; b) , ký hiệu ε→ a b −ε b ∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx ε→ a a Định nghĩa tương tự: b ∫ f (x )dx = lim ∫ ε →0 a ( b ) ∫ f (x )dx = lim ∫ f (x )dx lim+ = ∞ ; a +ε x →a b −ε b ε→ a ( ) f (x )dx lim+ = ∞, lim− = ∞ a +ε x →a x →b Chú ý Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân hội tụ; ngược lại tích phân phân kỳ b VD 10 Khảo sát hội tụ tích phân I = dx ∫x α , b > 0 b • Trường hợp α = 1: I = lim+ ∫ ε →0 ε b dx = lim+ ln x = ln b − lim+ ln ε = +∞ ε ε→ ε→0 x b • Trường hợp α khác 1: I = lim ∫ ε→0 ε b 1−α b dx −α x = lim x dx = lim ε→ ∫ ε − α ε→0 xα ε Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 44 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học = ( lim b 1−α − ε1−α − α ε →0 ) b 1−α , α Vậy α < : tích phân hội tụ I = b1−α 1−α α ≥ : tích phân phân kỳ I = +∞ 1/3 VD 11 Tính tích phân suy rộng I = ∫ 1/6 dx − 9x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… e VD 12 Tính tích phân suy rộng I = ∫ x dx ln2 x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD 13 Tính tích phân suy rộng I = ∫x dx −x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 4.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ tích phân suy rộng loại Chú ý b Nếu f (x ) ∼ g (x ) x → b (với b cận suy rộng) ∫ f (x )dx b a VD 14 Tích phân suy rộng I = ∫ A α < −1 ; xα x (x + 1)(2 − x ) ∫ g(x )dx có tính chất a dx hội tụ khi: B α < − ; C α > − ; D α ∈ ℝ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 45 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học VD 15 Tích phân suy rộng I = ∫ A α ≤ −1 xα + (x + 1)sin x B α ≤ − dx phân kỳ khi: C α ≥ − D α ∈ ℝ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Chú ý Giả sử I = I + I với I , I 1, I tích phân suy rộng ta có: 1) I I hội tụ ⇒ I hội tụ I → −∞ ( phân kỳ) I → +∞ ( phân kỳ) 2) I phân kỳ I ≤ I ≥ I → −∞ ( phân kỳ) I → +∞ ( phân kỳ) ta chưa thể kết luận I phân kỳ 3) I > I < VD 16 Tích phân I = ∫ A α ≤ xα +1 x sin x dx phân kỳ khi: B α ≤ − C α ≤ − D α ∈ ℝ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… +∞ VD Xét tích phân I = ∫ cos x •− x +∞ • ∫ +∞ sin x cos x dx , ta có: I = − x x cos x + cos1 = cos1 x →+∞ x = − lim sin x dx ≤ x2 +∞ ∫ dx ⇒ x2 +∞ ∫ sin x dx hội tụ x2 +∞ +∞ + ∫ sin x dx x2 (1) (2) Từ (1) (2) ta suy I hội tụ ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 46 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học Chương CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Bài Khái niệm chuỗi số Bài Chuỗi số dương Bài Chuỗi số có dấu tùy ý Bài Chuỗi lũy thừa Bài KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 1.1 Định nghĩa • Cho dãy số có vơ hạn số hạng u1, u2 , , un , Biểu thức ∞ u1 + u2 + + un + = ∑ un n =1 gọi chuỗi số • Các số u1, u2 , , un , số hạng un gọi số hạng tổng qt chuỗi số • Tổng n số hạng Sn = u1 + u2 + + un gọi tổng riêng thứ n chuỗi số • Nếu dãy {Sn } n ∈ℕ hội tụ đến số S hữu hạn ta nói chuỗi số hội tụ có tổng S , ta ghi ∞ ∑u n =1 n =S Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ aq n −1 ( a ≠ ) n =1 • Trường hợp q = : Sn = na → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ • Trường hợp q ≠ : Sn = u1 Nếu | q | < Sn → − qn − qn = a 1−q 1−q a ⇒ chuỗi hội tụ; | q | > Sn → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ 