Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Tiếp tuyến ñồ thị hàm số TIẾP TUYẾN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ (PHẦN 1) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây tài liệu tóm lược kiến thức ñi kèm với giảng Tiếp tuyến ñồ thị hàm số thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn ðể nắm vững kiến thức phần Tiếp tuyến ñồ thị hàm số Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Chú ý: Tiếp tuyến ñồ thị ñường thẳng tiếp xúc với ñồ thị Chỗ tiếp xúc ñược gọi tiếp ñiểm I Cách viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị (C): y = f ( x) biết tiếp tuyến ñó ñi qua M ( x0 ; y0 ) - ðường thẳng d ñi qua ñiểm M ( x0 ; y0 ) với hệ số góc k có phương trình: y = k ( x − x0 ) + y0 (*) ðể d tiếp tuyến (C) (tiếp xúc với (C)) hệ sau phải có nghiệm:  f ( x) = k ( x − x0 ) + y0   f '( x) = k Giải hệ ta tìm ñược k Thay k vào (*) ta ñược tiếp tuyến cần tìm Bài tập mẫu: Bài 1.(ðHKB – 2008) Cho hàm số: y = x − x + (C) Kháo sát, vẽ ñồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) ñi qua M(-1; -9) Giải: – ðường thẳng d ñi qua M(-1; -9) với hệ số góc k có phương trình: y = k ( x + 1) − - ðể d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm 4 x − x + = k ( x + 1) − (1)  (2) 12 x − 12 x = k Thế (2) vào (1) ta có: x − x + = (12 x − 12 x)( x + 1) − ⇔ x + x − 12 x − 10 =  x = −1  k = 24 thay vào (2)  ⇔ →  15 x = k =   Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = 24( x + 1) − y= 15 ( x + 1) − Bài 2: Cho hàm số: y = x4 − x + (C ) 2 Khảo sát vẽ ñồ thị (C)  3 Viết phương trình tiếp tuyến (C) ñi qua M  0;   2 Giải  3 Gọi ñường thẳng d ñi qua M  0;  với hệ số góc k có phương trình:  2 y = k ( x − 0) + 3 ⇔ y = kx + 2 - ðể d tiếp tuyến (C) hệ sau phải có nghiệm:  x4 3  − x + = kx + 2 2 2 x3 − x = k  Thế (2) vào (1) ta có: x4 − x = (2 x − x) x ⇔ x − x = ⇔ x ( x − 2) = x = k = thay vào (2) ⇔  → x = ±  k = ±2 3 Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: y = 2; y = 2 x + ; y = −2 x + 2 Bài 3: Cho hàm số: y = x+2 (C ) x−2 Khảo sát vẽ ñồ thị (C) Viết phương trình (C) ñi qua M(-6; 5) Giải: - ðường thẳng d ñi qua M(-6; 5) với hệ số góc k có phương trình: y = k ( x + 6) + - ðể d tiếp tuyến (C) hệ sau phải có nghiệm: x+2  x − = k ( x + 6) + (1)  −4  = k ; x ≠ (2)  ( x − 2) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Tiếp tuyến ñồ thị hàm số x+2 −4 = ( x + 6) + x − ( x − 2)  k = −1  x = thay vào (2)  ⇔ x − 24 x = ⇔  → k = − x =  Vậy có tiếp tuyến cần tìm Bài 4: Cho hàm số:  y = −x −1  y = − x +  x+2 (C ) x −1 y= Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) Cho ñiểm M(0; a) Tìm a ñể từ M kẻ ñược tiếp tuyến tới (C) cho tiếp ñiểm tương ứng nằm phía Ox Giải: ðường thẳng d ñi qua M(0; a) với hệ số góc k có phương trình: y = k ( x − 0) + a ⇔ y = kx + a (*) - ðể d tiếp tuyến (C) hệ sau phải có nghiệm: x+2  x − = kx + a (1)  −3  = k (2), x ≠  ( x − 1) Thay (2) vào (1) ta có: x+2 −3 = x+ a x − ( x − 1) ⇔ ( a − 1) x − 2(a + 2) x + a + = (3) Ta thấy với nghiệm x ≠ thu ñược từ phương trình (3) thay vào ta ñược k sau ñó thay k vào (*) ta ñược tiếp tuyến Do ñó ñể từ M kẻ ñược tiếp tuyến tới (C) phương trình (3) phải có nghiệm phân biệt x ≠ a − ≠  ⇔ ∆ ' = 3a + > (a − 1).12 − 2(a + 2).1 + a + ≠  a ≠  −2 < a <  ⇔  a > −2 ⇔  (+) a >  −3 ≠  Gọi tiếp ñiểm ( x1 ; y1 ); ( x2 ; y2 ) ðể tiếp ñiểm nằm phía Ox ta phải có y1.y2 < (y1; y2 trái dấu) ⇔ y ( x1 ) y ( x2 ) < ⇔ x1 + x2 + x x + 2( x1 + x2 ) +