Toỏn nõng cao s hc THCS Lời nói đầu Trong môn Toán trờng phổ thông phần số học đợc xem phần khó, nhiều học sinh chí giỏi lo ngại tránh né học sinh cha hình thành đợc phơng pháp giải để học sinh ứng dụng vào việc giải toán số học Qua nội dung Bài tập lớn em xin trình bày, số chuyên đề số học ứng dụng việc chứng minh giải toán có liên quan Nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán số học, đặc biệt giúp cho em khá, giỏi nắm vững kiến thức có phơng pháp học tốt để tham gia tốt kì thi học sinh giỏi cấp THCS Đề tài gồm chuyên đề sau: Chuyên đề 1: Tính chia hết Chuyên đề 2: Số nguyên tố Chuyên đề 3: Số phơng Chuyên đề 4: Bội ớc số Mỗi chuyên đề có trình bày lý thuyết, phơng pháp giải, Với mổi phơng pháp có phơng pháp cụ thể sau ví dụ minh hoạ, tập tự giải có hớng dẫn nhằm gúp học sinh rèn luyện đợc kỷ kiến thức phần số học/ Nội dung đề tài CHUYấN 1: TNH CHIA HT A Lý thuyt I Phộp chia ht v phộp chia cú d Cho hai s t nhiờn a, b, b Nu cú s t nhiờn qsao cho a = bq thỡ ta núi a chia ht cho b, kớ hiu a M b, hoc b chia ht cho a, kớ hiu b | a S q (nu cú) c xỏc nh nht v c gi l thng ca a v b, kớ hiu q = a : b hoc q = a Quy tc tỡm thng ca hai s gi l phộp chia b Tuy nhiờn vi hai s t nhiờn bt kỡ a, b khụng phi luụn luụn cú a chia ht cho b hoc b chia ht cho a, m ta cú nh lớ sau: Vi mi cp s t nhiờn a, b, b 0, bao gi cng tn ti nht mt cp s t nhiờn q, r cho: A = bq + r, r < b S q v r nh lớ v phộp chia cú d núi trờn ln lt c gi l thng v d phộp chia s a cho s b II Phộp ng d Cho m l mt s nguyờn dng Nu hai s nguyờn a v b cựng cho mt s d chia cho m thỡ ta núi rng a, b ng d vi theo moun m v kớ hiu: a b (mod m) Gi s s d cựng l r thỡ ta cú: a = mq + r (1) Toỏn nõng cao s hc THCS b = mq + r (2) lỳc ú a b = m(q q) nh vy a b chia ht cho m vy : a b(mod m) a b M m III Du hiu chia ht Mt s t nhiờn s: Chia htcho nu nú l s chn, tn cựng bng 0, 2, 4, 6, Chia ht cho nu tn cựng bng hoc Chia ht cho nu s to bi hai ch s cui chia ht cho Chia ht cho nu s to bi ch s tn cựng chia ht cho Chia ht cho 25 nu s to bi hai ch s cui cựng chia ht cho 25 Chia ht cho125 nu s to bi ch s cui cựng chia ht cho 125 Chia ht cho nu tng ca cỏc ch s ca s ú chia ht cho Chia ht cho nu tng ca cỏc ch s ú chia ht cho Chỳ ý: S d phộp chia mt s N cho hoc cng chớnh l d phộp chia tng cỏc ch s ca N cho hoc B Cỏc dng toỏn Dng Xột mi trng hp cú th xy ca s d Mun chng minh mt biu thc ca n l A(n) chia ht cho q ta cú th xột mi trng hp v s d chia n cho q Bi Chng minh tớch ca s t nhiờn liờn tip chia ht cho Gii Gi s A = n(n + 1), cú trng hp -Nu n chn, thỡ n ú A chia ht cho - Nu n l thỡ n +1 chn ú (n +1) chia ht cho nờn A chia ht cho Bi 2 Chng minh rng A ( n ) = n ( n + 1) ( n + ) M5 Gii Xột cỏc trng hp v s d chia n cho 5, ta cú: Nu s d l thỡ n = 5k v A(n) M Nu s d l thỡ ta cú n = 5k v n2 + = (5k 1)2 + 4= 25k2 10k + M Nu s d l thỡ ta cú n = 5k v n2 + = ( 5k 2)2 + = 25k2 20k + + M Vy chia n cho dự s d l 0, 1, hay biu thc A(n) cng u chia ht cho Dng 2: Tỏch thnh tng nhiu hng t õy l mt phng phỏp khỏ thụng dng Mun chng minh A(n) chia ht cho q , ta tỏch A(n) thnh tng ca nhiu hng t cho mi hng t u cú th chia ht cho q Bi Chng minh rng n5 + 10n4 5n3 10n2 + 4n chia ht cho 120 Gii Ta tỏch biu thc ó cho nh sau: A = n5 5n3 + 4n + 10n4 10n2 = n(n4 5n2 + 4) + 10n2(n2 1) Hng t th nht l : n(n4 5n2 + 4) = n(n2 1)(n2 4) = (n 2)(n 1)n(n + 1)(n + 2) õy l tớch ca s nguyờn liờn tip nờn chia ht cho Toỏn nõng cao s hc THCS 2.3.4.5 = 120 Hng t th hai l: 10n 2(n + 1)(n 1) Cú s nguyờn liờn tip nờn chia ht cho hng t ny chia ht cho nu n chn Cũn nu n l thỡ (n + 1) v n cng chn nờn tớch (n + 1)(n 1) cựng chia ht cho Vy hng t th hai cng chia ht cho 3.5.10 = 120 A l tn ca hai hng t chia ht cho 120 nờn A cng chia ht cho 120 Bi Chng minh rng vi mi m thuc Z ta cú m3 13m chia ht cho Gii A = m3 13m = m3 m 12m = m(m2 1) 12m = (m 1)m(m + 1) 12m Do m 1, m, m + l s nguyờn liờn tip nờn tớch (m 1)m(m + 1) va chia ht cho 2, va chia ht cho 3, tc l (m 1)m(m + 1) chia ht cho T ú suy A chia ht cho Bi Chng minh rng vi mi m, n thuc Z ta cú mn(m2 n2) chia ht cho Gii Ta cú mn(m2 n2) = mn[(m2 1) (n2 1)] = mn(m2 1) mn(n2 1) M m(m2 1) = (m 1)m(m + 1) chia ht cho V n(n2 1) = (n 1)n(n + 1) chia ht cho Vy mn(m2 n2) chia ht cho Dng Phõn tớch thnh nhõn t Ta cng cú th phõn tớch s b chia thnh nhõn t cho mt hng t cú cha s chia Mun chng minh A(n) chia ht cho q ta chng minh rng : A(n) = q.B(n) Thụng thng ta dựng cỏc hng ng thc cú dng an bn hoc an + bn Bi Chng minh rng biu thc : A = 75 ( 41975 + 41974 + + 42 + ) + 25 Chia ht cho 41976 Gii Ta vit A di dng A = 75 ( 41975 + 41974 + + 42 + ) + 25 = 25.3 ( 41975 + 41974 + + 42 + ) + 25 = 25 ( 1) ( 41975 + 41974 + + + + 1) + 25 = 25 ( 41976 1) + 25 = 25.41976 Vy A chia ht cho 41976 Bi Chng minh n5 n chia ht cho n Z Gii Ta cú A = n5 n = n(n4 1) Toỏn nõng cao s hc THCS 2 = n(n 1)(n + 1) = (n 1)n(n + 1)(n2 + 1) Nu n = 5k thỡ n chia ht cho ú A chia ht cho Nu n = 5k + thỡ (n 1) chia ht cho Nu n = 5k + thỡ n2 + chia ht cho Nu n = 5k + thỡ n2 + chia ht cho Nu n = 5k + thỡ (n + 1) chia