Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (PHẦN 05) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Tiếp tuyến đồ thị hàm số (Phần 05) thuộc khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu tài liệu (Tài liệu dùng chung P3+P4+P5) Các tô màu đỏ tập mức độ nâng cao 2x  (C) x2 Gọi M điểm (C), tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận A B, I giao điểm đường tiệm cận * CMR: Diện tích tam giác AIB không đổi (không phụ thuộc vào vị trí M) * Tìm tọa độ điểm M cho chu vi tam giác AIB nhỏ * Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB có diện tích nhỏ Giải Bài Cho hàm số: y   2x   - M  (C )  M  xo , o  ; xo  2; y '( xo )   xo    xo    -Phương trình tiếp tuyến (C) M là:  : y  2x  1 ( x  xo )  o ( xo  2) xo   2x   - A   TCĐ  A  2; o  ; B    TCN  B  xo  2;   xo   - I = TCĐ  TCN => I(2; 2) * SAIB  1  IA.IB  2  2x     2   o    xo    xo     (2  2) 2  xo    xo   (đpcm) xo   xo   * Ta có chu vi tam giác AIB là: P = IA + IA + AB Mà: IA  IB  IA.IB  2 xo   xo  AB  IA2  IB  2.IA.IB  2 xo   xo   AB   P  IA  IB  AB   => P nhỏ  IA  IB  2  xo    xo    xo  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số  xo    xo   M (3;3)     xo   1  xo   M (1;1) * Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông AIB có bán kính IM Do diện tích đường tròn ngoại tiếp tam    2 giác AIB là: S   IM    xo    2  xo     => Diện tích nhỏ (tức dấu “=” xảy ra)   xo     xo    M (3;3)   xo        xo   1  M (1;1)  xo   2x 1 (C) x 1 Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M đường thằng qua hai điểm M, I (I giao điểm tiệm cận đứng tiệm cận ngang) có tích hệ số góc -9 Giải y  yB * Chú ý: Đường thẳng qua hai điểm A(xA, yA) B(xB, yB) có hệ số góc: k  A x A  xB Bài Cho hàm số: y  I(-1, 2)  2x 1  - M  (C )  M  xo ; o  ; xo  1 xo    - Đường thẳng  qua M I có hệ số góc k  3  xo  1 - Phương trình tiếp tuyến (C) M có hệ số góc k  y '( xo )  - k k  9  3  xo  1  xo  1 2  xo  1  9  xo   M (0; 1)   xo  1      M (2,5)  xo  2 Bài Cho hàm số: y  x3  3x  (C) Tìm (C) điểm A, B phân biệt cho tiếp tuyến (C) A B có hệ số góc Đồng thời đường thẳng qua A B vuông góc với đường thẳng d: x + y – = Giải b Giả sử tiếp tuyến (C) A B có hệ số góc k Để tồn tiếp tuyến A B phân biệt phương trình y‟ = 3x2 – = k phải có nghiệm phân biệt => k > -3 x    y  x  3x   y  (3x  3)  x  Ta có tạo độ A, B nghiệm hệ:    3x   k 3x   k    kx k  k   y   2x      x  y    2 x    3  3  3x   k 3x   k   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số k  => Phương trình đường thẳng AB y     x  3  k k  Để AB vuông góc với d ta phải có:    (1)  1     k  3   y  x3  3x   y  x3  3x   Vậy tọa độ A, B thỏa mãn:  => A(2; 4); B(-2; 0) 3x    x  2 x3 x Bài Cho hàm số: y     x  (C) 3 Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc lớn Giải  x3 x2 4 - M  (C )  M  xo ;  o  o  xo   3  - Hệ số góc tiếp tuyến (C) M là: 1 9  y '( xo )   x  xo     xo     2 4  o => y‟(xo) lớn  1  xo    M   ;   4 x  3x  (C) 2 Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm phân biệt Giải Bài Cho hàm số y   a4 5 Lấy M thuộc (C)  M  a;  3a   2  - Phương trình tiếp tuyến (C) M d: y  y '(a ).