ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HKII MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2013-2014 TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ 1) CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ ax + by = c , a ≠ ( D ) a ' x + b ' y = c ', a ' ≠ ( D ') Cho hệ phương trình:  a b ≠ • (D) cắt (D’) ⇔ ⇔ Hệ phương trình có nghiệm a' b' a b c ⇔ Hệ phương trình vơ nghiệm = ≠ • (D) // (D’) ⇔ a' b' c' a b c ⇔ Hệ phương trình có vơ số nghiệm = = • (D) ≡ (D’) ⇔ a' b' c' II BÀI TẬP VẬN DỤNG x + y = m 2 x − my = Bài tập 1: Cho hệ phương trình  (1) Giải hệ phương trình (1) m = –1 Xác định giá trị m để: a) x = y = nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vơ nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = x + y = k + 2 x + y = − k Bài tập 2: Cho hệ phương trình  (1) Giải hệ (1) k = Tìm giá trị k để hệ (1) có nghiệm x = – y = Tìm nghiệm hệ (1) theo k x + y = 2 x − my = Bài tập 3: Cho hệ phương trình  Giải hệ phương trình (1) m = –7 Xác định giá trị m để: (1) a) x = – y = nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vơ nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m mx − y = −1 2 x + y = Bài tập 4: Cho hệ phương trình  (1) Giải hệ phương trình (1) m = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = − y = 3 Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m x + y = 2 x + y = m Bài tập : Cho hệ phương trình  (1) Giải hệ phương trình (1) m = –1 Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa  x > y < HD: Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 y = – Tìm: • Nghiệm hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – x > 12 − m > m < 12 • Theo đề bài:  y < ⇒ m − < ⇔ m < ⇔ m <    2) CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P) : y = ax2 VÀ (D) : y = ax + b (a ≠ 0) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a ≠ 0) : Hàm số y = ax2(a ≠ 0) có tính chất sau: • Nếu a > hàm số đồng biến x > nghịch biến x < • Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > Đồ thị hàm số y = ax2(a ≠ 0) : • Là Parabol (P) với đỉnh gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng • Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh điểm thấp đồ thị • Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh điểm cao đồ thị Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) : • Lập bảng giá trị tương ứng (P) • Dựa bảng giá trị → vẽ (P) Tìm giao điểm hai đồ thị :(P) : y = ax2(a ≠ 0) (D) : y = ax + b: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (D) : cho vế phải hàm số → đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = • Giải pt hồnh độ giao điểm: + Nếu ∆ > ⇒ pt có nghiệm phân biệt ⇒ (D) cắt (P) tại điểm phân biệt + Nếu ∆ = ⇒ pt có nghiệm kép ⇒ (D) (P) tiếp xúc + Nếu ∆ < ⇒ pt vơ nghiệm ⇒ (D) (P) khơng giao Xác định số giao điểm hai đồ thị :(P) : y = ax2(a ≠ 0) (Dm) theo tham số m: • Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (D m) : cho vế phải → đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = hàm số • Lập ∆ (hoặc ∆ ' ) pt hồnh độ giao điểm • Biện luận: + (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt ∆ > → giải bất pt → tìm m + (Dm) tiếp xúc (P) tại điểm ∆ = → giải pt → tìm m + (Dm) (P) khơng giao ∆ < → giải bất pt → tìm m II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = -x + m có đồ thị (Dm) Với m = 4, vẽ (P) (D4) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hồnh độ b) (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) y = – 3x + m có đồ thị (Dm) Khi m = 1, vẽ (P) (D1) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) qua điểm (P) tại điểm có hồnh độ b) (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt − c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) Vẽ (P) hệ trục tọa độ vng góc 2 Gọi A( − ; −7 ) B(2; 1) a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB (P) Tìm điểm (P) có tổng hồnh