Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph T S ng) Hàm s NG GIAO C A HÀM PHÂN TH C ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng S t ng giao c a hàm phân th c thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Các đ c tô màu đ t p m c đ nâng cao 2 x  Bài Cho hàm s : y  G i d đ ng th ng qua A (1; 1) có h s góc k Tìm k cho d x 1 c t (C) t i m M, N mà MN  10 Gi i – ng th ng d có ph ng trình: y = k(x – 1) + d c t (C) t i m phân bi t M, N ph ng trình: 2 x   k( x  1)   kx2  (2k  3) x  k   (*) ph i có nghi m phân bi t x  x 1 k  k         24k   k   (1)  k  k.12  (2k  3).1  k     - G i M(x1, y1), N(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) Khi đó: MN  10  MN  90  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  90   x1  x2    k( x1  1)   (k( x2  1)  1  90 2   x1  x2   k  x1  x2   90 2 2  (1  k )  x1  x2   90  (1  k )  x1  x2   x1 x2   90   2k  k3 ; x1 x2  (x1, x2 nghi m c a (*) nên theo Viet ta có: x1  x2  ) k k  2k    k    (1  k )    4    90  k    k   8k  27k  8k    (k  3)(8k  3k  1)   k  3  (Th a mãn (1))  k  3  41  16  k  3 áp s :   k  3  41  16 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph Bài Cho hàm s : y  x 1 (C) Tìm m đ đ x 1 ng) Hàm s ng th ng (d): y = 2x + m c t (C) t i m phân bi t A, B cho AB ng n nh t Gi i – (d) c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: x 1  x  m  x2  (m  3) x  m   (*) ph i có nghi m phân bi t khác x 1  m   m  2m  17     m        2.1 ( 3).1 m m    - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) Ta có: AB   x1  x2   ( y1  y2 )   x1  x2    x1  m  (2 x2  m) 2  5( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2    m   m        4       5 (m  2m  17)   m  1  16   20  4 => AB ng n nh t (d u = x y ra) m = -1 áp s : m = -1 x3 (1) Tìm k đ đ ng th ng (d) qua m I(-1; 1) v i h s góc k c t đ th Bài Cho hàm s : y  x 1 hàm s (1) t i m A, B cho I trung m AB Gi i – (d) có ph ng trình: y = k(x + 1) + (d) c t đ th (1) t i m phân bi t A, B ph ng trình: x3  k( x  1)  ph i có ngi m phân bi t khác -1 x 1  kx2 + 2kx + k + = có nghi m phân bi t khác -1  k      '  4 k   k   k  (1)  k (1)  2k ( 1)  k      - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*))  x1  x2   1 I trung m AB ta ph i có:   y1  y2     x1  x2  2  x  x  2  x1  x2  2    k  x1  x2   2k  2k  2k  k( x1  1)   k( x2  1)     x1  x2  2  -2 = -2 (Luôn đúng) V y v i k < d c t đ th hàm s (1) t i m A, B I trung m Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s 2x 1 (C) G i I giao m đ ng ti m c n c a (C) CMR: V i m i m, đ ng x3 th ng  : y   x  m c t (C) t i m phân bi t A, B tam giác AIB cân t i I Tìm m đ AB2 = Bài Cho hàm s : y  3.IA2 Gi i – I(-3; 2) 2x 1   x  m; x  3 x3  x2 + (5 - m)x - - 3m = (*) - Xét ph ng trình:   m2  2m  29  m   m Ta có:           m m ( 3) 3(5 )    Ch ng t v i m i m (*) có nghi m phân bi t khác -3 T c v i m i m  : y   x  m c t (C) t i m phân bi t A, B M t khác: G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) x  x m m ; yE   xE  m  Và g i E trung m c a AB => E(xE, yE) v i xE   2    m  m   ; Ta có: IE.U d    (1;1)     IE  AB  AIB cân t i I +) AB2  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( x1  x2 )2   x1  m  ( x2  m)  2( x1  x2 )2  ( x1  x2 )2  x1 x2   m2  2m  29 1 IA2  IE  EA2  (m  1)2  (m2  2m  29) ( Do EA  AB) 2  AB2  3.IA2  m2  2m  13   m  1  14 2 x  Bài Cho hàm s : y  (C) Tìm m đ đ ng th ng d: y = mx + c t (C) t i m phân bi t A, x 1 B cho G (1; ) tr ng tâm tam giác