ht cho Vy n2 n chia ht cho , n Z Dng S dng nh lớ Fermat v nh lớ Euler Fermat l mt nh toỏn hc Phỏp (1601 1655) ni ting vi nhng nh lớ v s nguyờn t nh lớ Fermat sau õy rt hay c dựng gii cỏc bi toỏnv chia ht: Nu p l s nguyờn t thỡ np n chia ht cho p vi mi s nguyờn n n p n (mod p), p l s nguyờn t c bit nu n, p nguyờn t cựng thỡ n p (mod p) Bi Chng minh rng : 1991 + 2991 + + 19911991 chia ht cho 11 Gii Theo nh lớ Fermat thỡ a11 a (mod 11), ú a1991 a (mod 11) Vy 11991 + 2991 + + 19911991 = + + + 1991 = 1991.966 0(mod 11) Tc l chia ht cho 11 Bi Chng minh rng nu a + b + c chia ht cho 30 thỡ a5 + b5 + c5 chia ht cho 30 Gii Ta cú : 30 = 2.3.5 a a (mod 2) a a a (mod 2) a a a(mod 2) a a (mod 3) a a a(mod 3) a a (mod 5) Theo tớnh cht ca phộp ng d ta cú: a + b5 + c a + b + c (mod 2.3.5) Tc l a + b+ c chia ht cho 30 thỡ a5 + b5 + c5 chia ht cho 30 Bi Chng minh rng vi mi s nguyờn t p, q , p q ta cú A= p q-1 + q p chia ht cho p.q Gii Vỡ p, q l s nguyờn t v p q nờn (p, q) = Theo nh lớ Fermat cú : p q-1 1(mod q) q p-1 0(mod q)(do p p-1 1) Vy A= p q-1 + q p 0(mod q) Do ú A chia ht cho p Bi Cho p l s nguyờn t ln hn Chng minh rng 3p 2p chia ht cho 42p Toỏn nõng cao s hc THCS Gii Ta cú 42p = 6p.7 = 2.3.p.7 Cú : 3p p = ( p 1) p M2 p p = p ( p + 1) M3 Vỡ p la s l nờn + 1M( + 1) = p dng nh lớ Fermat: 3p 3(mod p) va 2p 2(mod p) p Do ú = ( 3) ( ) Mp Mt s nguyờn t p chia cho ch cú th d l hoc i) Nu p = 6k + thỡ p p p p 3p p = ( 36 ) ( 26 ) 0(mod 7) k k (vi 36 1(mod 7), va 26 1(mod 7)) ii) Nu p = 6k + thỡ 3p p = 35.36 k 25.26 k 35 25 0(mod 7) Vy 3p p 1M7 T cỏc iu trờn 3p p 1M2.3.7 p = 42 p (pcm) Dng S dng nguyờn tc Dirichlet Nguyờn lớ Dirichlet l mt nh lớ cú chng minh d dng bng phn chng v c s dng chng minh nhiu nh lớ toỏn hc Nguyờn lớ ny thng c phỏt biu mt cỏch hỡnh hc v n gin nh sau: Khụng th nht th vo cỏi lng m mi ln khụng quỏ hai th Núi mt cỏch khỏc: Nu nht th vo cỏi lng thỡ s cú mt lng cha t th tr lờn Mt cỏch tng quỏt cú th phỏt biu: Nu em n + vt xp vo ngn kộo thỡ cú ớt nht mt ngn kộo cha t hai vt tr lờn Nguyờn lớ ny giỳp ta gii mt bi khỏ d dng nht l cỏc bi toỏn v chia ht Bi Chng minh rng n + s nguyờn bt kỡ cú hai s m hiu chia ht cho n Gii Ly n + s nguyờn ó cho chia cho n thỡ c n + s d Nhng chia mt s cho n thỡ s d ch cú giỏ tr 0, 1, 2, , n vy phộp chia thỡ phi cú hai s d bng Khi ú hiu s ca hai s ny s chia ht cho n Bi Chng minh rng cỏc s t nhiờn, th no cng cú s k cho 1983 k chia ht cho 105 Gii Ta cho k ly ln lt 10 + giỏ tr liờn tip t tr lờn, ta c 10 + giỏ tr khỏc ca 1983k sau ú chia cỏc giỏ tr ny cho 105 , ta ch cú nhiu nht l 105 s d Vy theo nguyờn lớ Dirichlet, phi cú ớt nht hai s cựng cho mt s d chia cho 105 Gi s ú l cỏc s 1983m v 1983n 1( vi m > n) Nh vy hiu ca chỳng (1983m 1) (`983n 1) = 1983m 1983n = 1983n(1983m-n 1) phi chia ht cho 105 Nhng 105 ch cú cỏc c s2, cũn v khụng phi l c s ca 1983 n vy chỳng nguyờn t cựng nhau, ú 1983m-n phi chia ht cho 105 Nh vy k = m n chớnh l s phi tỡm Bi Toỏn nõng cao s hc THCS Vit cỏc s t nhiờn t n 100 thnh hng ngang theo mt th t tu ý, tip ú cng mi mt s cỏc s ó cho vi s th t ch v trớ nú ng (tớnh t trỏi sang phi) Chng minh rng ớt nht cng cú hai tng m ch s tn cựng ca hai tng ú nh Gii Gi 10 s t nhiờn t n 10 vit theo th t t trỏi sang phi l a 1, a2,, a10 Ta lp dóy mi b1, b2, , b10 vi b1 = a1 + 1, b2 = a2 + 2; ; b10 = a10 + bi l tng ca vi v trớ th i m nú ng (i = 1, 2, , 10) Ta cú: b1 + b2 + + b10 = a1 + a2 + +a10 + + 2+ +10 = 2(1 + + + 10)= 110 Vỡ 110 l s chn nờn khụng xóy trng hp cú s b i no ú l v s b j no ú chn, hay núi cỏch khỏc cỏc s bi chn, v cỏc s bj l phi khỏc Do ú cỏc s b i l ln hn hoc cỏc s b j chn ln hn M t n 10 ch cú v trớ l v v trớ chn nờn theo nguyờn tc Dirichlet phi cú ớt nht hai s b i l tn cựng nh hoc cú hai s bj chn cú ch s tn cựng nh Bi Chng minh rng 19 s t nhiờn liờn tip bt kỡ luụn tn ti mt s cú tng cỏc ch s chia ht cho 10 Gii Trc ht ta chng minh rng: vi 19 s t nhiờn liờn tip luụn tn ti 10 s nguyờn liờn tip cú ch s hng chc nh cũn cỏc ch s hng n v liờn tip t n Nu 19 s t nhiờn liờn tip cú mt ch s hng chc khỏc thỡ r rng cú mt ch s hng chc( gia hai hng chc kia) cựng vi cỏc ch s n v liờn tip t n Nu 19 s t nhiờn liờn tip ch cú hai loi ch s hng chc khỏc thỡ t 19 = 2.9 + suy cú 10 s cú cựng ch s hng chc v cỏc ch s n v liờn tip t n Tng cỏc ch s ca mi s 10 s t nhiờn núi trờn cng lp thnh 10 s t nhiờn liờn tip, vy phi cú mt s chia ht cho 10 Vy 19 s t nhiờn liờn tip luụn tn ti mt s cú tng cỏc ch s chia ht cho 10 Dng 6: S dng phộp quy np Ta lm nh sau: Nhn xột rng mnh ỳng vi n = Gi s mnh ỳng vi n = k cng chng mớnh c nú ỳng vi n = k+ (vi k > n0) Lỳc ú mnh ỳng vi mi n ln hn Bi Chng minh rng: A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(3n) chia ht cho 3n Gii Nu n = ta cú A = 2.3 chia ht cho Gi s mnh ỳng vi n = k tc l : Ak = ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( 3k ) M3k (*) Ta hóy xột : Ak +1 = ( k + ) ( k + 3) ( k + ) ( k + 1) = ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( k + ) ( 3k + ) = Ak ( 3k + 1) ( 3k + ) Nhng theo (*) thỡ Ak chia ht