SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio LONG AN Khối: Lớp 11 năm học 2003 – 2004 ------- Ngày thi: 13/01/2004 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 90 phút (không kể phát đề) Chú ý: Tất cả các giá trò gần đúng lấy 9 chữ số thập phân không làm tròn. Bài 1: Tính giá trò biểu thức: 1) αααα αααα 332 44 cossincossin sincoscossin −− + = A khi biết 3 4 = α tg 2) ααα αααα 333 2424 cos1)cot1)(1( )sin1(cos)cos1(sin +++ +++ = gtg B khi biết 3456.0sin = α và 00 18090 << α Bài 2: Cho đa thức P(x) = 5x 4 – 4x 3 + 3x 2 – 4x + m 1) Tìm m biết 72,2002 5 4 =       P 2) Giải phương trình P(x) = 0 khi m = 1,28 Bài 3: Cho phương trình 8sin 3 x – 6sinx + 1 = 0 (1) 1) Các giá trò nào sau đây không là nghiệm phương trình (1) 18 17 ; 18 13 ; 18 11 ; 18 7 ; 18 5 ; 18 ππππππ 2) Giải phương trình (1) (viết kết quả theo độ phút giây) Bài 4: Cho tứ diện đều SABC có cạnh a = 5,625 (cm).Một mặt phẳng α đi qua trực tâm H của ∆ ABC và song song với 2 cạnh SA, BC cắt các cạnh SB, SC, AC, AB lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. 1) Tính góc hợp bởi 2 đường thẳng AM và BC (bằng đô, phút, giây) 2) Tính diện tích tứ giác MNPQ Bài 5: Cho phương trình: sin(x 2 – x – 1 ) + cos(x 2 + x – 1 ) = m 2 – m – 1 1) Tìm m để x = 17 π là nghiệm của phương trình đã cho 2) Với m = 2 51 + , hãy tìm tất cả các nghiệm thuộc [-1; 1] của phương trình trên. Bài 6: Cho hàm số f(n) xác đònh trên tập N * biết f(1) = 1; f(2) = 1 và [ ] )2(sin 5 2 )1( 5 2 )( 2 −+−= nfnfnf π π với mọi n ≥ 3 1) Tính f(3) ; f(4) 2) Tính f(2004) Bài 7: 1) Cho ∆ ABC có đường cao AH (H nằm trong đoạn BC). Cho biết BH = 2; CH = 4, góc BAC = 60 0 .Tính độ dài AH 2) ∆ ABC có diện tích S = 28,9858, góc A = 37 0 15’ và góc B = 84 0 20’.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài 8: Tìm 5 chữ số tận cùng của số 2 2004 Bài 9: 1) Tìm ước số nguyên tố lớn nhất của số 4024027 2)Tìm số abcA = để số 20041abc chia hết cho 2003 Bài 10: 1) Tìm số tự nhiên 654321 aaaaaaA = biết rằng 5A = 543216 aaaaaa 2)Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 2 là một số gồm 10 chữ số bắt đầu bằng 1234 và kết thúc bằng 89. -------------------------------------------------------------------------------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM KHỐI 11 – 2003 – 2004 Bài Phương pháp giải Kết quả 1 )1)(1( cos cos cos sin cos cos.sin cos cos sin.sin cos cos.sin cos cossincos.sin sin.coscos.sin 322 4 3 3 3 3 3 2 3 5 4 5 4 5 332 44 −−+ + =         −−         + = −− + = ααα αα α α α α α αα α α αα α αα α αααα αααα tgtgtg tgtg A -0.909188963 ααα αα ααα αααααα 333 24 333 222244 cos1)cot2( sin1sin cos1)cot11( )cos(sincos.sincossin +++ −+ = ++++ +++ = gtg gtg B "53'46159)18090(3456.0sin 000 =⇒<<= ααα -0.118832685 2 1) Đặt Q(x) = 5x 4 - 4x 3 + 3x 2 – 4x ; m = P( 5 4 ) – Q( 5 4 ) 2) P( 5 4 ) = 0 nên pttt (x - 5 4 )(5x 3 + 3x - 5 8 ) = 0 m = 2004 x = 5 4 =0.8 x = 0.414575884 3 1) Dùng CAL 2) gpt: 8t 3 – 6t + 1 = 0.Từ đó ta có nghiệm pt 18 11 ; 18 7 ππ 50 0 +k360 0 130 0 +k360 0 -70 0 +k360 0 250 0 +k360 0 10 0 + k360 0 170 0 + k360 0 4 (AM,BC) = (AM,MN).Ta thấy AN = AM; aMB BA QB SB MB 3 1 3 1 =⇒== . p dụng đlíhsố cosin trong tg MAB: 3 7a MA = 7 1 2 cos 3 2 3 2 ==⇒=⇒== AM MN MaMN SB SM BC MN 67 0 47’32” S = 7.03125 5 1) VT = f(x) ; A = f(17 π ).Gpt : m 2 – m – 1 – A = 0 2) pttt: sin(x 2 – x – 1 ) + cos(x 2 + x – 1 ) = 0 ⇔ cos(x 2 + x – 1 ) = cos ( 2 π +x 2 – x – 1)          +−−= +−= += ⇔ π π π π π π kx kx kx 4 1 4 1 4 1.872676464 -0.872676463 0.785398163 0.463251375 -0.463251375 6 1)A ->1 ; B -> 1; X -> 2; X = X + 1:C = AB sin 5 2 5 2 2 π π + :A=B:B=C 2) u n 2 = 2 2 1 sin 5 2 5 2 −− + nn uu π π ;f(30) = f(31) = f(32) = … 1.18474758 1.236138944 f(2004) = 1.570796327 1)AH= x ( x > 0); AB 2 = x 2 + 4; AC 2 = x 2 + 16 AH = 7 Đlí hscosin: 6 2 = 2x 2 + 10 6420 24 ++− xx ⇔ 3x 4 – 80x 2 + 192 = 0 (x 2 8 ≥ ) 2) S = 2R 2 .sinA.sinB.sinC = Rr(sinA + sinB + sinC) 5.048675598 R=5.314582951 r=2.224051787 8 Ta tìm số dư khi chia 2 2004 cho 100000 2 30 ≡ 41824 (mod 10 5 ); 2 60 ≡ 46976 (mod 10 5 ); 2 120 ≡ 44576 2 240 ≡ 19776; 2 480 ≡ 90176; 2 960 ≡ 10976; 2 1920 ≡ 72576; 2 1920 .2 30 ≡ 18624; 2 1950 .2 30 .2 24 ≡ 70016 70016 9 1)4024027 = 2003. 2009 = 2003.287.7 2003 không chia hết cho tất cả các số nguyên tố 2003 ≤ 2) 2003)2053(52003102515 20031025152003200310251988200320041   +−⇔+−⇔ +−⇔+⇔ AA AAAabc ta thấy : 0;104.03.19520032792 9520532792999100 −=⇒≤≤−⇔−≤≤−⇔ −≤+−≤−⇔≤≤ kkk AA 2003 736 10 1) Đặt B = 54321 aaaaa gt -> 5(B.10+a 6 ) = 10.a 6 + B 14285;71428579999549 666 ==⇒=⇒=⇒ BaaBaB 2) 1234.10 6 < n 2 < 1235.10 6 => 35128 < n < 35142 n 2 = … 89 => n có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 => n = 35133 hoặc n = 35137. Thử lại 14285 35133 . SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio LONG AN Khối: Lớp 11 năm học 2003 – 2004 ------- Ngày thi: 13/01/2004