AOB (O g c t a đ ) Gi i d c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: 2 x   mx  ph i có hai ngi m phân bi t x  x 1  mx2 – (m – 4)x – = (*) ph i có nghi m phân bi t x  m  m       m2  12m  16   m  6  5, m  6   1  m.1  (m  4).1     m  6   6   m   m  (1) - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) Khi G (1; ) tr ng tâm tam giác AOB Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s  x1  x2   x1  x2  3  1  x1  x2  3       mx1   mx2    m  x1  x2   y y         3 3   3 m  3  4m    m   m  (Th a mãn (1)) 3m    3m   áp s : m = x Bài Cho hàm s : y  (C) Tìm k đ đ ng th n d qua M(-1; -1) v i h s góc k c t (C) t i 2x 1 m phân bi t A, B cho A B n m v phía khác c a tr c hoành Gi i - Ph ng trình c a d là: y = k(x + 1) – d c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: x  k( x  1)  ph i có nghi m phân bi t x   2x 1  2kx2 + (3k - 3)x + k – = (*) ph i có nghi m phân bi t x      2k   k0  k       (m  3)   k  3   (1) k  3   2k     (3k  3)     k             - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) A, B n m v phía c a Ox ta ph i có: y1.y2 <  (kx1 + k – 1)(kx2 + k – 1) <  k2.x1x2 + k2(x1 + x2) – k(x1 + x2) + k2 – 2k + <  k     3k    3k   k2  k    k   k  2k    2k   2k   2k   -k – <  k > -1 áp s : 1  k   k  2x 1 (C) Bài Cho hàm s : y  x 1 G i I giao m hai đ ng ti m c n c a (C) Tìm m đ đ phân bi t A, B cho SAIB  ng th ng d: y = -x + m c t (C) t i m Gi i +) I(1; 2) +) d c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: 2x 1   x  m ph i có nghi m phân bi t x  x 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s  x2  (1  m) x  m   (*) ph i có nghi m phân bi t x    m2  6m   m  1; m      m   m  (1)       m m (1 ).1    - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) Ta có: AB  ( x1  x2 )  ( y1  y2 )  ( x1  x2 )    x1  m  ( x2  m)  2  2( x1  x2 )2   x1  x2   x1 x2   m2  6m  5   3 m d(I,AB) = d(I,d) =  SAIB   5  AB.d ( I , AB)  2 3 m m2  6m  5  2  m2  6m  5 (3  m)2  10  (m  3)2  4 (m  3)2  t: (m – 3)2 = t; t   t  4t    t   (m  3)   m     m   (Th a mãn (1)) áp s : m   2x 1 (C) x 1 G i I giao m đ ng ti m c n c a (C) Tìm m đ đ ng th ng d: y = -x + m c t (C) t i m phân bi t A, B cho tam giác AIB đ u Gi i - I(1, 2) d c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: 2x 1   x  m ph i có ngi m phân bi t x  x 1  x2 + (1 – m)x + m – = (*) ph i có nghi m phân bi t x  Bài Cho hàm s : y   m  1; m     m  6m      m   m  (1) 1  (1  m).1  m   1   - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) g i H trung m AB  IA  IB  IA2  IB2   => Tam giác AIB đ u    2 IH AB    IH  AB   ( x1  x2 )  x1  x2  (m  1)    x1  x2  m      m  32  2  ( x1  x2 )  m  3  ( x1  x2 )  x1 x2    m   m    m   (Th a mãn (1))  m  6m   áp s : m   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s  IH  AB  * Có th gi i: Tam giác AIB đ u    IH  AB  BÀI T P THAM KH O THÊM 3x  Ch ng minh r ng v i m i m đ ng th ng d m : y   x  m c t đ th 2x 1 (C) t i hai m phân bi t A B thu c hai nhánh khác Tìm m đ đo n th ng AB có đ dài nh nh t Gi i: 3x  Xét ph ng tình hoành đ giao m c a d m (C ) :  x  m 2x 1 1   f ( x)  x2  2(m  2) x  m   (1)  x    2  y Bài Cho hàm s  1 Ta có:  '  m2  2m   0, m f       0, m nên ph ng trình (1) có hai nghi m phân  2 bi t khác  v i m i m V y h đ ng th ng dm c t đ th (C) t i m phân bi t A B Gi s A x1; y1  , B x2 ; y2  ta có x1 , x2 nghi m c a ph ng trình (1), theo đ nh lí Viet, ta có:  m   (2 x1  1)(2 x2  1)  x1 x2  2( x1  x2 )      2(m  2)   5     