câu1(2,5đ) cho phong trình ẩn x : x 2 -2(m+1)x+m-4 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt . Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng? b) Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x 1 , x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2 2 1 2 1 2 2 1 (1 ) (1 ) x x x x x x + + Câu 2 (2điểm) : Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức 2 2 2 2 1 2y x x y x y xy+ + + = + + Câu3 (4điểm) cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Gọi K là trung điểm của cung ằ AB , M là điểm di động trên cung nhỏ ằ AK (M khác điểm A và K ). Lấy điểm N trên đoạn BM sao cho BN=AM a) Chứng minh ã ã AMK BNK= . b) Chứng minh tam giác MKN là tam giác vuông cân. c) Hai đờng thẳng AM và OK cắt nhau tại D .Chứng mỉnh MK là đ- ờng phân giác của góc ã DMN d) Chứng minh rằng đờng thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua một điểm cố định . câu4(1,5điểm) Giả sử x,y,z là các số dơng thay đổi và thoả mãn điều kiện 2 2 2 2 3xy z x z y z+ + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4 4 4 4 1 ( ) z z x y+ + Mã kí hiệu T- ĐTS10CH2-08 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 150 phút) (Đề này gồm 4 câu 1trang) Mã kí hiệu T- HDTS10CH2-08 Hớng dẫn chấm tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 150 phút) (Đề này gồm 4 câu 3 trang) Câu1(2,5đ) a)(1,25đ) + ta có / =(m+1) 2 -(m-4) = m 2 +m+5 > 0 với mọi m . +vậy PT(1) luôn có nghiệm với mọi m +PT(1) có hai nghiệm dơng khi 1 0 4 0 m m + > > 4m > b)(1,25đ) +áp dụng định lý viét ta có 1 2 1 2 2( 1) 4 x x m x x m + = + = +Thay vào biểu thức và rút gọn ta có M= 2 2 1 2 1 2 2 1 (1 ) (1 ) x x x x x x + + M = 2 2 3 6 5 m m+ + Suy ra M min = 39 40 đạt đợc khi m = 3 4 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Câu2(2đ) +Ta có : 2 2 2 2 1 2y x x y x y xy+ + + = + + 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0y x x x y x + = (1) + Nhận xét x = 1 không phải là nghiệm của PT(1) . + chia cả hai vế của PT (1) cho x-1 ta đợc : 2 1 2 0 1 y x y x + = (2) +PT có nghiệm x,y nguyên , suy ra 1 1x nguyên Suy ra x-1 } { 1;1 2 0 x x = = +Thay x=2 vào PT (2) và với y nguyên ta đợc y=1 +Thay x=0 vào PT(2) và với y nguyên ta đợc y=1 +vậy PT đã cho có hai nghiệm nguyên là (2;1) và (0;1) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu3(4đ) a)(1đ) +xét tam giác AMK và BNK có ã ã MAK NBK= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ẳ MK , AM= BN(gt) , AK=BK vì haicung ằ ằ AK BK= Suy ra AMK BNK = (cgc) +từ đó suy ra ã ã AMK BNK= b)(1đ) +Từ kết quả của câu a AMK BNK = ta có KM=KN và ã ã AKM BKN= Mà ã ã ã ã 90 90 o o BKN AKN AKM AKN+ = + = Do đó tam giác MKN vuông cân tại K c) (1đ) +Từ kết quả câu b) tam giác MKN vuông cân tại K nên ã . 45 o NMK = Do góc ã 90 o DMN = suy ra góc ã . 45 o DMK = Từ đó dẫn đến MK là đờng phân giác của góc ã .DMN d)(1đ) +Giả sử đờng thẳng vuông gócvới BM tại N cắt đờng thẩng AK tại E.Ta có tứ giác BEKN nội tiếp +suy ra ã ã 45 o AEB MNK= = +Mặt khác ã 45 o BAE = nên tam giác ABE vuông cân tại B +Suy ra điểm E cố định hay đờng thẳng vuông gócvới BM tại N đi qua 1 điểm cố định là điểm E 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ A B K M N . O D E Câu4(1,5đ) +Điêù kiện có thể viêt lại là 2 2 2 1 1 . . 3xy x y z x + + = +Biểu thức P có dạng 4 4 4 1 1 P x y z = + + Đặt 1 z =t tađa về bài toán : Với x,y,t là các số dơng thoả mãn 2 2 2 3xy yt tx+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 4 1 P x y t = + + +Theo BĐT Cauchy cho 4số dơng tacó 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4 2 1 4 1 4 1 4 x y y xy y t t yt t x x tx + + + + + + + + + 4 4 4 2 2 2 3( ) 3 4( )x y t xy yt tx + + + + + =12 4 4 4 ( ) 3x y t + + 4 4 4 1 P x y t = + + 1 3 Vậy P min = 1 3 đạt đợc khi x= y = z=1 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ . đạt đợc khi m = 3 4 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0,5đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ Câu2 (2 ) +Ta có : 2 2 2 2 1 2y x x y x y xy+ + + = + + 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0y. E 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0,5đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0,5đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ A B K M N . O D E Câu4(1,5đ) +Điêù kiện có thể viêt lại là 2 2 2 1