1−q Vậy ∞ ∑ aq n −1 hội tụ ⇔ | q | < n =1 ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n(n + 1) n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1 + ln ∑ n n =1 ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 47 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =1 n ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.2 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ ∞ Nếu chuỗi ∑ un hội tụ lim un = , ngược lại lim un ≠ n →∞ n =1 n →∞ ∞ ∑u n =1 n phân kỳ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số n4 ∑ 3n + n + n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ n5 VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =1 n + ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.3 Tính chất ∞ 1) Nếu ∞ ∑u , ∑v n =1 n ∞ 2) Nếu n =1 n ∞ hội tụ ∑ un hội tụ n =1 ∑ (u n =1 n ∞ ∞ n =1 n =1 + ) = ∑ un + ∑ ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ αun = α∑ un 3) Tính chất hội tụ hay phân kỳ chuỗi số khơng đổi ta thêm bớt hữu hạn số hạng Bài CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.1 Định nghĩa ∞ Chuỗi số ∑u n =1 n gọi chuỗi số dương un ≥ 0, ∀n Khi un > 0, ∀n chuỗi số dương thực Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 48 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học 2.2 Các định lý so sánh Định lý ∞ Giả sử hai chuỗi số ∞ ∑u , ∑v n n =1 ∞ • Nếu ∞ ∑ hội tụ ∑u n =1 n =1 ∞ • Nếu thỏa ≤ un ≤ , ∀n ≥ n Khi đó: n n =1 ∑ un phân kỳ n =1 hội tụ n ∞ ∑v n =1 phân kỳ n ∞ ∑ n.2 VD Xét hội tụ chuỗi số n n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ ∑ n cách so sánh với n =1 VD Xét hội tụ chuỗi điều hòa ∞ 1 ∑ ln 1 + n n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Định lý ∞ Giả sử hai chuỗi số ∑ un , n =1 • k =0: ∞ ∑v n n =1 ∞ thỏa mãn un > > với n đủ lớn lim n →∞ un =k ∞ ∑ un phân kỳ ⇒ ∑ phân kỳ n =1 • k = +∞ : n =1 ∞ ∞ ∑ un hội tụ ⇒ ∑ hội tụ n =1 • < k < +∞ : n =1 ∞ ∑u n =1 ∞ n ∑v n n =1 tính chất ∞ 2n (n + 1) VD Xét hội tụ chuỗi ∑ cách so sánh với n.3n +1 n =1 ∑ n =1 ∞ n ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Chú ý ∞ Chuỗi số n =1 ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑n ∑ n =1 α hội tụ α > phân kỳ α ≤ n +1 2n + Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 49 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1 Tiêu chuẩn D’Alembert ∞ Cho chuỗi số dương ∑u n =1 n lim un +1 n →∞ un = D Ta có: • Nếu D < chuỗi số hội tụ; • Nếu D > chuỗi số phân kỳ; • Nếu D = ta chưa thể kết luận ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n n =1 1 1 + n n ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số 5n (n !)2 ∑ (2n )! n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy ∞ Cho chuỗi số dương ∑u n =1 n lim n un = C Ta có: n →∞ • Nếu C < chuỗi số hội tụ; • Nếu C > chuỗi số phân kỳ; • Nếu C = ta chưa thể kết luận n2 1 VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =1 ∞ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số nn ∑ 3n n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 50 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học 2.3.3 Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Giả sử hàm số f (x ) liên tục, f (x ) ≥ giảm [k ; +∞), k ∈ ℕ Ta có: ∞ ∑ f (n ) hội tụ ⇔ n =k ∑ n =1 ∫ f (x )dx hội tụ k ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số +∞ n + 2n ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ VD 10 Xét hội tụ chuỗi số ∑ n ln n =2 n ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Bài CHUỖI SỐ CĨ DẤU TÙY Ý 3.1 Chuỗi số đan dấu 3.1.1 Định nghĩa ∞ Chuỗi số ∑ (−1) u n n =1 ∞ VD (−1)n ∑ n n =1 ∞ n gọi chuỗi số đan dấu un > 0, ∀n ∑ (−1)n +1 n =1 2n + chuỗi số đan dấu 2n +1 3.1.2 Định lý Leibnitz Nếu dãy {un }n ∈ℕ giảm lim un = chuỗi số n →∞ ∞ ∑ (−1) u n n =1 n hội tụ Khi đó, ta gọi chuỗi số chuỗi Leibnitz ∞ (−1)n VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ 2n + VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ (−1) 2n +1 n =1 n ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 51 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =2 (−1)n n + (−1)n ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 3.2 Chuỗi số có dấu tùy ý 3.2.1 Định nghĩa ∞ • Chuỗi số ∑u n =1 n (un ∈ ℝ) gọi chuỗi có dấu tùy ý ∞ • Chuỗi số ∑ un gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi số n =1 ∞ • Chuỗi số ∑ un gọi bán hội tụ chuỗi n =1 ∞ (−1)n VD Chuỗi số ∑ bán hội tụ n n =1 ∞ ∑| u n =1 n | hội tụ ∞ ∑ un hội tụ chuỗi n =1 ∞ (−1)n ∑ n hội tụ (VD 1) n =1 ∞ ∑ n =1 ∞ ∑| u n =1 n | phân kỳ ∞ (−1)n = ∑ phân kỳ n n =1 n 3.2.2 Định lý ∞ Nếu chuỗi số ∑ | un | hội tụ chuỗi có dấu tùy ý n =1 ∞ ∑u n =1 n hội tụ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số cos(n n ) ∑ n2 n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… (−1)n + (−2)n +1 ∑ 3n n =1 ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 52 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học Bài CHUỖI LŨY THỪA 4.1 Khái niệm chung chuỗi hàm • Cho dãy hàm u1 (x ), u2 (x ), , un (x ), xác định D ⊂ ℝ Tổng hình thức ∞ u1 (x ) + u2 (x ) + + un (x ) + = ∑ un (x ) (1) n =1 gọi chuỗi hàm số hay chuỗi hàm D ⊂ ℝ ∞ ∑ u (x ) • Nếu x ∈ D , chuỗi số n n =1 hội tụ (hay phân kỳ) x gọi điểm hội tụ (hay phân kỳ) chuỗi (1) • Tập hợp điểm hội tụ x chuỗi (1) gọi miền hội tụ chuỗi (1) • Chuỗi (1) gọi hội tụ tuyệt đối x ∈ D chuỗi ∞ ∑ u (x ) n =1 n hội tụ • Tổng Sn (x ) = u1(x ) + u2 (x ) + + un (x ) gọi tổng riêng thứ n chuỗi (1) Trong miền hội tụ chuỗi (1), tổng Sn (x ) hội tụ hàm số f (x ) • Hàm f (x ) = lim Sn (x ) xác định miền hội tụ chuỗi (1) gọi tổng chuỗi (1) n →∞ ∞ Ta viết ∑ u (x ) = f (x ) Khi đó, R (x ) = f (x ) − S (x ) n =1 n n n gọi phần dư (1) x thuộc miền hội tụ lim Rn (x ) = n →∞ ∞ VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∑ ne −nx n =1 Giải • Với x > , ta có: lim ne n −nx n →∞ • Với x ≤ , ta có: ne −nx =e −x < ⇒ chuỗi số ∞ ∑ ne −nx hội tụ n =1 / ⇒ chuỗi số → ∞ ∑ ne −nx phân kỳ n =1 ∞ Vậy miền hội tụ chuỗi hàm ∑ ne −nx (0; + ∞) n =1 ∞ x 2n VD Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∑ n =1 n ! Giải ∞ • Với x = , ta có: chuỗi số ∑ hội tụ n =1 n ! • Với x ≠ , ta có: x 02(n +1) (n + 1)! : x 02n n! = x 02 n +1 → ⇒ chuỗi số ∞ x 02n ∑ n! hội tụ n =1 ∞ Vậy miền hội tụ chuỗi hàm x 2n ∑ n ! ℝ n =1 Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 53 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học 4.2 Chuỗi lũy thừa 4.2.1 Định nghĩa ∞ ∑ a (x − x ) n Chuỗi hàm n =0 với an x số gọi chuỗi lũy thừa n