SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ ĐỀ XUẤT THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC: 2015 – 2016 Môn : Toán lớp 11 Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐỀ BÀI Câu (5,0 điểm) Cho số thực a khác Xét dãy số  xn  xác định x1  a ; xn 1  xn  , n  Tùy theo giá trị a tính giới hạn dãy số xn  Câu ( 5,0 điểm) Cho hàm số f : N  N cho với số tự nhiên m, n ta có tính chất sau: i) f  0; m   m  ii) f  n  1;0   f  n;1 iii) f  n  1; m  1  f  n; f  n  1; m   Tính f  3;2016  Câu ( 5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD hình thang, có hai đường chéo AC, BD vuông góc với điểm H nội tiếp đường tròn (O) tâm O Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh DA, AB, BC, CD gọi I, J, K, L hình chiếu vuông góc H cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: 1) Tám điểm M, N, P, Q, I, J, K, L nằm đường tròn 2) Ba đường thẳng IK, JL, OH đồng quy điểm Câu ( 5,0 điểm) Cho tập hợp X  1;2;3; ;2016 Tìm số k nguyên dương nhỏ cho với tập gồm k phần tử tập hợp X chứa số nguyên liên tiếp - HẾT ĐÁP ÁN Câu (5,0 điểm) Cho số thực a khác Xét dãy số  xn  xác định xn  x1  a ; xn 1  , n  Tùy theo giá trị a tính giới hạn dãy số xn  Giải Ta có xn1   xn 1 xn  x  xn  2  n   xn  2, n  N * Nên dãy số xác định xn  xn   x  1 1  n 2 xn  ; xn 1  x  3 3  n 2 xn  , n  N * - Nếu a = xn  1, n  N *  lim xn  - Nếu a = xn  3, n  N *  lim xn  - Nếu a khác 1; có (1,5 điểm)  x  1    x1  1 xn 1   xn  1   n 1 22 2n xn 1   xn  3  xn1  3  x1  3 22  xn 1   a  1 - n  xn 1   a  3 n  2n  a  1   a  3 n 2n (1) (1,5 điểm) Nếu a   a   4a   a  Từ (1) có        lim xn 1  lim      limx n  n   a  1     2n   a      - (1 điểm) Nếu a   a   4a   a  Từ (1) có     lim xn 1  lim 1  2n  a  3   1 2n  a           limx n      (1 điểm) Câu ( 5,0 điểm) Cho hàm số f : N  N cho với số tự nhiên m, n ta có tính chất sau: i) f  0; m   m  ii) f  n  1;0   f  n;1 iii) f  n  1; m  1  f  n; f  n  1; m   Tính f  3; 2016  Giải: Từ i), ii) iii) ta có: f 1; n   f  0; f 1; n  1   f 1; n  1    f  0;0   n   n  2(*) ( 1điểm) f  2; n   f 1; f  2; n  1   f  2; n  1  1.2   f  2;0   2n  f (1;1)  2n  2n  (**) (1 điểm) f  3; n   f  2; f  3; n  1   f  3; n  1  (1 điểm)  f  3; n     f  3; n  1  3   n  f  3;   3  n  f  2;1  3  n 3 (***) ( điểm )  f  3; 2016   22019  ( điểm) Câu ( 5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD hình thang, có hai đường chéo AC, BD vuông góc với điểm H nội tiếp đường tròn (O) tâm O Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh DA, AB, BC, CD gọi I, J, K, L hình chiếu vuông góc H cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: 1) Tám điểm M, N, P, Q, I, J, K, L nằm đường tròn 2) Ba đường thẳng IK, JL, OH đồng quy điểm Giải: A L I M G N D B H J T K O Q P j C a) T Ta có tứ giác MNPQ hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn (T) (0,5 điểm) ˆ  QHC ˆ  ABH ˆ  ACD ˆ  Q  HI  NIQ ˆ  900 Có AHI ˆ  MJP ˆ  MLP ˆ  900 tt : M  JH ,Q  LH , N  KH  NKQ Vậy tám điểm M,N,P,Q,I,J,K,L thuộc đường tròn (T) b) Gọi G giao điểm IK với JL Ta có (1 điểm) ( 0,5 điểm) (0, điểm) H / (T )  HI HQ  HJ HM  HK HN  HL.HP  k (1),T / (T )  TM TP  TN TQ(2) Dùng phép nghịch đảo N cực H, phương tích k có: I, J, K, L tương ứng biến thành Q, M, N, P Vì tứ giác ABCD hình thang nên H không thuộc IK JL nên phép nghịch đảo N biến đường thẳng IK, JL tương ứng thành đường tròn (HQN), (HMP) biến G thành G’ giao điểm khác H hai đường tròn Nên G’H trục đẳng phương hai đường tròn (3) Từ (2) (3) có T G thuộc G’H Lại có tứ giác OPHM hình bình hành HM, OP vuông góc DC; OM, PH vuông góc AB nên T trung điểm OH Vậy OH qua điểm G ( ĐPCM) ( 2,5 điểm) Câu (5,0 điểm) Cho tập hợp X  1; 2;3; ; 2016 Tìm số k nguyên dương nhỏ cho với tập gồm k phần tử tập hợp X chứa số nguyên liên tiếp Giải: Xét tập hợp A  X / 5k ,1  k  403  A  2016  403  1613 Với k không lớn 1613, chọn tập hợp B tập gồm k phần tử A, tập X B chứa số nguyên liên tiếp (1,5 điểm) Nếu k = 1614 Xét C tập X gồm 1614 phần tử Ai  5i  4;5i  3;5i  2;5i  1;5i ,i  1; 403, A404  2016 (1.5 điểm) Nếu tập hợp chứa tối đa phần tử thuộc C số phần tử C không 4x403+1= 1613 ( vô lý) Vậy tập hợp gồm phần tử phải có tập C nên C chứa số nguyên lien tiếp Vậy số k nhỏ cần tìm 1614 - HẾT - (2 điểm)