( x  a )  a4  3a  2 a4  3a  2 - Để d cắt (C) điểm phân biệt phương trình:  y   2a  6a  ( x  a )  a4 x  3x   (2a  6a)( x  a)   3a  2 2  x  x  2(2a3  6a)( x  a)  a  6a  x4  x2   4a3  12a  x  3a  6a  phải có nghiệm phân biệt  ( x  a)2 ( x  2ax  3a  6)  phải có nghiệm phân biệt  ( x  2ax  3a  6)  phải có nghiệm phân biệt x  a    a  1    '   2a      a      1  a  a  2a.a  3a     6a    a  1  1  a  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số  a4 5 Vậy M  a;  3a   với a   3; 1  (1;1)  1; tiếp tuyến (C) M cắt (C) 2  điểm phân biệt     Bài Cho hàm số: y  x  x  (C) CMR tiếp tuyến (C) tiếp xúc với (C) điểm Giải Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị (C) điểm Mo(xo; yo) M1(x1; y1) Khi phương trình tiếp tuyến là: y   3xo2  xo  x  xo3  3xo2  Và y   3x12  x1  x  x13  3x12  Hai phương trình phương trình tiếp tuyến nên ta có: 3xo2  xo  3x12  x1  xo  x1 , ta có điều phải chứng minh  3 2 xo  3xo   2 x1  3x1  Đáp án tập tham khảo khoá LTĐH KIT-1: Thầy Phan Huy Khải Bài Cho hàm số y = x4  2mx2 + m (1) , m tham số Biết A điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có 3  hoành độ Tìm m để khoảng cách từ điểm B   ;1 đến tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A 4  lớn Giải: +) A  (Cm) nên A(1 ; 1- m) +) y '  x3  4mx  y '(1)   4m Phương trình tiếp tuyến (Cm) A có phương trình y – (  m ) = y‟(1).(x – 1) Hay (4 – 4m).x – y – 3(1 – m) = Khi d ( B;  )  1 16(1  m)   , Dấu „=‟ xảy m = Do d ( B; ) lớn m = x (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ x 1 tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn Giải: Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn x ( x  x0 )  Phương trình tiếp tuyến d cña (C) M có dạng : y   ( x0  1) x0  Bài Cho hàm số y  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số x02  x y 0 ( x0  1)2 ( x0  1)2 x0  Ta có d(I ;d) = 1 Xét hàm số f(t) = ( x0  1) 2t 1 t4 (t  0) ta có f‟(t) = f‟(t) = t = Bảng biến thiên x f‟(x) f(x) (1  t )  t  + 2(1  t )(1  t )(1  t ) - Từ bảng biến thiên ta có d(I ;d) lớn t = hay  x0  x0      x0  + Với x0 = ta có tiếp tuyến d có phương trình y = -x + Với x0 = ta có tiếp tuyến d có phương trình y = -x + Bài Cho hàm số y  x  3x  (C ) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt M(2; 0), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vuông góc với Giải: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2; 0) có hệ số góc k là: y  k ( x  2) + Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d) là: k ( x  2)  x  3x  x   xA  ( x  2)(x  x   k )     g ( x)  x  x   k  + (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P  pt g ( x)  có hai nghiệm phân biệt khác       k  (*)  g (2)  xM  x N  + Theo định lí viet ta có:   x M x N   k  + Các tiếp tuyến M, N vuông góc với  y ' ( x M ) y ' ( x N )  1  (3 x M2  x M )(3x N2  x N )  1  9k  18 k    k  Bài Cho hàm số: y  3 2 (thỏa(*)) x  (2m  1) x  (m  2) x  có đồ thị (C m ) , m tham số 3 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số Gọi A giao điểm (C m ) với trục tung Tìm m cho tiếp tuyến (C m ) A tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Giải: Ta có A(0; 1 ), suy tiếp tuyến đồ thị A d: y  (m  2) x  3 Đường thẳng d cắt Ox B(-1/3m+6;0) Khi diện tích tam giác tạo d hai trục tọa độ là: 13  11 1 , theo giả thiết suy m   , m  S  OA.OB  16 16 18 m  Bài Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B tam giác OAB cân O Giải: Gọi M ( x0 ; y )  (C )  y  x03  x02  - Tiếp tuyến M d: y  (3 x02  x0 )( x  x0 )  ( x03  x02  1) - d cắt trục Ox A :  (3x02  x0 )(x A  x0 )  ( x03  x02  1)  x A  x03  x02  3x02  x0  2x  x    A ;   3x0  x0  - d cắt trục Oy B: y B  (3 x02  x0 )(  x0 )  ( x03  x02  1)  y B  2 x03  x02   B (0 ;  x03  x 02  1) - Tam giác OAB cân O nên OA = OB  x03  x02    x03  x02  3x02  x0    x03  x02   ( x  x  )   x  x   0  0  3x x  x   0     2x  x  (2 x03  x02  1)  02  x03  x02   3x   3x0  x0    1  (1)  x0    1  (2)  x0  2 x03  x02   x   (1)   3x0  x0   VN  x0   x0  2 x03  x02    (2)       x0  , x0   x0   3x0  x0   3   Tứ (1) (2) ta có : x0  x0   * Với x0   A  B  O(0;0) (loại) 32 * Với x0    d : y  x  27 Bài Cho hàm số y  x  x  m (1) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hoành độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB Giải: Với x0   y  m  M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: y  (3 x02  x0 )( x  x0 )  m   d: y = -3x + m + - d cắt trục Ox A:  3 x A  m   x A  m2  m2  A ; 0   - d cắt trục Oy B : y B  m   B(0 ; m  2) - S OAB  3 m2  | OA || OB | | OA || OB |  m    (m  2)  2 m   m    m   3 m  5 Vậy : m = m = - x  1 C  x 1 x 1 Lập phương trình tiếp tuyến d (C) cho d hai tiệm cận cắt tạo thành tam giác cân Giải: Bài Dự bị B – 2007: Cho hàm số y  Gọi d tiếp tuyến (C) điểm M  x0 ; y0  , d : y  x0  1  x  x0   y0    y0    x0    - Nếu d cắt tiệm cận đứng : x = -1 điểm B : yB   x0  1  1  x0   y0    x x 1 x 1     B  1;   x0  1 x0   x0  1  x0  1   - Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 điểm A , : 1  x  x0   y0  xA  x0   A  x0  1;1  A  x0  1 - Goi giao hai tiệm cận I(-1;1) Tam giác IAB tam giác cân : IA = IB  x0 x  x 1   IA2  IB  (2 x0  2)    1    x0  x0     x0 1   x0  1 1   2 x0  1  x02  x0   (VN )  x0   y0      x0  2  y0   x0  x0   Với x0  , y0  , ta có tiếp tuyến : y = x Với x0  2 , y0  , ta có tiếp tuyến : y = x +4 Bài Cho hàm số y  x3  3x  mx   m có đồ thị đường cong (C) Tìm m để (C) cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến (C) A, B, C Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) với trục hoành là: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số x3  x  mx   m  (1)  ( x  1)( x 2 x  m  2)  x   (2)  x  2x  m   (C) cắt trục Ox điểm phân biệt  phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (2) có   3  m  hai nghiệm phân biệt khác     m  (*)  f (1)  m  x  x  Gọi hai nghiệm (2) là: x1; x2   (**); f '( x)  3x  x  m x x  m   Yêu cầu toán  f '(1)  f '( x1 )  f '( x2 )   3m  6  m  (thỏa mãn (*)) Vậy m = giá trị cần tìm Bài Cho hàm số y  x  x  (C ) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d : y  m( x  2)  cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A(2; -2), D E cho tich hệ số góc tiếp tuyến D E với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ Giải Hoành độ giao điểm (C) với d nghiệm phương trình: x  x3  3x   m( x  2)   ( x  2)( x  x   m)     x  x   m  (1) (C) cắt d điểm phân biệt A(2; -2), D E (1) có nghiệm phân biệt khác     4m      m  (*)  f (2)  m  x  x  Với điều kiện (*) gọi x1 ; x2 nghiệm (1) theo Viet ta có:   x1 x2  2  m Tích hệ số góc tiếp tuyến D E với hoành độ x1 ; x2 k  k1.k2  y '( x1 ) y '( x2 )  (3 x12  x1 )(3 x22  x2 )  9(m  2m)  9(m  1)   9 với   m  Khi k  9  m  1 (thỏa mãn (*)) Vậy giá trị cần tìm m = -1 2x  (C ) , tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y  x  m cắt đồ Bài 10 Cho hàm số y  x2 thị (C) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến (C) hai điểm song song với Giải: 2x   x  m (1) Xét phương trình hoành độ giao điểm d đồ thị (C): x2 x  đặt g ( x)  x  (m  6) x  2m   có:  2 x  (m  6) x  2m   (2) g (2)   2m  12  2m   7  0, m Và   (m  6)  8(2m  3)  m  4m  60  0, m Nên phương trình (2) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x  m  phương trình (1) có nghiệm phân biệt Suy đường thẳng d đồ thị (C) cắt điểm phân biệt A, B với giá trị m Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số Gọi x1 ; x2 hoành độ điểm A B  x1 ; x2 nghiệm phương trình (2), theo định lý Viet, 6m (*) Hệ số góc tiếp tuyến A B là: 7 k1  y '( x1 )   ; k2  y '( x2 )   ( x1  2) ( x2  2) ta có: x1  x2  Do tiếp tuyến A B song song nên k1  k2 hay  7  ( x1  2) ( x2  2)  x   x2   x  x2 (loai A  B)  ( x1  2)2  ( x2  2)2     x1    x2  x1  x2  6m Với x1  x2  từ (*) có   m  2 Vậy m = -2 giá trị cần tìm x 1 Bài 11 Cho hàm số y  (1) Tìm điểm trục tung để từ điểm kẻ hai tiếp tuyến đến x 1 (C) cho hai tiếp điểm tương ứng có hoành độ dương Giải: Điểm M(0; m) thuộc trục tung x 1  ( x  x0 ) Tiếp tuyến đồ thị (1) điểm ( x0 ; y0 ) ( x0  1) có phương trình: y  x0  ( x0  1) Tiếp tuyến qua M nên có: x 1 m  (0  x0 ) x0  ( x0  1)  (m  1) x02  2(m 1) x0  m   (2) (do x0  ) Yêu cầu toán  phương trình (2) có nghiệm phân biệt dương Điều kiện là: m     '  m      b  2m    m   ; 1  1;        a  m 1 c  m 1 0  0  m  a Vậy m > giá trị cần tìm Bài 12 Cho hàm số y  x3  x  3x  , tìm trục tung điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến phần đồ thị (C) ứng với x1;3 Giải: M(0; m) thuộc trục tung Oy Đường thẳng d có hệ số góc k qua M có phương trình: d : y  kx  m d tiếp tuyến đồ thị (C) hệ phương trình sau có nghiệm  x  x  3x   kx  m (1)  (2) 3x  x   k Thế (2) vào (1) ta có: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số x3  x  3x   3x3  x  3x  m  2 x  x   m (3) Để từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) mà hoành độ tiếp điểm thuộc 1;3 phương trình (3) phải có nghiệm x1;3 Xét hàm số: g ( x)  2 x  x  liên tục R có: g '( x)  6x2  2x  x 1;3  Hàm số g ( x) nghịch biến 1;3 Phương trình (3) có nghiệm x1;3  g( x)  m  m ax g ( x)  g (3)  m  g (1)  62  m  2 1;3 1;3 Vậy M(0; m) với m62; 2  điểm cần tìm Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 10 -