Mã kí hiệu T- ĐTS10CH1-08 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 150 phút (Đề này gồm 4 câu1trang) câu1: (3điểm) Cho biểu thức 2 2 2( 1) 1 1 x x x x x P x x x x + = + + + 1) Rút gọn P . 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P . 3) Tìm x để biểu thức Q = 2 x P nhận giá trị là số nguyên . Câu 2 (2điểm) a) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho đa thức x 3n+1 +x 2n +1 chia hết cho đa thức x 2 +x +1 b) tìm số d trong phép chia A = 3 8 +3 6 +3 2004 cho 91 Câu 3(4điểm) Cho đờng tròn ( O ;R) và đờng thẳng (d) cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A,B . Từ một điểm M trên đờng thẳng (d) và ở ngoài đờng tròn (O) , (d) không đi qua O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN , MP với đờng tròn (O) (N,P là hai tiếp điểm). a) chứng minh ã ã NMO NPO= b) chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M di động trên đờng thẳng (d) . c) xác định vị trí điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông . d) Chứng minh rằng tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP di động trên một đờng cố định khi M di động trên (d) Câu 4(1điểm) Giả sử x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện : x+y+z +xy+yz+zx = 6 Chứng minh rằng x 2 +y 2 +z 2 3 Mã kí hiệu T- HDTS10CH1-08 Hớng dẫn chấm tuyển sinh vàolớp10chuyên Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 150 phút) (Đề này gồm 4 câu 3 trang) Câu1(3đ) a)(1đ) +ĐK x > 0 và x 1 +rút gọn đợc P = ( 1)( 1) 2 1 2( 1) 1 x x x x x x x x + + + + + + = x- x +1 b)(1đ) +biến đổi P = 2 1 3 ( ) 2 4 x + +suy ra minP = 3 4 đạt đợc khi x= 1 4 c) (1đ) + Q = 2 2 2 1 1 x P M x x = = + . Để ý rằng với x > 0 và x 1 ta có M= 1 1x x + >1(theo BĐT Cauchy) Suy ra 0<Q<2.Vì Qnguyên nên Q=1 Suy ra x= 7 3 5 2 Thử lại đúng 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 2(2đ) a)(1đ) + tacó 3 2 2 1 ( 1)( 1) 1x x x x x x = + + + +M Do đó với m N * thì 3 3 3 1 ( ) 1 1 m m m x x x = M Từ đó 3 2 1 1 m x x x + +M +Đặt n=3a+r (a * N ; r = 0,1,2) tacó 3 1 2 9 3 1 6 2 1 1 n n a r a r x x x x + + + + + + = + + =x( 9 3 2 6 2 ( 1) ( 1) 1 a r r a r x x x x x + + + + + =x ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 1 1 ( 1) a r a r r x x x x x + + + + + Chia hết cho x 2 +x+1 khi và chỉ khi x 2r +x+1 M x 2 +x+1 -Nếu r = 0 thì x 2r +x+1=x+2 không chia hết cho 0,25đ 0,25đ x 2 +x+1 -Nếu r = 1 thì x 2r +x+1= x 2 +x+1 chia hết cho x 2 +x+1 -Nếu r = 2 thì x 2r +x+1= x 4 +x+1= x(x 3 -1)+2x+1 không chia hết cho x 2 +x+1 +Tóm lại với n N * , n chia cho 3 d 1 thì x 3n+1 +x 2n +1 chia hết cho x 2 +x +1 b)(1đ) + ta có 3 6 -1 =729-1=728 M 91 Do đó A= 3 8 +3 6 +3 2004 = 8 2 6 2004 2 (3 3 ) (3 1) (3 1) 3 1 1 + + + + + = ( ) ( ) 334 2 6 6 6 3 (3 1) (3 1) 3 1 11 + + + chia cho 91 d 11 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 3(4đ) a) 1(đ) + Ta có tứ giác MNOP nội tiếp +góc NMO và góc NPO là hai góc nội tiếp cùng chắn cung NO của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MNOP + suy ra ã ã NMO NPO = b)(1đ) + gọi C là trung điểm của dây AB +suy ra CO vuông góc với CM hay C thuộc đuờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP +Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định là O và C c)(1đ) + Tứ giác MNOP là hình vuông khi và chỉ khi tam giác OMN vuông cân tại N Khi và chỉ khi OM = ON 2 Khi đó M là giao của đờng tròn tâm O bán kính R 2 và đờng thẳng (d) d)(1đ) +Tâm I của đờng tròn nội tiếp Tam giác MNP là giao của ba đờng phân giác trong của Tam giác 0,25đ 0.5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ A O M N P d A B C MNP +Suy ra I là trung điểm của cung ằ NP và thuộc OM +vậy I di động trên cung lớn ằ AB của đờng tròn tâm O bán kính R 0,25đ 0,5đ Câu 4 (1điểm) + Ta có 2 1 2x x+ ; 2 1 2y y+ ; 2 1 2z z+ (theo bất đẳng thức cô si ) +mặt khác ta lại có 2( 2 2 2 ) 2( )x y z xy yz zx+ + + + +cộng 4 bất đẳng thức trên theo từng vế ta đợc: 3( 2 2 2 ) 3 2( )x y z x y z xy yz zx+ + + + + + + + = 6 +Suy ra 2 2 2 3x y z+ + đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y = z = 1 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ . hiệu T- ĐTS10CH1-08 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 15 0 phút (Đề này gồm 4 câu1trang) câu1: (3điểm). tuyển sinh vàolớp1 0chuyên Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 15 0 phút) (Đề này gồm 4 câu 3 trang) Câu1(3đ) a) (1 ) +ĐK x > 0 và x 1