Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Số Phức GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài 1: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 nghiệm phức phương trình: z + z + = 4 Tính A = z1 + z2 + z3 + z4 Giải: Pt ⇔ ( z + 2)2 − z = ⇔ ( z + z + )( z − z + ) = z2 + z + = ⇔ z − z + =  i z = − ± 2  ⇔  i z = ±  2 4 4 7 7 ⇒ A= − + i +− − i + + i + − i 2 2 2 2 = 16 Bài 2: Gọi z1; z2 nghiệm phức phương trình: z2 + 2z + = Tính giá trị biểu thức P = z12 + z22 Giải: Giải tương tự ta có ñáp số: P = 10 Bài 3: Giải phương trình sau tập số phức: 1) z − (1 + i ) z + + 3i = Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Số Phức Ta có: ∆ = (1 − 5i )2 có bậc là: ±1 − 5i  z = − 2i Vậy pt có nghiệm:   z = 3i  z +i  2)   =1 i−z ðK: z ≠ i ðặt w = z +i ⇒ pt : w3 = i−z ⇒ ( w − 1) ( w2 + w + 1) = w = ⇔ w + w + =  w =  −1 + i ⇒ w =    w = −1 − i  + Với w = ta có z = + Với w = −1 + i ta có: z = - + Với w = −1 − i ta có z = Vậy pt có nghiệm: z =  z = − z =  3) ( z − ) ( z + 3)( z + ) = 10 ⇔ z ( z − 1)( z + 3)( z + ) = 10 ⇔ ( z − 1)( z + 3) ( z + z ) = 10 ⇔ ( z + z )( z + z − 3) = 10 ðặt t = z + z Khi ñó pt trở thành: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Số Phức t − 3t − 10 = t = −2  z = −1 ± i ⇔ ⇒ t =  z = −1 ± Bài 4: Giải pt nghiệm phức: z+ 25 = − 6i z Giải: Gọi z = a + bi với a, b ∈ R a, b không ñồng thời Khi ñó: z = a − bi 25(a − bi ) = − 6i a + b2 ⇔ a (a2 +b2 +25)-b(a2 +b2 +25)i = 8(a2 +b2 ) − 6(a2 +b2 )i Pt ⇔ a − bi + 2 2 a (a +b +25) = 8(a +b ) ⇔ 2 2  b(a +b +25) = 6(a +b ) Giải hệ pt ta có: a = a =  Với a = b = (loại) Với a = b = nên ta có số phức z = + 3i Bài 5: Giải pt sau tập phức biết có nghiệm thực: z − z + (3 + 2i ) z + + i = Giải: Pt ⇔ z − z + z + + (2 z + 1)i =  z − z + 3z + = Vì pt có nghiệm thực ( z ∈ R ) ⇒  ⇔z=− 2 z + = Do ñó pt ⇔ (2 z + 1)( z − z + + i ) = Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Số Phức  z = −1/ 2 z + = ⇔ ⇔  z = − i  z − 3z + + i =  z = + i Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Số Phức BÀI TẬP BỔ SUNG Bài Tìm bậc hai số phức sau: a + i b -1-2 i Giải: a Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = + i  2 y (1)   x  y    2 x  Khi đó: z = w  (x+yi) = + i   x  45  (2) 2 xy   x2 (2)  x4 – 4x2 – 45 =  x2 =  x = ± x=3y= x = -3  y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i b Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 i   2 y (1)   x  y     2 x  Khi đó: z = w  (x+yi) = -1-2 i    x   1 (2) 2 xy  2  x2 (2)  x4 + x2 – =  x2 =  x = ± x= 2 y=- x=- y= Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i Bài Giải phương trình bậc hai sau: a z2 + 2z + = b z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = Giải: a Xét phương trình: z2 + 2z + = Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Số Phức Ta có:  = -4 = 4i2  phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i b Ta có:  = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i Bây ta phải tìm bậc hai 2i Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = 2i  y 2  x  y   x    2 xy   x2    x2  x   y 1    x  1    y  1 Vậy số phức 2i có hai bậc hai là: 1+i -1 –i  Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 3i    i  2i z2 = 3i    i  1  i Bài Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1) Chứng minh (1) nhận nghiệm ảo giải phương trình (1) Giải: Đặt z = yi với y  R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i =  -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng hoá hai vế ta được: 2 y  y  giải hệ ta nghiệm y =   y  y  y  10  Vậy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i  vế trái (1) phân tích dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b  R) đồng hoá hai vế ta giải a = b = Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Số Phức  z  2i  z  2i    z  1  2i  (1)  (z – 2i)(z = 2z + 5) =   z  2z    z  1  2i  Vậy phương trình (1) có nghiệm Bài Giải phương trình: z3 = 18 + 26i, z = x + yi ; x,y  Z Giải: Ta có: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i  x  xy  18 Theo định nghĩa hai số phức nhau, ta được:  3 x y  y  26 Từ hệ trên, rõ ràng x  y  Đặt y = tx , hệ  18(3x2y – y3) = 26(x3 – 3xy2 )  18(3t-t3 ) = 26(1-3t2)  18t3 – 78t2 – 54t+26 =  ( 3t- 1)(3t2 – 12t – 13) = Vì x, y  Z  t  Q  t = 1/3  x = y =  z = + i Bài 5.Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = (1) Giải: Do tổng tất hệ số phương trình (1) nên (1) có nghiệm z = (1)  (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) =  (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = z  z  z    z    z  2i  z     z  2i Vậy phương trình cho có nghiệm Bài Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Số Phức  1  23i z   z  z     t  6 1  23i t2 + 4t – 12 =     z  t  z  z    z    z  2 Vậy phương trình cho có nghiệm Bài Giải phương trình: z4 -2z3 – z2 – 2z + = (1) Giải: Do z = không nghiệm (1)  chia hai vế phương trình cho z2 ta được: z2 - 2z – - Đặt y = z + 1 + = z z  phương trình có dạng: z Với y = -1  = z + Với y =  = z +  y  1 y2 – 2y – =   y  1  i = -1  z = z 3 =3z= z Vậy phương trình cho có nghiệm Bài Giải phương trình: z4 – z3 + z2 +z+1=0 (1) Giải: Do z = nghiệm phương trình (1) nên: (1)  zz – z + 1 + + =0 z z 1  (z- )2 – (z- ) + = z z  3i  y  Đặt y = z -  pt có dạng: y2 – y + =  2y2 – 2y + =   z  y   3i  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Với y = Số Phức  3i 1  3i z- =  2z2 – (1+3i)z – = (2) z Ta có :  = (1+3i)2 + 16 = +6i = (3+i)2 1 z2 =  + i 2  phương trình (2) có nghiệm: z1 = 1+i Với y =  3i 1  3i z- =  2z2 – (1-3i)z – = (3) z Ta có :  = (1-3i)2 + 16 = -6i = (3-i)2  phương trình (3) có nghiệm: z3 = 1-i 1 z4 =  - i 2 Vậy phương trình cho có nghiệm *Một số tập khóa PEN C – Thầy Phan Huy Khải: Bài Tìm bậc số phức sau: a 1  6i b 5  12i c 8  6i Giải: a Giả sử số phức có bậc : w  a  bi; a, b  R Ta có: w  1  6i  a  a   a  a    a  b  1  a        2abi  2 6i  b   b  b   a   a Vậy w     3i  Các trường hợp khác tương tự: b    3i  c  1  3i  Bài Giải phương trình  z  i   z  1 z  i   (1) Giải:  z i   zi  (1)   z     z  i  z  i   z  i (*) Giải phương trình (*): Giả sử số phức cần tìm : z  a  bi; a, b  R Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Số Phức  (a  bi )3  i   a0  a  3ab       a  3b 3a b  b  1  3a b  b  1 * a  0, b   z i * a  3b  8b3  1  b  1 a 2 Vậy phương trình cho có nghiệm z  i; z  i; z  i 3i ;z   2 Bài Giải phương trình: z  z  z  63  (1) Giải: (1)  ( z  3)( z  z  21)  z 3    z  z  21  0(*) Giải phương trình (*)  '   21  12  12i  z  3  3i   z  3  3i z 3  Vậy:   z  3  3i Bài Giải phương trình: z   2i  1 z   i  Giải:   (2i  1)  4(1  i )  (2i  1)   i  z   z  (2i  1)    i   z1  z2  3(1  i ) Bài Giải hệ phương trình  3  z1  z2  9(1  i ) Giải: Ta có: z13  z23  ( z1  z2 )3  z1 z2 ( z1  z2 )  9(1  i )  27(1  i )3  z1 z2 (1  i )  1  i  3(2  2i )  z1 z2 (1  i )  z1 z2  5  5i  5i 1 i Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Số Phức Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương  z  z  3(1  i )   z1 z2  5i z1 , z2 nghiệm phương trình: z  3(1  i )  5i    9(1  i )  20i  2i    1 i 3(1  i )  (1  i )    2i z    z  3(1  i )  (1  i )   i  Vậy nghiệm hệ là:   i;1  2i   (1  2i;  i ) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - [...]... )   1  2i z  2   z  3(1  i )  (1  i )  2  i  2 Vậy nghiệm của hệ là:  2  i;1  2i   (1  2i; 2  i ) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai. vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai. vn - Trang | -