Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 07) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Th tích kh i chóp (Ph n 07) thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Các đ c tô màu đ t p m c đ nâng cao D NG: CHÓP T NG H P Bài Cho hình chóp SABC, đáy ABC có AB = a, AC = 2a, góc BAC  1200 G i G1 G2 l n l t a tr ng tâm c a tam giác ABC, SBC cho G1G2 = Hình chi u vuông góc c a S m t (ABC) trùng v i G1, góc gi a SA (ABC) b ng  Tính theo a  th tích kh i chóp G1G2 BC Gi i - SAG1   S - G i I trung m c a BC, ta có: IG2 IG1 IG2 IG1 => G1G2//SA   ,  => IS IA IS IA GG a    SA  3G1G2   a SA 3 - K G2H  AI ( H  AI) => G 2H//SG1 => G2H  (ABC) 1 a Ta có: G2H= SG1= SA.sin  = sin  3 1 - VG1G2BC = VG2G1BC= SG1BC G2 H  SABC G2 H 3 G2 A C G1 H a a 3.sin  1 AB.AC.sin1200 G2H = a.2a .sin  = 54 18 I = B Bài Cho hình chóp SABC đáy ABC tam giác đ u c nh a, I trung m c a BC, D m đ i x ng a v i A qua I, SD  (ABC) G i K hình chi u vuông góc c a I SA, IK= Tính th tích kh i chóp S SABC Gi i VSABC = SABC SD K Mà: + SABC = a a2 1 BC.AI= a = 2 A C + SD = ? Tam giác vuông SDA đ ng d ng v i tam giác vuông IKA ( góc A chung) I D B Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph SD DA SD    a IK KA => SD= a AI  IK 2  ng) Hình h c không gian SD a  a a a ( ) ( ) 2 a a2 a a3 V y VSABC = = 2 Bài Cho hình chóp SABC, đáy ABC có AB = AC = a, BC = a SA = a , SAB  SAC  30o Tính th tích kh i chóp SABC Gi i: Theo đ nh lí Cosin ta có: = a 2 SB2 = AS2 + AB2 – AS.AB.cos30o = 3a2 + a2 – 3a a  SB = a T ng t ta có: SC = a  SAB  SAC - G i M trung m c a SA, SAB SAC cân, nên ta có: SA  BM    SA  ( BMC ) SA  CM  1 Do VSABC  VSMBC  VAMBC  SM SBMC  AM SBMC  AM SBMC (AM = SM) 3 Mà: a + G i N trung m c a BC, BMC cân t i M nên MN  BC a  SBMC  BC.MN  MN M M t khác xét AMN vuông ta có: + AM = MN  AN  AM = S AB2  BN2  AM 3a a a )   a  ( )2  ( 16 A C a a a  SBMC   4 16 N a a a  SSABC   B 16 16 Bài Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình thang cân, đáy nh BC = 3a, đáy l n AD = 8a, BAD  60o Các c nh bên c a hình chóp t o v i đáy m t góc 600 Tính th tích kh i chóp SABCD Gi i: G i O hình chi u vuông góc c a S (ABCD) SAO  SBO  SCO  SDO  60o  SAO  SBO  SCO  SDO  OA  OB  OC  OD  O tâm đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD - K BE//CD (E  AD)  BAE đ u  AB = AE = 5a Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian S - Xét ABD , theo Cosin ta có: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cos60o= 49a2  BD = 7a - G i R bán kính đ ng tròn ngo i ti p ABD (R = OA) BD Theo đ nh lí hàm s Cosin ta có:  2R  sin BA D  7a 7a  2R  R =  OA o sin 60 - Xét SAO vuông, ta có: tan60o = - VSABCD A SO SO  3  SO  7a 7a OA E D O 385.a  SABCD SO  B C