Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia Lớp 12 THPT năm 2005, Môn Vật lý, Bảng A. Ngy thi th nht (10/3/2005) Bài I. Cho vật nhỏ A có khối lợng m và vật B khối lợng M. Mặt trên của B là một phần mặt cầu bán kính R (xem hình vẽ). Lúc đầu B đứng yên trên mặt sàn S, bán kính của mặt cầu đi qua A hợp với phơng thẳng đứng một góc 0 ( 0 có giá trị nhỏ). Thả cho A chuyển động với vận tốc ban đầu bằng không. Ma sát giữa A và B không đáng kể. Cho gia tốc trọng trờng là g. 1. Giả sử khi A dao động, B đứng yên (do có ma sát giữa B và sàn S). a) Tìm chu kỳ dao động của vật A. b) Tính cờng độ của lực mà A tác dụng lên B khi bán kính qua vật A hợp với phơng thẳng đứng một góc ( ) 0 . c) Hệ số ma sát giữa B và mặt sàn S phải thoả mãn điều kiện nào để B đứng yên khi A dao động? 2. Giải sử ma sát giữa vật B và mặt sàn S có thể bỏ qua. a) Tính chu kỳ dao động của hệ. b) Lực mà A tác dụng lên B có giá trị cực đại bằng bao nhiêu? Bài II. Trong bình kín B có chứa hỗn hợp khí ôxi và hêli. Khí trong bình có thể thông với môi tr- ờng bên ngoài bằng một ống có khoá K và một ống hình chữ U hai đầu để hở, trong đó có chứa thuỷ ngân (áp kế thuỷ ngân nh hình vẽ). Thể tích của khí trong ống chữ U nhỏ không đáng kể so với thể tích của bình. Khối khí trong bình cân bằng nhiệt với môi trờng bên ngoài nhng áp suất thì cao hơn nên sự chênh lệch của mức thuỷ ngân trong hai nhánh chữ U là h = 6,2 cm. Ngời ta mở khoá K cho khí trong bình thông với bên ngoài rồi đóng lại ngay. Sau một thời gian đủ dài để hệ cân bằng nhiệt trở lại với môi trờng bên ngoài thì thấy độ chênh lệch của mức thuỷ ngân trong hai nhánh là cmh 2,2' = . Cho O = 16; He = 4. 1. Hãy xác định tỷ số khối lợng của ôxi và hêli có trong bình. 2. Tính nhiệt lợng mà khí trong bình nhận đợc trong quá trình nói trên. Biết số mol khí còn lại trong bình sau khi mở khoá K là n = 1; áp suất và nhiệt độ của môi trờng lần lợt là KTmNp 300;/10 0 25 0 == , khối lợng riêng của thuỷ ngân là 3 /6,13 cmg = ; gia tốc trọng trờng 2 /10 smg = . Bài III. Cho mạch điện có sơ đồ nh hình vẽ. Hai tụ điện 1 C và 2 C giống nhau, có cùng điện dung C. Tụ điện 1 C đợc tích điện đến hiệu điện thế 0 U , cuộn dây có độ tự cảm L, các khoá 1 K và 2 K ban đầu đều mở. Điện trở của cuộn dây, của các dây nối, của các khoá là rất nhỏ, nên có thể coi dao động điện từ trong mạch là điều hoà. 1. Đóng khoá 1 K tại thời điểm t = 0. Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t của: a) cờng độ dòng điện chạy qua cuộn dây. b) điện tích 1 q trên bản nối với A của tụ điện 1 C . 2. Sau đó đóng 2 K . Gọi 0 T là chu kỳ dao động riêng của mạch 1 LC và 2 q là điện tích trên bản nối với 2 K của tụ điện 2 C . Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t của cờng độ dòng điện chạy qua cuộn dây và của 2 q trong hai trờng hợp: a) Khoá 2 K đợc đóng ở thời điểm 4/3 01 Tt = . b) Khoá 2 K đợc đóng ở thời điểm 02 Tt = . 