cho 3k vy Ak +1 = Ak ( 3k + 1) ( 3k + ) M3k +1 Vy mnh ỳng vi mi n ln hn Toỏn nõng cao s hc THCS Bi Chng minh rng 1110 chia ht cho 101995 Gii Ta chng minh bi toỏn mt cỏch tng quỏt: Vi mi s t nhiờn n thỡ 1110 1M10n+1 Vi n = thỡ mnh ỳng: 11 chia ht cho 10 Gi s mnh ỳng vi n = k, ta cú: 1994 n k Ak = 1110 1M10k +1 (*) Ta hóy xột: A k+1 = 1110 k +1 ( k = (1110 )10 )( k k Ak +1 = 1110 1110 ) + ( 11 ) 10k k + + 1110 + Nhng mi lu tha ca 11 u ng d vi (mod 10) nờn 10 s hng múc vuụng nh vy, ú: k k k (1110 )9 + (1110 )8 + + 1110 + 11+44 +2 + 14+ 31 10 so hang V biu thc múc vuụng chia ht cho 10 Mt khỏc theo (1110 1)M10k +1 vy k Ak +1 M10k +1.10 = 10k + Vy n = 1994 ta cú 1110 chia ht cho 101995 C Bi Cho a, b khụng chia ht cho Chng minh rng a4 + b4 chia ht cho Chng minh rng ax3 + bx2 + cx + d l s nguyờn vi mi x nguyờn v ch 6a, 2b, a + b + c, d l cỏc s nguyờn Chng minh rng 39 s t nhiờn liờn tip bt lỡ luụn tn ti mt s cú tng cỏc ch s chia ht cho 11 Cho n l s nguyờn dng l, chng minh rng: 46n + 296.13n chia ht cho 1947 Vi n l s nguyờn dng chng minh rng: a) 72n 48n chia ht cho 482, b) nn n2 + n chia ht cho (n 1)2 (n > 1) cho f(x) l a thc vi h s nguyờn v f(0), f(1) l cỏc s l Chng minh rng f(x) khụng cú nghim nguyờn a) Tỡm tt c s t nhiờn n 2n 1chia ht cho b) Chng minh rng vi mi s t nhiờn n thỡ 2n + khụng chia ht cho Chng minh rng tng bỡnh phng ca s nguyờn liờn tip khụng th l mt s chớnh phng Chng minh rng cú th tỡm c hai lu tha khỏc ca s m chỳng cú ch s tn cựng ging 10 Chng minh rng cú th tỡm c mt s t nhiờn m ch s tn cựng l 2002 v chia ht cho 2003 11 Chng minh rng tn ti s t nhiờn ch gm ton ch s v chia ht cho 2003 1994 x vi mi s t nhiờn n x Z 12 Chng minh rng nu x + Z thi x n + 13 14 Chng minh rng vi mi n thuc N* : (n + 1)(n + 2)(n + n) chia ht cho 2n Chng minh rng 270 + 370 chia ht cho 13 n Toỏn nõng cao s hc THCS 32 2003 15 Tỡm ba ch s tn cựng ca s 16 Cho p, k, n l cỏc s nguyờn dng Chng minh rng n p k n p M10 17 Chng minh rng : 2002 a) + 22002 + + 20022002 M11 b) 220119 + 11969 + 69220 M102 18 Tỡm s t nhiờn nh nht gm ton ch s v chia ht cho cỏc s 3, 7, 11, 13, 17 Hng dn gii a4 b4 = (a4 1) (b4 1) = (a 1)(a + 1)(a2 + 1) (b 1)(b + 1)(b2 + 1) ax3 + bx2 + cx + d = a(x3 x) + b(x2 x) + (a + b + c)x + d 69 220 119 = 6a x3 x x2 x + 2b + ( a + b + c) x + d Chng minh : x3 x chia ht cho v x2 x chia ht cho T 20 s u tiờn ca dóy ta tỡm c hai s m ch s hng n v l v hai s ú ớt nht cú mt s cú hai ch s hng chc khỏc 9, gi s ú l s n Khi ú cỏc s n, n + 1, , n + 9, n + 19 l 11 s cú tng cỏc ch s l 11 s t nhiờn liờn tip nờn cú mt s cú tng cỏc ch s chia ht cho 11 1947 = 33.59 ; 46n + 296.13n = (46n 13n) + 297.13n = (46n + 13n) + 295.13n a)72n 48n = (49n 1) 48n = 48[(49n-1 1) + (49n-2 1) + +(49 1)] b) nn n2 + n = (n 1)[(nn-1 1)+ (nn-2 1) + +(n 1)] Gi s f(n) = , n Z ta cú f(n) f(1) M (n 1) n l f(n) f(o) M n n l Vụ lớ a) n = 3k + r , r = 0; 1; 2, gi thit suy r = b) xột n = 3k + r, r = 0; 1; (n 3)2 + (n 2)2 + (n 1)2 + n + (n + 1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)3 = 7(n2 + 4) Chia ht cho nhng khụng chia ht cho 49 Ly 1002 s 4, 42,, 41001 chia cho 1000 10 Ly 2003 s 2003, 20032003, , 20032003 (2004 s 2003) chia cho 2003 11 Ly 2004 s 2, 22,,22004 chia cho 2003 1 = x + ữ x k + k x x k ữ x + k ữ x 12 x k +1 + 13 14 15 16 17 Vi n = k + 1: (k + 2)(k + 3)(2k + 2) = 2(k + 1)(k + 2)(k + k) M 2k+1 x k +1 26 = 64 1(mod 13); 33 = 27 1(mod 13) Tỡm hai ch s tn cựng ca 22003 n p + k n p = n p ( n k 1) Mn ( n 1) M10 a ) a11 a (mod 11) a 2002 a (mod 11) 12002 + 22002 + + 20022002 + + + 2002 = 1001.2003 0(mod 11) b) 18 t lm\ Ta cú BCNN(2, 6, 10, 12, 16) = 16.5.3 = 240 p dng nh lớ Fermat Toỏn nõng cao s hc THCS CHUYấN 2: S NGUYấN T n gin ny, chỳng ta xột khỏi nim s nguyờn t hp s t nhiờn N Trong hp s t nhiờn, s cú vụ s c, ú l tt c cỏc s t nhiờn khỏc nú S ch cú mt c nht l chớnh nú Cũn mi s t nhiờn ln hn bao gi cng cú ớt nht hai c l v chớnh nú, cỏc c nh th gii l c tm thng Chỳng ta ch quan tõm ti cỏc s t nhiờn ln hn v ch cú hai c tm thng, cỏc s loi ny cú vai trũ quan trng lớ thuyt s A Lý thuyt I, S nguyờn t v hp s 1/ nh ngha: S nguyờn t l s t nhiờn ln hn v ch cú hai c l mt v chớnh nú Hp s l s t nhiờn ln hn cú c khỏc v chớnh nú Vớ d: 2, 3, 5, 7, 11.l nhng s nguyờn t 4, 8, 9, 12 l nhng hp s Chỳ ý: Tp hp s t nhiờn c chia thnh b phn + {0, 1} + Tp hp cỏc s nguyờn t + Tp hp cỏc hp s T nh ngha ta cú : S t nhiờn a >1 l hp s nu a = pq, p > 1, q >1, hoc nu a = pq , < p < a 2/ Tp hp cỏc s nguyờn t a, nh lớ 1: c nh nht ln hn ca mt s t nhiờn ln hn l mt s nguyờn t Chng minh: Gi s a l mt s t nhiờn ln hn v p > l c nh nht ca a Ta cú p l mt s nguyờn t Tht vy nu p khụng phi l mt s nguyờn t thỡ p l mt hp s, ngha l cú mt s t nhiờn p1 l c ca p v < p < p T ú ta cú p l c ca a v < p < p mõu thun vi gi thit p l c nh nht ln hn ca a Chỳ ý: nh lớ trờn chng t rng mi s t nhiờn ln hn u cú c nguyờn t b, nh lớ 2: Cú vụ s c nguyờn t Chng minh: V mt lớ thuyt, nh lớ mt chng t rng hp cỏc s nguyờn t khỏc rng Gi s ch cú hu hn s nguyờn t l p1 = 2, p2, p3,, pn Toỏn nõng cao s hc