Đang tải... (xem toàn văn)
Không gian vectơ thực: phép cộng vectơ; phép nhân vô hướng. Các tính chất. Không gian con. Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận A:không gian cột C(A), không gian nghiệm N(A), không gian hàng C(AT), không gian nghiệm trái N(AT)
$ KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ KHÔNG GIAN CON _ 4.1 ¡ KHÔNG GIAN VECTƠ ĐỊNH NGHĨA 4.1.1 Một không gian vectơ V ! tập hợp không rỗng có hai phép toán: * Phép cộng vectơ : ∀ u, v ∈ V → u + v ∈ V Phép cộng thỏa mãn điều kiện V1 đến V4 V1 v + u = u + v ∀ v, u ∈ V (luật giao hoán) V2 v +(u + w)= (v + u)+ w ∀ v, u, w ∈ V (luật kết hợp) V3 ∃ ∈ V : v + = v ∀v ∈V V4 Đối với v ∈ V ∃ (-v) ∈ V cho v + (-v) = * Phép nhân với vô hướng: ∀ u ∈ V, c ∈ ! → cu ∈ V Phép nhân thỏa mãn điều kiện V5 đến V8 V5 1v = v ∀ v ∈V V6 (ab)v = a(bv) ∀ a, b ∈R ∀v ∈V (luật kết hợp) V7.a(v + u)=av+au ∀a∈R, ∀v,u∈V (luật phân phối phải) V8.(a + b)v = av + bv ∀a, b∈R,∀v ∈V (luật phân phối trái) CHÚ Ý: Gọi vectơ-không, gọi -v vectơ đối v VD4.1.1 Cho V = {(x, 1) | x ∈ ! } với phép cộng phép nhân với vô hướng quen thuộc Chứng minh V không gian vectơ VD4.1.2 Cho ! = V = {(x, y) | x,y ∈ ! } với phép cộng phép nhân với vô hướng Chứng minh: V không gian vectơ VD4.1.3 F(U) = {f | f :U → !} l Phép cộng: (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀x∈U, f g ∈ F(U) Phép nhân : (af )(x) = af(x) ∀x∈U, a ∈R, f∈ F(U) Khi F(U) không gian vectơ TÍNH CHẤT Đối với không gian vectơ V 1) Vectơ-không 2) Với vectơ u, vectơ đối u 3) Nếu u + w = v + w, u = v (luật giản ước) Nếu u + w = v, u = v - w (luật chuyển vế) 4) 0u = x0 = 5) Nếu xu = x = u = 6) (-x)u = x(-u) = -(xu) Đặc biệt (-1)u = -u 4.2 ¡ KHÔNG GIAN VECTƠ CON Mặt phẳng P2 Mặt phẳng P1 ĐỊNH NGHĨA 4.2.1 Cho không gian vectơ thực V Nếu W ≠ ∅, W ⊂ V thỏa mãn: (i) cv ∈ W ∀v ∈W ∀ c ∈ ! (ii) v + u ∈ W ∀ v u ∈ W W gọi không gian (vectơ) V Chú ý (1) Mọi không gian V chứa vectơ-không V (2) Z = {0} (không gian-không) V hai không gian V (3) Có thể gộp hai điều kiện lại thành: ∀ v u ∈W, x y ∈ ! xv + yu ∈W 3 VD4.2.1 Cho P1 = {(x, y, 0)| x, y ∈ ! } ⊂ ! Chứng minh P1 không gian ! 3 VD4.2.2 Cho P2 = {(x, y, 1)| x, y ∈ ! } ⊂ ! Chứng minh P2 không không gian ! VD4.2.3 W := { ( x1, x2, x3, x4) ∈ ! | x3 = x1 + x2 , x1 = x4 } có phải không gian không gian vectơ ! ? 4.3 BỐN KHONG GIAN CON LIÊN QUAN ĐẾN MỘT MA TRẬN ĐỊNH NGHĨA 4.3.1 Cho A ma trận m×n, có vectơ cột cj (j = 1, , n) Khi không gian cột A C(A) ={ b : b = Ax } = { b : b = x1c1 + x2c2 + ⋅⋅⋅ + xncn | xj ∈R } ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ VD4.3.1 Ax = ⎢ ⎥ = x1 ⎢4⎥ + x2 ⎢3⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 3⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦ ⎢⎣3⎥⎦ C(A) mặt phẳng R với cặp vectơ phương c1 = (1, 4, 2) c2 = (0, 3, 3) Định lý 4.3.1 Nếu A ma trận m×n, C(A) m không gian R Chứng minh n Nếu v, u ∈C(A), ∃ x