Đang tải... (xem toàn văn)
các công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phâncác công thức tính tích phân
Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân Các giới hạn đặc biệt: sin x =1 a) lim x ®0 x x =1 x ®0 sin x Hệ quả: lim sin u(x) =1 u(x)®0 u(x) u(x) =1 u(x)®0 sin u(x) ln(1 + x) =1 x® x lim lim lim x ỉ 1ư b) lim ç + ÷ = e, x Ỵ R x ®¥ è xø Hệ quả: lim (1 + x) x = e x®0 lim ex - =1 x® x Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp hệ quả: (c)’ = (c số) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' ỉ1ư ç ÷' = - èxø x ( x )' = x x (e )' = ex u' ỉ1ư ç ÷' = - u èù ( u ) ' = u' u u (e )' = u'.e u (ax )' = a x ln a (a u )' = a u ln a u ' u' (ln x )' = (ln u )' = x u u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu u' (tgx)' = = + tg x (tgu)' = = (1 + tg u).u' 2 cos x cos u -1 - u' (cot gx)' = = -(1 + cot g x) (cot gu)' = = - (1 + cot g u).u' 2 sin x sin u Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a ; b) có đạo hàm x Ỵ (a; b) Cho số gia Dx x cho x + Dx Ỵ (a; b) Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) vi phân hàm số y = f(x) x, ký hiệu dy (hoặc df(x)) dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa vào hàm số y = x, dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Trang NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN §Bài 1: NGUYÊN HÀM Đònh nghóa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a ; b) đoạn [a ; b] phải có thêm: F '(a+ ) = f(x) F '(b - ) = f(b) Đònh lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) : a/ Với số C, F(x) + C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng b/ Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) viết dạng: F(x) + C với C số Người ta ký hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f(x) ò f(x)dx Do viết: ò f(x)dx = F(x) + C Bổ đề: Nếu F¢(x) = khoảng (a ; b) F(x) không đổi khoảng Các tính chất nguyên hàm: · · · · ( ò f(x)dx ) ' = f(x) ò af(x)dx = f(x)dx (a ¹ 0) ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x)) Sự tồn nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] có nguyên hàm đoạn Trang BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp thường gặp (dưới u = u(x)) ò dx = x + C ò du = u + C x a+1 ò x dx = a + + C (a ¹ -1) ua+1 ò u du = a + + C dx = ln x + C x (x ¹ 0) ò a ò ò e dx = e x x ò a dx = x du = ln u + C u ò e du = e u +C ax +C ln a (a ¹ -1) a u ò a du = (0 < a ¹ 1) u (u = u(x) ¹ 0) +C au +C ln a (0 < a ¹ 1) ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C dx ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C du ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C dx ò sin x = ò (1 + cot g x)dx = - cot gx + C dx = x +C x ò2 du ò sin du = u +C u ò2 (x > 0) ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ¹ 0) sin(ax + b)dx = cos(ax + b) + C ò a (a ¹ 0) dx ò ax + b = a ln ax + b + C òe ò ax + b u = ò (1 + cot g u)du = - cot gu + C dx = eax + b + C a (a ¹ 0) dx ax + b + C = ax + b a (a ¹ 0) Trang (u > 0) Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) Xác đònh F’(a+) Xác đònh F’(b–) ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b) ï + Bước 2: Chứng tỏ íF '(a + ) = f(a) ï ỵF '(b ) = f(b) Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x + a) với a > nguyên hàm hàm số f(x) = x2 + a R Giải: Ta có: F '(x) = [ln(x + x + a)]' = (x + x + a)' x + x2 + a 2x 1+ x2 + a x + x2 + a = = x2 + a + x x + a(x + x + a) = Vậy F(x) với a > nguyên hàm hàm số f(x) R ìïex Ví dụ 2: CMR hàm số: F(x) = í ïỵ x + x + x ³ x < ìex x ³ R Là nguyên hàm hàm số f(x) = í + < 2x x ỵ Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: a/ Với x ¹ , ta có: ìe x x > F '(x) = í ỵ2x + x < b/ Với x = 0, ta có: Trang x2 + a = f(x) · Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = F '(0 - ) = limx®0 · F(x) - F(0) x + x + - e0 = lim= x ®0 x-0 x Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = F '(0 + ) = lim+ x®0 F(x) - F(0) ex - e0 = lim+ = x®0 x-0 x Nhận xét F '(0 - ) = F '(0 + ) = Þ F '(0) = ìe x x ³ = f(x) Tóm lại: F '(x) = í ỵ2x + x < Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R Bài toán 2: Xác đònh giá trò tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Dùng đồng hàm đa thức Þ giá trò tham số Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) Xác đònh F’(a+) Xác đònh F’(b–) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b) ï + Þ giá trò tham số íF '(a ) = f(a) ï ỵF '(b ) = f(b) Bài toán 3: Tìm số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề cho để tìm số C Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm Trang ìx2 x £ Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số: F(x) = í ỵax + b x > ì2x nguyên hàm hàm số: f(x) = í ỵ2 x £ x > R Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: ì2x x < a/ Với x ¹ , ta có: F '(x) = í ỵ2 x > b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục x = 1, : lim- F(x) = lim+ F(x) = f(1) Û a + b = Û b = - a (1) x ®1 x ®1 · Đạo hàm bên trái hàm số y = F(x) điểm x = F'(1) = lim x ®1 f(x) - F(1) x2 - = lim= x ®1 x - x -1 · Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0 = F '(1+ ) = lim+ x ®1 F(x) - F(1) ax + b - ax + - a - = lim+ = lim+ = a x ®1 x ®1 x -1 x -1 x -1 Hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = (2) Thay (2) vào (1), ta b = –1 Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = 1, a = 2, b = –1 Khi đó: F’(1) = = f(1) Tóm lại với a = 2, b = F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số: F(x) = (ax + bx + c)e -2x nguyên hàm F(x) = - (2x - 8x + 7)e-2 x R Giải: Ta có: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax + bx + c)e -2x = éë-2ax + 2(a - b)x + b - 2cùûe-2x Do F(x) nguyên hàm f(x) R Û F '(x) = f(x), "x Ỵ R Û - 2ax + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x + 8x - 7, "x Ỵ R ìa = ìa = ï ï Û ía - b = Û í b = -3 ï ï ỵ b - 2c = -7 ỵc = Vậy F(x) = (x - 3x + 2)e-2x Trang BÀI TẬP ỉ x pư Bài Tính đạo hàm hàm số F(x) = ln tg ç + ÷ è2 4ø Từ suy nguyên hàm hàm số f(x) = cos x ì ln(x + 1) ,x¹0 ï Bài Chứng tỏ hàm số F(x) = í x ï0 ,x = ỵ ì ln(x + 1) ,x¹0 ï nguyên hàm hàm số f(x) = í x + x2 ï1 ,x=0 ỵ Bài Xác đònh a, b, c cho hàm số F(x) = (ax + bx + c).e- x nguyên hàm hàm số f(x) = (2x - 5x + 2)e- x R ĐS: a = –2 ; b = ; c = –1 Bài a/ b/ Tính nguyên hàm F(x) f(x) = Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = sin ĐS: a/ F(x) = Bài a/ x + 3x + 3x - F(0) = (x + 1)2 x2 +x+ ; x +1 x ỉ pư p F ç ÷ = è2ø b/ F(x) = (x - sin x + 1) Xác đònh số a, b, c cho hàm số: F(x) = (ax + bx + c) 2x - nguyên hàm hàm số: f(x) = b/ 20x - 30x + ỉ3 khoảng ç ; + ¥ ÷ è2 ø 2x - Tìm nguyên hàm G(x) f(x) với G(2) = ĐS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; b/ G(x) = (4x - 2x + 10) 2x - - 22 Trang Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN ò f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C với a ¹ Ví dụ 1: CMR , ò f(x)dx = F(x) + C Giải: Ta có: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) với a ¹ a Áp dụng tính chất 4, ta được: 1 ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (đpcm) Ghi chú: Công thức áp dụng cho hàm số hợp: ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f(u)du = F(u) + C, với u = u(x) Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh sau: a/ ò (2x + 3) dx b/ ò cos4 x.sin xdx c/ ò 2e x dx ex + d/ ò (2 ln x + 1)2 dx x Giải: 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4 +C= + C a/ Ta có: ò (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = 2 b/ Ta có: ò cos4 x.sin xdx = - ò cos xd(cos x) = c/ Ta có: cos5 x +C 2ex d(ex + 1) x dx = ò ex + ò ex + = ln(e + 1) + C (2 ln x + 1)2 1 dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C d/ Ta có: ò x 2 Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh sau: a/ ò 2sin x dx b/ ò cot g2 xdx c/ ò tgxdx Giải: a/ Ta có: ò 2sin x dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C ỉ b/ Ta có: ò cot g xdx = ò ç - ÷ dx = - cot gx - x + C è sin x ø c/ Ta có: ò tgxdx = ò sin x d(cos x) dx = - ò = - ln cos x + C cos x cos x Trang d/ ò tgx dx cos3 x d/ Ta có: tgx ò cos x dx = ò sin x d(cos x) 1 dx = - ò = - cos -3 x + C = + C 4 cos x cos x 3cos3 x Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh sau: a/ x ò + x dx b/ òx dx - 3x + Giải: a/ Ta có: x d(1 + x ) dx = = ln(1 + x ) + C ò + x2 ò 1+ x b/ Ta có: òx 1 ỉ dx = ò dx = ò ç ÷dx - 3x + è x - x -1 ø (x - 1)(x - 2) = ln x - - ln x - + C = ln x-2 + C x -1 BÀI TẬP Bài Tìm nguyên hàm hàm số: x a/ f(x) = cos2 ; b/ ĐS: a/ (x + sin x) + C ; f(x) sin x - cos x + cos3 x + C b/ Bài Tính tích phân bất đònh : a/ ò e (2 - e d/ e2-5x + ò ex dx; x -x )dx; b/ e/ ĐS: a/ 2e - x + C; x d/ ex ò 2x dx ; c/ 2x.3x.5x ò 10x dx ex ò ex + 2dx ex + C; (1 - ln 2)2 x b/ - e2-6 x - e- x + C; e/ c/ 6x +C ln ln(ex + 2) + C Bài Tính tích phân bất đònh : a/ ò d/ ò (1 - 2x) x + x -4 + dx ; 2001 dx; e/ x3 ĐS: a/ - + C; x d/ ò b/ ò x x dx ; c/ òx x + dx ; - ln x dx x 55 x + C; b/ (1 - 2x)2002 - + C; 2002 Trang e/ c/ (x + 1) x + + C ; (3 + ln x) + ln x + C Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng biểu thức mà nguyên hàm biểu thức nhận từ bảng nguyên hàm phép biến đổi đơn giản biết Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt phép phân tích rút ý tưởng cho riêng từ vài minh hoạ sau: · Với f(x) = (x - 2)2 viết lại f(x) = x - 4x + · Với f(x) = x - 4x + viết lại f(x) = x - + x -1 x -1 · Với f(x) = 1 viết lại f(x) = x - 5x + x -3 x -2 · Với f(x) = · Với f(x) = (2 x - 3x )2 viết lại f(x) = x - 2.6 x + x · Với f(x) = cos3 x.sin x viết lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x 1 viết lại f(x) = ( - 2x - 2x + 1) 2x + + - 2x = cos3x.sin x + cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + sin 2x · tg x = (1 + tg x) - · cot g x = (1 + cot g x) - · x n (1 + x ) + 1 = xn + 1+ x + x2 Đó vài minh hoạ mang tính điển hình Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: I = ò x(1 - x)2002 dx Giải: Sử dụng đồng thức : x = – (1 – x) ta được: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 Khi đó: I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x) =- (1 - x)2003 (1 - x)2004 + + C 2003 2004 Tổng quát: Tính tích phân bất đònh: I = ò x(ax + b)a dx, với a ¹ 1 Sử dụng đồng thức: x = ax = [(ax + b) - b] a a Trang 10 Ta được: 1 x(ax + b)a = [(ax + b) - b)(ax + b)a = [ò (ax + b)a+1 d(ax + b) - ò (ax + b)a d(ax + d)] a a Ta xét ba trường hợp : · Với a = 2, ta được: I = = · 1 [ln ax + b + ] + C a ax + b Với a = –1, ta được: I= · [ (ax + b)-1 d(ax + b) - ò (ax + b)-2 d(ax + b)] ò a 1 [ d(ax + b) - ò (ax + b)-1 d(ax + b)] = [ax + b - ln ax + b ] + C ò a a I= Với a Ỵ R \ {-2; - 1}, ta được: Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: I = òx (ax + b)a+ (ax + b)a+1 + [ ] + C a+2 a +1 a2 dx - 4x + Giải: Ta có: 1 (x - 1) - (x - 3) ỉ 1 = = = ç ÷ x - 4x + (x - 3)(x - 1) (x - 3)(x - 1) è x - x -1ø ỉ dx dx d(x - 3) d(x - 1) ' = (ln x - - ln x - 1) + C -ò -ò Khi đó: I = ç ò ÷ = [ò è x -3 x -1 ø x -3 x -1 = x -3 ln + C x -1 Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx x +2 + x -3 Giải: Khử tính vô tỉ mẫu số cách trục thức, ta được: 1 1 I = ò ( x + + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) d(x - 3)] 5 = [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C 15 Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: I = dx ò sin x.cos Giải: Sử dụng đồng thức: sin x + cos2 x = 1, Trang 11 x 1 sin x + cos2 x sin x sin x Ta được: = = + = + sin x.cos x sin x.sin x cos2 x sin x cos2 x cos2 x tg x 2 ỉ xư d ç tg ÷ sin x d(cos x) x +ò è 2ø = + ln tg + C dx + ò dx = - ò Suy ra: I = ò 2 x x x cos x cos x cos x cos2 tg tg 2 Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I = dx ò cos x Giải: Sử dụng kết quả: ta được: I = ò dx = d(tgx) cos2 x dx 2 = (1 + tg x)d(tgx) = d(tgx) + tg xd(tgx) = tgx + tg x + C ò ò cos2 x cos2 x ò BÀI TẬP Bài Tìm họ nguyên hàm hàm số: a/ f(x) = (1 - 2x )3 ; b/ f(x) = x - x 3ex - 3x ; x3 (2 + x )2 ; x d/ f(x) = 3x + - 3x + c/ f(x) = 12 x - x +C ; b/ - 24 x x + x x + C; d/ 1é 3ù ë (3x - 4) + (3x + 2) û + C ĐS: a/ x - 2x + c/ x + - e x + ln x + C; 3x x Bài 10 Tìm họ nguyên hàm hàm số: a/ f(x) = ; x - 6x + b/ f(x) = 4x + 6x + ; 2x + c/ f(x) = 4x + 4x - ; 2x + d/ f(x) = -4x + 9x + ; - 4x ĐS: a/ x-5 ln + C; x -1 b/ x + 2x - ln 2x + + C; 2 1 c/ x + x - x - ln 2x + + C ; 2 Bài 11 Tìm họ nguyên hàm hàm số: Trang 12 x2 2x - - ln + C d/ 12 2x + a/ (sin x + cos x)2 ; pư pư ỉ ỉ b/ cos ç 2x - ÷ cos ç 2x + ÷ ; è 3ø 4ø è d/ cos x; e/ sin x + cos4 x; ĐS: a/ x - cos2x + C ; b/ c/ cos3 x; f/ sin 2x + cos6 2x 7p ỉ pư ỉ sin ç 5x + ÷ + sin ç x - ÷ + C 10 è 12 ø è 12 ø c/ sin x + si n3x + C; 12 d/ 1 x + si n2x + si n4x + C; 31 e/ sin 4x x+ + C; 16 f/ x + sin 8x + C 64 Trang 13 Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân bất đònh Phương pháp đổi biến số để xác đònh nguyên hàm có hai dạng dựa đònh lý sau: Đònh lý: a/ Nếu ò f(x)dx = F(x) + C u = j(x) hàm số có đạo hàm ò f(u)du = F(u) + C b/ Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x = j(t) j(t) với đạo hàm (j’(t) hàm số liên tục, ta được: ò f(x)dx = ò f[j(t)].j '(t)dt Từ ta trình bày hai toán phương pháp đổi biến sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tích tích phân bất đònh I = ò f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước: + Bước 1: Chọn x = j(t), j(t) hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt + Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi I = ò g(t)dt Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn p p é x = a sin t với - £ t £ ê 2 a2 - x ê êë x = x cos t với £ t £ p a é é p pù x vớ i t = Ỵ ê êë - ; úû \ {0} sin t ê p a ê êë x = cos t với t Ỵ[0; p] \ { } p p é = < < x a tgt vớ i t ê 2 ê êë x = a cot gt với < t < p x - a2 a2 + x a+ x a-x a-x a+x (x - a)(b - x) Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: I = x = acos2t x = a + (b – a)sin2t ò dx (1 - x ) Giải: Đặt x = sin t; - p p Þ 2 Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: I = ò x - x2 ìï cos2 t = cos t í ïỵcos t = - sin t = - x x dx x2 - Giải: Vì điều kiện x > , ta xét hai trường hợp : · Với x > 1 p cos 2tdt ;0 Þ í x 2 ïsin t = tgt.cos t = + x2 ỵ Phương pháp áp dụng để giải toán tổng quát: I= ò dx (a + x )2 k +1 , với k Ỵ Z Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tích tích phân I = ò f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước: + Bước 1: Chọn t = y(x), y(x) hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Xác đònh vi phân dt = y '(x)dx + Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi I = ò g(t)dt Dấu hiệu Hàm số mẫu có Hàm số f(x, j(x) a.sin x + b.cos x Hàm f(x) = c.sin x + d.cos x + e Hàm f(x) = (x + a)(x + b) Trang 16 Cách chọn t mẫu số t = j(x) x x t = tg (với cos ¹ 0) 2 · Với x + a > & x + b > 0, đặt: t = x+a + x+b · Với x + a < & x + b < 0, đặt: t = x - a + -x - b Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: I = ò x (2 - 3x )8 dx Giải: Đặt: t = - 3x Suy ra: dt = 6xdx x3 (2 - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx = Khi đó: I = 2-t 2-t ỉ t ç - dt ÷ = (t - 2t )dt = 3 è ø 18 1ỉ 10 (t - 2t )dt = ç t10 - t ÷ + C = t - t +C ò 18 18 è 10 ø 180 81 Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 2dx 1- x Giải: Đặt: t = - x Þ x = - t Suy ra: dx = - 2tdt & x dx (1 - t )2 ( -2tdt) = = 2(t - 2t + 1)dt t 1- x 2 ỉ1 Khi đó: I = ò (t - 2t + 1)dt = -2 ç t - t + t ÷ + C = - (3t - 10t + 15)t + C 15 è5 ø =- 2 [3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] - x + C = - (3x + 4x + 8) -1x + C 15 15 Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: I = ò x (1 - 2x )2 dx Giải: - t3 Đặt: t = - 2x Þ x = Suy ra: 2xdx = - t tdt, 2 2 x (1 - 2x )2 dx = x (1 - 2x )2 xdx = Khi đó: I = (t - t )dt = 8ò - t3 ỉ t ç - t dt ÷ = (t - t )dt è ø 3ỉ1 (5t - 8t )t + C ç t - t ÷+C= 8è8 ø 320 = [5(1 - 2x )2 - 8(1 - 2x )] (1 - 2x )2 + C 320 = (20x - 4x - 3) (1 - 2x )2 + C 320 Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: I = ò sin x cos xdx Giải: Đặt: t = cos x Þ t = cos x dt = sinxdx, Trang 17 sin x cos xdx = sin x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx = (1 - t ).t.(2tdt) = 2(t - t )dt ỉ1 Khi đó: I = ò (t - t )dt = ç t - t ÷ + C = (3t - 7t )t + C ø 21 è7 = (cos3 x - cos x) cos x + C 21 cos x.sin xdx Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh: I = ò + sin x Giải: Đặt: t = - x Þ x = - t 2at = + sin x Suy ra: dt = 2sin x cos xdx, cos x.sin xdx sin x.cos x.sin xdx (t - 1)dt ỉ = = = ç - ÷ dt + sin x + sin x 2t 2è t ø Khi đó: I = ỉ 1ư 2 ç - ÷ dt = f12(t - ln t + C = [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C ò è tø Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh: I = cos2 xdx ò sin8 x Giải: Đặt: t = cotgx dx, sin x cos2 xdx cos2 x dx dx dx = = cot g x = cot g x.