THCS Ta xột s a = p1p2pn + ú l mt s t nhiờn ln hn nờn a cú ớt nht mt c nguyờn t q Nhng vỡ ch cú hu hn s nguyờn t ó k trờn cho nờn p phi trựng mt cỏc s p1, p2, ,pn ú q phi l c ca tớch p1p2pn T q l c ca a = p1p2pn + v q l c ca p1p2pn q l c ca a - p1p2pn = iu ny mõu thun vi gi thuyt q l s nguyờn t Nh vy hp cỏc s nguyờn t l vụ hn nờn khụng th cú mt bng tt c cỏc s nguyờn t, nu chỳng ta ỏnh s cỏc s nguyờn t theo th t tng dn p = 2, p2 = 3, p3 = 5, pn < pn + , Thỡ cho n ngi ta cng cha tỡm c mt biu thc tng quỏt no cho s nguyờn t pn th n theo ch s n ca nú II, Cỏc nh lớ c bn: 1/ Cỏc b a B 1: Vi s t nhiờn a v s nguyen t pthỡ hoc a nguyờn t vi p hoc a chia ht cho p Chng minh: Vỡ p l mt s nguyờn t nú ch cú c l mt v p cho nờn CLN(a,p) = hoc CLN(a,p) = p T ú ta cú a nguyờn t vi p hoc a chia ht cho p b B 2: Nu mt tớch cỏc s t nhiờn chia ht cho s nguyờn t p thỡ phi cú ớt nht mt tha s ca tớch chia ht cho p Chng minh: Gi s tớch a 1a2an chia ht cho p, ta phi cú ớt nht mt cỏc s a 1, a2,,an chia ht cho p Tht vy gi s trỏi li rng tt c cỏc s a 1, a2,,an khụng chia ht cho p thỡ theo b chỳng u l nguyờn t vi p ú ta cú CLN(a 1a2an ,p) = iu ny mõu thun vi gi thit c H qu: Nn s nguyờn t p l c ca mt tớch cỏc s nguyờn t q 1q2qn thỡ p phi trựng vi mt cỏc s nguyờn t ca tớch ú 2/ nh lớ c bn: Mi s t nhiờn ln hn u phõn tớch c thnh tớch nhng tha s nguyờn t v s phõn tớch ú l nht nu khụng k n th t ca cỏc tha s Chng minh: a S phõn tớch c: Gi s a N , a > , y a cú ớt nht mt c nguyờn t p1 no ú v ta cú a = p1a1 Nu a1 = thỡ a = p1 l s phõn tớch ca a thnh tớch (cú mt tha s) nhng s nguyờn t Nu a1>1 thỡ li theo nh lớ trờn, a1 cú c nguyờn t p2 no ú v ta cú a1 = p2a2 nờn a = p1p2a2 Nu a2 = thỡ a = p1p2 l s phõn tớch ca a thnh tớch nhng tha s nguyờn t Nu a2>1 thỡ li tip tc lớ lun trờn cú s nguyờn t p 3,Quỏ trỡnh ny t phi cú kt thỳc, ngha l cú n cho an = 1, an-1 = pn l mt s nguyờn t, bi vỡ ta cú a, a 1, a2, l nhng dóy s t nhiờn m a > a1 > a2 > a3 > nh vy cui cựng ta c a = p1p2pn L s phõn tớch ca a thnh nhng tha s nguyờn t b Tớnh nht: Gi s ta cú a = p 1p2pn = q1q2qn l hai dng phõn tớch s t nhiờn a thnh tha s nguyờn t ng thc trờn chng t p1 l c ca q1q2qn nờn theo b trờn p1 trựng vi qi no ú( i m ) vỡ ta khụng k n th t ca cỏc tha s nờn cú th coi p1 = q1 v t ú ta c p2pn = q2qn Ly p2 v lp li lớ lun trờn ta c p2 = q2 10 Toỏn nõng cao s hc THCS 2n = m2 k 2 n k + 2n k = m2 k n2 + mk T ú suy k + 2k = ữ l s chớnh phng n Nhng k2 < k2 + 2k < (k + 1)2 ta gp mõu thun Vy n2 + d khụng th l s chớnh phng Bi 10: Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 L s chớnh phng Gii Ta cú: A = ( x + y) ( x + y ) ( x + 3y ) ( x + y ) + y4 = ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) + y = ( x + xy + y ) ( x + xy + y ) + y = ( x + xy ) + y ( x + xy ) + y + y = ( x + xy ) + 10 y ( x + xy ) + 25 y = ( x + xy + y ) Vy A l s chớnh phng Bi 11: Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 + +n(n + 1)(n + 2), chng minh rng 4N + l mt s chớnh phng vi mi s nguyờn dng n Gii Ta cú : k ( k + 1) ( k + ) = Suy ra: 1 k ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( k 1) k ( k + 1) ( k + ) 4 N = 1.2.3 + 2.3.4 + + n ( n + 1) ( n + ) 1 1 = 1.2.3.4 0.1.2.3 + 2.3.4.5 1.2.3.4 + 4 4 1 + n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ( n 1) n ( n + 1) ( n + ) 4 = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) Vy N + = .n ( n + 1) ( n + ) ( n + ) + = ( n + 3n + 1) C Vy 4N +1 l s nguyờn t BI TP Chng minh rng mi s chớnh phng l u cú ch s hng cha l ch s chn Chng minh rng mt s chớnh phng ln hn 100 cú ch s tn cựng l thỡ ch s hng trm l s chn 38 Toỏn nõng cao s hc THCS Tỡm cỏc s x, y, z, t tho a, xxyy = xx + yy 2 2 b, xy = yx + tz Tỡm s chớnh phng cú ch s m ch s cui cựng ging Tỡm s cú hai ch s xy cho xy + v xy + l hai s chớnh phng Tỡm abcd bit rng a, cd , ad , abcd u l s chớnh phng Tỡm mt s in thoi cú ch s bit rng nú l mt s chớnh phng v nu ta thờm vo mi ch s ca nú mt n v thỡ cung c mt s chớnh phng p l s chớnh phng cú n + ch s ú n ch s u v ch s cui u l s chớnh phng Tỡm s ln nht ca p Chng minh rng tớch s nguyờn dng liờn tip khụng th l s chớnh phng 10 Cho dóy s a1, a2,,an, bit rng.: a1 = 1, a2 = -1 v an = -an-1 2an-3 ( n ) n +1 Chng minh rng vi n thỡ A = 7an Hng dn gii ( 10n + b ) = 25n ( 5n + b ) + b , b l nờn b2 l mt cỏc giỏ tr: 1, 9, 25, 49, 81 Cỏc s ny cú ch s hng chc l s chn ( 10n + 5) = 100n + 100n + 25 = 100n ( n + 1) + 25; n ( n + 1) l s chn Chng minh x + y chia ht cho 11 a,8833 = 882 + 332 2 b, 652 = 562 + 332 S tn cựng ca mt s chớnh phng cú th l 0, 1, 4, 5, 6, Mt s chớnh phng chn thỡ chia ht cho 4, l thỡ chia ht cho d 1144 = 382 Da vo s tn cựng ca s chớnh phng, y = hoc y = xy = 40 thỡ xy + = 38, 3xy + = 121 T lm Gi abcd = x , ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) = y y x = 1111 = 11.101 8.Gi s abcd = x = 2025 p = A2 = 104 B + C ( A 100 B ) ( A + 100 B ) = C ; 200 B = ( A + 100 B ) ( A 100 B ) C 99 = 9800 B 49; p = 104.492 + 99 = 19012 t Gi s T = n ( n + 1) ( n + ) = ( n + 7n ) ( n + 7n + ) ( n + 7n + 10 ) ( n + 7n + 12 ) m = n + n + thỡ T chn v (m + 2m 22 ) < T < ( m + 2m 20 ) 2 10 Bng quy np chng minh An = ( 2an + an ) , n 2 39 Toỏn nõng cao s hc THCS CHUYấN 4: BI V C CA CC S A.Lý thuyt S cỏc c ca mt s t nhiờn Gi s n c phõn tớch tha s nguyờn t l : n = p1 p2 pk vi pi i N thỡ s cỏc c ca n l ( + 1) ( + 1) ( k + 1) 2.c chung ln nht d | a v d | b d = ( a, b ) d l moi uoc chung cua a v b Nu d = ta núi a, b l hai s nguyờn t cựng Tớnh cht : i) a b d = ( a, b ) , ữ = d d ii) k nguyờn t v ( ka, kb ) = k ( a, b ) iii) ( a, c ) = b Mc ab M c iv) a Mn, a Mm a Mn.m ( n, m ) = v) vi) ( a, b ) = ( a, c ) = ( a, bc ) = ( a, b, c ) = ( ( a, b ) , c ) 3.Thut toỏn Euclid tỡm CLN a) Trng hp b | a thỡ (a, b) = b b) Trng hp b | a , gi s a = bq + c thỡ (a, b) = (b, c) Thut toỏn Euclid Gi s: a = bq + r1 , < r1 < b b = r1q1 + r2, < r2 < r1 r1 = r2q2 + r3, < r3 < r2 40 Toỏn nõng cao s hc THCS Rn-2 = rn-1qn-1 + rn , < rn < rn-1 Rn-1 = rnqn Thut toỏn Euclid phi kt thỳc vi s d rn-1 = Theo b) ta cú: (a, b) = (b, r1) = (r1,r2) ==(rn-1 ,rn) = rn Vy CLN ca a, b l d cui cựng khỏc thut toỏn Euclid 4.Bi chung nh nht mMa v mMb m = [ a, b ] m la uoc chung cua a v b Tớnh cht i) [ ka, kb] = k [ a, b ] ii) iii) [ a, b, c ] = [ a, b] , c ( a, b ) [ a, b] = a.b Phõn s ti gin a l phõn s ti gin (a, b) = b Tớnh cht: Mi phõn s khỏc u cú th a v dng ti gin Dng ti gin ca mt phõn s l nht Tng (hiu ) ca mt s nguyờn v mt phõn s ti gin l mt phõn s ti gin B Cỏc dng toỏn DNG 1: S C CA MT S Bi 1: Tỡm s c ca s 1896 Gii 1896 = ( 32.2 ) 96 = 3192.296 Ta cú: 96 Vy s c s ca 18 l (96 + 1)(192 + 1) = 97.193 = 18721 Bi 2: Chng minh rng mt s t nhiờn ln hn l s chớnh phng v ch s c s ca nú l s l Gii Gi s n = p1 p2 pk k vi pi nguyờn t v N * n l s chớnh phng , , k l cỏc s chn ( + 1) ( + 1) ( k + 1) l s l Bi 3: Mt s t nhiờn n l tng bỡnh phng ca s t nhiờn liờn tip Chng minh rng n khụng th cú 17 c s: Gii Tng bỡnh phng ca s t nhiờn liờn tip cú dng: n = (m 1)2 + m2 + (m + 1)2 = 3m2 + khụng th l s chớnh phng Nu n cú ỳng 17 c s thỡ n l s chớnh phng, vụ lớ T ú suy iu phi chng minh 41 Toỏn nõng cao s hc THCS Bi 4: Chng minh rng mt s t nhiờn cú ch s tn cựng l 136 thỡ cú ớt nht c s dng Gii S cú ch s tn cựng l 136 thỡ chia ht cho nờn cú ớt nht c s dng l 1, 2, 4, DNG 2: TèM S TRONG ể BIT CLN CA CHNG Bi Tỡm hai s t nhiờn bit tng ca chỳng bng 84, CLN ca chỳng bng Gii Gi s phi tỡm l a v b ( a b ) Ta cú (a, b) = nờn a = 6a, b = 6b ú (a, b ) = Do ú a + b = 84 nờn 6(a + b) = 84 suy a + b = 14 Chn cp s a , b nguyờn t cựng cú tng bng 14 ( a ' b ') ta c: a' b ' 13 11 ú a 18 30 b 78 66 54 Bi Tỡm s t nhiờn cú tớch bng 300 , CLN bng Gii Gi s phi tỡm l a v b ( a b) Ta cú (a, b) = nờn a = 5a, b = 5b ú (a, b ) = Do ú ab = 300 nờn 25ab = 300 suy ab = 12 = 3.4 Chn cp s a, b nguyờn t cựng cú tớch bng 12 ( a ' b ') ta c: a' b ' 12 ú a 15 b 60 20 Bi a) Tỡm s a, b bit a + b = 66, (a, b) = v hai s a, b cú mt s chia ht cho b) Tỡm a, b bit ab = 75 v (a, b) = Gii a) Vỡ (a, b) = nờn a = 6k, b = 6l vi (k, l) = T a + b = 66 suy 6k + 6l = 66 k + l = 11 Vỡ hai s a, b cú mt s chia ht cho nờn gi s k M5 k = hoc k = 10, ú l = 6, l = Vy a = 30, b = 36 hoc a = 60, b = b) Vỡ (a, b ) = nờn a = 5k , b = 5l vi (k, l) = T ab =75 suy 25kl = 75 kl = Vy k = 3, l = hoc k = 1, l = T o hai s cn tỡm l v 15 Bi Tỡm hai s t nhiờn a, b tho : a + b = 128 v (a, b) = 16 Gii Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s ( a b) Vỡ (a, b) = 16 nờn a = 16a1 , b = 16b1 vi (a1, b1) = T a + b = 128 suy 16(a + b1) = 128 a1 + b1 = 8, vi iu kin ( a1 b1 ) v (a1, b1) = ta cú a1 = 1, b1 = hoc a1 = 3, b1 = T ú ta cú a = 16, b = 112 hoc a = 48, b = 80 Bi a) CLN ca hai s t nhiờn bng 4, s nh bng Tỡm s ln 42 Toỏn nõng cao s hc THCS b) CLN ca hai s t nhiờn bng 16 , s ln bng 96 Tỡm s nh Gii a) Gi s ln l a = 4k ( k N ) Do s nh l = 4.2 nờn k > v (k, 2) = Vy k = 2n + (n = 1, 2, 3) Do ú s ln cú dng 4(2n + 1) b) ỏp s 16 hoc 80 Bi Tỡm hai s t nhiờn , bit rng : a) Hiu ca chỳng bng 84, CLN bng 28, cỏc s ú khong t 300 n 440 b) Hiu ca chỳng bng 48, CLN bng 12 Gii Gi hai s phi tỡm l a v b, ta cú: a b = 84, a = 28a, b = 28b ú (a, b) = 1, suy a b = Do 300 b < a 400 nờn 11 b ' < a ' 15 Trng hp a = 15, b = 12 loi vỡ trỏi vi (a, b) = Trng hp a = 14, b = 11 cho a = 392, b = 308 b) Cú vụ s ỏp s: a = 12a, b = 12b vi a = 2n + 5, b = 2n + DNG 3: PHI HP GIA BCNN V CLN Tớch ca hai s a, b thỡ bng tớch ca CLN vi BCNN ca cỏc s y CLN(a, b) BCNN(a, b) = a.b Bi Tỡm cỏc s t nhiờn a, b bit CLN(a, b) = , BCNN(a, b) = 105 Gii Ta cú : a.b = 5.105 = 52.7 Mt khỏc : 105 = 3.5.7 Suy ra: a = 5, b = 105 hoc a = 15, b = 35 Bi Cho a = 1980 b = 2100 a) Tỡm (a, b) v [a, b] b) So sỏnh [a, b].(a, b) vi a.b Chng minh nhn xột ú i vi hai s t nhiờn a v b khỏc tu ý Gii a) 1980 = 22.32.5.11 2100 = 22.3.52.7 CLN(1980, 2100) = 22.3.5 = 60 BCNN(1980, 2100) = 22.32.52.7.11 = 69300 b) [1980, 2100].(1980, 2100) = 1980.2100 = 4158000 Ta chng minh rng [a ,b].(a, b) = a.b Cỏch 1: Trong cỏch gii ny, cỏc tha s riờng cng c coi nh cỏc tha s chung, chng hn a cha tha s 11, b khụng cha tha s 11 thỡ ta coi nh b cha tha s 11 vi s m bng Vi cỏch vit ny, vớ d trờn ta cú: 1980 = 22.32.5.70.11 2100 = 22.3.52.7.110 (1980, 2100) l tớch cỏc tha s chung vi s m nh nht 22.3.5.70.110 = 60 [1980, 2100] l tớch cỏc tha s chung vi s m ln nhõt 22.32.52.7.11 = 69300 Bõy gi ta chng minh trng hp tng quỏt: [a, b].(a, b) = a.b (1) 43 Toỏn nõng cao s hc THCS Khi phõn tớch tha s nguyờn t, cỏc tha s nguyờn t cú a v b Ta chng t rng hai v cha cỏc tha s nguyờn t nh vi s m tng tng bng Gi p l tha s nguyờn t tu ý cỏc tha s nguyờn t nh vy Gi s s m ca p a l x, s m ca p b l y ú x v y cú th bng Khụng mt tớnh tng quỏt gi s rng x y Khi ú v phi ca (1) cha p vi s m x + y Cũn v trỏi , [a, b] cha p vi s m x, (a, b) cha p vi s m y nờn v trỏi cng cha p vi s m x + y Cỏch 2: Gi d = (a, b) thỡ a = da, b = db (1), ú (a,b) = ab = m (2) , ta cn chng minh rng [a, b] = m d t chng minh iu ny, cn chng t tn ti ca cỏc s t nhiờn x, y cho m = ax, m = by v (x, y) = Tht vy t (1) v (2) suy m = a m = b Vy b = ab ' d a = b.a ' Do ú ta chn x = b, y = a, th thỡ (x, y) = vỡ (a, b) = d ab = [ a, b ] tc l [a, b].(a, b) = ab d Bi Tỡm s t nhiờn bit rng CLN ca chỳng bng 10 BCNN ca chỳng bng 900 Gii Gi s phi tỡm l a, b, gi s a b ta cú (a, b) = 10 nờn a = 10a, b = 10b, (a, b) = a , ' b ' Do ú ab = 100ab (1) Mt khỏc ab = [a, b].(a,b) = 900.10 = 9000 (2) T (1) v (2) suy ab = 90 Ta cú cỏc trng hp: a 10 20 50 90 a' Do ú b ' 90 45 18 10 b 900 450 180 100 Bi Tỡm hai s t nhiờn a) Cú tớch bng 2700, BCNN bng 900 b) Cú tớch bng 9000, BCNN bng 900 Gii a) Gi hai s phi tỡn l a v b a.b 2700 = =3 CLN(a, b) = BCNN ( a, b ) 900 a = 3a ' CNN(a, b) = b = 3b ' a ', b ' = ) ( Theo bi: a.b = 2700 Nờn 3a.ab = 2700 Suy a.b = 300 = 22.3.52 Gi s a b thỡ a ' b ' Chn hai s a, b cú tớch bng 300, nguyờn t cựng nhau, a ' b ' , ta c 44 Toỏn nõng cao s hc THCS a ' 300 100 75 25 b' 12 Suy a 900 300 225 75 b 12 36 ỏp s 900 v 3, 300 v 9, 225 v 12, 75 v 36 b) ỏp s 900 v 10; 450 v 20; 180 v 50; 100 v 90 Bi Tỡm hai s t nhiờn a v b, bit rng: a) ab = 360, BCNN(a, b) = 60 b) CNN(a, b) = 12, BCNN(a, b) = 72 Gii a) (a, b) = ab : [a, b] = 360 : 60 = t a = 6a, b = 6b ú (a ,b) = 1, a ' b ' (gi s a b ) Do ab = 360 nờn ab = 10 Vy a = 1, b = 10 hoc a = 2, b = Tng ng ta cú: a = 6, b = 60 hoc a = 12, b = 30 b) a = 12a ' CLN(a, b) = 12 b = 12b ' a ', b ' = ) ( Ta cú: a.b = CLN(a, b).BCNN(a, b) = 12.72 Nờn 12a.12b = 12.72 Suy a.b = Gi s a b thỡ a ' b ' Chn hai s a, b cú tớch bng 6, nguyờn t cựng nhau, a ' b ' , ta c : a 72 36 a' ú b' b 12 24 ỏp s : 72 v 12; 36 v 24 DNG TèM CLN CA HAI S BNG THUT TON -CLIT Bi Cho s t nhiờn a v b (a > b) a) Chng minh rng nu a chia ht cho b thỡ (a, b) = b b) Chng minh rng nu a khụng chia ht cho b thỡ CLN ca hai s bng CLN ca s nh v s d phộp chia s ln cho s nh c) Dựng cỏc nhn xột trờn tỡm CLN(72, 56) Gii a) Mi c chung ca a, b hin nhiờn l c ca b o li, a chia ht cho b nờn b l c chung ca a v b Vy (a, b) = b b) Gi r l s d phộp chia a cho b (a > b) Ta cú a = kb + r ( k N ) cn chng minh rng (a, b) = (a, r) tht vy nu a v b cựng chia ht cho d thỡ r chia ht cho d, ú c chung ca a v b cng l c chung ca b v r ( 1) o li nu b v r cựng chia ht cho d thỡ a chia ht cho d, ú c chung ca b v r cng l c chung ca a v b (2) T (1), v (2) suy hp cỏc c chung ca a v b v hp cỏc c chung ca b v r bng Do ú hai s ln nht hai hp ú cng bng nhau, tc l (a, b ) =(b, r) 45 Toỏn nõng cao s hc THCS c) 72 chia 56 d 16 nờn (72, 56) = (65, 16); 56 chia 16 d nờn (56, 16) = (16, 8); 16 chia ht nờn (16, ) = Vy (72, 56) = Bi Tỡm CLN(A, B), bit rng A l s gm 1991 ch s 2, B l s gm ch s Gii Ta cú 1991 chia cho d 7, cũn chia cho d Theo thut toỏn -clit : ( A, B ) = 22 2, { 22 { ữ = (22 2, { 22 2) { = (22 2, { 2) = 1991 so so so SO SO Bi Tỡm hai s, bit rng bi chung nh nht ca chung v c chung ln nht ca chỳng cú tng bng 19 Gii Gi a v b l hai s phi tỡm , d l CLN(a, b) a = da ' CLN(a, b) = d b = db ' a ', b ' = ) ( BCNN(a, b) = a.b da '.db ' = = da ' b ' UCLN(a, b) d Theo bi : BCNN(a, b) + CLN(a, b) = 19 Nờn dab + d = 19 Suy d(ab + 1) = 19 Do ú ab + l c ca 19, v a ' b '+ Gi s a b thỡ a ' b ' Ta c : D ab a.b a + 1 19 18 18 = b a b 18 ỏp s : 18 v 1; v DNG HAI S NGUYấN T CNG NHAU Hai s nguyờn t cựng l hai s cú CLN bng Núi cỏch khỏc, chỳng ch cú c chung nht l Bi Chng minh rng a) Hai s t nhiờn liờn tip (khỏc 0) l hai s nguyờn t cựng b) Hai s l liờn tip l hai s nguyờn t cựng c) 2n + v 3n + ( n N ) l hai s nguyờn t cựng Gii a) Gi d UC (n, n + 1) (n + 1) n Md 1Md d = Vy n v n + l hai s nguyờn t cựng b) Gi d UC (2n + 1, 2n + 3) (2n + 3) (2n + 1) Md Md d { 1, 2} Nhng d vỡ d l c ca s l Vy d = 46 Toỏn nõng cao s hc THCS a b c c) Gi d UC (2n + 1,3n + 1) 3(2n + 1) 2(3n + 1) Md 1Md d = Bi Cho a v b l hai s nguyờn t cựng Chng minh rng cng l hai s nguyờn t cựng nhau: a v a + b a2 v a + b ab v a + b Gii a) Gi d C(a, a + b) ( a + b) a Md bMd Ta li cú a Md nờn d C(a, b), ú d = (vỡ a v b l hai s nguyờn t cựng ) Vy (a, a + b) = b) Gi s a2 v a + b cựng chia ht cho s nguyờn t d thỡ a chia ht cho d, ú b cng chia ht cho d Nh vy a v b cựng chia ht cho s nguyờn t d trỏi