Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Tìm tâ ̣p xác đinh ̣ của hàm số sau đây: a/ f  x   sin x  ; sin x  b/ f  x   tan x  ; cos x  c/ f  x   cot x ; sin x   d/ y  tan  x    3 Tìm tâ ̣p xác đinh ̣ của hàm số sau : a/ y   cos x ; c/ y  b/ y   sin x ; cos x ; sin  x    d/ y   cos x  sin x Tìm GTLN và GTNN hàm số a/ y  3cos x  ; b/ y  5sin 3x  ;  c/ y  cos  x    ; d/ f  x   sin x  cos x ; e/ f  x   cos x  sin x ; f/ y   sin x  cos x ;  5 Xét tính chẵn – lẻ hàm số a/ f  x   sin x ; cos x  c/ y  3cos x  5sin x b/ f  x   sin x  cos x ; d/ y  x cos x Cho hàm số y  3cos x a/ Chứng minh hàm số cho là hàm số chẵn b/ Chứng minh hàm số cho có chu kỳ T   c/ vẽ đồ thị hàm số cho Tìm Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số a/ f ( x)  sin11 x  cos11 x ; b/ f ( x)  sin x  cos x ; c/ f ( x)  sin x  cos6 x ; d/ f ( x)  sin n x  cos n x , với n  * NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Giải phương trình :  a/ sin x  sin ; b/ 2sin x   ; d/ sin  x  20o   sin 60o ; e/ cos x  cos ; g/ cos  x  15o    h/ t an3x   c/ sin  x    ;  f/ cos x   ; ; j/ tan  x  10o   tan 60o ; ; i/ tan  x    ; l/ cot  x    k/ cot x  ; Giải phương trình :   a/ sin  x    sin   x  ; 5  c/ tan   b/ cos  x  1  cos  x  1 ;  2x 1  tan  ; d/ sin x  cos x Giải phương trình lượng giác sau : a/ sin x  ; b/ cos x   ; c/ tan 3x  ; d/ cos x   Giải phương trình a/ sin x  cos x  ; b/ sin x  cos x  ; 2 0; d/ cot   20o   4  c/ tan x  cot x Giải phương trình a/ cos  3x  600   b/ cot  x  400   ; ; d/ sin  x  240   cos  x  1440   cos 200 c/ cos(2 x  45o )  cos x  ; Giải phương trình   a/ 2sin  x    cos  x    ; 4 4   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  b/ 8cos3  x    cos3x   Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a/ Chứng minh 4sin x cos x  cos3 x sin 3x  3sin 4x b/ Giải phương trình sin x cos 3x  cos3 x sin x  sin 4x Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho :  2  a/ sin  x    với   x  ; 12   b/ cos  x  1    c/ tan  3x  2  với x    ;  ; d/ tan x  với x    ;    2 với x    ;   ; Giải phương trình a/ 2sin x cos x cos x  sin x ; b/ sin x  2sin x  cos x  cos x   ; c/ sin x  sin x  sin x  ; d/ 3sin x  cos x  3sin x  16 cos x   Giải phương trình : a/ tan x tan x   ; b/ sin x cot x  ; c/ tan 3x  tan x ; d/ 2cos x   tan x  Giải phương trình : a/ 2sin x cos x   cos x  sin x  ; b/ sin x  cos3 x  cos x ; c/ 1  tan x 1  sin x    tan x ; d/ tan x  cot x  ; e/ sin x  cos x  cos x ;  sin x g/ cos x  cos 3x  cos x  ; f/  cos x sin x  ; cos x  cos x h/ tan x sin x   sin x  tan x   3  Tìm x  [0;14] nghiệm phương trình cos 3x  cos x  3cos x   a/ Hãy biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sin x  m , x  [0;3 ] b/ Hãy xác định tất giá trị tham số m để phương trình 2m cos x sin x có nghiệm đoạn 0;3 Giải phương trình sau : a/ cos 2 x  ; b/ cos 2 x   ;  c/ cos2  x    sin x ;   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 d/ cos 3x  sin 2 x  Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho : b/ cot  x  5  với   x   a/ sin x   với  x   ; Giải phương trình sau : a/ sin x  cos x  ; b/ sin x  cos x  ; c/ sin x  cos x  ; d/ sin3 x cos x  cos3 x sin x  / Giải phương trình sau : a/ cos x  sin x cos x  ; c/ 8sin x.cos x.cos x  cos8  b/ cos x  sin x  ;     x;  16  d/ sin  x    sin x  sin x   Giải phương trình : a/ cos x.cos x  cos x.cos x ; b/ cos x  sin 3x.cos x  sin x.cos x ; c/  cos x  cos x  cos 3x  ; d/ sin x  sin 2 x  sin 3x  sin x  Giải phương trình sau : a/ sin x sin x  sin x sin x ; b/ sin x  sin x  sin 3x  sin x  ; c/ sin x  sin 