Nhận xét • Đặt x ′ = x − x ⇒ chuỗi lũy thừa có dạng ∞ ∑a x • Miền hội tụ chuỗi ∑a x n =0 n n chứa x = nên khác rỗng n n n =0 ∞ 4.2.2 Bổ đề Abel ∞ Nếu chuỗi hàm ∑a x n =0 n n ( ) hội tụ x = α ≠ chuỗi hội tụ tuyệt đối điểm x ∈ − | α |; | α | Hệ ∞ Nếu chuỗi hàm ∑a x n =0 n n phân kỳ x = β phân kỳ x thỏa | x | > | β | 4.2.3 Bán kính hội tụ 4.2.3.1 Định nghĩa • Số thực R > cho chuỗi ∞ ∑a x n =0 hội tụ tuyệt đối (−R; R) phân kỳ ∀x : | x | > R n n gọi bán kính hội tụ • Khoảng (−R; R) gọi khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa ∞ ∑a x n =0 n n Nhận xét ∞ • Nếu chuỗi lũy thừa ∑a x n =0 n hội tụ với x ∈ ℝ R = +∞ n phân kỳ với x ≠ R = n ∞ • Nếu chuỗi lũy thừa ∑a x n =0 n 4.2.3.2 Phương pháp tìm bán kính hội tụ a • Nếu tồn lim n +1 = r lim n an = r n →∞ n →∞ a n 0, r = +∞ R = , < r < +∞ r r =0 +∞, • Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Bước Tìm bán kính hội tụ R ⇒ khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa (−R; R) Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 54 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp A1 Đại học Bước Xét hội tụ chuỗi số x = ±R Bước Kết luận: 1) Nếu chuỗi số phân kỳ x = ±R miền hội tụ chuỗi lũy thừa (−R; R) ; 2) Nếu chuỗi số hội tụ x = ±R miền hội tụ chuỗi lũy thừa [−R; R ] ; 3) Nếu chuỗi số phân kỳ x = R hội tụ x = −R miền hội tụ chuỗi lũy thừa [−R; R) ; 4) Nếu chuỗi số phân kỳ x = −R hội tụ x = R miền hội tụ chuỗi lũy thừa (−R; R ] ∞ VD Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa xn ∑n n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ VD Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa (x − 1)n ∑ n.2n n =1 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… n2 1 VD Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ 1 + x n n n =1 ∞ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ∞ VD Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ (x + 2) n n2 n =0 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………Hết……………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 55 01-09-2014 [...]... sin2 3(x − 1) ∼ 9(x − 1)2 khi x → 1 3.2 Tính chất Giả sử αi (x ) (i = 1,2, 3, 4) là các vô cùng bé khi x tiến đến a Ta có: 1) α1(x ) ∼ α2 (x ) ⇔ α1(x ) − α2 (x ) = O(α1(x )) = O(α2 (x )) 2) Nếu α1(x ) ∼ α2 (x ) và α2 (x ) ∼ α3 (x ) thì α1(x ) ∼ α3 (x ) 3) Nếu α1(x ) ∼ α3 (x ) và α2 (x ) ∼ α4 (x ) thì α1(x ) 2 (x ) ∼ α3 (x ) 4 (x ) 4) Nếu α1(x ) = O(α2 (x )) thì α1(x ) + α2 (x ) ∼ α2 (x ) 3.3 Quy... f (x )] = C f (x ) (C ∈ ) , hay dx dx Đại học Công nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) [Cf (x )] ′ = C f ′(x ) Page 16 01-09-2014 Đoàn Vương Nguyên 3) Bài giảng Toán Cao cấp A1 Đại học d d d [ f (x )g (x )] = f (x ). g (x ) + f (x ) g (x ) , hay dx dx dx [ f (x )g(x )] ′ = f ′(x )g(x ) + f (x )g ′(x ) d 4) dx d d f (x ). g(x ) − f (x ) g(x ) f (x ) dx = dx , hay 2 g(x ) [ g ( x )] f (x ) ′... (x )g(x ) − f (x )g (x ) (g(x ) ≠ 0) 2 g(x ) [g(x )] dy dy du 5) Nếu y = f (u ) với u = g (x ) thì = , hay dx du dx y ′(x ) = y ′(u ). u ′(x ) 6) Nếu y = f (x ) và x = f −1(y ) thì dy 1 = , hay dx dx / dy y ′(x ) = 7) Nếu y = f (x ) cho bởi x = ϕ(t ) và y = ψ(t ) thì 1 x ′(y ) dy dy / dt ψ ′(t ) = = , hay dx dx / dt ϕ ′(t ) y ′(x ) = y ′(t ) x ′(t ) 1.2.2 