vi gi thit (a, b) = Vy a2 v a + b l hai s nguyờn t cựng c) Gi s ab v a + b cựng chia ht cho s nguyờn t d Tn ti mt hai tha s a v b, chng hn l a, chia ht cho d, ú b cng chia ht cho d, trỏi vi (a, b) = Vy (ab, a + b) = Bi Tỡm s t nhiờn n cỏc s 9n + 24 v 3n + l cỏc s nguyờn t cựng Gii Gi s 9n + 24 v 3n + cựng chia ht cho s nguyờn t d thỡ 9n + 24 3(3n + 4) Md 12Md d { 2,3} iu kin (9n + 24, 3n + 4) = l d v d Hin nhiờn d vỡ 3n + khụng chia ht cho Mun d phi cú ớt nht mt hai s 9n + 24 v 3n + khụng chia ht cho Ta thy : 9n + 24 l s l 9n l n l 3n + l s l 3n l n l Vy iu kin (9n + 24, 3n + 4) = l n l s l Bi Tỡm n Z mt cỏc phõn s sau ti gin a) b) Gii 18n + 21n + 2n + n+7 18n + 3 ( 6n + 1) = m (3, 7) = (3, 3n + 1) = (6n + 1, 3n + 1) = 21n + 7 ( 3n + 1) 18n + nờn l phõn s ti gin ta phi cú (6n + 1, 7) = 21n + a) ta cú: Mt khỏc, 6n + = 7n (n 1), ú : ( 6n + 1, ) = ( n 1, ) = n 7k + 1( k Z ) Vy vi n chia cho khụng d thỡ b) Ta cú 18n + l phõn s ti gin 21n + 2n + 11 = ti gin ( n + 7,11) = n 11k ( k Z ) n+7 n7 DNG TèM CLN CA CC BIU THC S 47 Toỏn nõng cao s hc THCS Bi Tỡm CLN ca 2n v 9n + ( n N ) Gii Gi d C(2n 1, 9n + 4) 2(9n + 4) 9(2n 1) M d 17 Md d { 1,17} Ta cú 2n 1M17 2n 18M17 ( n ) M17 n 9M17 n = 17k + ( k N ) Nu n = 17k + thỡ 2n 1M17 v 9n + =9(17k + 9) + = bi 17 + 85 M 17, ú (2n + 1, 9n + 4) = 17 Nu n 17k + thỡ 2n khụng chia ht cho 17, ú (2n 1, 9n + 4) = Bi Tỡm CLN ca Gii n ( n + 1) * v 2n + ( n N ) n ( n + 1) , 2n + 1ữ thỡ n(n + 1) M d v 2n + M d Suy n(2n +1) M d v n2 M d suy n M d Ta li cú 2n + M d, ú M d, nờn d = n ( n + 1) Gi d C Vy CLN ca - v 2n + bng Bi Cho CNN(a, b) = 1, tỡm CNN(11a + 2b, 18a + 5b) Gii Gi s d = (11a + 2b, 18a + 5b), ú d | 18a + 5b v d | 11a + 2b , suy d | 11(18a + 5b) 18(11a + 2b) = 19b d | 19 hoc d | b i) Nu d | b thỡ t d | 5(11a + 2b) 3(18a + 5b) = a 5b d | a d | (a, b) = d = ii) Nu d | 19 thỡ d = 1, hoc d = 19 Vy (11a + 2b, 18a + 5b) bng hoc bng 19 Bi Cho CLN(m, n) = 1, tỡm CLN(m + n, m2 + n2) Gii Gi s d = (m + n, m + n2) Khi ú d | m + n v d | m + n2 suy d | (m + n)2 (m2 n2) = 2mn d | m + n v d | 2mn suy d | 2m(m + n) 2mn = 2m2 v d | 2n(m + n) 2mn = 2n2 Do ú d | (2m2,2n2) = 2(m2, n2) = d = hoc d = Nu m, n cựng l thỡ d = 2, Nu m,n khỏc tớnh chn l thỡ d = C Bi Cho a v b l hai nguyờn t cựng Chng minh rng cỏc s sau cng l nguyờn t cựng a) b v b a (a > b) b) a2 + b2 v ab Chng minh rng nu s c nguyờn t cựng vi a v vi b thỡ c nguyờn t cựng vi tớch ab Cho (a, b) = tỡm a) (a + b, a b) b) (7a + 9b, 3a + 3b) 48 Toỏn nõng cao s hc THCS Tỡm CLN ca 7n + v 81 Khi no hai s ú nguyờn t cựng nhau? Tỡm n khong t 40 n 90 chỳng khụng nguyờn t cựng Tỡm s t nhiờn nh nht cú : a) 10 c b) 21 c c) c a) Tỡm CLN ca tt c cỏc s t nhiờn cú chớn ch s gm cỏc ch t n b) Tỡm CLN ca tt c cỏc s t nhiờn cú ch s, gm cỏc ch s t Tỡm CLN ca a) Hai s chn khỏc liờn tip b) ab + ba v 33 Tỡm s t nhiờn nh nht cỏc phõn s ti gin: 31 , , , n + n + 10 n + 33 Tỡm d phộp chia [123456789, 987654321] cho 11 10 Dựng thut toỏn Euclid chng minh: (n4 + 3n2 + 1, n3 + 2n) = 11 Chng minh rng nu | kn lm | = thỡ (ma + nb, ka + lb) = (a, b) Hng dn gii a Gi d C(b, a b) thỡ a b M d, b M d, ú a M d Ta cú (a, b) = nờn d = b) Gi s a2 + b2 v ab cựng chia ht cho s nguyờn t d thỡ vụ lớ Gi s ab v c cựng chia ht cho nguyờn t d thỡ vụ lớ a) CLN(a + b, a b) = nu a v b cựng l, bng nu av b cú mt s chn, mt s l b) hoc 29 (7n + 3, 8n 1) bng hoc 31 Nu n 31k + thỡ (7n + 3,8n 1) = Vi 40 < n < 90 ta cú n = 66 thỡ (7n + 3, 8n 1) = 31 a) Xột cỏc dng a9 v a4b ỏp s: S nh nht l 48 b) ỏp s: 26.32 = 576 c) ỏp s: 23.3 = 24 a) Hiu hai s 123456789 v 987654321 bng 9, nờn CLN phi tỡm ch cú th l 1, 3, Chỳ ý rng mi s cú chớn ch s gm cỏc ch s t n u chia ht cho Vy CLN phi tỡm bng b) CLN phi tỡm bng a) b) CLN( ab + ba , 33) = 33 nu a + b M 3, bng 11 trng hp cũn li k Cỏc s ó cho cú dng k + n + ( k = 7, 8, , 31) M ( ) k + ( n + 2) n+2 ti gin (n + 2, k) = n + nguyờn t cựng vi 7, 8, k k , 31 v n + nh nht n + = 37 n = 35 a = 123456789, b = 987654321 Ta cú b 8a = v a, b M nờn (a, b) = 9; ab a a a [ a, b] = = b m = 11k + 3, b = 11l + b = 11m + 9 9 10 = 1+ Ta cú: 49 Toỏn nõng cao s hc THCS n + 3n + = ( n + 2n ) n + n + n3 + 2n = ( n + 1) n + n n + = n.n + n = 1.n + Vy : (n4 + 3n2 + 1, n3 + 2n) = 11 d | a, d | b thỡ d | ma + nb, d | ka + lb; d | ma + nb, d | ka + lb thỡ d | k(ma + nb) m(ka + lb) = b d | b Tng t d | a mục lục Li m u Ni dung ti Chuyờn 1: Tớnh chia ht A Lý thuyt I Tớnh chia ht v phộp chia cú d .2 II Phộp ng d . III Du hiu chia ht . B Cỏc dng toỏn Dng 1: Xột mi trng hp xy ca s d .3 Dng 2: Tỏch thnh tng nhiu hng t 50 Toỏn nõng cao s hc THCS Dng 3: Phõn tớch thnh nhõn t Dng 4: S dng nh lý Fermat v nh lý Euler .6 Dng 5: S dng nguyờn tc Dirichlet Dng 6: S dng phộp quy np. .10 C Bi 12 Hng dn gii .13 Chuyờn 2: S nguyờn t 15 A Lý thuyt 15 I S nguyờn t v hp s .15 II Cỏc nh lý c bn 16 B Cỏc dng toỏn18 Dng 1: c ca s.18 Dng 2: S nguyờn t v tớnh chia ht25 Dng 3: S sng phng phỏp phõn tớch 32 C Bi .38 Hng dn gii .39 Chuyờn 3: S chớnh phng 41 A Lý thuyt 41 I nh ngha 41 II Tớnh cht 41 B Cỏc