Nguyễn Thị Vân BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) – BUỔI ( Tài liệu có sai sót chỉnh lí lớp tập) PHẦN 5: + Hạng dạng rút gọn theo hàng + Nghiệm đầy đủ (nghiệm tổng quát) Ax = Ax = b Tìm hạng ma trận sau phương pháp khử ⎡1 0⎤ A = ⎢⎢ 11 ⎥⎥ ⎢⎣ −1 10 ⎥⎦ ĐS: r (A) = 2; ⎡1 ⎤ B = ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣1 q ⎥⎦ q ≠ r(B) = q = r(B) = 2, ⎡1 ⎤ Tìm hạng ma trận A, AT A, AAT A = ⎢ ⎥ ⎣1 1⎦ (23T188) Chọn số q cho hạng ma trận A (a) (b) (c) 2⎤ ⎡6 ⎢ A = ⎢− − − 1⎥⎥ ⎢⎣ q ⎥⎦ ĐS: +) Hạng A q = 3; +) Hạng A q ≠ ; +) Không tồn q để hạng ma trận Tìm hạng ma trận sau: −1 −3 ⎛ −1 − ⎞ ⎜ ⎟ a) ⎜ − ⎟ , ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛3 ⎜ b) ⎜⎜ ⎜ ⎜7 ⎝ ĐS: (a) r = (b) r = 3 −3 −5 ⎛3 ⎜ λ Tìm 𝜆 cho ma trận sau có hạng nhỏ nhất: A = ⎜⎜ ⎜ ⎜2 ⎝ −5 ⎞ ⎟ ⎟ − 7⎟ ⎟ ⎟⎠ 1 ⎞ ⎟ 10 ⎟ 17 ⎟ ⎟ ⎟⎠ ĐS: λ = Nguyễn Thị Vân ⎡ x⎤ ⎡1 2⎤ ⎢ ⎥ ⎡1⎤ y ( 4T186) Tìm nghiệm tổng quát hệ : ⎢⎢2 ⎥⎥ ⎢ ⎥ = ⎢⎢3⎥⎥ ⎢z⎥ ⎢⎣0 4⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦ ⎣t ⎦ ĐS: Nghiệm riêng x p = (1 / 2,0,1 / 2,0) ; Các nghiệm đặc biệt phương trình s1 = (1/ 2,0, −3/ 2,1); s2 = (−5 / 2,1,1/ 2,0) ; Nghiệm tổng quát phương trình x = x p + c1s1 + c2 s2 Cho hệ phương trình ⎧ x1 − x2 + ax3 = ⎪ ⎨3x1 − x2 − ax3 = ⎪2 x + x + x = b ⎩ (a) Xác định a b để hệ có nghiệm (b) Xác định a b để hệ có vô số nghiệm ĐS: +) Hệ có nghiệm 2a + ≠ ⇔ a ≠ −3 / ⎧a = −3 / +) Hệ vô số nghiệm 2a + = b + = ⇔ ⎨ ⎩b = −1 ( 21T188) Tìm nghiệm tổng quát dạng x p + xn hệ sau (a) x + y + z = ĐS: a) ⎡ −1⎤ ⎡ −1⎤ ⎡ 4⎤ x = c1 ⎢⎢0 ⎥⎥ + c2 ⎢⎢1 ⎥⎥ + ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ (b) ⎧x + y + z = ⎨ ⎩x − y + z = ⎡ −1⎤ b) x = c ⎢⎢0 ⎥⎥ + ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎡4⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ Tìm nghiệm đặc biệt, từ suy nghiệm tổng quát hệ Ax = b với ⎡3 −2 ⎤ A = ⎢⎢5 −3 ⎥⎥ , biết hệ có nghiệm riêng x p = (0,1,1) ⎢⎣0 −5⎥⎦ ĐS: ⎡ −3⎤ xn = ⎢⎢5 ⎥⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎡ −3⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ x = c ⎢5 ⎥ + ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ 10 Giải hệ phương trình cách viết nghiệm tổng quát dạng x p + xn : ⎡2 ⎢4 ⎢ ⎢⎣ Nguyễn Thị Vân ⎡ x1 ⎤ −3 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡1 ⎤ x2 −6 ⎥⎥ ⎢ ⎥ = ⎢⎢ 2⎥⎥ ⎢x ⎥ − − 11 − 15⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎣ x4 ⎦ ⎡ 55 ⎤ ⎡3⎤ ⎢ 16 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ + c ⎢1 ⎥ + ⎢0⎥ x = c ĐS: 1⎢ ⎢ ⎥ 11⎥ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢ 8⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ PHẦN 6: + Hệ véc tơ độc lập tuyến tính + Hệ véc tơ sở + Chiều bốn không gian bản: C(A) , C(AT) , N(A) , N(AT) 11.