(1 + cot g2 x)2 2 sin x sin x sin x sin x sin x sin x = t (1 + t )2 dt Suy ra: dt = - ỉ1 Khi đó: I = ò t (1 + t )dt = ò (t + 2t + t )dt = ç t + t + t ÷ + C ø è7 = (15cot g x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C 105 Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: I = òe x dx - ex / Giải: Đặt: t = e- x / dx Suy ra: dt = - ex / dx Û - 2dt = x / , e dx dx e- x / dx -2tdt = = = = 2(1 + )dt x x/2 x -x / x/2 -x / e -e e (1 - e ) e (1 - e ) - t t -1 Trang 18 ỉ -x / Khi đó: I = ò ç + + ln e- x / + 1) + C ÷ dt = 2(e è t -1 ø Chú ý: Bài toán dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến t = e - x / , nhiên với cách đặt t = ex / thực toán Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx + ex Giải: Cách 1: Đặt: t = + ex Û t = + e x Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx = 2tdt dx 2tdt 2tdt & = = 2 t -1 + ex t(t - 1) t - dt t -1 + ex - Khi đó: I = ò = ln + C = ln +C t -1 t +1 + ex + Cách 2: Đặt: t = e- x / dx Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / , e dx dx dx -2dt = = = + ex ex (e- x + 1) ex / e- x + t2 + Khi đó: I = - ò dt t +1 = - ln t + t + + C = -2 ln e- x / + e - x + + C Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx x +a , với a ¹ Giải: Đặt: t = x + x + a x x2 + a + x dx dt ỉ = dx Û Suy ra: dt = ç + ÷ dx = 2 t x +a ø x +a x +a è dt Khi đó: I = ò = ln t + C = ln x + x + a + C t dx Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh: I = ò (x + 1)(x + 2) Giải: Ta xét hai trường hợp: ìx + > · Với í Û x > -1 ỵx + > Đặt: t = x + + x + Trang 19 · ( x + + x + 2)dx dx 2dt ỉ Suy ra: dt = ç + Û = ÷ dx = t (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x + 2) è x +1 x + ø dt Khi đó: I = ò = ln t + C = ln x + + x + + C t ìx + < Û x < -2 Với í + < x ỵ Đặt: t = -(x + 1) + -(x + 2) [ -(x + 1) + -(x + 2)]dx 1 é ù dx = Suy ra: dt = êú (x + 1)(x + 2) ë -(x + 1) -(x + 2) û dx 2dt Û =t (x + 1)(x + 2) Khi đó: I = - ò dt = -2 ln t + C = -2 ln -(x + 1) + -(x + 2) + C t BÀI TẬP Bài 12 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: x4 x2 - x a/ f(x) = x (x - 1) ; b/ f(x) = 10 ; c/ f(x) = ; x -4 (x - 2)3 ĐS: a/ (x - 1)12 + (x - 1)11 + (x - 10)10 + C 12 11 10 x2 - d/ f(x) = ; x +1 b/ x5 - + C ln 20 x + x2 - x + d/ ln + C 2 x2 + x + 2x - c/ ln x - + C; (x - 2)2 Bài 13 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: a/ f(x) = ĐS: a/ 2x x + x -1 ; b/ f(x) = 2 (x + a ) x (x - 1)3 + C; 3 b/ (a > 0) ; x a x +a 2 c/ f(x) = + C; ỉ3x + x + ln x - ÷ + C c/ ç è ø Bài 14 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: cos5 x ; a/ f(x) = ; b/ f(x) = cos x sin x c/ f(x) = sin x + cos x ; sin x - cos x cos3 x d/ f(x) = ; e/ f(x) = sin x sin x ĐS: a/ 33 3 sin x + sin14 x - sin x + C; 14 Trang 20 x - x [...]... + C 2 x -1 Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx x +2 + x -3 Giải: Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: 1 1 1 1 2 I = ò ( x + 2 + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) 2 d(x - 3)] 5 5 2 = [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C 15 Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: I = dx ò sin x.cos Giải: Sử dụng đồng nhất thức: sin 2 x + cos2 x = 1, Trang 11 2 x 1 1 sin 2 x + cos2 x sin x 1 sin... biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh I = ò f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt + Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó I = ò g(t)dt Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn p p... được: Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: I = òx 2 1 (ax + b)a+ 2 (ax + b)a+1 + [ ] + C a+2 a +1 a2 dx - 4x + 3 Giải: Ta có: 1 1 1 (x - 1) - (x - 3) 1 ỉ 1 1 ư = = = ç ÷ x - 4x + 3 (x - 3)(x - 1) 2 (x - 3)(x - 1) 2 è x - 3 x -1ø 2 1 ỉ dx dx ư 1 d(x - 3) d(x - 1) 1 ' = (ln x - 3 - ln x - 1) + C -ò -ò Khi đó: I = ç ò ÷ = [ò 2 è x -3 x -1 ø 2 x -3 x -1 2 = 1 x -3 ln + C 2 x -1 Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:... a)(b - x) Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: I = x = acos2t x = a + (b – a)sin2t ò dx (1 - x 2 ) Giải: Đặt x = sin t; - p p 0 Þ 2 2 Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: I... ø 180 81 Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 2dx 1- x Giải: Đặt: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2 Suy ra: dx = - 2tdt & x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2tdt) = = 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt t 1- x 2 2 ỉ1 ư Khi đó: I = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C 3 15 è5 ø =- 2 2 [3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1x + C 15 15 Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: I... 320 Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: I = ò sin 3 x cos xdx Giải: Đặt: t = cos x Þ t 2 = cos x dt = sinxdx, Trang 17 sin 3 x cos xdx = sin 2 x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx = (1 - t 4 ).t.(2tdt) = 2(t 6 - t 2 )dt 1 ư 2 ỉ1 Khi đó: I = 2 ò (t 6 - t 2 )dt = 2 ç t 7 - t 3 ÷ + C = (3t 6 - 7t 2 )t + C 3 ø 21 è7 = 2 (cos3 x - 7 cos x) cos x + C 21 cos x.sin 3 xdx Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh:... đổi biến t = e - x / 2 , tuy nhiên với cách đặt t = ex / 2 chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx 1 + ex Giải: Cách 1: Đặt: t = 1 + ex Û t 2 = 1 + e x Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx = 2tdt dx 2tdt 2tdt & = 2 = 2 2 t -1 1 + ex t(t - 1) t - 1 dt t -1 1 + ex - 1 Khi đó: I = 2 ò 2 = ln + C = ln +C t -1 t +1 1 + ex + 1 Cách 2: Đặt: t = e- x / 2 1 dx Suy ra:... 2 ò dt t +1 2 = - 2 ln t + t 2 + 1 + C = -2 ln e- x / 2 + e - x + 1 + C Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx x +a 2 , với a ¹ 0 Giải: Đặt: t = x + x + a 2 x x2 + a + x dx dt ỉ ư = dx Û Suy ra: dt = ç 1 + ÷ dx = 2 2 2 t x +a ø x +a x +a è dt Khi đó: I = ò = ln t + C = ln x + x 2 + a + C t dx Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh: I = ò (x + 1)(x + 2) Giải: Ta xét hai trường hợp: ìx + 1 > 0 · Với... giải bài toán tổng quát: I= ò dx 2 (a + x 2 )2 k +1 , với k Ỵ Z Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân I = ò f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Xác đònh vi phân dt = y '(x)dx + Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó I = ò g(t)dt... dx + ò dx = - ò Suy ra: I = ò 2 2 x x x cos x cos x cos x 2 cos2 tg tg 2 2 2 Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I = dx ò cos 4 x Giải: Sử dụng kết quả: ta được: I = ò dx = d(tgx) cos2 x 1 dx 1 3 2 2 = (1 + tg x)d(tgx) = d(tgx) + tg xd(tgx) = tgx + tg x + C ò ò cos2 x cos2 x ò 3 BÀI TẬP Bài 9 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: a/ f(x) = (1 - 2x 2 )3 ; b/ f(x) = 2 x - x 3ex - 3x 2 ; x3 (2 + x )2 ; x d/