3. Tính năng lợng điện từ của mạch điện ngay trớc và ngay sau thời điểm 2 t theo các giải thiết ở câu 2b. Hiện tợng vật lý nào xảy ra trong quá trình này? Bài IV. Cho hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy. Một thấu kính hội tụ, quang tâm 1 O , đợc đặt sao cho trục chính trùng với Ox. S là điểm sáng nằm trớc thấu kính. Gọi 'S là ảnh của S qua thấu kính. 1.Lúc đầu S nằm trên Oy, cách thấu kính một khoảng bằng tiêu cự của thấu kính, cách O một khoảng bằng h. Giữ S cố định, dịch chuyển thấu kính ra xa dần S sao cho trục chính luôn luôn trùng với Ox. a) Lập phơng trình quỹ đạo )(xfy = của 'S . Biết tiêu cự của thấu kính là f. Phác hoạ quỹ đạo này và chỉ rõ chiều dịch chuyển của ảnh khi thấu kính dịch chuyển ra xa dần S. b) Trên trục Ox có ba điểm A, B, C (xem hình vẽ). Biết AB = 6cm, BC = 4cm. Khi thấu kính dịch chuyển từ A tới B thì 'S lại gần trục Oy thêm 9cm, khi thấu kính dịch chuyển từ B tới C thì 'S lại gần trục Oy thêm 1cm. Tìm toạ độ điểm A và tiêu cự của thấu kính. 2. Giả sử điểm sáng S cách thấu kính một khoảng lớn hơn tiêu cự của thấu kính. Giữ thấu kính cố định, ảnh 'S sẽ di chuyển thế nào nếu dịch chuyển S lại gần thấu kính theo một đờng thẳng bất kỳ? Hớng dẫn giải đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn vật lý, Năm 2005 (Ngày thi thứ nhất: 10/3/2005) Bài I. 1. a) Khi bán kính nối vật với tâm lệch góc (nhỏ) : )1(amgmN =+ Chiếu (1) lên trục Os (coi nh vuông góc với bán kính): smRmgs = / 0 2 =+ ss với Rg / = . Vậy A dao động điều hoà với gRT /2 = b) Chiếu (1) trên phơng bán kính: RmvmgN /cos 2 += . Theo định luật bảo toàn năng lợng: ( ) 0 2 coscos2/ = mgRmv ; 0 cos2cos3 mgmgN = c) Ta có: sinNN x = sincos22sin5,1 0 mgmg = . áp lực của M lên sàn là: cosNMgQ += coscos2cos3 0 2 mgmgMg += . Điều kiện để B đứng yên là: kQN x với mọi 0 . Với nhỏ: ( ) 0 cos23 mgmgN x tỷ lệ với nên có giá trị cực đại khi 0 = . Do đó: ( ) 00000max sincossincos2cos3 mgmgmgN x == ( ) 0sincos3cos2 0 <= mgd dQ luôn có giá trị âm nên Q nghịch biến với . Vậy 0 2 min cos mgMgQ += khi 0 = . Mặt khác, ta có minmax // QNkQNk xx 0 2 00 min cos sincos mM m k + = . Nếu thay 2/1cos 2 00 và 00 sin , ta đợc: ( ) . 2/1 2 0 0 min + = mM m k 2.a) Khi bỏ qua ma sát, theo phơng ngang, động lợng của hệ đợc bảo toàn. Vì nhỏ nên có thể coi vận tốc của m có phơng nằm ngang, ta có: 0 =+ MVmv Mặt khác, do bảo toàn cơ năng: ( ) 0 22 coscos 22 =+ mgR MVmv Chú ý rằng ( ) ( ) MmvVvR /1' +== (ở đây ký hiệu dt d = ), Với các góc bé, ta có: ( ) ( ) ( ) 22 0 2 2 222 2 22 2 1 /12/12 = + + + mgR MmM RMm Mm mR ( ) ( ) 22 0 2 2 1 /1/ 2 =+ gMmR Đạo hàm hai vế biểu thức trên theo t:, ta đợc: ( ) R Mmg /1 + = . Vậy hệ dao động điều hoà với ( ) ( ) Mmg R T R Mmg /1 2 /1 + = + = . b) Đối với m: amgmN =+ . Chiếu hai vế của phơng trình trên lên Os, ta có: ( ) R Vvm mgN 2 cos += . Theo định luật bảo toàn động lợng: 0 =+ MVmv và bảo toàn cơ năng: ( ) 0 22 coscos 22 =+ mgR MVmv Suy ra: ( ) 0 coscos2 + = gR Mm M v Ta đã biết ( ) MmvVv /1 += nên khi 0 = , cos và Vv cực đại, do đó N cực đại. Vậy R Vvm mgN 2 max )( 0cos += 22 )1( M m v R m mg ++= ( ) 2 0 )1(cos12 /1 1 M m gR MmR m mg + + += ( ) 0 cos/1223 Mmmg M m mgmg ++= . Bài II. 1) Lúc cha mở khoá K, khí có áp suất ghpp += 01 . Khi mở khoá K, khí giãn nở đoạn nhiệt và có áp suất 0 p : = 1 01 1 10 pTpT , suy ra 0 1 0 1 0 1 )1( 1 p gh p p T T + = (1) Khi đóng khoá, quá trình là đẳng tích. Khi cân bằng khí có áp suất 202 ghpp += và nhiệt độ 1 T . Ta có: )2(1 0 2 20 0 2 0 0 1 + == p gh ghp p p p T T So sánh (1) và (2) ta đợc: )3( 1 11 0 1 0 2 += p gh p gh 21 1 12 1 hh h hh = = Thay số ta tính đợc: 55,1 = . Xét một mol hỗn hợp, gọi hệ số mol He là x, số mol 2 H là y. Nhiệt dung mol đẳng tích của He là 3R/2, của 2 H là 5R/2. Nhiệt dung mol đẳng áp của He là 5R/2, của 2 H là 7R/2, nên ta hệ phơng trình: 1 =+ yx (*) 55,1 5,25,1 5,35,2 = + + = RyRx RyRx (**) Giải ra ta đợc 68,0 x . Từ đó ta tính đợc: ( ) 8,3 4 321 = gx gx m m He H . 2).Tính nhiệt lợng: Nhiệt dung mol đẳng tích của hỗn hợp khí là 1 = R C V , ta có: ( ) ( ) 01010 /1 TTTnCTTnCQ VV == ( ) = 1 00 1 1 p pRT n = ( ) ( ) 0 02 20 00 1 1 1 p TghnR ghp pRT n = + J6,135 Bài III. 1. a) Chu kỳ dao động của mạch LCTLC 2/2: 001 == Điện tích q của bản A của tụ điện 1 C vào thời điểm t = 0 là ( ) 00 0 CUQq == và ( ) 00 =i Vào thời điểm t ta có: )./(sin// 0 LCtLCUdtdqi == b) ( ) )/cos()/(cos 00 LCtCULCtQtq == 2. a) Tại thời điểm 2/34/3 01 LCTt == thì ( ) )3(04/3 0 = Tq và ( ) LCULCUTi /2/3sin/4/3 000 == (4) Từ thời điểm này dao động điện từ có tần số góc LC2 1 1 = . (Hai tụ điện mắc song song coi nh một tụ ghép có điện dung 2C và có điện tích bằng 0 vào thời điểm 4/3 0 Tt = ). Với điều kiện ban đầu (3) và (4) ta có: ( ) 4/3cos 0111 TtIi = , với LCUI / 01 = . hay )5( 4 23 2 cos/ 01 = LC t LCUi Ký hiệu 12 q là điện tích của tụ ghép và 'q là điện tích của tụ 2 C , ta có ( ) 4/3sin''2 0112 TtQqq == Để tính 'Q ta áp dụng định luật bảo toàn năng lợng: ( ) C Q LI C Q 222 1 2 2' 2 1 2 0 == 22' 00 CUQQ == Từ đây suy ra: )6( 4 23 2 sin 2 ' 0 = LC t CU q 2.b) Nếu đóng 2 K vào thời điểm 02 Tt = thì ta có: ( ) ( ) )7(2cos 0000 QCUCUTq === và ( ) )8(0 0 = Ti Tại thời điểm này hai tụ 1 C và 2 C mắc song song, tụ 1 C tích điện tích 0 Q còn tụ điện 2 C thì không tích điện, dòng trong mạch bằng không. Do vậy, ngay sau đó lợng điện tích 0 Q này trên tụ 1 C sẽ phân bố lại cho cả hai tụ điện. Quá trình phân bố này xảy ra rất nhanh trong khi điện tích cha kịp dịch chuyển qua cuộn dây, vì tại thời điểm này 0 = i và sự thay đổi cờng độ dòng điện qua cuộn cảm bị cản trở do hệ số tự cảm (gây ra cảm kháng), điện tích hầu nh chỉ truyền qua các khoá và dây nối. Vì hai tụ điện có điện dung nh nhau nên điện tích 0 Q đợc phân bố đều cho hai tụ điện. Sau khi điện tích đợc phân bố đều trên hai tụ điện, trong mạch lại có dao động điện từ với tần số góc 12 2 1 == LC , với điều kiện ban đầu (7) và (8). Vì vậy ta có: == 2 2 sin)(sin 2222 LC t ITtIi ( ) TtQqq == 20212 cos2 = 2 2 cos 0 LC t Q Từ dt dq i 12 2 = L C U LC Q I 2 2 0 0 2 == , cuối cùng ta có: = 2 2 sin 2 02 LC t L C Ui và = 2 2 1 cos 2 0 2 LC CU q . 3. Sự phân bố lại điện tích làm giảm năng lợng điện từ, từ giá trị CQ 2/ 2 0 đến C Q C Q 42 1 2 2 2 0 2 = . Độ giảm năng lợng này chuyển thành năng lợng sóng điện từ truyền đi trong không gian. Bài IV. Gọi k là hệ số phóng đại, d là khoảng cách vật và 'd là khoảng cách ảnh. Nhìn vào H.1 ta có: 'ddx += ; hyddk //' == và kdd = (h cố định, vật và ảnh ở khác phía nhau so với trục chính nên 0 < k ). Ta có: ( ) dkkddx == 1 . Sử dụng công thức thấu kính: f k k d k kd dd dd f = = + = 1 1' ' ( ) ( ) ( ) ( ) f hy yh hf k hy f k k dkx 222 /11 1 + = + = == f x f xh h f hx y = 2 22 4 2 Chú ý rằng, khi x , xảy ra hai trờng hợp: * Khi thấu kính ở rất xa vật, tia từ vật đi qua quang tâm gần nh trùng với trục chính, thì 0 y ; * Khi vật ở sát tiêu diện = yddkdfd ;/';' xh f f hx h f hx f x f xh h f hx y 22 22 4 1 22 4 2 == h f hx h f hx 22 Chúng ta thấy trờng hợp đầu ứng với dấu (-) tơng ứng nhánh trên, trờng hợp sau ứng với dấu (+) tơng ứng nhánh dới. Vậy phơng trình quỹ đạo của ảnh 'S trên trục toạ độ đã cho là: f x f xh h f hx y = 2 22 4 2 với fx 4 . Quỹ đạo ảnh 'S đợc vẽ trên hình 2. 1b. Thấu kính đặt tại B: ( )( ) fdfdf fdd ==+ ' 1 ' 11 2 )6(' 2 xxfxx == Thấu kính đặt tại A: x giảm 6cm, x tăng 6 + 9 = 15cm. ( )( ) 15'6 2 += xxf (7) Khi thấu kính đặt tại C: x tăng 4cm, x giảm 5cm. ( )( ) )8(5'4 2 += xxf Giải hệ phơng trình ba ẩn: cmfcmxcmx 20;25';16 === 2. Giữ thấu kính cố định, dịch chuyển S lại gần thấu kính theo đ- ờng thẳng SJ cố định bất kỳ (J là điểm cắt của đờng thẳng SJ với TK). Dựng tiêu điểm phụ 1 F đối với tia SJ. Qua cách dựng ảnh của S, ta thấy rằng khi S tiến tới J ở ngoài khoảng tiêu cự, ảnh 'S của nó là ảnh thật nằm trên đờng thẳng cố định 1 JF phía bên phải thấu kính, tiến tới theo chiều 1 JF . Khi JS ở trong khoảng tiêu cự, ảnh 'S của nó là ảnh ảo, nằm trên đờng thẳng cố định 1 JF phái bên trái thấu kính, tiến tới J theo chiều 1 JF (Hình 4). . Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia Lớp 12 THPT năm 2005, Môn Vật lý, Bảng A. Ngy thi th nht (10/3 /2005) Bài I. Cho vật nhỏ A có khối lợng m và vật. một đờng thẳng bất kỳ? Hớng dẫn giải đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn vật lý, Năm 2005 (Ngày thi thứ nhất: 10/3 /2005) Bài I. 1. a) Khi bán kính nối