dng toỏn 42 Dng 1: Cỏch biu din s t nhiờn h thp phõn 42 Dng 2: Dựng tớnh chia ht 50 Dng 3: Phõn tớnh thnh nhõn t 57 C Bi 63 Hng dn gii 63 Chuyờn 4: Bi v c ca cỏc s 65 A Lý thuyt65 B Cỏc dng toỏn.67 Dng 1: S c ca mt s .67 Dng 2: Tỡm hai s ú bit CLN ca chỳng 68 Dng 3: Phi hp BCNN v CLN 70 Dng 4: Tỡm CLN ca hai s bng thut toỏn -Clit 74 Dng 5: Hai s nguyờn t cựng 75 Dng 6: Tỡm CLN ca cỏc biu thc s.77 C.Bi 79 Hng dn gii 80 MT S TI LIU THAM KHO Toỏn hc tui tr ca Nh xut bn giỏo dc Toỏn tui th ca Nh xut bn giỏo dc Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn trung hc c s - s hc ca Nguyn V Thanh 51 Toỏn nõng cao s hc THCS i s s cp v thc hnh gii toỏn ca Hong K - Hong Thanh H Toỏn nõng cao chn lc i s ca Phan Thanh Quang Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn i s ca V Dng Thu Toỏn nõng cao s hc ca Nguyn Vnh Cn Nõng cao v phỏt trin toỏn ca V Hu Bỡnh S hc ca B giỏo dc v o to 52 [...]... Xột 2 trng hp trờn ta thy s t nhiờn nh nht cú 6 c l 12 2 ỏp s : 36 Bi 4: Chng t rng cỏc s sau õy l hp s 67 6 767 108 + 107 + 7 175 + 244 + 1321 Gii 1 S 67 6 767 cú tng cỏc ch s l 39 chia ht cho 3 nờn 67 6 767 M3 Vy nú l hp s 2 Tng t s 108 + 107 + 7 cú tng chia ht cho 9 nờn 108 + 107 + 7 M9 l hp s 3 S 175 + 244 + 1321 cú: S 175 cú tn cựng l 7 S 244 cú tn cung l 6 S 1321 cú tn cựng l 3 Vy 108 + 107 + 7 cú tn... nguyờn t p cú dng n(n + 1)(n + 2) +1 6 (n 1) n 1 Gii Ta cú n(n +1)(n +2) (n 2 + n)(n + 2) + 6 +1 = 6 6 - 2 n3 + 2n 2 + 2n + 6 ( n + 2 ) ( n + 2 ) = = =P 6 6 Vi n 4 thỡ n + 3 > 6 v n 2 + 2 > 17 Trong hai s n + 3 v n 2 + 2 hoc cú mt s chia ht cho 6 hoc mt s chia ht cho 2, v mt s chia ht cho 3 thỡ p s l hp s Thc vy : Vi n = 3k thỡ (n + 3)(n2 + 2) = 27k2(k + 1) + 6( k + 1) M 6 Vi n = 3k + 1 thỡ (n + 3)(n2... 23.3.5 32.5 2.32.5 22.32.5 23.32.5 Vy ta cú tt c 24 c ca 360 l 1 9 2 4 18 36 8 72 3 5 6 10 12 20 24 40 15 30 60 120 45 90 180 360 1 2 1 - Bi 3: Tỡm s nh nht A cú 6 c 9 c Gii Vit A di dng phõn tớch ra tha s nguyờn t A = am.bn.ct S cỏc c ca A s l (m + 1)(n + 1)(t + 1) Ta cú 6 = 6. 1 hoc 6 = 2.3 Trng hp A ch cú mt s nguyờn t dng A = am thỡ m + 1 = 6 m = 5 A = a5 Vỡ A l s nh nht hay a = 2 Suy ra A = a 5... hp d 1 thỡ A = 6n + 1 Trng hp d 5 thỡ A = 6m + 5 = 6m + 6 1 6( m + 1 ) 1 t m + 1 = n Ta cú A = 6n 1 DNG 2: S NGUYấN T V TNH CHIA HT 1 Nu tớch ca hai s a, b chia ht cho mt s nguyờn t p thỡ mt trong hai s a, b chia ht cho p 2 a Mp a.bMp b Mp Nu an chia ht cho s nguyờn t p thỡ a chia hờt cho p a n Mp a Mp Bi 1: Phõn tớch A = 264 06 ra tha s nguyờn t A cú chia ht cỏc s sau hay khụng 21, 60 , 91, 140,... ra 31 l s nguyờn t Cỏc s khỏc ta cng chng minh tng t Bi 2: 1 Phõn tớch s 360 ra tha s nguyờn t 2 S 360 cú bao nhiờu c 3 Tỡm tt c cỏc c ca 360 Gii 1 Ta cú: 360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Vy 360 = 2.2.2.3.3.5 = 23.32.5 2.Ta cú 360 = 23.32.5 Vy s cỏc c ca 360 l (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 c 3 D thy cỏc s 1, 2, 22, 23, (1) l c ca 360 Ta tỡm cỏc c cũn li theo cỏch sau Bc 1: Nhõn cỏc s hng dóy (1) theo th... c 9 Suy ra c { 3, 6, 9} ta cú ba b (a, b, c) tho món l (1, 5, 3) ; (4, 8, 6) ; (9, 9, 9) Bi 4: * 14 2 43 , B = 11111 1 1 44 2 4 43 Cho m N , A = 11111 1 2m so 1 m+1 so 1 , c = 66 6 6 14 2 43 m so 6 Chng minh rng A + B + C + 8 l mt s chớnh phng vi m N * Gii Ta cú : 1 1 1 A = ( 102 m 1) ; B = ( 10m +1 1) ; C = ( 10m 1) 9 9 9 Vy A + B + C = 1 2m (9 10 1) + 19 ( 10m+1 1) + 96 ( 10m 1) + 8 = 1 2m... a b l s chớnh phng Ta thy 1 a b 8 nờn a b { 1, 4} - Vi a b = 1 thỡ ab { 21,32, 43,54, 65 , 76, 87,98} loi cỏc hp s 21, 32, 54, 65 , 76, 87, 98 Cũn 43 l s nguyờn t - Vi a b = 4 thỡ ab { 51, 62 , 73,84} loi cỏc hp s 51, 62 , 84, 95 cũn 73 l s nguyờn t Vy ab = 43 hoc 73 Khi ú 43 34 = 9 = 32 73 37 = 36 = 62 Bi 12: Cho s t nhiờn A gm 100 ch s 1, s t nhiờn B gm 50 ch s 2 Chng minh rng A B l mt s chớnh... + 32 + 33 + 34 = 112 Vy s nguyờn t cn tỡm l p = 3 Bi 6: Tỡm cỏc s t nhiờn x sao cho 65 + x2 l s chớnh phng Tỡm cỏc s t nhiờn x sao cho x2 + 21 l s chớnh phng Gii t 65 + x 2 = y 2 y 2 x 2 = 65 ( y + x ) ( y x ) = 3.15 = 64 .1 Hoc Hoc 2 y + x = 13 x = 4 y 5 = 5 y = 9 y + x = 65 x = 32 y x =1 y = 33 Vy x = 4 hoc x = 32 x = 2 hoc x = 10 36 ... 3, 4, 5, 6 ngi ta lp tt c cỏc ch s cú 6 ch s , mi s gm cỏc ch s khỏc nhau Hi trong cỏc s lp c cú s no chia ht cho 11 khụng ? cú s no l chớnh phng khụng ? Gii Gi s co 6 ch s lp c l abcdef trong ú a, b, c, d, e, f l cỏc ch s ụi mt khỏc nhau ly trong 6 ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 Tng cỏc ch s lp c u bng 21 gi s abcdef chia ht cho 11 khi ú ta cú (a + c + e ) ( b + d + f ) chia ht cho 11 Vỡ 9 = ( 6 + 5 + 4... = ( B + 5) + 1 ( 10 1 9 B 2 + 4B + 4 ( B + 2) 2 A= = = ( 3.3.3 34 ) 2 9 3 2 (1) 2 Ta cú A = ( 3.3.3 34 ) = 2 166 6 6 1 2 3 7ữ n 1 so 6 2 2 (2) T (1) ta thy A l mt s chớnh phng nhng t (2) ta li thy A chia ht cho 4 m khụng chia ht cho 8 nờn A khụng th l lp phng ca mt s t nhiờn c Bi 6: Chng minh rng A = 244999 91000 09 123 123 n 2 so 9 n so 0 l s chớnh phng Gii Ta cú: A = 244999 91000 09 123 123