Nguyễn Thị Vân BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) – BUỔI "Mathematics is like love, a simple idea, but it can get complicated." PHẦN 7: + Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng + Chéo hoá ma trận + Ứng dụng chéo hóa ma trận việc tính lũy thừa ma trận Tìm giá trị riêng, vectơ riêng ma trận đây: ; −1 ; 1 −2 ; 0 1 −1 ; −2 0 1 −1 ; −1 Đs: + Giá trị riêng là: 5, -1 vectơ riêng tương ứng: (1, 1); (1, -2) + Giá trị riêng là: 2; vectơ riêng là: (1, 1) + Chỉ có giá trị riêng số phức: 2+ i, - i; vectơ riêng tương ứng (1, 1+i), (1, 1- i) + Các giá trị riêng là: 1, 4, -2 vectơ riêng (1, 0, 0), (1,1,1), (-1, -1, 5) + Giá trị riêng -1, vectơ riêng (1, 0, 1); 2.(5T337) Tìm giá trị riêng ma trận A, B A + B : ⎡1 0⎤ A=⎢ ⎥, ⎣1 ⎦ ⎡1 1⎤ ⎡2 1⎤ A + B = ⎢ B=⎢ ⎥ ⎥ ⎣0 1⎦ ⎣1 ⎦ Giá trị riêng A + B (bằng) (không bằng) giá trị riêng A cộng với giá trị riêng B? Đs: A có giá trị riêng λ = 1, B có giá trị riêng λ = 1, A + B có giá trị riêng là: 1; ⎡1 ⎤ (2T337) (a) Hãy tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận A = ⎢ ⎥ ⎣2 3⎦ (b) Điền vào chỗ trống (+) A + I có _như A Các giá trị riêng với 1 Nguyễn Thị Vân −1 (+) A có A Các giá trị riêng (+) A2009 − A + I có A Các giá trị riêng Đs: (a) λ = -1, vectơ riêng tương ứng: (-2, 1) ; λ =5, vectơ riêng tương ứng (1, -1) ⎡1 ⎤ Cho ma trận A = ⎢ Tìm tất giá trị riêng ma trận A4 + A + 2I ⎥ ⎣2 2⎦ Đs: 2, 86 ( 6T337) Tìm giá trị riêng ma trận A, B, AB BA: ⎡1 0⎤ A=⎢ ⎥, 1 ⎣ ⎦ ⎡1 1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡2 1⎤ , AB = ⎢ BA = ⎢ B=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 1 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Giá trị riêng AB (bằng) (không bằng) giá trị riêng A nhân với giá trị riêng B Giá trị riêng AB (bằng) (không bằng) giá trị riêng BA? Đs: Các giá trị riêng AB BA là: !! ! !! ! ! ; ! ⎡2 2⎤ C = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ Kiểm tra tính chéo hóa ma trận Đs: Ma trận C có đủ vecto riêng độc lập tuyến tính nên chéo hóa ⎡2 1⎤ Chéo hoá ma trận A tính A2009 với A = ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ Đs: A có giá trị riêng Với vecto riêng tương ứng (-1, 1) (1, 1) 𝐴!""# = 3!""# + 3!""# − 3!""# − 3!""