3x  2sin 2 x ; d/ sin x  sin 3x  sin x  cos x  cos x  cos x Tìm tập xác định mỗi hàm số sau : a/ y  tan x ; d/ y  sin   x  ; cos x  cos x c/ y  b/ y  cot x ; e/ y  tan x ;  tan x f/ y  cos x  ; cos x  1 cot x  Giải phương trình : a/ cos x  0;  sin x c/ sin x cot x  ; b/ tan x   0; 2cos x  d/ tan 3x  tan x Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;  ) phương trình cos x cos x  cos x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Giải phương trình : a/ cos x  3cos x   ; b/ cos x  sin x   ; c/ 2sin x  5sin x   ; d/ cot 3x  cot 3x   ; Giải phương trình : a/ 2cos2 x  cos x   ; b/ cos x  cos x   ; c/ cos x  5sin x   ; d/ tan x  cot x   Giải phương trình lượng giác sau : a/ sin x 2 cos x 2 0; c/ cos x sin x ; x b/ cos x  5sin   ; d/ cos x  3cos 3x   Giải phương trình : a/ tan x    1 tan x   ; b/ tan x  1   tan x   ; c/ cos x    1 cos x    ; d/     tan x    cos x Giải phương trình sau : a/ cos x cos x  cos x.cos x  3cos x  ; c/ 4sin 2 x  6sin x   3cos x  0; cos x b/ cos x  sin x  cos x  ; 5   x    cos x   2 d/ 2cos x  cos2  10cos  x Giải phương trình : a/ tan x  1  ; cos x c/ 5sin x  sin x  cos x   ; b/ cos x  1  cos x  cos x cos x d/ tan x  cot x   tan x  cot x   Giải phương trình  tan x  sin x    cot x  cos x    Giải phương trình : a/ sin x  3sin x  2sin x  ; NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ; x b/ sin x  cos   ; Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 c/  sin x sin x  ; d/ 2sin x  cos x  4sin x   ; e/  sin x  cos x   4sin x cos x  ; f/ sin x  cos x   sin x ;   g/ cos2  x    4cos   x   ;     h/ 2cos x  sin  10cos   x    cos x 2  2 x  Giải phương trình sau : b/ sin x  cos x  ; a/ sin x  cos x  5sin x  cos x  ; c/  tan x   ; cos x d/ sin x  tan x  cos3x  sin 3x  Tìm nghiệm x   0; 2  phương trình  sin x    cos x   2sin x   Giải phương trình sau: a/ cot x  tan x  4sin x  c/  b/ tan  x    tan x  ; ; sin x  cos x  3cot x  sin x 2; cot x  cos x 4 d/ cos 3x  3cos x  2(1  cos x) II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x Giải phương trình : a/ sin x  cos x  ; b/ cos x  sin x  ; c/ 3cos x  4sin x  5 ; d/ sin x  cos x  ; e/ 2sin x  2cos x  ; f/ sin x   cos x Giải phương trình : a/ 2sin x  sin x  ; b/ cos x  sin x  ; c/ 2sin x cos x  cos x   ; d/ 4sin x  3 sin x  cos x  Giải phương trình sau :  a/ sin 3x  cos 3x  cos x ; b/ cos x  sin x  cos   x  ; c/ sin x  cos x  cos x  sin x ; d/ sin x  cos x   sin x  cos8 x  3 Giải phương trình sau :    a/ 3sin  x    4sin  x    5sin  x    ; 6     NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309    Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168   b/ 2sin  x    4sin  x    4 4   Giải phương trình sau : a/ 3sin x  cos 3x   4sin x ; b/ cos x  2sin 3x cos x  sin x  ; x x c/  sin  cos   cos x  ;  2 d/ 8cos x   sin x cos x 2 6 Tìm x   ,  thỏa phương trình cos x  sin x  2   Cho phương trình 2sin x  sin x cos x  cos x  m a/ Tìm m để phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình với m  1 Cho phương trình sin x  2m cos x  sin x  m Tìm m để phương trình có 3 hai nghiệm thuộc đoạn 0;    Giải phương trình a/ 8sin x  ;  cos x sin x b/ sin x  tan x 1 sin x  phương trình sau : a/ sin x  cos x  ;  b/ 2sin17 x  cos x  sin x  ;   d/ cos  x    sin  x     c/ cos  x    sin  x    ; 6      4  4 Giải phương trình sau :  a/  cos x  sin x ; b/ cos x  sin x  2cos   x  ; c/ sin x  cos x  sin x  cos x  ; d/  sin x  cos x   sin x    Giải phương trình sau :  a/ cos4 x  sin  x    ;  4 b/ sin x  cos3 x  sin x  cos x ;  c/ cos x  sin x  2sin  x    2 ;  e/ 3cos x  4sin x  6  3; 3cos x  4sin x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 d/ tan x  3cot x  4(sin x  cos x) ; Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168   f/ 8sin x sin x  6sin  x   cos   x    cos x 4  4  Với giá trị nào tham số m thì phương trình sau có nghiệm :  b/ m sin  x    sin x   cos x a/ m sin x   m  1 cos x  ;  Tìm x cho biểu thức y  sin x  cos x  4 nhận giá trị nguyên Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức : a/ a sin x  b cos x (a, b số a  b  ); b/ sin x  sin x cos x  3cos x Giải phương trình sau : a/ 3sin x  8sin x cos x  cos x  ; b/ 4sin x  3 sin x  cos x  ; c/ sin x  2sin x.cos x  3cos3 x  ; d/ 6sin x  cos3 x  5sin x cos x Giải phương trình sau : b/ 1  cos x   cos x  sin  ; a/  tan x  2sin x ;  d/  sin x sin x  cos x sin x  2cos   x  ; c/ sin x cos x  sin 2 x  2sin x   ; e/  sin x cos x  0; sin x cos x g/ sin x  cos8 x  f/ tan x  cot x  ; sin x x x  h/ cos2  tan x.sin    ; 17 cos 2 x ; 16 2 4 i/ (1  sin x  cos x) cos x  sin x  ; j/ cos x  cos 3x  sin 2 x  0;  ; k/ cos 3x cos x  cos x  ; l/ sin x  5sin x ; m/ 1  sin x  cos x  1  cos x  sin x   sin x Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;2  phương trình sin x  cos x  sin x  cos x   2sin x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x Giải phương trình : a/ 3sin x  sin x cos x  cos x  ; b/ sin x  sin x  cos x  ; c/ 2sin x  3 sin x cos x  cos x  ; d/ cos 2 x  sin x  3sin 2 x  Giải phương trình : a/ 2sin x  sin x cos x  cos x  ; b/ sin x    1 sin x cos x  cos x  ; c/ sin x  sin x cos x  ; d/ cos x  3sin x  Giải phương trình : a/ sin x  sin x cos x  2cos x  x 3 ; x c/ 4sin  3 sin x  cos  ; b/    sin x  sin x   d/ 3cos x  5sin x   sin x Giải phương trình sau : a/ 4sin x  cos x  ; cos x c/ sin x  cos3 x  sin x  cos x ; Nguồn tập: Thầy Trần Sỹ Tùng NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309   cos x  ;  b/ sin x sin  x    cos x  ;  4 d/ sin x sin x  sin 3x  cos3 x Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT §1 QUY TẮC ĐẾM a/ Một trường THPT cử học sinh dự trại hè toàn quốc Nhà trường định chọn học sinh tiên tiến lớp 11A lớp 12B Hỏi nhà trường có cách chọn, biết lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến ? b/ Một trường THPT cử hai học sinh dự trại hè toàn quốc Nhà trường định chọn học sinh tiên tiến lớp 11A lớp 12B Hỏi nhà trường có cách chọn, biết lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến ? a/ Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B phương tiện: ôtô, tàu hỏa, tàu thủy máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, chuyến tàu hỏa, chuyến tàu thủy chuyến máy bay Hỏi có lựa chọn phương tiện để từ A tới B? b/ Từ A đến B có đường để ; từ B đến C có đường để Hỏi có cách chọn đường từ A đến C (qua B) ? a/ Hùng có hai đôi giày ba đôi dép Hỏi Hùng có lựa chọn (một đôi giày đôi dép để mang) ? b/ Hùng có quần tây áo sơ mi Hỏi Hùng có cách để chọn quần áo ? Một đội văn nghệ có nam nữ Hỏi có cách chọn a/ Một đôi song ca nam – nữ ? b/ Một bạn để biểu diễn đơn ca ? Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây ? NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 CẤP SỐ CỘNG Trong dãy số (un) đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu công sai nó: 3n   3n un  a) un = 3n – b) un  c) un  n2 d) un  3n e) f) un   n Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết: u1  u5  u3  10 u1  u6  17  b)  c)  u14  18 u  u  u  u  60 e)  72 152 f)  a)  d)   u2 u7  75 u2  u5  u3  10 u4  u6  26   u4  u12  1170  u  15 u1  u3  u5  12 u1u2u3   a) Giữa số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 