( 1T203) Chứng minh v1, v2, v3 hệ độc lập tuyến tính v1, v2, v3, v4 lại phụ thuộc tuyến tính: ⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡ 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ v1 = ⎢0⎥ ; v = ⎢1⎥ ; v3 = ⎢1⎥ ; v4 = ⎢⎢3⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣4⎥⎦ 12 ( 41T208) Hệ véc tơ sau sở R3? (a) (1, 2, 0); (0, 1, −1) (b) (1, 1, −1) ; (2, 3, ); (4, 1, −1); (0, 1, −1) (c) (1, 2, 2); (−1, 2, 1); (0, 8, 0) (d) (1, 2, 2); (−1, 2, 1); (0, 8, 6) Đs: Hệ (c) 13 Trong ! cho vecto α = ( 1, -3, 2, -4 ); α = ( 3, 4, -1, ); α = ( 2, 7, -2, ); α = ( 2, -6, 4, m ) Tìm m để hệ phụ thuộc tuyến tính Đs: m = - 14 Trong ! cho hệ vecto α = ( 2, -1, ); α = ( 4, 2, ); α = ( 2, 7, -6 ) a) {α 1, α 2, α } có phải sở ! không ? Nguyễn Thị Vân b) Tìm sở, số chiều không gian span( α , α 2, α ) Đs : a) Không b) số chiều span( α , α 2, α ) sở {α , α } 15 Cho vectơ v1 = (2, 1, 3), v2 = (3, -1, 4), v3 = (2, 6, 4) Ký hiệu W không gian R3 gồm tất tổ hợp tuyến tính v1, v2, v3 Tính số chiều W 16 Cho không gian véc tơ W := { ( x1, x2, x3 ) ∈ ! | x1 + x3 = } Tìm dimW Đs: dim W =2 17 Hãy tìm sở số chiều không gian sau : V1 := { ( x1, x2, u, v ) ∈ R4 ⎪ u = x1 + x2, v = x1 - x2} V2 := { (0, x2, x3, 0) ∈ R4 } V3 := { (x1, x2, x3, x4 ) ∈ R4 ⎪ x1 = x2 = x3 } { (1,0,1,1); (0, 1,1, − 1)} dim V = Cơ sở V { ( 0,1,0,0 ); ( 0, 0,1, )} dim V = Cơ sở V { (1,1,1,0 ); ( 0, 0,0, 1)} dim V = Đs: Cơ sở V1 3 18 ( T217) Tìm sở cho không gian bốn không gian liên kết với A ⎡0 ⎤ A = ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 ⎥⎦ Đs: r(A) = Không gian hàng không gian cột có số chiều 2; không gian nghiệm có số chiều 5-2=3; Không gian nghiệm bên trái có số chiều bằng: 3-2 = Cơ sở không gian cột: (1, 1, 0) (3, 4, 1); Cơ sở không gian hàng: (0, 1, 2, ,3, 4) (0, 1, 2, 4, 6); sở không gian nghiệm: (1, 0, 0, 0, 0) ; (0, -2, 1, 0, 0) ; (0, 2, 0, -2, 1); sở không gian nghiệm bên trái: (1, -1, 1) 19 Tìm sở số chiều không gian liên quan đến ma trận Nguyễn Thị Vân ⎡1 ⎤ A = ⎢2 16 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣5 15 25⎥⎦ Đs: A có cột trụ cột cột 3, A có hàng trụ hàng hàng 2, r(A) = C(A) có: Cơ sở (1, 2, 5) (0, 1, 0) (hai cột trụ) Số chiều C(AT) có: Cơ sở (1, 3, 0, 5) (2, 6, 1, 16) (hai hàng trụ) Số chiều N(A) có: Cơ sở (-3, 1, 0, 0) (-5, 0, -6, 1) (hai nghiệm đặc biệt Ax = 0) Số chiều N(AT) có: Cơ sở (-5, 0, 1) (nghiệm đặc biệt ATy = 0) Số chiều HƯỚNG DẪN GIẢI: ⎤ ⎤ ⎡6 2⎤ ⎡6 ⎡6 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ A = −3 −2 −1 ⎯⎯ ⎥ ⎯⎯ → ⎢0 − 2q ⎥⎥ ⎢ ⎥ → ⎢0 ⎢⎣ q ⎥⎦ ⎢⎣0 − 2q ⎥⎦ ⎢⎣0 0 ⎥⎦ Kết luận: +) Hạng A q = +) Hạng A q ≠ +) Không tồn q để hạng ma trận Dùng phương pháp khử ma trận [A b] ta có ⎡1 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 0 1/2⎤ ⎢2 3⎥ → ⎢0 1⎥ → ⎢0 1/2⎥ → ⎢0 1/2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ Các cột chứa số trụ, biến x2 , x4 biến tự Cho chúng nhận giá trị ta nghiệm riêng x p = (1 / 2,0,1 / 2,0) Các nghiệm đặc biệt phương trình s1 = (0,0,−2,1); s2 = (−3,1,0,0) Nghiệm tổng quát phương trình x = x p + c1s1 + c2 s2 Nguyễn Thị Vân a ⎡1 −2 a ⎤ ⎡1 −2 ⎢ ⎥ ⎢ [ A b] = −1 −a ⎯⎯ −4a −7 ⎢ ⎥ → ⎢0 ⎢⎣ ⎢⎣0 −2a + b − b ⎥⎦ a ⎤ ⎡1 −2 ⎥ ⎯⎯ ⎢ −4a −7 ⎥ → ⎢0 ⎥⎦ ⎢⎣0 2a + b + ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦ Kết luận +) Hệ có nghiệm 2a + ≠ ⇔ a ≠ −3 / ⎧a = −3 / +) Hệ vô số nghiệm 2a + = b + = ⇔ ⎨ ⎩b = −1 ⎡ 1 ⎤ ⎡ c1 ⎤ !" !" ! !" " ⎢ ⎥⎢ ⎥ 11 c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = ⇔ ⎢ 1 ⎥ ⎢ c2 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢c ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 3⎦ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ → c3 = c2 = c1 = ⎢⎣0 ⎥⎦ !" !" ! !" Vậy hệ v1 , v2 , v3 độc lập tuyến tính ⎡ 1 !" !" ! !" !" ! " ⎢ c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 = ⇔ ⎢ 1 ⎢ 0 ⎣ ⎡c ⎤ ⎤ ⎢ 1⎥ ⎥ ⎢ c2 ⎥ ⎥ ⎢c ⎥ = ⎥ ⎢ 3⎥ ⎦ ⎢⎣ c4 ⎥⎦ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ Ma trận cấp 3× , có ba cột trụ cột 1, 2, nên có nghiệm đặc biệt: !" !" ! !" !" ! " c1 = 1, c2 = 1, c3 = − 4, c4 = ⇔ v1 + v2 − 4v3 + v4 = !" !" ! !" !" ! v1 , v2 , v3 , v4 phụ thuộc tuyến tính Tức bốn vectơ 12 (a) Hai vectơ tạo thành sở ! chiều ! = số vectơ hệ sở, ta có hai véc tơ (b) Bốn vectơ tạo thành sở ! chiều ! = số vectơ hệ sở, ta có bốn véc tơ Nguyễn Thị Vân (c) Xét ma trận A có cột vectơ trên, ⎡1 − ⎤ A = ⎢⎢2 8⎥⎥, det( A) = −24 ≠ ⎢⎣2 0⎥⎦ nên ba vectơ sở ! ⎡1 − ⎤ (d) Xét ma trận A có cột vectơ trên, A = ⎢⎢2 8⎥⎥, det( A) = nên ba ⎢⎣2 6⎥⎦ vectơ không sở ! 