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp (u α ) ... ′.u α−1 1) (x α ) = α.x α−1 2) ( u ) = 2u ′u ( x ) = 2 1x 3) (sin x ) = cos x (sin u ) = u ′.cos u 4) (cos x ) = − sin x 1 = 1 + tan2 x 2 cos x 1 6) (cot x ) = − 2 = −(1 + cot2 x ) sin x (cos u ) = −u ′.sin u u′ (tan u ) = = u ′(1 + tan2 u ) 2 cos u u′ (cot u ) = − 2 = −u ′(1 + cot2 u ) sin u 7) (e x ) = e x (e u ) = u ′e u 8) (a x ) = a x ln a (a u ) = u ′.a u ln a u′ (ln | u |) = u... (loga | u |) = u.ln a u′ (arcsin u ) = 1 − u2 u′ (arccos u ) = − 1 − u2 5) (tan x ) = 1 9) (ln | x |) = x 1 0) (loga | x |) = 1 1) (arcsin x ) = 1 x ln a 1 1 − x2 1 1 2) (arccos x ) = − 1− x2 Đại học Công nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 17 01-09-2014 Đoàn Vương Nguyên 1 1 + x2 1 1 4) (arccot x ) = − 1 + x2 1 3) (arctan x ) = Bài giảng Toán Cao cấp A1 Đại học u′ 1 + u2 u′ (arccot u ) = − 1 +... của f (x ) trên đoạn [a; b ] , ký hiệu d →0 b I = ∫ f (x )dx a Đại học Công nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 34 01-09-2014 Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp A1 Đại học Tính chất b 1) b ∫ k.f (x )dx = k ∫ f (x )dx, k ∈ ℝ ; a a b 2) b ∫ [ f (x ) ± g(x )] dx = a a a 3) a b a ∫ f (x )dx = 0; ∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx ; a a b 4) ∫ b f (x )dx ± ∫ g(x )dx ; b c b ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx, c... (x ) là một nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) + C cũng là nguyên hàm của f (x ) , nghĩa là ∫ f (x )dx = F (x ) + C Tính chất 1) ∫ k.f (x )dx = k ∫ f (x )dx, k ∈ ℝ ; 2) ∫ f ′(x )dx = f (x ) + C ; 3) d dx 4) ∫ [ f (x ) + g(x )] dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx ∫ f (x )dx = f (x ) ; MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ x α+1 1) ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ℝ ; 2) ∫ x αdx = + C , α ≠ −1 ; α +1 dx dx 3) ∫ = ln | x | + C ; 4) ∫... x 0 • Nếu f (x 0 ) > f (x ) , ∀x ∈ (a;b) \ {x 0 } thì hàm số f (x ) đạt cực đại tại x 0 Đại học Công nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 23 01-09-2014 Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp A1 Đại học Định lý 2 Giả sử f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n (n ∈ ℤ+ ) trên (a;b ) chứa x 0 thỏa f ′(x 0 ) = = f (2n − 1)( x 0 ) = 0 và f (2n )( x 0 ) ≠ 0 Khi đó: • Nếu f (2n )( x 0 ) > 0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại... Minh (IUH) Page 26 01-09-2014 Đoàn Vương Nguyên Bài giảng Toán Cao cấp A1 Đại học Bài 4 CÔNG THỨC TAYLOR 4.1 Công thức khai triển Taylor Cho hàm số f (x ) liên tục trên [a;b ] có đạo hàm đến cấp n + 1 trên (a;b ) với x , x 0 ∈ (a;b) ta có các khai triển sau • Khai triển Taylor với phần dư Lagrange n f (x ) = ∑ f (n + 1)( c) (x − x 0 )n +1 k! (n + 1)! với c ∈ (a;b) f (k )( x 0 ) k =0 (x − x 0 )k + • Khai... nhớ 1) 1 = 1 + x + x 2 + + x n + O(x n ) 1−x x x2 xn 2) e = 1 + + + + + O(x n ) 1! 2! n! x n x x2 x3 x4 n −1 x 3) ln(1 + x ) = − + − + + (− 1) + O(x n ) 1 2 3 4 n! 4) cos x = 1 − x2 x4 x6 x 2n + − + + (−1)n + O(x 2n ) 2! 4! 6! (2n )! Đại học Công nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 27 01-09-2014 Đoàn Vương Nguyên 5) sin x = Bài giảng Toán Cao cấp A1 Đại học x x3 x5 x7 x 2n +1 − + − + + (−1)n +