22 tổng bình phương chúng 66 a) Ba góc tam giác vuông lập thành cấp số cộng Tìm số đo góc b) Số đo góc đa giác lồi có cạnh lập thành cấp số cộng có công sai d = 30 Tìm số đo góc c) Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm số đo góc Chứng minh số a, b, c lập thành cấp số cộng số x, y, z lập thành cấp số cộng, với: a) x  b2  bc  c2 ; y  c2  ca  a2 ; z  a2  ab  b2 b) x  a2  bc; y  b2  ca; z  c2  ab Tìm x để số a, b, c lập thành cấp số cộng, với: a) a  10  3x; b  x  3; c   x b) a  x  1; b  3x  2; c  x  Tìm nghiệm số phương trình: x3  15x  71x  105  , biết nghiệm số phân biệt tạo thành cấp số cộng Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, … Hỏi có hàng? NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §4 CẤP SỐ NHÂN Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết: u  u  72 a)  u5  u3  144 u  u  u  14 d)   u1.u2 u3  64 u1  u3  u5  65 u1  u7  325  c)  u2  u6  240 u1  u2  u3  21  1     u u u 12  u  u  u  u  30 f)  12 22 32 42 b)  e) u  u  90  u1  u2  u3  u4  340 a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội 3, tổng số số hạng 728 số hạng cuối 486 b) Tìm công bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889 a) Tìm góc tứ giác, biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai b) Độ dài cạnh ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh ABC có hai góc không 600 Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560 Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác định công bội cấp số Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tổng số hạng đầu 148 , đồng thời, theo thứ tự, chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân Tìm số ba số đầu ba số hạng cấp số nhân, ba số sau ba số hạng cấp số cộng; tổng hai số đầu cuối 32, tổng hai số 24 Tìm số dương a b cho a, a + 2b, 2a + b lập thành cấp số cộng (b + 1)2, ab + 5, (a + 1)2 lập thành cấp số nhân Chứng minh số x, y, z lập thành cấp số nhân NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 2 , , yx y yz lập thành cấp số cộng số Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Tính tổng : S  1.2  2.3   n(n  1) u1  Dãy số (un ) xác định công thức:  un 1  3un  với n  Chứng minh dãy số tăng phương pháp quy nạp Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u1  u n1  un  với n  a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với n  ta có u n  n 1  b) Chứng minh dãy số (u n ) dãy giảm bị chặn Xét tính tăng, giảm dãy số (un ) với: a) un  2n b) un  3n n  4n Cho dãy số (un) xác định u1=2 un1  un  với n  Chứng minh un=2 với n  Có nhận xét dãy số ? Cấp số cộng: a) Tìm nghiệm phương trình: x3 –15x  71x –105  Biết nghiệm tạo thành cấp số cộng b) Cho cấp số cộng biết tổng ba số hạng –6 tổng bình phương chúng 30 Hãy tìm cấp số cộng c) Cho phương trình x –(3m  4)x  (m  1)2  Định m dể phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng d) Cho số a, b, c thoả mãn 1 , , ab ac bc tạo thành cấp số cộng Chứng minh a2 , b2 , c2 tạo thành cấp số cộng e) Nếu số thứ p, thứ q thứ r cấp số cộng a, b, c Chứng minh rằng: (q – r )a  (r – p)b  (p – q)c  f) Cho biết tổng n số hạng cấp số cộng Sn  n(5n –3) Tìm số hạng thứ p cấp số cộng g) Cho hai cấp số cộng có tổng n số hạng Sn  7n  Tn  4n  Tìm tỉ số u11 số hạng thứ 11 hai cấp số v11 Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu công sai cấp số nhân, biết số hạng thứ hai 16 tổng ba số hạng đầu 56 b) Một cấp số nhân (un ) có số hạng, biết công bội q  hạng cấp số nhân NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 u1  u4  24 Tìm số Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cấp số cộng – Cấp số nhân: a) Các số x  y, x  y, x  y , theo thứ tự lập thành cấp số cộng Đồng thời x  1, y  2, x  y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x y b) Cho số có tổng 28 lập thành cấp số nhân Tìm cấp số nhân biết số thứ giảm ta số lập thành cấp số cộng c) Tìm hai số a b biết ba số: , a  , b theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số 1, a, b theo thứ tự lập thành cấp số nhân d) Ba số có tổng 217 coi ba số hạng liên tiếp CSN, số hạng thứ 2, thứ thứ 44 CSC Hỏi phải lấy số hạng đầu CSC để tổng chúng 280? e) Một CSC CSN có số hạng thứ 5, số hạng thứ hai CSC lớn số hạng thứ CSN 10, số hạng thứ Tìm cấp số ấy? Cho dãy số (un) với n  5n un  n  5n Tính S10  1    u 1 u2  u10  Cho dãy số (un), kí hiệu tổng n số hạng Sn, xác n  3n định S n  a) Tính u1, u2, u3 b) Chứng minh dãy số cấp số cộng xác định số hạng tổng quát Nguồn tập: Thầy Trần Sỹ Tùng NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Tính giới hạn sau: a) lim d) lim 2n2  n  b) lim 3n2  2n  n4 e) lim (n  1)(2  n)(n2  1) 2n  n3  n  n2  2n  n  c) lim f) lim 3n3  2n2  n n3  2n  n2  3n3  2n2  Tính giới hạn sau: a) lim d) lim  3n b) lim  3n 2n  5n1 e) lim  5n 4.3n  7n1 2.5n  7n  2.3n  7n 5n  2.7n c) lim f) lim 4n1  6n2 5n  8n  2.3n  6n 2n (3n1  5) Tính giới hạn sau: 4n2   2n  a) lim b) lim n2  4n   n 4n2   2n d) lim e) n2  4n   n n2   n  n2   n (2n n  1)( n  3) lim (n  1)(n  2) c) lim f) lim n2   n6 n   n2 n2  4n  4n2  3n2   n Tính giới hạn sau:   1     (2n  1)(2n  1)   1.3 3.5 b) lim    1        2    n2  d) lim  a) lim   c) lim    e) lim  1      n(n  2)   1.3 2.4  1      n(n  1)   1.2 2.3    n f) lim n2  3n   22   n   32   3n Tính giới hạn sau: a) lim  n2  2n  n  1 d) lim 1  n2  n4  3n   g) lim b) lim  n2  n  n2   4n2   2n  n2  4n   n NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 e) lim  n2  n  n  h) lim n2   n6 n   n2 c) lim  2n  n3  n  1 f) lim i) lim n2   n2  n2  4n  4n2  3n2   n Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Tính giới hạn sau: a) lim d) lim cos n2 b) lim n 1 3sin6 n  5cos2 (n  1) e) lim n2  Cho dãy số (un) với un = a) Rút gọn un 3sin (n3  2)  n2  3n2   1           ,     n  c) lim  2n cos n 3n  f) lim 3n2  2n  n(3cos n  2) với  n  b) Tìm lim un a) Chứng minh: b) Rút gọn: un = (1)n sin(3n  n2 ) 3n    (n  N*) n n   (n  1) n n n 1 1    2 3 n n   (n  1) n c) Tìm lim un Cho dãy số (un) xác định bởi: u1    un1  un  n (n  1)  a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n c) Tìm lim un u  0; u  Cho dãy số (un) xác định bởi:  u  u n1  un , (n  1)  n2 a) Chứng minh rằng: un+1 =  un  , n  b) Đặt = un – Tính theo n Từ tìm lim un NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Tìm giới hạn sau: a)  x  x2  x3 lim x 0 1 x x 1 d) lim x4  x  x 1 x 8 3 x 2 g) lim x 1 3x   x x 1   sin  x   c) lim    x x x2  x  x 1 f) lim 3x   3x  x 1 i) lim x sin b) lim x 1 e) lim x 2 h) lim x 2 x2  2x  x 1 x 1 x 0 Tìm giới hạn sau: a) lim x 1 d) lim x  x2  x  x  3x  x3  5x  3x  x 3 g) x  8x  (1  x )(1  x )(1  x )  lim x 0 x x4 1 b) lim x3  x2  x  5x  x x 1 e) lim (1  x )2 x 1 h) c) lim x5  x3  xm 1 x 1 f) lim xn 1 x 1 x  x   x n  n lim x 1 x 1 x  16 i) lim x3  x2 x 2 Tìm giới hạn sau: a) lim x 2 d) lim x 2 g) lim x 0 4x   x2  x 2 2 x 7 3 1 x 1 1 x 1 b) lim x 1 x 1 4x   x   3x  x 1 e) lim x 1 x   2x h) lim x  3x x 3  x2 1 x c) lim x 0 x2   f) lim x 0 i) lim x 0 x  16  x   x  16  x Tìm giới hạn sau: a) lim x 0 d) lim 1 x  1 x x 1 4x  1 6x x2 1 4x 1 6x 1 lim x 0 x x 0 g) b) lim x  3x  x 2 e) lim x  11  x  x  