Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG (tiếp theo) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài tập có hƣớng dẫn giải: Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) mặt phẳng (P): x  y  z   a Gọi M1 hình chiếu M lên mặt phẳng ( P ) Xác định tọa độ điểm M1 tính độ dài đọan MM1 x-1 y-1 z-5 b Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua M chứa đường thẳng :   -6 Lời giải: Tìm M h/c M lên mp (P)  Mp (P) có PVT n   2, 2, 1  x   2t  Pt tham số MM qua M,   P   y   2t  z  3  t  Thế vào pt mp (P): 5  2t     2t    3  t  1   18  9t   t  2 Vậy MM1   P   M1 1, 2, 1 Ta có MM    1       3  1 Đường thẳng  : 2  16  16   36   x 1 y 1 z  qua A(1,1,5) có VTCP a   2,1, 6   6  Ta có AM   4,1, 8   Mặt phẳng (Q) qua M, chứa   mp (Q) qua A có PVT  AM , a    2,8,  hay 1,4,1 nên pt (Q):  x  5   y  2   z  3  Pt (Q): x  y  z  10  Cách khác: Mặt phẳng (Q) chứa  nên pt mp(Q) có dạng: x  y   hay m( x  y  1)  y  z 11  Mặt phẳng (Q) qua M(5;2; - 3) nên ta có – + = ( loại) hay m( – + 1) + 12 – – 11 =  m = Vậy Pt (Q): x  y  z  10  Bài Trongkhôn g gian với hệ tọa độ Ox zy cho hình l ập phươngA BCD A 1B1C 1D1 với A(0;0;0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Kh ó a học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian a Xác định tọa độ điểm lại hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M trung điểm BC Chứng minh hai mặt phẳng ( AB1D1) ( AMB1) vuông góc b Chứng minh tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) tới mặt phẳng ( AB1D1) ( AMB1) không phụ thuộc vào vị trí điểm N Lời giải: a Ta có A 0,0,0 ; B  2,0,0 ; C  2, 2,0 ;D(0;2;0) A1  0,0, 2 ; B1  2,0, 2 ; C1  2, 2, 2 ; D1  0, 2, 2   Mp  AB1D1  có cặp VTCP là: AB1   2,0, 2 ; AD1   0, 2, 2     mp  AB1D1  có PVT u   AB1 , AD1    1, 1,1   Ta có M  2,1,0 nên Mp  AMB1  có cặp VTCP là: AM   2,1,0 ; AB1   2,0, 2     mp  AMB1  có PVT v   AM , AB   1, 2, 1    Ta có: u.v  11 1 2  1 1   u  v   AB1D1    AMB1  (đpcm) x  t   b AC1   2, 2, 2  phương trình tham số AC1 :  y  t , N  AC1  N t , t , t  z  t  Phương trình  AB1D1  :   x  0   y  0   z  0   x  y  z   d  N , AB1 D1   t t t  t  d1 Phương trình  AMB1  :  x  0   y  0   z  0   x  y  z   d  N , AMB1   t  2t  t 1 1  2t  d2 t  t d1     d2 t 32t Vậy tỉ số khoảng cách từ N  AC1  N  A  t  0 tới mặt phẳng thuộc vào vị trí điểm N  AB1D1   AMB1  không phụ Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(3;-1;-5) vuông góc với mặt phẳng ( P1 ) : 3x  y  z  7; ( P2 ) : x  y  3z  1 Lời giải: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian    Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nên: nP   nP1 , nP2   (2;1; 2) Do (P): 2( x  3)  1.( y  1)  2( z  5)   ( P) : x  y  z Bài 14 Lời giải: x 1 y z    Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 d cho khoảng cách từ A đến   lớn Bài Cho điểm A  2;5;3 đường thẳng d : Lời giải: Gọi K hình chiếu A d  K cố định; Gọi   mặt phẳng chứa d H hình chiếu A   Trong tam giác vuông AHK ta có AH  AK Vậy AHmax  AK    mặt phẳng qua K vuông góc với AK Gọi    mặt phẳng qua A vuông góc với d     : 2x  y  2z 15   K  3;1;4   mặt phẳng qua K vuông góc với AK    : x  y  z   Bài Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC) Lời giải: Từ phương trình đoạn chắn suy phương trình tổng quát (ABC) là: x y z     2x  y  z   2   Gọi H hình chiếu vuông góc O lên (ABC), OH vuông góc với (ABC) nên OH / / n(2;1; 1) ; H   ABC  1 Ta suy H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có 2.2t  t  (t )    t   H ( ; ;  ) 3 3 2 O’ đối xứng với O qua (ABC)  H trung điểm OO’  O '( ; ;  ) 3 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) Lời giải:   Ta có: AB  (2; 2; 2), AC  (0; 2; 2) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian  x  y  z 1  Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là:  y  z 3     Vectơ pháp tuyến mp(ABC) n   AB, AC   (8; 4; 4)  ( ABC ) : x  y  z   Tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn:  x  y  z 1  x     y  z     y  Suy tâm đường tròn I (0; 2;1) 2 x  y  z    z    Bán kính R  IA  (1  0)2  (0  2)2  (1  1)2  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Bài 7.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M (0; 1; 2) N (1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ K (0;0; 2) đến (P) đạt giá trị lớn Lời giải:  Gọi n  ( A, B, C ); A2  B  C  vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) M  0; 1;    P   Ax  B  y  1  C  z     Ax  By  Cz  B  2C  N  1;1;3   P    A  B  3C  B  2C   A  B  C Phương trình mặt phẳng (P) có dạng;  P  :  B  C  x  By  Cz  B  2C  Khoảng cách từ K đến mp(P) là:   d K ,  P  B 2 B  2C  BC +Nếu B = d(K,(P))=0 (loại) +Nếu B  d  K ,  P   B B  2C  BC  C    1  B   Dấu “=” xảy B = -C Chọn C = Khi phương trình (P): x + y – z + = Bài Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH  ( ABC ) DH  với H trực tâm tam giác ABC Tính góc (DAB) (ABC) Lời giải: Trong tam giác ABC, gọi K  CH  AB Khi đó, dễ thấy AB  ( DCK ) Suy góc (DAB)  Ta tìm tọa độ điểm H (ABC) góc DKH Tính HK xong + Phương trình mặt phẳng (ABC) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương  Hình học giải tích không gian   Vecto pháp tuyến n  [ AB, AC ]   0; 4; 4  (ABC): y  z   + H  ( ABC ) nên giả sử H (a; b;  b)   Ta có: AH  (a; b; b), BC  (4; 2; 2)   CH  (a  2; b; b), AB  (2; 2; 2)    BC AH   a b  Khi đó:      a  b  2  a  2b    AB.CH  Vậy H(-2; -2; 4) + Phương trình mặt phẳng qua H vuông góc với AB là: x  y  z   x  t  Phương trình đường thẳng AB là:  y  t z   t  xt   y  t 2  Giải hệ:  ta x  ; y  , z  z  2t 3   x  y  z   96 2 2    8  Suy ra: K ( , , ) Suy ra: HK               3 3 3    3  2 Gọi  góc cần tìm thì: tan   DH 96 6      arctan HK 12 3 Bài Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), mặt phẳng (P) có phương trình (S): x  y  z  x  y  z  , (P): 2x +2y – z + = Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Lời giải : Ta có: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y +2z -3=  ( x  1)  ( y  2)  ( z  1)  32 Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = ( D  ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian  D  10  D  8 Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d  I ;(Q)   R  D     Vậy (Q) có phương trình: 2x + 2y - z + 10 = 2x + 2y - z - = x 1 y 1 z  điểm   1 1 A(2;1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  cho khoảng cách từ A đến (P) Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : Lời giải  Đường thẳng  qua điểm M(1 ; ; ) có vtcp u = (2 ; -1 ; 1)      Gọi n = (a ; b ; c ) vtpt (P) Vì   ( P)  n  u  n u    2a – b + c =  b = 2a + c  n =(a; 2a + c ; c ) , từ ta có: (P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – ) =  (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = d(A ; (P)) =  a a  (2a  c)  c 2   a  c   a  c  với a + c = , chọn a = , c = -1  (P) : x + y – z = Bài 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z    Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v(1;6; 2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x  y  z  11  tiếp xúc với (S) Lời giải: Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) bán kính R=4  Véc tơ pháp tuyến ( ) n(1; 4;1)  Vì ( P)  ( ) song song với giá v nên nhận véc tơ    n p  [n, v]  (2; 1; 2) làm vtpt Do (P):2x-y+2z+m=0  m  21 m  Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( P ))    Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 2x-y+2z-21=0 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian x  1 t  Bài 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : d1 :  y   t z   x  y 1 z 1 Viết phương trình mp(P) song song với d1 d , cho khoảng cách từ   2 d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P) d2 : Lời giải : Ta có :  d1 qua điểm A(1 ; ; 1) vtcp : u1  1; 1;0   d qua điểm B (2; 1; -1) vtcp là: u2  1; 2;   Gọi n vtpt mp(P), (P) song song với d1 d nên    n = [ u1 ; u2 ] = (-2 ; -2 ; -1)  (P): 2x + 2y + z + m = d( d1 ;(P)) = d(A ; (P)) = 7m ; d( d ;( P)) = d( B;(P)) = 5 m d( d1 ;(P)) = 2.d( d ;( P))   m   m  m  3 7  m  2(5  m)    m   17  m   2(5  m )   Với m = -3  mp(P) : 2x + 2y + z – = Với m = - 17 17  mp(P) : 2x + 2y + z =0 3 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -