HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Cách giải: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ phương trình bậc nhất, thay vào phương trình bậc hai, ta được phương trình ẩn y (hoặc x). Từ đây tìm được y (hoặc x) và suy ra nghiệm của hệ phương trình. VD1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 19 x y x xy y − =   − + =  VD2. Giải hệ phương trình: 2 2 3 6 2 3 18 0 x y x xy y + =   + − + =  VD3. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 0 3 32 5 0 x y x y x y  + + + − =   − + =   Bài tập Giải các hệ phương trình: 1. 2 2 2 7 0 2 2 4 0 x y y x x y − − =   − + + + =  2. 2 4 9 6 3 6 3 0 x y x xy x y + =   + − + =  3. 2 2 2 1 0 12 2 10 0 x x y x x y  + + + =   + + + =   4. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0 3 1 0 x y x y xy y y  + + + + =   + + + =   II. Hệ đối xứng loại 1 Hệ đối xứng hai ẩn x, y loại 1 là hệ phương trình mà mỗi phương trình của hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x. Cách giải: • Đặt S x y= + , P xy= . Đưa hệ đã cho về hệ hai ẩn S, P. Giải hệ này tìm được S, P. • Nghiệm x, y của hệ ban đầu là nghiệm của phương trình: 2 0t St P− + = . • Điều kiện để có nghiệm x, y là: 2 4 0S P− ≥ . VD1. Giải hệ phương trình: 3 3 2 26 x y x y + =   + =  VD2. Giải hệ phương trình: 2 2 4 2 x xy y x xy y  + + =  + + =  VD3. Giải hệ phương trình: ( ) 7 2 5 2 x y xy xy x y  + + =     + =   VD4. Giải hệ phương trình: 30 35 x y y x x x y y  + =   + =   VD5. Cho hệ phương trình: 2 2 1x xy y m x y xy m + + = +   + =  1. Giải hệ với m = 2. 2. Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm ( ) ;x y thỏa mãn 0x > và 0y > . VD6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 6 x y m x y m + =   + = − +  Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2F xy x y= + + . VD7. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 x y xy m xy x y m  + = +   + + = +   Bài tập Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. 2 2 5 7 x y x xy y + =   − + =  2. 2 2 5 42 xy x y x y =   + + + =  3. 2 2 5 5 x y xy x y + + =   + =  4. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 3 1 1 6 x x y y x y  + + + + =   − − =   5. ( ) ( ) 3 3 19 8 2 x y xy x y  + =   + + =   Bài 2. Tìm m để hệ 2 2 3 8 x xy y m x y xy m + + =   + = −  có nghiệm. Bài 3. Gọi ( ) ;x y là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 2 1 2 3 x y a x y a a + = −   + = + −  Xác định a để xy nhỏ nhất. Bài 4. Cho hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 x y a x y  + = +   + =   1. Giải hệ phương trình với a = 2. 2. Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất. III. Hệ đối xứng loại 2 Hệ phương trình hai ẩn x, y là đối xứng loại 2 khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại. Cách giải: • Trừ từng vế hai phương trình cho nhau. • Đưa phương trình kết quả về dạng tích, trong đó có một thừa số là x y− , tức là có nghiệm x y= . Từ đó tìm được các nghiệm còn lại của hệ (nếu có). VD1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 4 5 2 4 5 x y y y x x  = − +   = − +   VD2. Giải hệ phương trình: 2 2 13 4 13 4 y x y x y x  = +   = +   VD3. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 19 7 x xy y x y x xy y x y  + + = −   − + = −   Bài tập Bài 1. Giải các hệ phương trình: 1. 2 2 2 2 x y y x  = −   = −   2. 3 3 5 5 x x y y y x  = +   = +   3. 2 4 4 2 20 20 x y x y  + =   + =   Bài 2. Tìm m để hệ 2 2 2 0 2 0 x y m y x m  − + =   − + =   có nghiệm. Bài 3. Tìm các giá trị của m để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1. 2 3 2 2 3 2 4 4 y x x mx x y y my  = − +   = − +   2. ( ) ( ) 1 2 3 x y xy y m x m y m − = +    − + − =   IV. Hệ phương trình đẳng cấp Dạng 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a x b xy c y d a x b xy c y d  + + =   + + =   Có thể giải hệ theo hai cách sau: Cách 1. • Giải hệ (I) với 0x = • Xét 0x ≠ . Đặt y tx = và đưa hệ (I) về hệ ẩn x, t. Khử x trong hệ này được phương trình bậc hai theo t. Cách 2. • Khử x 2 (hoặc y 2 ) ta tính được y theo x (hoặc x theo y). Thay vào một trong hai phương trình của hệ được phương trình trùng phươpng theo x (hoặc theo y). VD1. Cho hệ phương trình: 2 2 2 4 3 4 x xy y k y xy  − + =   − =   1. Giải hệ với k = 1. 2. Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi k. VD2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 3 5 4 3 9 11 8 6 x xy y y xy x  − − = −   + − =   VD3. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 0 2 x xy y x x y y  + − =   + = −   Bài tập Bài 1. Giải các hệ phương trình: 1. 2 2 2 2 3 0 2 3 1 x xy y x xy y  + − =   − + = −   2. 2 2 2 2 3 2 11 2 3 17 x xy y x xy y  + + =   + + =   3. 2 2 2 2 3 5 4 38 5 9 3 15 x xy y x xy y  + − =   − − =   4. 2 2 2 2 3 8 4 0 5 7 6 0 x xy y x xy y  − + =   − − =   5. 2 2 2 3 2 160 3 2 8 x xy x xy y  − =   − − =   6. 3 2 3 2 10 5 x xy y x y  + =   + =   Bài 2. Chứng tỏ rằng với mọi m ∈ ¡ , phương trình sau luông có nghiệm: 2 2 2 3 2 4 x xy y m xy y  − + =   − + =   . HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Cách giải: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ phương. phương trình bậc nhất, thay vào phương trình bậc hai, ta được phương trình ẩn y (hoặc x). Từ đây tìm được y (hoặc x) và suy ra nghiệm của hệ phương trình.