độ tung độ – HD: 2a) Đường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5 2b) Tọa độ giao điểm: (1;– 2) ( − ; − 25 ) Gọi M(xM; yM) điểm (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – Mặt khác: M(xM; yM) ∈ (P) ⇒ yM = – xM2 nên: xM + yM = – ⇔ xM + (– xM2 ) =–6 ⇔– x + xM + = M Vậy có điểm thỏa đề bài: M1(2; – ) M2( − ;− ) 2  x1 = ⇒ y1 = − ⇒  x2 = − ⇒ y2 = −  2 Bài tập 4: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và(D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Gọi A điểm thuộc (D) có hồnh độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A, B Tìm tọa độ điểm I nằm trục tung cho: IA + IB nhỏ HD: Tọa độ giao điểm: (2; 4) (–1; 1) Tọa độ A(5; 7) B(– ; 4) • I(xI, yI) ∈ Oy ⇒ I(0: yI) • IA + IB nhỏ ba điểm I, A, B thẳng hàng • Phương trình đường thẳng AB: y = 34 x+ 7 • I(xI, yI) ∈ đường thẳng AB nên: yI = 34 34 34 ⇒ I(0; + = ) 7 7 Bài tập 5: Cho (P) : y = x2 (D) : y = – x + Vẽ (P) (D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Gọi A B giao điểm (P) (D) , xác định tọa độ A, B Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trục số cm) CMR: Tam giác AOB tam giác vng HD: Tọa độ giao điểm: (1; 1) (– 2; 4) Gọi H, K hình chiếu A, B trục Ox, ta có: 1 • ∆ OHA vng tại H ⇒ SOHA = OH.OA = 1 = (cm2) • • • • 2 1 ∆ OKB vng tại K ⇒ SOKB = OK.KB = = (cm2) 2 Gọi I giao điểm (D) với trục Ox ⇒ yI = ⇒ xI = ⇒ I(2; 0) 1 ∆ IKB vng tại K ⇒ SIKB = BK.KI = 4 = (cm2) 2 SOAB = SIKB – (SOHA + SOKB ) = – ( + 4) = 3,5 (cm2) • Phương trình đường thẳng OA: y = a’x (D’) • (D’) qua A(1; 1) ⇒ a = ⇒ (D’) : y = x • (D) có a = – (D’) có a’ = → a a’ = – ⇒ (D) ⊥ (D’) ⇒ OA ⊥ AB ⇒ ∆ OAB vng tại A -3) CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) a) Nhẩm nghiệm: • a + b +c = ⇒ pt (1) • a – b +c = ⇒ pt (1)  x1 = có nghiệm:  x = c a   x1 = − có nghiệm:  x = − c a  b) Giải với ∆' : Nếu b = 2b’ ⇒ b’ • Nếu x2 = ∆' > b =2 ⇒ ∆' = ⇒ (b’) – ac phương trình có nghiệm phân biệt: −b ' − ∆ ' a • Nếu ∆' = ⇒ phương trình có nghiệm kép: • Nếu ∆ ' < ⇒ phương trình vơ nghiệm c) Giải với ∆ : Tính ∆ : ∆ = b2 – 4ac ∆ > ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt: • Nếu ∆ = ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x1 = x2 = −b ' + ∆ ' a x2 = −b − ∆ 2a ; −b ' a x1 = x2 = • Nếu x1 = −b + ∆ 2a ; −b 2a • Nếu ∆ < ⇒ phương trình vơ nghiệm Hệ thức Vi ét ứng dụng: a) Định lý: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình ax + bx + c = (a ≠ 0) ta b   S = x1 + x2 = − a có:  P = x x = c  a b) Định lý đảo: Nếu ⇒ u + v = S  u.v = P u, v nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (ĐK: S2 – 4P ≥ 0) * Một số hệ thức áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 • Tổng bình phương nghiệm: x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S2 – 2P • Tổng nghịch đảo nghiệm: 1 x +x S + = = x1 x2 x1 x2 P • Tổng nghịch đảo bình phương nghiệm: 1 x12 + x22 S2 − 2P + = = x12 x22 ( x1 x2 )2 P2 • Bình phương hiệu nghiệm: ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S2 – 4P 3 • Tổng lập phương nghiệm: x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S3 – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá trị biểu thức sau: 2 a) x12 + x22 Giải: Phương trình có b) 1 + x1 x2 ∆' = 1>0 c) ⇒ pt b   S = x1 + x2 = − a = 12   P = x x = c = 35  a a) x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S2 1 x1 + x2 S 12 b) x + x = x x = P = 35 2 c) d) ( x1 − x2 )2 d) x13 + x23 có nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1) : – 2P = 122 – 2.35 = 74 ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S2 -4P = x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) 122 – 4.35 = = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468 3.Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc vào tham số) * Phương pháp giải: • Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm ( ∆ ' ≥ ; ∆ ≥ hoặc a.c < 0) • Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình → b   S = x1 + x2 = − a  P = x x = c  a • Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S P Đó hệ thức độc lập với tham số Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1) x + m – = (1) (m tham số) CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Gọi x1, x2 nghiệm pt (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào m Giải: Phương trình (1) có ∆ = b2 – 4ac = + (2m – 1) – 4.2.(m – 1) = 4m – 12m + = (2m – 3) ≥ 0, ∀ m Vậy phương trình (1) ln có nghiệm với m • Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1) : 2 S = − m +  2 P = m − 2S = − 2m + ⇔ ⇒  P = 2m − b − 2m +   S = x1 + x2 = − a = ⇔  P = x x = c = m −1  a 2S + 4P = -1 Hay: 2(x + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây hệ thức cần tìm Tìm hai số biết tổng tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm nó: * Phương pháp giải: • Nếu số u v c ó: u + v = S ⇒  u.v = P u, v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (*) • Giải pt (*) : u = x1   v = x2 ∆> 0) ⇒ pt (*) có nghiệm phân biệt x 1, x2 Vậy (hoặc ∆= 0) ⇒ pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = + Nếu ∆ ' < (hoặc đề ∆< 0) ⇒ pt (*) vơ nghiệm Vậy khơng có số u, v thỏa ∆' > + Nếu hoặc  u = x2   v = x1 + Nếu ∆' = (hoặc b' a − b' a Vậy u = v =− Ví dụ 1: Tìm số u,v biết u + v = 11 u.v = 28 Giải: Theo đề 28 = 0(*) ⇒ u, v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = Phương trình (*) có ∆ = > x = ⇒ ∆ =3⇒   x2 = ⇔ x2 – 11x + Vậy: u =  v = hay u =  v = = +1 Ví dụ 2: Cho hai số a b = – Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm a b Giải: • a + b = ( +1) + (3 – ) = • a.b = ( +1) (3 – ) = Suy ra: a, b nghiệm phương trình: x – Sx + P = ⇔ x2 – 4x + = 0: Đây pt cần tìm Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biến đổi ∆ ' đưa về dạng : ∆ ' = (A ± B) + c > 0, ∀ m (với c số dương) • Kết luận: Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với tham số m Chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biến đổi ∆ ' đưa về dạng : ∆ ' = (A ± B) ≥ 0, ∀ m • Kết luận: Vậy phương trình cho ln nghiệm với tham số m Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biện luận: + Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ∆ ' > → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình có nghiệm kép ∆ ' = → giải pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình vơ nghiệm ∆ ' < → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình có nghiệm ∆ ' ≥ → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận * Phương trình có nghiệm trái dấu khi: a.c < → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận 8 Xác định giá trị nhỏ biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức P cần tìm dạng: P = (A ± B) + c ⇒ P = (A ± B) + c ≥ c • Giá trị nhỏ P: Pmin = c A ± B = → giải pt → tìm tham số m → kết luận Xác định giá trị lớn biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức Q cần tìm dạng: Q = c – (A ± B) ⇒ Q = c – (A ± B) ≤ c Giá trị nhỏ Q: Qmax = c A ± B = → giải pt → tìm tham số m → kết luận II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3) x – 2m = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 khơng phụ thuộc vào m Bài tập : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1) x + m – = (m tham số) (1) Giải phương trình (1) m = 2 CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x 1, x2 độc lập với m HD: Khi m = 2, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = ∆ = (2m – 3) ≥ 0, ∀m • ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (2m – 3) >  m >  m <  • Hệ thức: 2S + 4P = ⇒ 2( x1 + x2) + x1x2 = ⇔ |2m − – 3| > ⇔ Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1) x + m2 = (1) Tìm m để: a) Pt (1) có nghiệm phân biệt b) Pt (1) có nghiệm – 2 Giả sử x1, x2 nghiệm pt (1) CMR: (x1 – x2) + 4(x1 + x2) + = Bài tập 4: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1) x + (2m – 4) = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 hai nghiệm (1) Tính A = x12 + x22 theo m Tìm giá trị m để A đạt giá trị nhỏ Bài tập 5: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1) x + 2m – = (1) Giải phương trình (1) m = –1 CMR: Với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Thiết lập mối quan hệ nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc m Tìm m để x12 + x22 = 10 HD: Khi m = –1 ⇒ x1 = −1 + 10 ; x2 = −1 − 10 ∆ = m2 – 10m + 29 = (m – 5) + > 0, ∀m Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < ⇔ 1.(2m – 7) < ⇒ m< Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 ⇒ 2(x1 +x2) – x1x2 = 5 x12 + x22 = 10 ⇔ m2 – 6m + = ⇒ m = m = Bài tập 6: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + = (1) Giải phương trình (1) m = –1 Tìm m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tổng bình phương nghiệm pt (1) 11 HD: Khi m = –1 ⇒ x1 = ; x2 = –3 2a Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ = –4m > ⇒ m < 2b Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < ⇔ 1.(4m + 1) < ⇒ m < − 2c Tổng bình phương hai nghiệm pt (1) 11 x2) – 2x1x2 = 11 ⇔ x12 + x22 = 11 ⇔ (x1 + ⇔2 – 8m = 11 ⇔m = − -4) CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước giải: Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) : • Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn; • Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn qua đại lượng biết ; • Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ đại lượng Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK trả lời u cầu II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập1: Giải tốn sau cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị viết thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải số lớn số ban đầu 682 Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng hai số 59; hai lần số bé ba lần số Tìm hai số Bài tập 3: Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số 10; tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho Bài tập 4: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 320m Nếu chiều dài khu vườn tăng 10m chiều rộng giảm 5m diện tích tăng thêm 50m Tính diện tích khu vườn ban đầu Bài tập 5: Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên 4cm 5cm diện tích tam giác tăng thêm 110cm Nếu giảm hai cạnh 5cm diện tích giảm 100cm2 Tình hai cạnh góc vng tam giác Bài tập 6: Giải tốn sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào bể khơng có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ vòi thứ hai lâu đầy bể? bể nước Hỏi vòi chảy bao Bài tập 7: Giải tốn sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn (khơng có nước) sau 4 đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm vòi thứ hai sau bể nước Hỏi từ đầu mở vòi thứ hai sau đầy bể? Bài tập 8: Giải tốn cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A B cách 90 km Hai mơ tơ khởi hành đồng thời, xe thứ từ A xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B 27 phút Tính vận tốc xe Bài tập 9: Giải tốn cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A B cách 110 km Hai mơ tơ khởi hành đồng thời, xe thứ từ A xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B 44 phút Tính vận tốc xe CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa – Định lý Ký hiệu toán học Hệ Góc tâm: Trong (O,R) có: ·AOB tâm chắn đường tròn, số đo ⇒ ·AOB = sđ ¼ AmB góc tâm số đo cung bị chắn · (O,R) có: BAC nội tiếp chắn Góc nội tiếp: · » = sđ BC * Định lý: Trong ⇒ BAC đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn * Hệ quả: Trong a) (O,R) có: · »  n.tiếp chắn BC đường tròn: BAC  · nội »  a) Các gócEDF tiếp n.tiế p chắn EF  · · BAC = EDF    Hình vẽ ¼ AmB » BC chắn cung » = EF » ⇒ BC b) (O,R) có: · »  BAC n.tiep chan BC  · ·  ⇒ BAC = BDC ·BDC n.tiep chan BC »   b) Các góc nội tiếp (O,R) có: chắn cung chắn cung · »  BAC n.tiep chan BC  · »  EDF n.tiep chan EF · ·  ⇒ BAC = EDF » = EF »  BC   c) (O,R) có: · »  BAC n.tiep chan BC 1·  ·  ⇒ BAC = BOC · »  BOC o tam chan BC  d) (O,R) có: · c) Góc nội tiếp (nhỏ BAC nội tiếp chắn nửa đường · 90 ) có tròn đường kính BC ⇒ BAC = số đo nửa số đo 900 góc tâm chắn cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng (O,R) có: · BAx tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn »AB · »AB ⇒ BAx = sđ Góc tạo tia tiếp (O,R) có: dây cung: · tuyến »  BAx tao boi tt & dc chan AB  · BAx = ·ACB * Định lý: Trong ⇒ ·ACB noi tiep chan AB » đường tròn, số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị (O,R) có: · chắn BEC có đỉnh bên đường tròn · » + sđ AD » ) ⇒ BEC = (sđ BC * Hệ quả: Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến dây (O,R) có: · cung góc nội tiếp BEC có đỉnh bên ngồi đường chắn cung tròn bằng· » » ) BEC = ( s BC 4.⇒Góc có2 đỉnh− sởADbên đường tròn: * Định lý: Góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Góc có đỉnh bên ngồi đường tròn: * Định lý: Góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Cung chứa góc: * Tập hợp điểm nhìn đoạn thẳng AB góc α khơng đổi hai cung tròn chứa góc α a) ·ADB = ·AEB = ·AFB = α nhìn đoạn AB ⇒ A, B, D, E, F thuộc đường tròn · · ACB = ADB = ·AEB = ·AFB = 90 b) nhìn đoạn AB ⇒ A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB * Đặc biệt: a) Các điểm D, E, F thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, nhìn đoạn AB góc khơng đổi ⇒ Các đểm * Tứ giác ABCD có A, B, C, D A, B, D, E, F thuộc ∈ (O) đường tròn ⇔ ABCD tứ giác nội tiếp (O) b) Các điểm C, D, E, F nhìn đoạn AB * Tứ giác ABCD nội tiếp (O) góc vng ⇒ µ = 1800  A +C µ Các đểm A, B, C, D, E, ⇔µ µ B +D = 180   F thuộc đường tròn * Tứ giác ABCD có: đường kính AB µA + C µ = 1800 ⇔ ABCD tứ giác n.tiếp Hoặc: µ +D µ = 1800 ⇔ ABCD tứ giác Tứ giác nội tiếp: B * Định nghĩa: Một tứ n.tiếp giác có bốn đỉnh nằm dường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn * Định lý: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 * Định lý đảo: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện C = 2π R =π d 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn Độ dài đường tròn, cung tròn: * Chu vi đường tròn: * Độ dài cung tròn: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: * Diện tích hình tròn: l = π Rn 1800 S = π R2 = π S = d2 π R n l R = 360 Sviên phân = Squạt - SABC * Diện tích hình quạt tròn: * Diện tích hình viên phân: S = π ( R12 − R22 ) S xq = 2π Rh Stp = Sxq + 2.Sđáy Stp = 2π Rh + 2π R * Diện tích hình vành khăn: V = S h = π R 2h HÌNH KHƠNG GIAN S: diện tích đáy; h: chiều cao 1.Hình trụ: * Diện tích xung quanh: S = π R.l xq * Diện tích tồn phần: * Thể tích: 2.Hình nón: * Diện tích xung quanh: Stp = Sxq + Sđáy Stp = π Rl + π R V = * Diện tích tồn phần: * Thể tích: Vnón = π R 2h Vtrụ S: diện tích đáy; h: chiều cao, l: đường sinh l = h2 + R S xq = π ( R1 + R2 )l Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ Stp = π ( R1 + R2 )l + π ( R12 + R22 ) Hình nón cụt: * Diện tích xung quanh: * Diện tích tồn phần: 2 π d 22 VS== 4ππhR( R= + R2 + R1 R2 ) V = π R3 * Thể tích: Hình cầu: * Diện tích mặt cầu: * Thể tích: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các phân giác góc ·ABC , ·ACB cắt đường tròn tại E, F CMR: OF ⊥ AB OE ⊥ AC Gọi M giao điểm của OF AB; N giao điểm OE AC CMR: Tứ giác AMON nội tiếp tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác Gọi I giao điểm BE CF; D điểm đối xứng I qua BC CMR: ID ⊥ MN · CMR: Nếu D nằm (O) BAC = 600 Bài 2: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M điểm cạnh BC N điểm cạnh CD cho BM = CN Các đoạn thằng AM BN cắt tại H CMR: Các tứ giác AHND MHNC tứ giác nội tiếp Khi BM = a Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a 3 Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn MN theo a Bài 3: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Đường cao BH CK cắt (O) tại E F a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp b) CMR: OA ⊥ EF EF // HK c) Khi ∆ ABC tam giác đều có cạnh a Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC (O) Bài 4: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E điểm cạnh BC Qua B vẽ thẳng vng góc với tia DE tại H, đường thẳng cắt tia DC tại F a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm đường tròn b) CMR: DE.HE = BE.CE c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a E trung điểm BC · d) CMR: HC tia phân giác DHF Bài 5: Một hình vng ABCD nội tiếp đường tròn Tâm O bán kính R Một điểm M i động cung ABC , M khơng trùng với A,B C, MD cắt AC tại H 1) CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp đường tròn DH.DM = 2R2 2) CMR: MD.MH = MA.MC 3) ∆ MDC ∆ MAH M vị trí đặc biệt M’ Xác định điểm M’ Khi M’D cắt AC tại H’ Đường thẳng qua M’ vng góc với AC cắt AC tại I Chứng minh I trung điểm H’C Bài 6: Cho hai đường tròn (O; 20cm) (O’; 15cm) cắt tại A B Biết AB = 24cm O O’ nằm về hai phía so với dây chung AB Vẽ đường kính AC đường tròn (O) đường kính AD đường tròn (O’) a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tính độ dài đoạn OO’ c) Gọi EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) (E, F tiếp điểm) CMR: Đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng EF Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax By tại C D CMR: a) Tứ giác AOMC nội tiếp · b) CD = CA + DB COD = 900 c) AC BD = R2 · Khi BAM = 600 Chứng tỏ ∆ BDM tam giác đều tính diện tích hình quạt tròn chắn cung MB nửa đường tròn cho theo R Bài 8: Từ điểm M ngồi đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD khơng qua tâm O hai tiếp tuyến MA MB đến đường tròn (O) , A, B tiếp điểm C nằm M, D a) CMR: MA2 = MC MD b) Gọi I trung điểm CD CMR: điểm M, A, O, I, B cùng nằm đường tròn c) Gọi H giao điểm AB MO CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp · đường tròn Suy AB phân giác CHD d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến tại C D đường tròn (O) CMR: điểm A, B, K thẳng hàng e) Bài 9: Cho điểm A ngồi đường tròn (O, R) Gọi AB, AC hai tiếp tuyến đường tròn (B C hai tiếp điểm) Từ A vẽ tia cắt đường tròn tại E F (E nằm A F) a) CMR: ∆ AEC ∆ ACF đồng dạng Suy AC2 = AE AF b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C cùng nằm đường tròn c) Từ E vẽ đường thẳng vng góc với OB cắt BC tại M Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp đưởng tròn Suy tứ giác MIFB hình thang d) Giả sử cho OA = R Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ngồi hình tròn (O) Bài 10: Cho hình vng cạnh a , lấy điểm M thuộc cạnh BC (M khác B,C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K Chứng minh: BHCD tứ giác nội tiếp Chứng minh: KM ⊥ DB Chứng minh: KC KD = KH KB Kí hiệu SABM , SDCM diện tích tam giác ABM, tam giác DCM CMR: (S ABM + SDCM ) khơng đổi Xác định vị trí M BC để S 2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a HD: CMR: BHCD tứ giác nội tiếp: · + BHD = 900 nhìn đoạn BD ⇒ H ∈ đường tròn đường kính BD (1) · + BCD = 900 nhìn đoạn BD ⇒ C∈ đường tròn đường kính BD (2) Từ (1) (2) ⇒ B, H, C, D ∈ đường tròn đường kính BD Chứng minh: KM ⊥ DB: + ∆ BDK có : DH ⊥ BK BC ⊥ DK ⊥ DB    ⇒ M trực tâm ∆ BDK ⇒ KM đường cao thứ ba ⇒ KM DH cắt DK M  Chứng minh: KC KD = KH KB: · · KCB = KHD = 900   ⇒ ∆ KCB + ∆ KCB ∆ KHD có: · BKD : chung  ⇒ ∆ KHD (g.g) KC KH ⇒ KC KD = KH KB (đpcm) = KB KD CMR: (SABM + SDCM ) khơng đổi: 1 + ∆ ABM vng B ⇒ SABM = AB.BM = a.BM (1) 2 1 + ∆ DCM vng C ⇒ SDCM = CD.CM = a.CM (2) 2 1 Từ (1) (2) ⇒ SABM + SDCM = a.BM + a.CM 2 1 1 = a.(BM + CM) = a.BC = a.a = a 2 2 + Vì a khơng đổi ⇒ a khơng đổi ⇒ (SABM + SDCM ) khơng đổi * Xác định vị trí M BC để S 2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a: + Đặt x = BM ⇒ CM = a – x + Ta có: S ABM 2 1  1  1  1  +S =  a.BM ÷ +  a.CM ÷ =  a.x ÷ +  a.