# + ⎡2 4⎤ −1 Cho ma trận A = ⎢ ⎥ Phân tích A thành S ΛS ⎣ ⎦ Chéo hoá ma trận B tính S Λ k S −1 để chứng minh công thức tính Bk sau ⎡3k ⎡3 ⎤ k có B=⎢ B = ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣0 k Đs: ⎡1 ⎤ ⎡3 0⎤ ⎡1 ⎤ ⎡3k B =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎣0 −1⎦ ⎣0 2⎦ ⎣0 −1⎦ ⎣ k 3k − 2k ⎤ ⎥ 2k ⎦ 3k − 2k ⎤ ⎥ 2k ⎦ Nguyễn Thị Vân PHẦN + Tính trực giao bốn không gian tuyến tính + Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn phương pháp trực giao hoá Gram-Schmidt 10 Cho hai vecto x = (-1, -1, 1, 1) y = (1, 1, 5, -3) Chứng minh x y trực giao Tính ||x||, ||y|| 11 (17.t236) (a) Cho S không gian R3 chứa vectơ không, tìm S⊥ (b) Cho S không gian sinh (1, 1, 1), tìm S⊥ (c) Cho S không gian sinh (2, 0, 0) (0, 0, 3), tìm S⊥ Đs: (a) S⊥ = R3 ; (b) A = [1 1] ⇒ S = C ( AT ) ⇒ S ⊥ = N ( A) có sở là: {(-1,1,0),(-1,0,1)}; ⎡2 0 ⎤ (c) A = ⎢ ⇒ S = C ( AT ) ⇒ S ⊥ = N ( A) có sở là: {(0,1,0)} ⎥ ⎣0 ⎦ 12 Cho S không gian sinh véc tơ (1,2,3) (0,1,2) Tìm sở số chiều không gian S ⊥ Đs: Cơ sở S ⊥ {(1, - 2, 1)} dim S ⊥ =1 13 Giả sử P không gian nghiệm phương trình x – 3y – 4z = (a) Tìm sở P (b) Tìm vectơ u∈P vectơ v∈ P⊥ cho u + v = (6, 4, 5) Đs: (a) s1 = (3,1,0); s2 = (4,0,1) ⎡7 ⎤ ⎡ −1⎤ (b) u = ⎢1 ⎥ ; v = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 14 Cho vectơ v1 = (1, 0, -2, 1), v2 = (0, 1, 3, −2) Ký hiệu W không gian R4 gồm tất tổ hợp tuyến tính v1, v2 (a) Hãy tìm W⊥ (b) Tính số chiều W⊥ ⎡1 − ⎤ T ⊥ ⊥ Đs: AT = ⎢ ⎥ ; Ta thấy W = C(A) nên W =N( A ) Số chiều W − ⎣ ⎦ 16 (18.t280) Hãy tìm vectơ trực giao A, B, C phương pháp Gram-Schmidt từ a, b , Nguyễn Thị Vân c: a = (1, −1, 0, 0) b = (0, 1, −1, 0) c = (0, 0, 1, −1) Đs: (+) A = (1, -1, 0, 0); B = (1/2, 1/2, -1, 0); C = (1/3, 1/3, 1/3, -1) 16 Cho vectơ v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (2, 1, 0, 0), v3 = (3, 2, 1, 0) (a) Chứng minh v1, v2, v3 độc lập tuyến tính (b) Dùng phương pháp trực giao hóa Gram- Schmidt xây dựng tập trực giao {u1, u2, u3} từ {v1, v2, v3} 17 S không gian nghiệm phương trình: x1 + x2 − x3 − x4 = (a) Tìm sở S? Dùng phương pháp Gram – Schmidt xây dựng sở trực giao từ sở (b) Tìm sở phần bù trực giao S ⊥ ? Đs: (a) Cơ sở S { ( −2,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1) } Cơ sở trực giao S ( −2,1,0,0 ); ( ) b) Cơ sở S ⊥ = C AT ⎛1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎜ , , 1, ⎟ ; ⎜ , , − , 1⎟ ⎝5 ⎠ ⎝6 ⎠ ⎡1 ⎤ ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦ ⎡1 ⎤ 18 Tìm sở trực chuẩn không gian cột ma trận A = ⎢0 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ !" ! u Đs: Cơ sở trực chuẩn C(A) !"1 = (1,0,0 ) ; u1 !" ! u2 !" ! = ( 0, 0, 1) ; u2 !" ! u3 !" ! = ( 0, 1, ) u3 HƯỚNG DẪN GIẢI: det( A − λ I ) = ⇔ (1 − λ ) = ⇔ λ = 1; * det( B − λ I ) = ⇔ (1 − λ )2 = ⇔ λ = 1; det( A + B − λ I ) = ⇔ (2 − λ ) − = ⇔ λ = 1, λ = Nguyễn Thị Vân * Giá trị riêng A + B không giá trị riêng A cộng với giá trị riêng B Các giá trị riêng A nghiệm phương trình det(A - λ I) = + det( A − λ I ) = 1− λ = λ − 4λ − = ⇔ λ = −1; λ = 3−λ ⎡ ⎤⎡ x ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ −2 ⎤ λ = −1 : ( A − (−1)I ) = ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥→ x= ⎢ ⎥; y ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎡-4 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0⎤ λ = : ( A − 5I ) x = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇔ x = ⎣ −2⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0⎦ ⎡1⎤ y ⎢ ⎥ ( y ≠ 0) ⎣-1⎦ Các giá trị riêng A + I nghiệm phương trình det(A+ I - λ I) = + det( A + I − λ I ) = 2−λ = λ − 6λ = ⇔ λ = 0; λ = 4−λ ⎡ ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇔ x = ⎣ ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0 ⎦ ⎡1⎤ λ = 6, x = y ⎢ ⎥ ( y ≠ 0) ⎣-1⎦ λ = 0:⎢ ⎡-2 ⎤ y ⎢ ⎥ ( y ≠ 0); ⎣1⎦ A+I có vectơ riêng vectơ riêng A Các giá trị riêng giá trị riêng A cộng với det ( A − λ I ) = → λ1 = 0; λ2 = ! ! ! λ , v giá trị riêng véc tơ riêng nên thỏa mãn Av = λ v ! "! ! 4 Đặt µ = λ + λ + ta có µ v = ( λ + λ + 2) v = A + A + 2I v nên µ = λ + λ + ( ) giá trị riêng ma trận A4 + A + 2I Do µ1 = 2; µ2 = 86 5 Nguyễn Thị Vân det( A − λ I ) = ⇔ (1 − λ ) = ⇔ λ = 1; * det( B − λ I ) = ⇔ (1 − λ ) = ⇔ λ = 1; det( AB − λ I ) = ⇔ λ − 3λ + = ⇔ λ = (3 − 5) / 2, λ = (3 − 5) / 2; det( BA − λ I ) = ⇔ λ − 3λ + = ⇔ λ = (3 − 5) / 2, λ = (3 − 5) / * Giá trị riêng AB không giá trị riêng A nhân với giá trị riêng B Giá trị riêng AB giá trị riêng BA 2−λ det(C − λ I ) = ⇔ 2 2−λ 2 2−λ = ⇔ λ = 0, λ = − ⎡ − x2 − x3 ⎤ ⎡ −1⎤ ⎡ −1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +λ = : ( A − I ) x = ⇔ x = ⎢ x2 ⎥ = x2 ⎢ ⎥ + x3 ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡1⎤ 2 +λ = − : ( A + I ) x = ⇔ x = x1 ⎢⎢1⎥⎥ ( x1 ≠ 0) 3 ⎢⎣1⎥⎦ ( x2 x3 ≠ 0) Ma trận C chéo hóa có đủ véc tơ riêng độc lập det( A − λ I ) = − λ det( A − λ I ) = 2−λ 1 = (2 − λ )2 − = ⇔ λ = 1, λ = 3; 2−λ = (2 − λ ) − = ⇔ λ = 1, λ = 3; 2−λ ⎡-1⎤ +λ = 1: x = ⎢ ⎥ ; ⎣1⎦ ⎡1⎤ +λ = : x = ⎢ ⎥ ⎣1⎦ ⎡ −1 1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ −1/ 1/ ⎤ ⎡ −1 1⎤ ⎡12009 2009 A=⎢ ⇒ A = ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎣ 1⎦ ⎣0 3⎦ ⎣ 1/ 1/ ⎦ ⎣ ⎦⎣ A2009 = ⎤ ⎡ −1/ 1/ ⎤ ⎥⎢ ⎥ 32009 ⎦ ⎣ 1/ 1/ ⎦ ⎡1 + 32009 32009 − 1⎤ ⎢ ⎥ ⎣32009 − 32009 + 1⎦ 10 a) S⊥ = R3 b) A = [1 1] ⇒ S = C ( A ) ⇒ S = N ( A) có sở là: {(-1,1,0),(-1,0,1)} T Nguyễn Thị Vân ⊥ ⎡2 0 ⎤ c) A = ⎢ ⇒ S = C ( AT ) ⇒ S ⊥ = N ( A) có sở là: {(0,1,0)} ⎥ ⎣0 ⎦ ⎡1 12 A = ⎢⎢ ⎢⎣ 0⎤ ⎥⎥ 2⎥⎦ S ⊥ = N ( AT ) ⎡1 ⎤ AT = ⎢ ⎥ ⎣0 2⎦ AT y = → x3 = → x2 = −2 → x1 = Vậy sở S ⊥ {(1, - 2, 1)} dim S ⊥ =1 13 a)Gọi A = [1 − − 4] ⇒ Cơ sở P= N(A ) gồm nghiệm đặc biệt : s1 = (3,1,0); s2 = (4,0,1) ⎡6 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎡4⎤ ⎡1 ⎤ b) P = C ( A ) có sở {(1,-3,-4)} Từ ⎢ 4⎥ = a ⎢1 ⎥ + b ⎢0 ⎥ + c ⎢ −3⎥ suy a =1,b =1, c = -1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣5 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ −4⎥⎦ ⊥ T ⎡7 ⎤ ⎡ −1⎤ ⎢ ⎥ Do u = ; v = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 14 Ta thấy W = C(A) nên W⊥ =N( AT ) ⎡1 − ⎤ T ⊥ AT = ⎢ ⎥ nên nghiệm tự x3 , x Nghiệm đặc biệt A sở W − ⎣ ⎦ s1 = (2, −3,1,0); s2 = ( −1, 2,0,1) Số chiều W⊥ 15 +) a = (1, -1, 0, 0) +) B = xA + b = (x, - x + 1, -1, 0) B.A = ⇒ 2x – = ⇒ x = 1/2 Vậy B = (1/2, 1/2, -1, 0) +) C= yA + zB + c = ( y + z/2, - y + z/2, - z + 1, -1) CA = CB = nên y = 0, z = 2/3 Vậy C = (1/3, 1/3, 1/3, -1) Nguyễn Thị Vân ⎡1 ⎢0 16 a) Xét ma trận A = [v1 ,v ,v ] = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 ⎤ ⎥ ⎥ r(A) = nên véc tơ v1, v2, v3 độc ⎥ ⎥ ⎦ lập tuyến tính b) !" ! !" ! u1 = v1 !" ! T !" ! !" ! !# ! u1 v !!" u2 = v - !" ! T !" ! u1 u1 u1 !" ! T !!" !" ! T !" !" ! !" ! u1 v !" u2 v !" u3 = v - !" ! T !" ! u1 - " T " u u1 u1 u u 17 (a) S = N ( A ) Cơ sở S tập tất nghiệm đặc biệt phương trình { ( −2,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1) } !" ! !" ! u = v = ( −2,1,0,0 ) 1 !" ! T !" ! !" ! !# ! u1 v !!" ⎛1 ⎞ −2 u2 = v - !" −2,1,0,0 ) = ⎜ , , 1, 0⎟ ( ! T !" ! u1 = (1,0,1,0 ) ⎝5 ⎠ u1 u1 !" ! T !!" !" ! T !" !" ! !" ! u1 v !" u2 v !" u3 = v - !" ! T !" ! u1 - " T " u u1 u1 u u ⎛1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ −2 = (1,0,0,1) −2,1,0,0 ) - ⎜ , , 1, 0⎟ = ⎜ , , − , 1⎟ ( 6⎝5 5 ⎠ ⎝6 ⎠ ( ) b) Cơ sở S ⊥ = C AT ⎡1 ⎤ ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦ 18 Do r (A) =3 nên không gian cột A có sở !" ! !" ! !# ! v1 = (1, 0,0 ) ; v = ( 2,0,3) ; v = ( 4,5, ) !" ! !" ! u1 = v1 = 1,0,0 !" ! u2 = 2,0,3 1,0,0 = 0, 0, !" ! 18 u3 = 4,5,6 1,0,0 0,0,3 = 0, 5, ( Nguyễn Thị Vân ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( !" ! u Cơ sở trực chuẩn C(A) !"1 = (1,0,0 ) ; u1 ) !" ! u2 !" ! = ( 0, 0, 1) ; u2 !" ! u3 !" ! = ( 0, 1, ) u3