Đang tải... (xem toàn văn)
- Khái niệm, phương pháp tìm giá trị riêng và vecto riêng của một ma trận. + Ứng với một giá trị riêng có vô số vectơ riêng khác nhau. + Một vectơ riêng chỉ ứng với duy nhất một giá trị riêng. - Chéo hóa một ma trận. - Lũy thừa của ma trận.
$ GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG 7.1 ¡ KHÁI NIỆM VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG ĐỊNH NGHĨA 7.1.1 Cho A ma trận n×n Nếu tồn vô hướng λ vectơ v ≠ cho Av = λv λ gọi giá trị riêngcủa A, vectơ v gọi vectơ riêng A ứng với λ Phương pháp tìm giá trị riêng vectơ riêng A: Bước Giải p.t đặc trưng det(A - λI) = 0, tìm giá trị riêng λ1 , λ2 , Bước Giải hệ (A- λi I)x =0 Nghiệm không tầm thường x = xi vectơ riêng ứng với giá trị riêng λi ⎡ VD7.1.1 Tìm giá trị riêng vectơ riêng A = ⎢ ⎢⎣ 1 ⎤ ⎥ ⎥⎦ VD7.1.2 Tìm giá trị riêng phức vectơ riêng thuộc C ma trận ⎡ 1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ − 0⎦ n Chú ý: 1) Ứng với giá trị riêng có vô số vectơ riêng khác 2) Một vectơ riêng ứng với giá trị riêng m Định lý 7.1.1 Cho f(x) = b0 + b1x + ⋅⋅⋅ + bmx ma trận A cỡ n × n có vectơ riêng v ứng với giá trị riêng λ -1 (i) Nếu A khả nghịch A có vectơ riêng v ứng với giá -1 trị riêng λ (ii) Ma trận f(A) có vectơ riêng v ứng với giá trị riêng f(λ) VD7.1.3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng A10 - 3A + 2I ⎡ A = ⎢ ⎢⎣ 1 ⎤ ⎥ ⎥⎦ Định lý 7.1.2 Nếu A = (aij) ma trận n×n có n giá trị riêng λ1, λ2, , λn, λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λn = a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + ann = tr(A) ( gọi vết A) λ1λ2⋅⋅⋅λn = detA VD7.1.4 Tính định thức A10 - 3A + 2I ⎡ A=⎢ ⎢⎣ 1 ⎤ ⎥ ⎥⎦ 7.2 ¡ CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN Ký hiệu ma trận đường chéo Λ= ⎡ λ ⎤ ⎢ ⎥ λ2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ! ⎢ ⎥ λn ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ Định nghĩa 7.2.1 = diag(λ1, , λn) Một ma trận vuông A nói chéo hóa tồn ma trận S khả nghịch ma -1 trận đường chéo Λ cho S AS = Λ n giá trị riêng n vectơ riêng λ1, ,λn v1, ,vn độc đôi khác An×n chéo hóa lập tuyến tính VD7.2.1 Xét xem ma trận sau có chéo hóa không ⎡ 1 ⎤ a) A = ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎡ −1 ⎤ b) B = ⎢ ⎥ ⎣ −1 ⎦ ⎡ ⎤ c) C = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Chú ý 1) Λ = diag(λ1, , λn) ma trận giá trị riêng , S =[ v1, ,vn] ma trận vectơ riêng, 2) Ma trận vectơ riêng S không -1 -1 3) Nếu S AS = Λ, A = SΛS ỨNG DỤNG: TÍNH LŨY THỪA CỦA MỘT MA TRẬN -1 -1 m m Nếu S AS = Λ S A S =Λ m m -1 Khi A = S Λ S VD7.2.2 Tính A 10 biết ⎡ A=⎢ ⎢⎣ 2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ NHỮNG Ý CHÍNH Giá trị riêng vectơ riêng ma trận Ma trận chéo hóa &