PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số: 1) 8 4 2 2 1 1 log ( 3) log ( 1) log (4 ) 2 4 x x x+ + − = ĐK: 0<x≠1. (1) 1 3 ( 3)( 1) 4 ( 3) 1 4 0 1 2 3 3 ( 3)(1 ) 4 x x x x x x x x x x x x x  >    = + − =    ⇔ + − = ⇔ ⇔   < < = −     + − =    2) 3 3 2 3 2 3 1 log .log log log 2 3 x x x x − = + ĐK: x>0 2 3 3 1 (2) log (1 2log 6log 2) 0 3 8 x x x x =   ⇔ − − = ⇔  =   3) 5 1 2log( 1) logx log 2 x x− = − ĐK:x>1 2 2 1 (3) log( 1) logx 2 x x⇔ − = ⇔ = (không thoả mãn đk). Phương trình vô nghiệm 4) 2 2 2 log ( 3) log (6 10) 1 0. : 3 x x DK x − − − + = > 2 2 2 2 1( ) (4) log ( 3) log (3 5) 3 3 5 2 x l x x x x x =  ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔  =  5) 2 1 log( 10) logx 2 log4 2 x + + = − ĐK: -10<x≠0 5 (5) ( 10) 25 5 5 2 x x x x = −  ⇔ + = ⇔  = − +  6) 2 2 3 2 2 1 log (2 ) log 3 2 2 x x x x+ − = − ĐK:x>0 2 3 2 1 (6) log (2 ) 3 2 2 x x x x ⇔ + = − Áp dụng BBĐT Côsi cho 2 số dương 2x; 1/2x ta có: 2 1 2 2 log 2 1 2 x VT x + ≥ ⇒ ≥ = Xét hàm số y=3x 2 -2x 3 trên (0 ;+ ∞ ) có GTLN là 1 khi x=1. Do đó pt có nghiệm duy nhất x=1. 7) 3 2 log 12 2 2 2 3 2 log ( 1) log x x x x + − = + − ĐK:x>0 2 3 2 1 (7) 3 2 log ( )x x x x ⇔ − = + 8) 2 2 3 3 log ( 2) log 4 4 9x x x+ + + + = . ĐS: x=25; x=-29 9) 4 log ( 2).log 2 1 x x + = . ĐK: 0<x≠1 4 2 2 2 1( ) 1 1 (9) log ( 2) log log ( 2) log 2 log 2 2 x x l x x x x x = −  ⇔ + = = ⇔ + = ⇔  =  10) 2 2 2 2 2 log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = + . ĐK: x<-4 hoặc -3<x<-2 2 2 (10) ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 ( 5 4)( 5 6) 24x x x x x x x x⇔ + + + + = ⇔ + + + + = Đặt x 2 +5x+5=t phương trình trở thành (t-1)(t+1)=25  t=±5. Giải được x=0 hoặc x=-5. 11) 2 ( 5) ( 2) log ( 3) log ( 3) x x x x x + − + + = + . ĐK : x>-3 +) x+3=1 x=-2 là nghiệm của pt +) x+3≠1x≠-2 2 2 ( 3) ( 3) 3 1 1 (11) 2 5 1 log ( 2) log ( 5) x x x x x x x x x x + + =  ⇔ = ⇔ − + = + ⇔  = − − + +  Vậy pt có 3 nghiệm. Phương pháp 2 : Đặt ẩn phụ : 1) ( 1) 2 log 16 log ( 1) x x + = + . ĐK : -1<x≠0. Đặt 2 log ( 1) .x t+ = Pt trở thành 3 2 4 3 2 4 x t t t t x =  =   = ⇔ ⇒   = − = −   2) 2 2 2 log 4 .log 12 x x x = . ĐK : 0<x≠1. 2 2 2 2 2 2 2 4 log 4 (8) .log 12 (1 log )log 6 1 log 8 x x x x x x x =   ⇔ = ⇔ + = ⇔  =  3) 2 4 log 4 log 5 0x x− − = . ĐK 1x ≥ . 2 2 1 1 (9) log 4 log 5 0 2 2 x x⇔ − − = . Đặt t= 2 1 log 2 x 50 1( ) ( 0) 2 5 t l t x t = −  ≥ ⇒ ⇒ =  =  Phương pháp 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 1) 2 log( 6) log( 2) 4x x x x− − + = + + > ĐK x>3 (1) log( 3) 4x x⇔ − = − . Xét Sự BT của 2 hàm số suy ra pt có nghiệm duy nhất x=4 2) 2 2 3 2 1 log 3 2 2 4 3 x x x x x x − + = − + − + . 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 3 3 2 (2) log ( 1) log (2 4 3) (2 4 3) ( 1) log ( 1) ( 1) log (2 4 3) (2 4 3) 1 (2) :log log 2 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x u x x u u v v v x x ⇔ − + − − + = − + − − + ⇔ − + + − + = − + + − +  = − +  ⇒ + = +  = − +   . Xét hàm số f(t)=log 3 t+t là HSĐB với t>0 Pt tương đương u=v 1 2 x x =  ⇒  =  3)       − =− − x x xx 1 log22 2 1 . ĐK: 0<x<1 1 2 2 2 log 2 log (1 ) x x x x − ⇔ + = + − Xét hàm số f(t) =2 t +log 2 t trên (0 ; 1) là HSĐB nên pt  x=1-x  x=1/2 4) 14217 542 3 log 2 2 2 3 ++=         ++ ++ xx xx xx . 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 log ( 3) log (2 4 5) 7[(2 4 5) ( 3)] log ( 3) 7( 3) log (2 4 5) (2 4 5) 1 3 2 4 5 3 2 0 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + − + + = + + − + + ⇔ + + + + + = + + + + + = −  ⇔ + + = + + ⇔ + + = ⇔  = −  5) 6 log 2 6 log ( 3 ) log x x x+ = . ĐK : x>0 Đăt t= 6 log x x=6 t . phương trình trở thành 3 1 2 6 3 1 3 ( ) 1 2 6 t t t t t t x= + ⇔ = + ⇒ = − ⇒ = 6) 2 2 2 log 9 log log 32 .3 x x x x= − . ĐK x>0 2 2 2 2 log log log log2 2 (3) 9 .3 3 3 1 x x x x x x⇔ = − ⇔ = − Đặt log 2 x=t pt trở thành 3 t +1=4 t . Pt có nghiệm t=1 x=2. 7) 2 2 3 2 log ( 2 1) log ( 2 )x x x x+ + = + Đặt 2 2 3 2 log ( 2 1) log ( 2 )t x x x x= + + = + . Ta có hệ pt 2 2 2 1 3 2 1 3 t t t x x x  + =  ⇒ = − ±  + =   8) 3 3 3 log log 1 0x x− − = . ĐS : x=3 ; x=81. 9) 4 6 4 2log ( ) logx x x+ = . ĐK : x>0 4 6 4 4 1 (6) log ( ) log log 2 x x x x⇔ + = = Đặt t= 4 log x . Phương trình trở thành 6 log (4 2 ) 4 2 6 1 16 t t t t t t t x+ = ⇔ + = ⇒ = ⇒ = 10) 82 3log log 2 2 5 0 x x x x − + − = . ĐK : x>0 Đặt 2 log 2 t t x x= ⇒ = . Pt trở thành 2 2 2 2 2.(2 ) 2.(2 ) 5 0 2.2 5 0 1 1 2 2 t t t t t t x t x − =   + − = ⇔ + − = ⇒ = ± ⇒  =  11) 2 2 2 log ( 1)log 2 6 0x x x x+ − + − = .ĐK: x>0 Đặt t= 2 log x phương trình trở thành 2 2 2 1 log 2 2 ( 1) 2 6 0 4 3 log 3 2 x t x t x t x t x x x x  = − = − =    + − + − = ⇔ ⇒ ⇒    = − = −   =  12) 5 log ( 3) 2 x x + = . ĐK: x>-3 Đặt 5 log ( 3) 3 5 5 3 t t x t x x+ = ⇒ + = ⇒ = − . Phương trình trở thành 2 1 2 3 5 3. 1 1 2 5 5 t t t t t x     + = ⇔ + = ⇒ = ⇒ =  ÷  ÷     13) 2 1 1 2 2 2 2 .log ( 1) 4 .(log 1 1) x x x x + + + = + + ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 log ( 1) 2 .log 2 1 1 1, 0 2 log 2 log 2 1 x x u v x x u x u v u v v x + + ⇔ + = +  = +  ≥ ≥ ⇒ =  = +   +u>vVT>VP +u<vVT<VP +u=v cho nghiệm x= 1 2± CÁC BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ. Bài 1: Giải và biện luận phương trình : 3 3 3 2log log ( 1) log 0x x m− − − = . ĐK: 0 0 x m >   >  Phương trình 2 0x mx m⇔ − + = +0<m<4: phương trình vô nghiệm +m=4 phương trình có nghiệm x=2 +m>4 1 2 2 2 2 2 S m x x= > ⇒ > > nên phương trình đã cho có 2 nghiệm 2 1,2 1 ( 4 ) 2 x m m m= − ± − Bài 2; Tìm m để phương trình 2 2 1 2 4(log ) log 0x x m− + = có nghiệm thuộc (0;1). ĐK: x>0 2 2 2 log log 0pt x x m⇔ + + = Đặt t= 2 log x ; (0;1) ( ;0)x t∈ ⇒ ∈ −∞ . Phương trình trở thành t 2 +t+m=0 S=-1<0 nên pt có nghiệm ẩn t thì sẽ có nghiệm âm . Do đó đk : 1 0 4 m∆ ≥ ⇔ ≤ . Bài 3 : Tìm m để phương trình 2 2 2 2 1 4 2 log log 3 (log 3)x x m x+ − = − có nghiệm thuộc [32; )+∞ . ĐK: x>0 Đặt 2 log ; [32; ) [5; )t x x t= ∈ +∞ ⇒ ∈ +∞ . Phương trình trở thành: 2 2 3 ( 3)t t m t− − = − +t=3 không là nghiệm +t≠3 ta có 2 2 2 3 ( ) ; [5; ) 3 2 lim ( ) 1; '( ) 0 ( 3) 2 3 t t t m f t t t t f t f t t t t →+∞ − − = = ∈ +∞ − − = = < − − −  HSNB trên [5;+∞) Lập BBT ta có 1<m 3≤ CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải các phơng trình: a) ( ) 4lg 2 16lg 4 1 223lg 4 x xx += b) 0273lg3lg 2 1 12lg2 1 = + ++ x x c) ( ) ( ) 62log14log 3 22 +=+ + xx x d) ( ) ( ) 8 1 log14log.44log 2 12 1 2 =++ + xx Bài 2: Giải các phơng trình sau: a) ( ) ( ) 2 4 1 .271log 12 12 1 xx x x + = b) ( ) [ ] { } 2 1 log31log1log2log 3234 =++ x c) ( ) 112log.loglog2 33 2 9 += xxx d) ( ) 2 1 213log 2 3 =+ + xx x Bài 3:Tìm x biết ( ) ( ) 32lg,12lglg2, x + x , theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Bài 4: Giải các phơng trình: a) ( ) ( ) 155log.15log 1 255 = + xx b) ( ) ( ) 3 8 2 2 4 4log4log21log xxx ++=++ c) ( ) ( ) ( ) ( ) 1log1log1log1log 24 2 24 2 2 2 2 2 ++++=++++ xxxxxxxx d) ( ) ( ) 2 9 3 3 2 27 3log 2 3 log. 2 1 65log + =+ x x xx Bài 5: Giải các phơng trình: a) 84log3 log3log 22 3 3 3 3 + = xx x b) ( ) x x = + 3log 5 2 c) ( ) ( ) x x x x x 3 3 3 2 3 log 1 log log 3 + = d) ( ) xx 32 log1log =+ e) ( ) xxx 4 4 6 loglog2 =+ f) ( ) xx 57 log2log =+ g) ( ) ( ) xx 2332 loglogloglog = h) ( ) ( ) ( ) 1log1log.1log 2 6 2 3 2 2 =+ xxxxxx Bài 6: Giải các phơng trình sau: a) ( ) 5log2log 3 =+ x x b) ( ) ( ) 7log12log 21 =+ x x c) 1lg1lg2 3 = xx d) ( ) ( ) 654log5.254log3 2 2 2 2 =++++ xxxx Bài 7: Giải các phơng trình: a) ( ) 5log1log 4x =+ x b) ( ) ( ) ( ) 1log2 2log 1 13log 2 3x 2 ++=+ + xx c) 0log.40log.14log 4 3 16 2 2 x =+ xxx xx d) ( ) 2log2log 2 2 =++ + xx x x Bài 8: Giải các phơng trình: a) 14217 542 3 log 2 2 2 3 ++= ++ ++ xx xx xx b) = x x xx 1 log22 2 1 c) ( ) xx x 21log13 3 +++= d) ( ) 15log3216 6 +++= xx x e) 23 542 3 log 2 2 2 3 ++= ++ ++ xx xx xx f) xx x xxx 62 5 log24 2 3 53 2 = . nghiệm x= 1 2± CÁC BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ. Bài 1: Giải và biện luận phương trình : 3 3 3 2log log ( 1) log 0x x m− − − = . ĐK: 0 0 x m >   >  Phương trình. − = = < − − −  HSNB trên [5;+∞) Lập BBT ta có 1<m 3≤ CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải các phơng trình: a) ( ) 4lg 2 16lg 4 1 223lg 4 x xx += b)