Bài Cho hình h p đ ng ABCDA’B’C’D’, đáy ABCD hình vuông c nh a AA’= b G i M trung a đ hai m t ph ng (A’BD) (MBD) m c a CC’ Tính th tích c a kh i t di n A’BDM Tìm t s b vuông góc v i Gi i A' A' D' B' C' M BMD M A VA' BDM  ? D S O B - G i S= AC  A’M - Vì CM // AA’ nên theo đ nh lí Talet ta có: SM CM    M trung m c a SA’ SA' AA ' SA’  (BDM) = M mà M trung m c a SA nên ta có: d(A’,(BDM)) = d (S, (BDM))  VAB' DM  VSBDM C S - VSBDM  VMBSD  SBSD MC b Mà MC = Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph G i O = AC  BD, ta có SBSD  ng) Hình h c không gian a 1 3a BD.SO  BD.( SC  OC )  a 2( a  ) (C trung 2 2 m c a SA) 3a b a 2b  V y VA' BDM  VSBDM  2 a + Tìm t s đ hai m t ph ng (A’BD) (MBD) vuông góc v i b Ta có: A’O  BD MO  BD    ( A' BD),(MBD)   ( A' O, MO)  (A’BD)  (MBD)  OA’  OM  OA’2 + OM2 = A’M2 (*) Mà a 2 a2 O ' A  A' A  AO  b    b     2 2 b a 2 b2 a )   OA’2 = MD2 – OD2 = CM2 + CD2 – OD2 = ( )  a  ( 2 b b2 + A’M2 = A’C’2 + C’M’2 = (a 2)2  ( )2  2a  a b2 a b2  2a  Thay vào (*) ta có: b    4 a  a2 = b2  a = b  = b Bài Cho l ng tr đ ng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, AA’ = a G i M, N l n l t trung m c a AA’ BC’ Tính th tích kh i chóp MA’BC’; ch ng minh r ng MN đo n vuông góc chung c a AA’ BC’ Gi i: C' A' + VMA' B' C '  VC ' A' BM  ? VC ' A' BM  SA' BM C’A’ ( C ' A'  (AA ' B ' B) ) Mà: + C’A = a + SA' BM  SABB' A'  S ABM  S A' B' B M B' C A 2 a a a a  a a  a  a a  a 2    2 4 a2 a3  VC ' A' BM  a  12 + Ch ng minh: MN đo n vuông góc chung c a AA’ BC’ -  vuông C’AM =  vuông MAB  MC’ = MB B' -  BMC’ cân t i M có N trung m c a BC’  MN  BC’ C' A' B M N - G i I trung m c a BC 1  NI// = CC’  NI// = AA’  NI//=MA 2  T giác MNIA hình bình hành C A I B Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian  MN//AI mà AI  AA’  MN  AA’ MN  BC ', MN  AA '   MN đo n vuông góc chung c a AA’ BC’ M  AA ', N  BC '  Bài Cho l ng tr tam giác đ u ABC.A’B’C’ có c nh b ng a G i M, N, I l n l t trung m c a AA’, AB, BC Bi t góc gi a hai m t ph ng (C’AI) (ABC) b ng 600 Tính theo a th tích kh i chóp NAC’I kho ng cách gi a hai đ ng th ng MN, AC’ Gi i C' A' CI  AI    (C ' AI ), ( ABC )   C ' IC  600   C I AI '  + VNAC’I = ? B' O M Ta có: VNAC’I = V C’ANI = SANI C ' C Mà : - Xét tam giác vuông CC’I ta có: tan 600 = C 'C C 'C a   => C’C= a IC A C I N - SANI 1 1 a a2  SABC  BC AI  a  4 16 B a a a  => VNAC’I= 16 32 +) d(MN, A’C)=?  MO / / AC  NI / / AC    - G i O=A’C  AC’,  1  MO  AC  NI  AC  MO//NI MO=NI => MONI hình bình hành => MN//OI  MN//(AC’I) => d(MN, AC’) =d(MN,(AC’I))=d(N,(AC’I))=h - a3 a3 Ta có: VNAC’I=  SAC ' I h  (*) 32 32 Mà theo công th c di n tích hình chi u, ta có SAIC  SAC ' I cos600 a2 a3 a a2 a2 h   h   d ( MN , AC ')  SAC ' I => SAC ' I  , thay vào (*) ta có: 32 8 Bài Cho hình l ng tr đ ng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cân t i B; A’A = AC = a, góc gi a đ ng th ng BC’ (ABC) b ng 600 G i P, M l n l t trung m c a BB’ CC’, N m n m a A’C’ NC’= Tính th tích kh i t di n AB’C’B ch ng minh r ng PN  A’M Gi i: + VAB’C’B = ?  - ( BC ',( ABC)  (C ' BC)  600 - VAB’C’B= VABCC’= V C’ABC= SABC CC’ Mà: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph + CC’=a + G i H trung m c a AC,  ABC cân t i B 1 => BH  AC => SABC = AC.BH = a.BH 2 M t khác, xét tam giác vuông BCC’ ta có: CC ' a CC ' tan 600 = => BC = = BC tan 60  BH= BC  HC  ng) Hình h c không gian N A' C' Q B' M a a a a    12 P A H a a2  SABC = a = 2 C a2 a3 V y VAB’C’B = a = 12 + Ch ng minh : PN  A’M? G i Q trung m B’C’, ta có:  PQ / / BC '  ( NPQ ) / /(C ' HB)   NQ / / BH B (1)  A' M  CH  A' M  (C ' BH ) (2)   A' M  BH T (1) (2) suy A’M  (NPQ) => A’M  NP a , BAD  600 G i M, N l n l t trung m c a A’D’ A’B’ Ch ng minh r ng AC’  (BDMN) tính th tích kh i đa di n AA’BDMN S Gi i + Ch ng minh : AC’  (BDMN) - G i O=AC  BD C' D' - G i S= BN  AA’ Do N trung m A’B’ M nên A’ s trung m c a SA N S c ng giao m c a AA’ v i DM A' Bài Cho hình h p đ ng ABC.A’B’C’ có AB =AD = a, AA’= B' AB=AD=a, BAD  600 =>  ABD đ u => OA= a , AC = a D C a SA=2.AA’= a , CC’= AA’= AO SA  Ta có: =>  SAC đ ng d ng v i  ACC’ A AC CC' O B  ASO  C ' AC mà ASO  SOA  90 => C ' AC  ASO  90 => SO  AC’ M t khác BD  (ACC’A’) => BD  AC’ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian  A' C  BD Nh v y   A' C  ( BDMN)  A' C  SO + VAA’BDMN=? VAA’BDMN= VSABD – VSA’MN Mà: VSABD= VSA’MN= a3 1 1 SABD SA= AB AD.sin600.SA= a.a .a = 3 a a3 1 1 a a SA' MN SA’= A’M A’N.sin600.SA’= = 3 2 32  VAA’BDMN= a a 8a - = 32 32 Bài 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông c nh a G i M, N l n l t trung m c a AB, AD Gi s CN  DM  H Cho SH = a vuông góc v i m t ph ng (ABCD) Tìm VS.CDNM Bài gi i: Ta có: SCDNM  SABCD  SAMN  SBNC a a a 5a  a   a  2 2 1 5a 3a  VS CDNM  SCDNM SH  a  3 24 Bài 11 Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vuông t i A D, AB = AD = 2a; CD = a Góc gi a (SBC) (ABCD) b ng 600 G i I trung m c a AD Gi s hai m t ph ng (SBI) (SCI) vuông góc v i (ABCD) Tìm th tích hình chóp SABCD Bài gi i: T I k IH  CD mà SI vuông góc v i ABCD nên SI  CD  CD   SIH   SH  CD -V y góc gi a m t ph ng (SBC) (ABCD) góc SHI  600 SABCD  - CB   AB  DC  AD  3a  2a  2  a2  a Có CI  CH CB, mà CI  DI  DC  2a 2a 4a 2  CH   IH  IC  CH  2a  a 5 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph  SI  IH tan(SHI )  IH tan 600  a ng) Hình h c không gian 18 10 a 3a 5 10 3a 10  VS ABCD  3a a  5 Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -