Chương V ĐẠO HÀM (c: 13 tiết, nc: 16 tiết) SGK ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Chuẩn nâng cao I MỤC TIÊU CHUNG CỦA CHƯƠNG: • Về kiến thức: • Nắm vững định nghĩa ý nghĩa đạo hàm; • Nhớ cơng thức quy tắc tính đạo hàm; • Nắm định nghĩa vi phân, công thức gần nhờ vi phân; • Hiểu định nghĩa đạo hàm cấp cao (cấp hai (sc)) ứng dụng học đạo hàm cấp hai I MỤC TIÊU CHUNG CỦA CHƯƠNG: Về kĩ năng: • Tính đạo hàm hàm số theo định nghĩa số hàm số đơn giản • Vận dụng tốt quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số cách tính đạo hàm hàm số hợp • Biết cách tính đạo hàm cấp cao (cấp hai (sc)) số hàm số thường gặp • Biết số ứng dụng đạo hàm vi phân để giải toán liên quan đến tiếp tuyến, vận tốc, gia tốc, tính gần II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý TRONG CHƯƠNG: Những điểm cấu trúc thời lượng: Chuẩn (13t) $1 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm (2 t) $2 Quy tắc tính đạo hàm (3 t) $3 Đạo hàm HS lượng giác (4 t) $4 Vi phân (1 t) $5 Đạo hàm cấp hai (1 t) Ôn tập chương V (2 t) Nâng cao (16t) $1 Khái niệm đạo hàm (3 t) Luyện tập (1 t) $2 Các quy tắc tính đạo hàm(3 t) Luyện tập (1 t) $3 Đạo hàm hàm số lượng giác (2 t) Luyện tập (1 t) $4 Vi phân (1 t) $5 Đạo hàm cấp cao (1 t) Luyện tập (1 t) Ôn tập KT chương (2 t) NHẬN XÉT * Những ưu điểm: • Tiếp nối chương Giới hạn (C.IV) học trước nên vận dụng dễ dàng định lí, tính chất vừa học • Khơng gây căng thẳng cho HS phải học liên tục học dồn dập nhiều vào vấn đề • Đáp ứng kịp thời kiến thức cần thiết phục vụ cho việc học tập mơn học khác Vật lý, Hóa học, Sinh học, • Bớt tập: tính tốn cồng kềnh, tính đạo hàm hàm số cho nhiều biểu thức • Đa dạng hóa tập, nhiều tập ôn tập kiến thức mà HS học, tập áp dụng thực tế Những điểm nội dung: • Đổi phương pháp trình bày số khái niệm như: thay đổi định nghĩa tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp (NC) • Giảm số kiến thức khó như: đạo hàm phía, đạo hàm đoạn, quan hệ đạo hàm liên tục (NC) ; bớt chứng minh số định lí • Tăng cường luyện tập lớp, thêm số BT nhà, bỏ hẳn tốn phức tạp tốn khó như: tính theo đn đh hàm số cho nhiều biểu thức, đh hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian • Thêm số tốn ứng dụng thực tế, tốn có hình ảnh hình học, tốn tổng hợp ơn tập nhiều kiến thức học Nhận xét • • • • Khơng đề cập đạo hàm bên Không nhấn mạnh ý nghĩa điện học Không chứng minh lim(sinx/x) = Không nêu công thức đạo hàm hàm số mũ hàm số lơgarit • chuẩn: đạo hàm cấp • Nâng cao: đạo hàm cấp cao §1.KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM I MỤC TIÊU: * Về kiến thức: Giúp học sinh • Nắm vững đn đạo hàm hàm số điểm khoảng hợp nhiều khoảng • Nhớ cơng thức tính đạo hàm số hàm số thường gặp • Hiểu ý nghĩa hình học ý nghĩa học đạo hàm * Về kĩ : • Biết tính đạo hàm vài hàm số đơn giản điểm theo định nghĩa • Nắm vững cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước thuộc đồ thị có hệ số góc cho trước • Ghi nhớ vận dụng thành thạo công thức đạo hàm hàm số thường gặp • Vận dụng cơng thức tính vận tốc tức thời chất điểm cho phương trình chuyển động chất điểm II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý: SỰ XUẤT HIỆN CỦA ĐẠO HÀM: Đạo hàm khái niệm Tốn học có xuất xứ từ toán thực tiễn, kĩ thuật khác Cơ học, Vật lí, Hình học, Hóa học, Có thể trình bày xuất đạo hàm sau: Vận tốc tức thời Cường độ dòng Tốc độ phản ứng điện tức thời hóa học tức thời Q(t ) − Q(t0 ) f (t ) − f (t0 ) s (t ) − s (t0 ) I (t0 ) = lim C (t0 ) = lim v(t0 ) = lim t →t t →t t →t t − t0 t − t0 t − t0 0 Đạo hàm f ( x ) − f ( x0 ) f '( x0 ) = lim x→ x x − x0 0 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM f ( x + ∆x) − f ( x) • Đạo hàm f '( x) = lim ∆x→0 ∆x khoảng (tập xác định f’) ∆y = lim ∆x→0 ∆x Chú ý: • Nếu hs f có đạo hàm J (J khoảng hợp khoảng đó) hàm số f’(x) xác định f ': J → ¡ Gọi đạo hàm hàm số f x a f '( x ) • Việc đưa kí hiệu J vào nhằm đơn giản cách diễn đạt, đồng thời nhằm đnkn đạo hàm không khoảng mà hợp khoảng VD: y = |x| có đh (-∞;0) (0;+∞) • Khơng xét đạo hàm hàm số hai điểm mút [a;b] Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM • Chuẩn: Khơng giải thích “vị trí giới hạn”mà xét khái niệm cách mô tả trực quan • Nâng cao: Coi đường thẳng qua M0 có hệ số góc k0 = limkM vị trí giới hạn cát tuyến kM = ∆y = tan ϕ (l µ hƯ sè gãc cđa M0 M ) ∆x M0 M M dần đến M0 k0 = lim k M x → x0 ∆y = lim = f '( x0 ) ∆x→0 ∆x Chú ý: Để có “vị trí giới hạn” nêu ta phải giả thiết giới hạn limkM ( xM → x0 ) tồn (hữu hạn) CHÚ Ý: (SGK) không xét trường hợp sau: • TH1: Tiếp tuyến đường trịn x2 + y2 = R2 hai điểm (R;0) (R;0) đường trịn khơng phải đồ thị hàm số cả.(SGK không xét tiếp tuyến hiểu theo nghĩa hình học) y R -R R x O -R CHÚ Ý: (SGK) không xét trường hợp sau: • TH2: “Tiếp tuyến” song song trùng với trục tung Chẳng hạn, “tiếp tuyến” đồ thị hàm số y = điểm (0;0) x hàm số khơng có đạo hàm x0 = y O -5 -2 x CHÚ Ý: (SGK) khơng xét trường hợp sau: • TH3: “Tiếp tuyến” bên, chẳng hạn, “tiếp tuyến” đồ − x điểm (-2;0) (2;0) , thị hàm số y = chương trình khơng có khái niệm đạo hàm bên y -5 -2 O -2 x §2.CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM I MỤC TIÊU: • Về kiến thức: Giúp học sinh - Hiểu cách Cm quy tắc tính đh tổng tích hs - Nhớ hai bảng tóm tắt đh số hàm số thường gặp quy tắc tính đh tổng, hiệu, tích, thương hs • Về kĩ năng: Giúp học sinh vận dụng thành thạo quy tắc tính đạo hàm hai cơng thức tính đạo hàm hàm số hợp y = u n ( x) vµ y = u(x) II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý: • SGK khơng đưa cơng thức tính đạo hàm hs y = • Khái niệm hàm số hợp Chuẩn x Nâng cao Cho u=g(x) xác định (a ; b), lấy giá trị (c ; d); y=f(u) xđ (c ; d) lấy giá trị R Cho y = f(u) u = u(x) Thay Khi ta lập hàm số xđ (a ; b) lấy giá trị biến u biểu thức f(u) R theo quy tắc x f(g(x)) Ta gọi y=f(g(x)) hàm hợp u(x), ta biểu thức • Nhận xét: g(x)=f(u(x)) với biến x.Hàm số - Định nghĩa theo quan điểm Đại học y=g(x) với g(x)=f(u(x)) gọi - Học sinh khó tiếp thu hàm số hợp Hạn chế: - Không nêu đk tồn hs txđ hàm số - Có trường hợp thay vào hs khơng tồn VD: y = u víi u(x) = − x − • Đạo hàm hàm số hợp Chuẩn Nếu hàm số u=g(x) có đh x u’x HS y=f(u) có đh u y’u hàm số hợp y=f(g(x)) có đh x y’x=y’u.u’x Hạn chế: SGK không nêu hai công thức đạo hàm hàm số: y = un y= Nâng cao Nếu HS u=u(x) có đh x0 HS y=f(u) có đh u0=u(x0) hàm số hợp g(x)=f(u(x)) có đh x0 g’(x0)=f ’(u0).u’(x0) Chuyển sang x∈J tuỳ ý g’(x)=f ’(u(x)).u’(x) Viết gọn : g’x=f ’u.u’x • SGK có nêu cơng thức đạo hàm hàm số hợp u • Nhận xét: SGK thừa nhận cơng thức mà khơng chứng minh §3.ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I MỤC TIÊU: • Về kiến thức: Giúp học sinh sin x - Ghi nhớ lim =1 x →0 x - Nhớ cơng thức tìm đạo hàm hàm số lượng giác • Về kĩ năng: Giúp học sinh có kĩ thành thạo việc vận dụng công thức học để tìm đạo hàm hàm số lượng giác thường gặp II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý: sin x =1 • SGK khơng giới thiệu phép chứng minh lim x →0 x (Do chương trình không đề cập đến giới hạn “kẹp” Để HS dễ chấp nhận kết SGK(nc) đưa bảng giá trị tỉ số sinx/x với giá trị dương ngày nhỏ x để HS đến nhận xét “ tỉ số sinx/x gần tới 1”) •SGK (nc) đưa ý Nếu hàm số u = u(x) thỏa mãn u ( x) ≠ 0, ∀x ≠ x0 sin u ( x)  ⇒ lim =1  lim u ( x) = x→ x u ( x)  x→ x  0 Đ4.VI PHN I MC TIấU: ã V kin thc: Giúp học sinh - Hiểu định nghĩa vi phân - Nắm cơng thức tính gần nhờ vi phân • Về kĩ năng: Giúp học sinh - Biết cách tính vi phân số hàm số thường gặp - Hiểu ứng dụng vi phân tính gần II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý: • df(x)=f ’ (x).Δx đại lượng phụ thuộc vào x Δx • Nếu cố định x =x0 df(x0)=f ’ (x0).Δx phụ thuộc vào Δx • Nhưng kí hiệu df(x) df(x0) khơng phản ánh rõ điều (vì khơng thấy xuất Δx ), sau lại nội dung ứng dụng vi phân vào việc tính gần • Đặc điểm dễ làm cho học sinh lầm tưởng vi phân hàm số điểm số không đổi II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý: Khi tính gần giá trị biểu thức dựa công thức gần vi phân (HS dùng máy tính bỏ túi), GV nên gợi ý để HS lựa chọn hàm số f, x0, x cách thích hợp Việc ước lượng sai số cơng thức tính gần đúng: f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ).∆x (1) Nằm ngồi chương trình THPT Vì áp dụng công thức (1), ta biết sai số mắc phải Chính vậy, giải tốn có áp dụng cơng thức (1) GV nên cho HS sử dụng máy tính bỏ túi để Cmr áp dụng công thức (1), ta kết xác (so với giá trị số phải tìm) miễn |x| đủ nhỏ §5.ĐẠO HÀM CẤP CAO (CẤP HAI (sc)) I MỤC TIÊU: • Về kiến thức: Giúp học sinh - Nắm vững định nghĩa đạo hàm cấp n (cấp hai (sc)) - Hiểu ý nghĩa học đạo hàm cấp hai • Về kĩ năng: Giúp học sinh - Có kĩ thành thạo việc tính đạo hàm cấp hữu hạn số hàm số thường gặp - Biết cách tính đạo hàm cấp n số hàm số đơn giản hàm đa thức, y = sinax, y = cosax (a: số), y= ( a ≠ 0, a, b l µ h»ng sè) ax + b §5.ĐẠO HÀM CẤP CAO (CẤP HAI (sc)) II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý: • Trước dạy HS tính đạo hàm cấp n hàm số y= GV nên dạy HS cách tìm đạo hàm cấp n hs y = phương pháp quy nạp Sau suy công thức (n) ax + b nhờ x ( −1) n!.a    ÷ = n +1 yêu cầu hs Cm qui nạp (ax + b)  ax + b  n n • Nên hướng dẫn HS giải thêm tập: π (n)  a) ( sin x ) = sin  x + n ÷ 2  b) ( cos x ) (n) π  = cos  x + n ÷ 2  phương pháp qui nạp ... nghĩa ý nghĩa đạo hàm (2 t) $2 Quy tắc tính đạo hàm (3 t) $3 Đạo hàm HS lượng giác (4 t) $4 Vi phân (1 t) $5 Đạo hàm cấp hai (1 t) Ôn tập chương V (2 t) Nâng cao (16t) $1 Khái niệm đạo hàm (3... năng: • Tính đạo hàm hàm số theo định nghĩa số hàm số đơn giản • Vận dụng tốt quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số cách tính đạo hàm hàm số hợp • Biết cách tính đạo hàm cấp cao (cấp... Không đề cập đạo hàm bên Không nhấn mạnh ý nghĩa điện học Không chứng minh lim(sinx/x) = Không nêu công thức đạo hàm hàm số mũ hàm số lơgarit • chuẩn: đạo hàm cấp • Nâng cao: đạo hàm cấp cao §1.KHÁI