13 Xét ma trận vuông A cấp thiết lập từ véc tơ α 1; α 2; α ; α Dùng phép biến đổi Gauss A thấy { α 1; α 2; α ; α } phụ thuộc tuyến tính m = - ⎡2 2⎤ 14 Xét ma trận A = ⎢ −1 ⎥ Biến đổi r ( A) = 2; dim ! = ⎢ ⎥ ⎢⎣ −6 ⎥⎦ nên α 1; α 2; α không sở ! Vì α 1; α độc lập tuyến tính nên α 1; α sở span{ α 1; α 2; α 3} ⎡x ⎤ ⎡x ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0 ⎤ ! ⎢ 1⎥ ! ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 16 ∀ x = ⎢ x2 ⎥ ∈W : x1 + x3 = → x = ⎢ x2 ⎥ = x1 ⎢0 ⎥ + x2 ⎢1 ⎥ Ngoài ⎢x ⎥ ⎢ −x ⎥ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ 1⎦ ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎥ ; ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ độc lập tuyến tính Do dimW =2 ⎡x ⎤ ⎡x ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0 ⎤ ! ⎢ 1⎥ ! ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 17 ∀ x = ⎢ x2 ⎥ ∈W : x1 + x3 = → x = ⎢ x2 ⎥ = x1 ⎢0 ⎥ + x2 ⎢1 ⎥ ⎢x ⎥ ⎢ −x ⎥ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ 1⎦ { (1,0,1,1); (0, 1,1, − 1)} hệ sinh V ⎡1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ Nếu x1 + x2 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ → x1 = x2 = ⎢ −1⎥ ⎢1 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ ⎣ −1⎦ ⎣0 ⎦ { (1,0,1,1); (0, 1,1, − 1)} độc lập tuyến Nguyễn Thị Vân tính { (1,0,1,1); (0, 1,1, − 1)} dim V = Tương tự, sở V { ( 0,1,0,0 ); ( 0, 0,1, )} dim V = Tương tự, sở V { (1,1,1,0 ); ( 0, 0,0, 1)} dim V = Cơ sở V1 2 3 ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 18 A = ⎯⎯ ⎢ ⎥ → ⎢0 0 ⎥ ⎢⎣0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ Ma trận có số trụ nằm cột cột Hạng A Không gian hàng A không gian hàng U, sở hai hàng có chứa số trụ: (0, 1, 2, ,3, 4) (0, 1, 2, 4, 6) Số chiều Không gian cột: Có chiều 2, sở : (1, 1, 0) (3, 4, 1) – hai cột có chứa số trụ Không gian nghiệm: Cơ sở không gian nghiệm nghiệm đặc biệt, bao gồm: (1, 0, 0, 0, 0) ; (0, -2, 1, 0, 0) ; (0, 2, 0, -2, 1) Không gian nghiệm trái: Có chiều sở (1, -1, 1) ⎡1 ⎤ 19 A = ⎢ 16 ⎥ → U = ⎢ ⎥ ⎢⎣5 15 25⎥⎦ ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 ⎥⎦ A có cột trụ cột cột 3, A có hàng trụ hàng hàng 2, r(A) = C(A) có: Cơ sở (1, 2, 5) (0, 1, 0) (hai cột trụ) Số chiều C(AT) có: Cơ sở (1, 3, 0, 5) (2, 6, 1, 16) (hai hàng trụ) Số chiều N(A) có: Cơ sở (-3, 1, 0, 0) (-5, 0, -6, 1) (hai nghiệm đặc biệt Ax = 0) Số chiều N(AT) có: Cơ sở (-5, 0, 1) (nghiệm đặc biệt ATy = 0) Số chiều