11  x  x  5x   x  x  lim x 0 x x 2 h) 1 x   x x 0 x c) lim f) lim  x3  x2  x2  x 1  1 x i) lim x 0 x x 1 Tìm giới hạn sau: a) lim x  d) lim x  x2  2x2  x  x2  2x   4x  4x2    x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 b) lim x  e) lim x  2x2  x  x 2 4x2  2x    x x  3x  x c) lim x  f) lim x  2x2  x  3x  x x 1 x2  x  Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 (2 x  1) x  g) lim x  5x x  x  5x  x  x  x  x  3x h) lim i) lim 4x2   x  x  Tìm giới hạn sau: a) lim  x  x  x  b) lim  x   x  x   c) lim  x   x   x  d) lim  x  x  x  x  x  x    x    e) lim x    2x 1  2x  1  f) lim x         3x3    g) lim    x 1   x  x  h) lim  x 2  x  3x  x2      x  5x   Tìm giới hạn sau: a) lim x 2 d) lim x 2 x  15 x 2 b) lim x 2 x2  x 2 e) lim x 2 x  15 x 2 c) lim x 3 2 x f) lim 2 x  5x  x 2  3x  x x 3 2 x 2 x  5x  Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra: a) c)  1 x 1  3 f (x)    x  3  2  x2  2x   f (x)    x  x  16  x  x  taïi x  x  x  taïi x  x  b)   x2  f ( x )   x  x  1  x x  taïi x   x  3x  x   d) f ( x )   x  taïi x  x  x    Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:: a)  x3   f ( x )   x  x  mx  x  c) x  m x   f ( x )   x  100 x  taïi x  x   x 3 taïi x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 b)   x   f (x)   x  x  taïi x  m2 x  3mx  x    x  3m x  1 taïi x  1  x  x  m  x  1 d) f ( x)   Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC Xét tính liên tục hàm số điểm ra: a) c) x 3  f (x)   x  1 x  taïi x  1 x    x  5x  x  x  taïi x  f (x)   x  3x  1 x   1  cos x x  x   x 1 e) f ( x )   taïi x   x 3 2  b) f ( x )   x  1   x 5 d) f ( x )   x   ( x  5)2    x 1 f) f ( x )    x  2 x  x  taïi x  x  x  taïi x  x  x  taïi x  x  Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra:  2mx  a) f ( x )   x b) c) d) x  x  taïi x   x3  x2  x   x  f (x)   taïi x  x 1 3x  m x  m x   x  x 6 f (x)   x  0, x  taïi x  vaø x   x( x  3) x   n  x2  x   f (x)   x  m x  taïi x  x  Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng:  x3  x   a) f ( x )   x  4  c)  x2   f (x)   x  4 x  1 x  1 x  2 x  2  x  3x   b) f ( x )  5  2 x  d)  x2   f ( x)   x   2 x  x  x  x  x  Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng: a)  x2  x   f ( x)   x  m x  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  x2  x  b) f ( x )  2  mx  x  x  x  Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 c)  x3  x2  x   f (x)   x 1 3 x  m x  x   2mx  d) f ( x)   x x  x  Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x3  3x   b) x3  x  9x   c) x   x  Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) x  3x   b) x  x   c) x  x3  3x  x   Chứng minh phương trình: x  5x3  x   có nghiệm (–2; 2) Chứng minh phương trình sau có nghiệm với giá trị tham số: a) m( x  1)3 ( x  2)  x   b) x  mx  2mx   c) a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b)  d) (1  m2 )( x  1)3  x  x   e) cos x  m cos x  f) m(2 cos x  2)  2sin 5x  Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) ax  bx  c  với 2a + 3b + 6c = b) ax  bx  c  với a + 2b + 5c = c) x3  ax  bx  c   1 Chứng minh phương trình: ax  bx  c  có nghiệm x   0;  với a  3  2a + 6b + 19c = NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Tìm giới hạn sau:     n a) lim 3n3 d) lim n2  2n 2n2  3n  g) lim  n2  3n  n2   i) lim cos n2 n2 e) lim n 1 c) lim 25n1  f) lim 35n2  g) lim  n3  3n2  n  n  2n 3n  n  (1)n  4.3n (1)n1  2.3n h) lim 1 n2  n4  n  l) lim  n2   n3  2n  n k) lim sin n  b) lim     n  2n  3n2   n2  Tìm giới hạn sau: a) lim x 3 d) lim x  5x  x  x  15 x  5x  3x  x 1 x g) lim  8x  x  x3  x  x 1 x  2x 1 8x  b) lim x c) lim x  5x  x 1 x h) lim f) lim  4x  x2 x 2 x x  3x x 3 x3  3x  e) lim x3  x2  x  x3  x2  x  x  x  16 ( x  2)2  x 2 i) lim  5x  x2  x 1 Tìm giới hạn sau: x 2 a) lim x 2  1 2x  d) lim x 2 x 4 x 1 h) lim x 1 x f) lim x 3 2 x 0 x 0 1 x  1 x x i) lim x  x  16 m) lim  2x  x2   x 2  x2  x 0 x 8 3 c) lim 2x   e) lim l) lim x 1 x 0 x 0 x 1 x    x2 x 1 g) lim x 1 k) lim x7  x2 1 x b) lim x 2 4x  x 2 x 2  x 7 5 x 2 Tìm giới hạn sau: x  3x  a) lim  x2 x 2 d) lim x  5x  x 2 g) lim  x 2 ( x  2)  2x  x2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 b) lim x 1 x  3x  3x  lim  x 3  x x 1 e) h) lim  x 3 2 x  5x  ( x  3) 3x  x  c) lim  x 1 x 1 f) lim x 0 x x x x i) lim  x   x 2 x x 4 Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Tìm giới hạn sau: a) lim x  x  3x  x  x  lim g) x   k) lim x  b) lim x  5x  x  x  lim d) x  x 2 x  x3  x x2  x  3x  x   x2   x h) lim  x2  x   x x  x  x  3x l) lim x  4x   x  x  (3 x  x 1 e) lim x  x2   x  2x c) lim  (2 x  3)2 (4 x  7)3   1)(10 x  9) f) lim ( x  x  x  1) x    5x   x x  1 x i) lim  x2  2x  x 1  cos x x   f ( x )   sin x 1 x   x = x2  x  2x2 1  m) lim x   Xét tính liên tục hàm số: a) 1  x  f (x)   x2  x   x  c)  12  x  f ( x )   x  x  10 2 x  R b) x  x  x   x   1  x x  R d) f ( x )   x x = Tìm a để hàm số liên tục R: 2a a) f ( x) c) x3 x2 2x x  x2  x   f ( x)   x  a x x x  2 x  2 1 b) d)  x2   f ( x)   x   x  a x  x   x2  4x   f ( x)   x  ax  x  x  Chứng minh phương trình: a) x  x  9x   có nghiệm phân biệt b) m( x  1)3 ( x2  4)  x   có nghiệm với giá trị m c) (m2  1)x – x3 –1  có nghiệm nằm khoảng  1;  với m d) x3  mx2   có nghiệm dương e) x  3x  5x –6  có nghiệm khoảng (1; 2) Cho m > a, b, c số thực thoả mãn: a b c    m  m 1 m Chứng minh phương trình: f ( x)  ax  bx  c  có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)  m 1  c2 0  m(m  2) m2 HD: Xét trường hợp c = 0; c  Với c  f (0) f  Nguồn tập: Thầy Trần Sỹ Tùng NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG V ĐẠO HÀM §1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Tính đạo hàm định nghĩa Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y  f ( x)  x  x  x0  b) y  f ( x)   x x0 = –3 c) y  f ( x )  2x  x 1 x0 = d) y  f ( x )  sin x x0 = e) y  f ( x )  x x0 = f) x2  x  y  f (x)  x 1  x0 = Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: a) f ( x)  x  3x  b) f ( x)  x3  x c) f ( x)  x  1, ( x   1) 2x  d) f ( x )  f) f ( x )  e) f ( x )  sin x cos x §2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Tính đạo hàm công thức Tính đạo hàm hàm số sau: 3 x x a) y  x  x  x  b) y  d) y  ( x  1)( x  4)( x  9) e) y  ( x  3x)(2  x) x  x c) y  ( x3  2)(1  x )    1  x  f) y   x  1  g) y  2x  h) y  2x  1  3x i) y  k) y  x  3x  x 1 l) y  2x2  4x  x 3 m) Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  ( x  x  1)4 b) y  (1  x )5 d) y  ( x  x)5 e) y    x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  x  x2  x  x2 2x2 y x2  2x  c) y  ( x  x  1)11 f) y ( x  x  5)2 Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 g) y  ( x  1)2  2x   h) y     x 1  ( x  1)3 i) y     x  Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  x  5x  b) y  x3  x  x3 x 1 g) y  h) y   c) y  x  x f) y  1   x  e) y  ( x  2)3 d) y  ( x  2) x  3 4x   x2 x i) y  x2  §3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Tính đạo hàm hàm số sau:  sin x  a) y      cos x  b) y  x.cos x c) y  sin3 (2 x  1) e) y  sin  x2 f) y  sin x  x g) y  (2  sin2 x)3 h) y  sin  cos2 x tan2 x  i) y  2sin2 x  3cos3 5x  x 1   x    k) y  cos2  d) y  