Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn NHÂN CÁC ĐA THỨC Tính giá trị: B = x15 - 8x14 + 8x13 - 8x12 + - 8x2 + 8x – với x = Cho ba số tự nhiên liên tiếp Tích hai số đầu nhỏ tích hai số sau 50 Hỏi cho ba số ? Chứng minh nếu: x y z = = b c a (x2 + y2 + z2) (a2 + b2 + c2) = (ax + by + cz)2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Rút gọn biểu thức sau: a A = 1002 - 992 + 982 - 972 + + 22 - 12 b B = 3(22 + 1) (24 + 1) (264 + 1) + c C = (a + b + c)2 + (a + b - c)2 - 2(a + b)2 Chứng minh rằng: a a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab (a + b) b a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 c2 - ab - bc - ca) Suy kết quả: i Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c = a = b = c ii Cho ca bc ab 1 + + = 0, tính A = + + b c a a b c iii Cho a3 + b3 + c3 = 3abc (abc  0) a b c tính B = 1   1   1    b  c  a Tìm giá trị nhỏ biểu thức a A = 4x2 + 4x + 11 b B = (x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) c C = x2 - 2x + y2 - 4y + Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Tìm giá trị lớn biểu thức a A = - 8x - x2 b B = - x2 + 2x - 4y2 - 4y a Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca chứng minh a = b = c b Tìm a, b, c biết a2 - 2a + b2 + 4b + 4c2 - 4c + = Chứng minh rằng: a x2 + xy + y2 + > với x, y b x2 + 4y2 + z2 - 2x - 6z + 8y + 15 > våïi moüi x, y, z Chứng minh rằng: x2 + 5y2 + 2x - 4xy - 10y + 14 > với x, y Tổng ba số 9, tổng bình phương chúng 53 Tính tổng tích hai số ba số Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 10 Rút gọn biểu thức: A = (3 + 1) (32 + 1) (34 + 1) (364 + 1) 11 a Chứng minh số hai số nguyên tổng bình phương hai số nguyên tích chúng viết dạng tổng hai bình phương b Chứng minh tổng bình phương k số nguyên liên tiếp (k = 3, 4, 5) không số phương PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử: a x2 - x - b x4 + 4x2 - c x3 - 19x - 30 Phân tích thành nhân tử: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a A = ab(a - b) + b(b - c) + ca(c - a) b B = a(b2 - c2) + b(c2 - a2) + c(a2 - b2) c C = (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Phân tích thành nhân tử: a (1 + x2)2 - 4x (1 - x2) b (x2 - 8)2 + 36 c 81x4 + d x5 + x + a Chứng minh rằng: n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120 với số nguyên n b Chứng minh rằng: n3 - 3n2 - n + chia hết cho 48 với số lẻ n Phân tích đa thức sau thành nhân tử a3 - 7a - a3 + 4a2 - 7a - 10 a(b + c)2 + b(c + a)2 + c(a + b)2 - 4abc (a2 + a)2 + 4(a2 + a) - 12 (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 x8 + x + x10 + x5 + Chứng minh với số tự nhiên lẻ n : n2 + 4n +  n3 + 3n2 - n -  48 Tìm tất số tự nhiên n để : n4 + số nguyên tố n1994 + n1993 + số nguyên tố Tìm nghiệm nguyên phương trình : x + y = xy p(x + y) = xy với p nguyên tố 5xy - 2y2 - 2x2 + = CHIA ĐA THỨC Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Xác định a đa thức x3 - 3x + a chia hết cho (x - 1)2 Tìm giá trị nguyên n để 2n2  3n  số nguyên 2n - Tìm dư phép chia đa thức: f(x) = x1994 + x1993 + cho: a x - b x2 - c x2 + x + Xác định số a va b cho: a x4 + ax2 + b chia hết cho: i x2 - 3x + ii x2 + x + b x4 - x3 - 3x2 + ax + b chia cho x2 - x - có dư 2x - c 2x2 + ax + b chia cho x + dư - chia cho x - dư 21 Chứng minh f(x) = (x2 - x + 1)1994 + (x2 + x - 1)1994 - chia hết cho x - Tìm dư phép chia f(x) cho x2 - Tìm n nguyên để 2n2  n - số nguyên n-2 Chứng minh rằng: a 1110 - chia hết cho 100 b 10n + 18 chia hết cho 27 c 16n - 15n - chia hết cho 255 Tìm tất số tự nhiên n để 2n - chia hết cho Chứng minh rằng: a 20n + 16n - 3n -  323 với n chẵn b 11n + + 122n +  133 2n c 22 +  våïi n > TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ RÚT GỌN PHÂN THỨC Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn x3  x - x -1 Xác định x để phân thức: x - 2x  x Rút gọn phân thức: A= x - 3x  x - x - 2x - Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a > b > ab Tính giá trị biểu thức P = 4a - b2 Tìm số nguyên x để x - 16 x - 4x  8x - 16x  16 có giá trị nguyên xy  y (y - x)  Cho phân thức A = x y  2y  x  a Rút gọn A, suy A > b Xác định x để A có giá trị lớn Tính 16a2 - 40ab 8a2 - 24ab với 3a = 10b CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC Tính tổng sau: a A = b B = Cho x - (x - 1) (x  1) - x + x - (x - 1) x (x  1) - + x (x - 1) - x - (x  1) z x y + + với xyz = xz  z  xy  x  yz  y  1 1 + + = b c a b c a Chứng minh rằng: a1995 + b1995 + c1995 = a1995  b1995  c1995 Cho phân thức Gia sư Thành Được A= www.daythem.edu.vn z  x - y2 x  y2 - z y  z2 - x + + 2xz 2xy 2yz (xyz  0) a Chứng minh A = ba số x, y, z có số tổng hai số phân thức A có phân thức -1 hai phân thức lại b Nếu x, y, z độ dài đoạn thẳng A > Chứng minh x, y, z độ dài cạnh tam giác Chứng minh a, b, c khác đôi thì: a b 2 b-c c-a a- b + + = + + a b bc ca (a - b) (a - c) (b - c) (b - a) (c - a) (c - b) a (b - c)2 + b (c - a)2 + c (a - b)2 =0 a c b + =0 b- c c-a a- b Chứng minh nếu: x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by x + y + z  1 + + =2 1 a 1 b 1 c Cho a, b, c x, y, z số khác khác không chứng minh x2 y2 z2 a c x y z b nếu: + + = + + = + + = z b c x a y a b c