(a − x)  2  2  2  2  = a2  x + (a − x)2  = a2 2 x − 2ax + a2  DCM 2  a  2(x − ax + a2 )    2 2  = a (x − a) + a )    2 a4 a (x − a) + a ≥ = 2 8 1 a 2 + SDCM + Giá trị nhỏ SABM : x − a = ⇒ x = a 2 = 2 + SDCM Vậy M trung điểm BC SABM đạt giá trị nhỏ a4 [...]... giác nội tiếp: · + BHD = 90 0 nhìn đoạn BD ⇒ H ∈ đường tròn đường kính BD (1) · + BCD = 90 0 nhìn đoạn BD ⇒ C∈ đường tròn đường kính BD (2) Từ (1) và (2) ⇒ B, H, C, D ∈ đường tròn đường kính BD 2 Chứng minh: KM ⊥ DB: + ∆ BDK có : DH ⊥ BK BC ⊥ DK ⊥ DB    ⇒ M là trực tâm của ∆ BDK ⇒ KM là đường cao thứ ba ⇒ KM DH cắt DK tại M  3 Chứng minh: KC KD = KH KB: · · KCB = KHD = 90 0   ⇒ ∆ KCB + ∆ KCB... thỏa ĐK và trả lời u cầu của bài II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập1: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682 Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia... một cái bể cạn (khơng có nước) thì sau 4 4 5 giờ đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6 5 giờ nữa mới bể nước Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể? Bài tập 8: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km Hai mơ tơ khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau... xe thứ nhất tới B là 27 phút Tính vận tốc mỗi xe Bài tập 9: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km Hai mơ tơ khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau Sau 2 giờ chúng gặp nhau Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút Tính vận tốc mỗi xe CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa – Định lý Ký...   c) (O,R) có: · »  BAC n.tiep chan BC 1·  ·  ⇒ BAC = BOC · »  2 BOC o tam chan BC  d) (O,R) có: · c) Góc nội tiếp (nhỏ BAC nội tiếp chắn nửa đường 0 · hơn hoặc bằng 90 ) có tròn đường kính BC ⇒ BAC = số đo bằng nửa số đo 90 0 của góc ở tâm cùng chắn một cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vng (O,R) có: · BAx tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn »AB · »AB ⇒ BAx 1 2 = sđ 3 Góc tạo... lý: Góc có đỉnh ở bên ngồi đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn 6 Cung chứa góc: * Tập hợp các điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc α khơng đổi là hai cung tròn chứa góc α a) ·ADB = ·AEB = ·AFB = α cùng nhìn đoạn AB ⇒ A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn · · ACB = ADB = ·AEB = ·AFB = 90 0 b) cùng nhìn đoạn AB ⇒ A, B, C, D, E, F thuộc một đường tròn đường kính AB * Đặc biệt: a)... nghiệm trái dấu khi a.c < 0 ⇔ 1.(4m + 1) < 0 ⇒ m < − 1 4 2c Tổng các bình phương hai nghiệm của pt (1) bằng 11 2 x2) – 2x1x2 = 11 ⇔ x12 + x22 = 11 ⇔ (x1 + ⇔2 – 8m = 11 ⇔m = − 9 8 -4) CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước giải: 1 Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) : • Chọn ẩn số và xác định điều... 1800 * Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng C = 2π R =π d 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn 8 Độ dài đường tròn, cung tròn: * Chu vi đường tròn: * Độ dài cung tròn: 9 Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: * Diện tích hình tròn: l = π Rn 1800 S = π R2 = π S = d2 4 π R 2 n l R = 360 2 Sviên phân = Squạt - SABC * Diện tích hình quạt tròn: * Diện tích hình viên phân:... + π ( R12 + R22 ) 2 Hình nón cụt: * Diện tích xung quanh: * Diện tích tồn phần: 1 2 2 π d 22 VS== 4ππhR( R= 1 + R2 + R1 R2 ) 3 4 V = π R3 3 * Thể tích: 3 Hình cầu: * Diện tích mặt cầu: * Thể tích: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các phân giác của các góc ·ABC , ·ACB lần lượt cắt đường tròn tại E, F 1 CMR: OF ⊥ AB và OE ⊥ AC 2 Gọi M là giao điểm... và By với nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D 1 CMR: a) Tứ giác AOMC nội tiếp · b) CD = CA + DB và COD = 90 0 c) AC BD = R2 · 2 Khi BAM = 600 Chứng tỏ ∆ BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R Bài 8: Từ điểm M ở ngồi đường tròn (O) vẽ cát tuyến