cot x l) y  tan x  tan3 x  tan5 x Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: a) (sin x.cos nx)'  n sinn1 x.cos(n  1)x b) (sinn x.sin nx)'  n.sinn1 x.sin(n  1)x c) (cosn x.sin nx)'  n.cosn1 x.cos(n  1)x d) (cosn x.cos nx)'   n.cosn1 x.sin(n  1) x n §4 VI PHÂN §5 ĐẠO HÀM CẤP HAI Cho hàm số f ( x )  3( x  1) cos x   2 b) Tính f ''( ), f ''   , f ''(1) a) Tính f '( x ), f ''( x ) Tính đạo hàm hàm số đến cấp ra: x 3 , y '' x4 a) y  cos x , y ''' b) y  5x  x3  5x  x  7, y '' c) y  d) y  x  x , y '' e) y  x sin x , y '' f) y  x tan x , y '' g) y  ( x  1)3 , y '' h) y  x  x3  4, y(4) i) y  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 , y (5) 1 x Đ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: a)      1 x  (n)  (1)n n ! (1  x )  b) (sin x )(n)  sin  x  n 1   n.  n.  ( n)  c) (cos x )  cos  x      Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: a) y  x2 b) y  d) y  1 x 1 x e) y  sin2 x x  3x  c) y  x x 1 f) y  sin4 x  cos4 x Chứng minh hệ thức sau với hàm số ra: a)  y  x sin x  xy '' 2( y ' sin x )  xy   y  x tan x 2  x y '' 2( x  y )(1  y)  c)  Nguồn tập: Thầy Trần Sỹ Tùng NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  b)  y3 x  x d)  y y ''   x 3 y   x4 2 y2  ( y  1) y '' [...]... r )a (r p)b (p q)c 0 f) Cho bit tng n s hng ca mt cp s cng l Sn n(5n 3) Tỡm s hng th p ca cp s cng ú g) Cho hai cp s cng ln lt cú tng n s hng l Sn 7n 1 v Tn 4n 7 Tỡm t s u11 ca 2 s hng th 11 ca hai cp s ú v11 Cp s nhõn: a) Tỡm s hng u v cụng sai ca cp s nhõn, bit s hng th hai l 16 v tng ba s hng u bng 56 b) Mt cp s nhõn (un ) cú 5 s hng, bit cụng bi q hng ca cp s nhõn ny NGUYN VN LC 0933.168.309... cú bao nhiờu cỏch chn? b/ Nu kt qu cuc thi l chn ra cỏc gii nht, nhỡ, ba thỡ cú bao nhiờu s la chn ? Trong trn chung kt búng ỏ phi phõn nh thng thua bng ỏ luõn lu 11 một Hun luyn viờn cn trỡnh trng ti mt danh sỏch sp th t 5 cu th ỏ luõn lu 11 một Hi HLV cú bao nhiờu s la chn? a/ T cỏc ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn cú 4 ch s khỏc nhau ụi mt ? b/ T cỏc s 3, 4, 5, 6, 7,... x2 1 1 f) lim x 0 i) lim x 0 x 2 16 4 x 9 x 16 7 x Tỡm cỏc gii hn sau: a) lim x 0 d) lim 1 x 3 1 x x 1 4x 3 1 6x x2 1 4x 1 6x 1 lim x 0 x x 0 g) 3 b) lim x 2 3x 2 x 2 e) lim 8 x 11 x 7 3 8 x 11 x 7 2 x 2 5x 2 1 2 x 3 1 4 x 1 lim x 0 x x 2 h) 2 1 x 3 8 x x 0 x c) lim f) lim 3 5 x3 x2 7 x2 1 3 x 1 1 x i) lim x 0 x x 1 Tỡm cỏc gii hn sau: a) lim x d) lim x x2 1 2x2 x... cú: a) 2n 2n 1 (n 3) b) 2n2 2n 5 c) 1 e) 1 22 1 1 2 1 n n2 1 1 2 n 2 n (n 2) 1 3 2 4 2n 1 1 2n 2n 1 1 1 1 13 f) n 1 n 2 2n 24 d) (n > 1) Chng minh rng vi mi n N*, ta cú: a) n3 11n chia ht cho 6 b) n3 3n2 5n chia ht cho 3 c) 7.22 n2 32 n1 chia ht cho 5 d) n3 2n chia ht cho 3 e) 32 n1 2n2 chia ht cho 7 f) 13n 1 chia ht cho 6 Chng minh rng s ng chộo ca mt a giỏc li n cnh... un 3n e) f) un 1 n 2 Tỡm s hng u v cụng sai ca cp s cng, bit: u1 u5 u3 10 u1 u6 17 b) c) 3 u14 18 u u 8 u u 60 e) 72 152 f) a) d) 7 3 u2 u7 75 u2 u5 u3 10 u4 u6 26 u4 u12 117 0 u 15 u1 u3 u5 12 u1u2u3 8 a) Gia cỏc s 7 v 35 hóy t thờm 6 s na c mt cp s cng b) Gia cỏc s 4 v 67 hóy t thờm 20 s na c mt cp s cng a) Tỡm 3 s hng liờn tip ca mt cp s cng, bit tng ca chỳng... 4x 1 x 3 m) Tớnh o hm ca cỏc hm s sau: a) y ( x x 1)4 b) y (1 2 x 2 )5 2 d) y ( x 2 2 x)5 e) y 3 2 x 2 NGUYN VN LC 0933.168.309 4 1 x x2 1 x x2 2x2 y x2 2x 3 c) y ( x 3 2 x 2 1 )11 f) y 1 ( x 2 2 x 5)2 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 g) y ( x 1)2 2x 1 3 h) y x 1 ( x 1)3 i) y 2 2 x 3 Tớnh o hm ca cỏc hm s sau: a) y 2 x 2 5x 2 b) y x3 x 2 x3 x 1 g)