y ∈R cho v = Ax, u = Ay Với t s ∈R, tv + su = tAx + sAy = A(tx +sy),nên tv + su thuộc C(A) Do C(A) không gian J ĐỊNH NGHĨA 4.3.2 Không gian nghiệm A N(A) ={ x: Ax = } VD4.3.2 ⎡ x ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = Ax = 1 ⎣ ⎦⎢ x ⎥ ⎣ ⎦ N(A) đường thẳng R qua gốc toạ độ Định lý 4.2.2 Nếu A ma trận m×n, N(A) n không gian R Chứng minh ∀ v u ∈N(A), với vô hướng a b, A(av + bu) = aAv + bAu = a0+b0 = 0, nên av + bu thuộc N(A) Do N(A) không gian J T ĐỊNH NGHĨA 4.2.3 C(A ) không gian hàng A, T N(A ) không gian nghiệm bên trái A VD4.3.3 Hãy mô tả không gian hàng không gian nghiệm trái ma trận: ⎡1 2⎤ a) A = ⎢ ; ⎥ ⎣3 6⎦ ⎡ ⎤ b) B = ⎢ ⎥ ⎣ −2 ⎦ T Định lý 4.2.3 Nếu A ma trận m×n, C(A ) n T không gian R N(A ) không gian m R NHỮNG Ý CHÍNH Không gian vectơ thực Không gian Bốn không gian chủ yếu ma trận A: T T C(A), N(A), C(A ), N(A ) [...]...Chú ý (1) Mọi không gian con của V đều chứa vectơ -không của V (2) Z = {0} (không gian -không) và V là hai không gian con của V (3) Có thể gộp hai điều kiện này lại thành: ∀ v và u ∈W, x và y ∈ ! thì xv + yu ∈W 3 VD4.2.1 Cho P1 = {(x, y, 0)| x, y ∈ ! } ⊂ ! Chứng minh là P1 là một không gian con của ! 3 3 VD4.2.2 Cho P2 = {(x, y, 1)| x, y ∈ ! } ⊂ ! Chứng minh là P2 không là một không gian con của ! 3... 4.2.2 Nếu A là ma trận m×n, thì N(A) là một n không gian con của R Chứng minh ∀ v và u ∈N(A), với mọi vô hướng a và b, thì A(av + bu) = aAv + bAu = a0+b0 = 0, nên av + bu cũng thuộc N(A) Do đó N(A) là một không gian con J T ĐỊNH NGHĨA 4.2.3 C(A ) là không gian hàng của A, T N(A ) là không gian nghiệm bên trái của A VD4.3.3 Hãy mô tả không gian hàng và không gian nghiệm trái của các ma trận: ⎡1 2⎤ a)... trái của các ma trận: ⎡1 2⎤ a) A = ⎢ ; ⎥ ⎣3 6⎦ ⎡ 1 2 ⎤ b) B = ⎢ ⎥ ⎣ −2 5 ⎦ T Định lý 4.2.3 Nếu A là ma trận m×n, thì C(A ) là một n T không gian con của R và N(A ) là một không gian con m của R NHỮNG Ý CHÍNH 1 Không gian vectơ thực 2 Không gian con 3 Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận A: T T C(A), N(A), C(A ), N(A ) ... C(A) là một mặt phẳng trong R với cặp vectơ chỉ phương là c1 = (1, 4, 2) và c2 = (0, 3, 3) Định lý 4.3.1 Nếu A là ma trận m×n, thì C(A) là một m không gian con của R Chứng minh n Nếu v, u ∈C(A), thì ∃ x và y ∈R sao cho v = Ax, u = Ay Với t và s ∈R, thì tv + su = tAx + sAy = A(tx +sy),nên tv + su thuộc C(A) Do đó C(A) là một không gian con J ĐỊNH NGHĨA 4.3.2 Không gian nghiệm của A là N(A) ={ x: Ax =... là một không gian con của ! 3 4 VD4.2.3 W := { ( x1, x2, x3, x4) ∈ ! | x3 = x1 + x2 , x1 = x4 } 4 có phải là một không gian con của không gian vectơ ! ? 4.3 BỐN KHONG GIAN CON LIÊN QUAN ĐẾN MỘT MA TRẬN ĐỊNH NGHĨA 4.3.1 Cho A là ma trận m×n, có các vectơ cột cj (j = 1, , n) Khi đó không gian cột của A là C(A) ={ b : b = Ax } = { b : b = x1c1 + x2c2 + ⋅⋅⋅ + xncn | xj ∈R } ⎡1 0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