x2 nên hai m A B thu c hai nhánh c a đ th và: y1   x1  m; y2   x2  m  x1   AB2  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( x2  x1 )  ( x2  x1 )   m   2( x2  x1 )2  ( x1  x2 )2  x1 x2   (m  2)2     2(m  1)  10  10    Suy AB  10 V y AB  10 m  2x 1 , tìm m đ đ ng th ng d: y   x  m c t đ th (C) t i hai m phân bi t A x B cho OA vuông góc v i OB (v i O g c t a đ ) Gi i: Xét ph ng trình hoành đ giao m c a d (C): Bài Cho hàm s y  x  2 2x 1  x  m   x  x  (4  m) x   2m  (1) t g ( x)  x2  (4  m) x   2m   m2  12  m Ta có:  nên ph ng trình (1) có nghi m phân bi t th a mãn x  2 Suy d  g (2)  0, m (C) c t t i m phân bi t A B G i A( xA;  xA  m), B( xB; xB  m) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s   Do OA  OB nên OAOB   2xA.xB  m( xA  xB )  m2  (*) xA; xB nghi m c a ph ng trình (1) nên có: xA  xB  m  4; xAxB   2m Thay vào (*) ta đ c: 2(1-2m)-m(m-4)+m2 =0 ph ng trình vô nghi m V y không t n t i m th a mãn đ u 2x 1 (C) Bài Cho hàm s : y  x 1 G i I giao m hai đ ng ti m c n c a (C) Tìm m đ đ ng th ng d: y = -x + m c t (C) t i m phân bi t A, B cho SAIB  Gi i: +) I(1; 2) +) d c t (C) t i m phân bi t A, B ph ng trình: 2x 1   x  m ph i có nghi m phân bi t x  x 1  x2  (1  m) x  m   (*) ph i có nghi m phân bi t x    m2  6m   m  1; m      m   m  (1) 1  (1  m).1  m   1   - G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 nghi m c a (*)) Ta có: AB  ( x1  x2 )  ( y1  y2 )  ( x1  x2 )    x1  m  ( x2  m)   2( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2    m2  6m  5 d(I,AB) = d(I,d) =  SAIB   3 m 5  AB.d ( I , AB)  2 3 m  m2  6m  5 2  m2  6m  5 (3  m)2  10  (m  3)2  4 (m  3)2  t: (m – 3)2 = t; t   t  4t    t   (m  3)   m     m   (Th a mãn (1)) áp s : m   Bài Cho hàm s y x3  1 x3 x3  C  Tìm (C) hai m A,B thu c hai nhánh khác cho AB ng n nh t Gi i: G i A thu c nhánh trái xA   v i s   , đ t xA      yA   -T 6  1  1 xA     1 ng t B thu c nhánh ph i xB   v i s  >0 , đ t : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph xB    ;  yB   6  1  1 xB   3  3 ng) Hàm s  2 V y: AB   xB  xA    yB  yA  2 g ( ;  )                      1    1           2 2 6 6    2 2 2                 1   2       2  1  36                2   148     4.148   37 g ( ;  )   2  2  1  36         AB   37 - D u đ ng th c x y :          ;      37 148      37      c hai m : A  ;1   ; B   ;1   37 37   37 37   x Bài Cho hàm s y   1  C  Tìm (C) nh ng m M cho kho ng cách t M đ n x 1 x 1 tr c Ox b ng ba l n kho ng cách t M đ n tr c Oy Gi i: Theo gi thi t ta có : - Do ta tìm đ  x vô n  3x   3 2     y x x x  x 1      2  10 2  10 x  y  3x  x   3 x 3 x  x    x  3  x  V y (C) có hai m M có hoành đ : x  Bài 6: Cho hàm s : y  2  10 2  10  x , th a mãn yêu c u toán 3 x 1 (C) Tìm m đ (C) c t đ 2x 1  ng th ng (dm): y = mx + 2m – t i m phân  bi t A, B th a mãn u ki n OA.OB  Gi i: Xét ph ng trình hoành đ giao m: x 1  mx  2m   f ( x)  mx2  (5m  1) x  2m   v i x   2x 1 (C) c t (dm) t i m phân bi t A, B  f(x) = có nghi m phân bi t khác  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s  m   m  (*) Gi s A(x1; mx1 + 2m – 1); B(x2 ; mx2 + 2m -1)    17m2  2m       m   1  f      m      5m        x1  x2   m ; OA OB   OA OB   Theo Viet ta có:   x x  2m  2  m  x1 x2  (mx1  2m  1)(mx2  2m  1)  0  (m2  1) x1 x2  m(2m  1)( x1  x2 )  (2m  1)  0  (m2  1)(2m  2)  m(2m  1)(5m  1)  m(2m  1)   4m3  m2  2m  0 3 3   (2m  1) (m  )   m   m  4  3  áp s : m   ;  2  Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -