Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC Biên soạn: Trần Hải Nam – Trung tâm luỵện thi Tầm Cao Mới (tài liệu lưu hành nội bô) Phần II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Vấn đề 1: Tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ Hàm số y = sinx Tập xác địng D = R Tập giá trị T = [-1,1] Hàm số lẻ - Chu kì: T0 = A a - π T0 = 2π a - y = sin(ax + b) có chu kỳ: y = sin(f(x)) xác định  f(x) xác định Hàm số y = cosx Tập xác địng D = R Tập giá trị T = [-1,1] Hàm số chẵn - Chu kì: T0 = • • b - π T0 = • • c 2π a y = cos(ax + b) có chu kỳ: y = cos(f(x)) xác định  f(x) xác định Hàm số y = tanx π  D = R\  + kπ , k ∈ Z  2  - Tập xác địng Tập giá trị T = R Hàm số lẻ - Chu kì: T0 = - π T0 = • π a y = tan(ax + b) có chu kỳ: f ( x) ≠ • d y = tan(f(x)) xác định  Hàm số y = tanx - Chu kì: T0 = - xác định D = R\ { kπ , k ∈ Z } Tập xác địng Tập giá trị T = R Hàm số lẻ - π + kπ ( k ∈ Z ) π T0 = • y = cot(ax + b) có chu kỳ: • y = cot(f(x)) xác định  π a f ( x ) ≠ kπ ( k ∈ Z ) xác định Lưu ý: y = f1(x) có chu kỳ T1; y = f2(x) có chu kỳ T2 hàm số y = f1(x) kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2 ± f2(x) có chu Bài tập Bài 1: Tìm tập xác định tập giá trị hàm số sau a/  2x  y = sin  ÷  x −1  b/ y= d/ g/ y = − cos x  π y = cot  x + ÷ 3  e/ y= h/ y = sin x c/ sin x + sin x cos( x − π ) f/ y = − sin x  π y = tan  x − ÷ 6  i/ y = tan x − Bài 2: Tìm giá trịn lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số a/ y =  π sin  x + ÷+  4 b/ y = cos x + − c/ y = sin x d/ y = 4sin x − 4sin x + g/ y = sinx + cosx e/ y = cos2 x + 2sin x + h/ y = f/ sin x − cos x y = sin x − cos2 x + i/ y = sin x + cos x + Bài 3: Xét tính chẵn lẻ hàm số a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx g/ y = cos3 x + sin x − tan x sin x + cot x h/ y = sin3 x i/ y = tan x Bài 4: Tìm chu kỳ hàm số a/ y = cos y = sin x b/ y = sin x + cos d/ g/ ĐS π x e/ y = sin x cos3 x a/ i/ π b/ π h/ c/ π x c/ y = cos y = tan x + cot x f/ y = cos2 x d/ π e/ π y = sin x 3x 2x − sin i/ y = tan(−3x + 1) f/ 70 π g/ π h/ π Bài 10 Tìm GTLN, GTNN hàm số : y = 2sin ( x + a π ) + cos x + cos x y = 2sin( x + b π π ) cos( x + ) + sin x 3 y = 2sin(2 x + c π π ) + cos x cos( x + ) 3 d y = sin x + cos x + sin x Bai 11 Tìm GTLN GTNN hàm số : y= a sin x + cos x + sin x + cos x + y= b y= Bài 11’ Tìm giá trị x để sin x cos x + + sin x + cos x y= c 4sin x π + sin(2 x + ) số nguyên Phương trình lượng giác I Phương trinh lượng giác B Phương trình  x = α + k 2π sin x = sin α ⇔  (k ∈ Z )  x = π − α + k 2π a b c sin x = a Ñieàu kieän : − ≤ a ≤  x = arcsin a + k 2π sin x = a ⇔  (k ∈ Z )  x = π − arcsin a + k 2π sin u = − sin v ⇔ sin u = sin(−v) d e sin x = sin α π  sin u = cos v ⇔ sin u = sin  − v ÷ 2   π sin u = − cos v ⇔ sin u = sin  v − ÷  2 Trường hợp đặc biệt: 4 sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z ) sin x = − ⇔ x = − sin x = ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z ) π + k 2π (k ∈ Z ) sin x = ± ⇔ sin x = ⇔ cos2 x = ⇔ cos x = ⇔ x = a b c d e Phương trình π + kπ (k ∈ Z ) cos x = cos α cos x = cos α ⇔ x = ± α + k 2π (k ∈ Z ) cos x = a Ñieàu kieän : − ≤ a ≤ cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k 2π (k ∈ Z ) cos u = − cos v ⇔ cos u = cos(π − v) π  cos u = sin v ⇔ cos u = cos  − v ÷ 2  π  cos u = − sin v ⇔ cos u = cos  + v ÷ 2  Đặc biệt: cos x = ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z ) cos x = ⇔ x = k 2π (k ∈ Z ) cos x = − ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z ) 5 cos x = ± ⇔ cos2 x = ⇔ sin x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z ) a b c d e Phương trình tan x = tan α tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z ) tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ (k ∈ Z ) tan u = − tan v ⇔ tan u = tan(−v) π  tan u = cot v ⇔ tan u = tan  − v ÷ 2  π  tan u = − cot v ⇔ tan u = tan  + v ÷ 2  Đặc biệt: tan x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z ) tan x = ± ⇔ x = ± a b π + kπ (k ∈ Z ) Phuơng trình cot x = cot α cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ Z ) cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z ) Đặc biệt cot x = ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z ) Ví dụ 1: sinx = ⇔ sin x = sin π π π    x = + k 2π  x = + k 2π ⇔ k ∈Z ⇔  π  x = π − + k 2π  x = 2π + k 2π   3 − Ví dụ 2: sinx = ⇔ sin x = − sin π   x = − + k 2π ⇔ k ∈Z π  x = π + + k 2π  Ví dụ 3: sin2x = k∈Z π π ⇔ sin x = sin(− ) 3 π   x = + k 2π ⇔  x = 4π + k 2π   2 x = arcsin + k 2π ⇔ 2 x = π − arcsin + k 2π  1   x = arcsin + kπ ⇔  x = π − arcsin + kπ  2 k ∈Z k∈Z k∈Z Lưu ý: viết nghiệp cách khác π Ví dụ 4: cos(2x + )= − π π π 2π cos(2 x + ) = − cos = cos(π − ) = cos ⇔ 3 π 2π  2 x + = + k 2π ⇔ 2 x + π = − 2π + k 2π  k∈Z 5π   x = 24 + kπ ⇔  x = − 11π + kπ  24 k∈Z 0 ⇔ tan( x − 60 ) = tan 30 Ví dụ 5: tan(x – 600) = ⇔ x − 60 = 30 + k180 k ∈ Z ⇔ x = 90 + k180 k ∈ Z Ví dụ 6: cot(x - π ⇔ x− )= Ví dụ cot(x -75 ) = -1 π π = arc cot + kπ k ∈ Z ⇔ x = + arc cot + kπ k ∈ Z 3 ⇔ x − 75 = −450 + k180 k ∈ Z ⇔ x = 30 + k180 k∈Z Ví dụ : tan3x = tanx Điều kiện π  x ≠ + kπ  k∈Z  π  x ≠ + kπ  ⇔  x≠   x ≠  π π +k k∈Z π + kπ Ta có tan3x = tanx ⇔ 3x = x +l π ⇔ x=l π (l ∈ Z ) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x=m π (m ∈Z ) Ví dụ : tan5x – cotx = 8 π π  +k x ≠ (k ∈ Z ) 10   x ≠ kπ ⇔ π  5 x ≠ + kπ   x ≠ kπ Điều kiện (k ∈ Z ) Ta có tan5x = cotx ⇔ x= π 12 +l ⇔ π tan5x = tan( π − x) ⇔ 5x = π −x +l π ∈ (l Z) ∈ (l Z) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x= π 12 +l π ∈ (l Z) Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình sau: a cos(3x - π 2 )= - b cos(x -2) = d (1+ 2sinx)(3- cosx)= π g cot(4x - )= x 3 h sin(3x- 450) = x k (cot -1)(cot +1)= n sin(2x -150) = e tan2x = tan 2 5π l cos2x.cotx = p sin4x = π c cos(2x + 500) = f tan(3x -300) = - 3 i sin(2x +100)= sinx m cot( 2x π + q cos(x + 3) = )= -1 r cos2x cot(x - π )= s cos3x = π t tan( u cos3x – sin2x = x π π − ) = tan v sin3x + sin5x = Bài 2: Giải phương trình sau: a sin(2x -1) = sin(x+3) d 2sinx + sin2x = b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = e sin22x + cos23x = f sin3x + sin5x = g sin(2x +500) = cos(x +1200) *i tan(x - π h cos3x – sin4x = ) + cotx = *j tan5x = tan3x Bài 3: Giải phương trình sau: 1) 4)  π cos  x + ÷ = 6   π sin  x + ÷ = 3  sin ( x + 1) = 7) 10) 13) 10 π  cos  − x ÷ = − 6   π tan  x + ÷ = −1 6  2) 5)  π cos  x − ÷ = 3  x π sin  − ÷ = 2 4 ( ) cos x − 150 = 8) 11) 14) 3) 6) 2 tan ( x − 1) =  π cot  x − ÷ = 3  9) π  cos  − x ÷ = −1 5  π  sin  + x ÷ = −1 6  x π  sin  − ÷ = − 2 3 ( ) cot x + 10 = 12) 3 − 15) cos(2x + 250) = 2 10 ⇔ − cos x = π  cos x − sin x ⇔ cos(π − x) = cos  x + ÷ 2 6  π  x + = π − x + k 2π  π  ⇔ cos  x + ÷ = cos(π − x) ⇔  π    x + = −π + x + k 2π  5π k1 2π   x = 18 + ⇔ k1 ; k2 ∈ ¢  x = − 7π + k 2π  5π   x = 18   x = 17π  18   x = 5π  k1 ∈ ¢ 5π 17π ⇒ k1 ∈ { 0;1} ⇒ x = ;x =  18 18 k1 ∈ (0; π ) Vì k2 ∈ ¢ 5π ⇒ k2 = ⇒ x =  k2 ∈ (0; π ) Vì 31 DB A2005 π  2 cos3  x − ÷− 3cos x − sin x = 4  32 DB1 B2005  π   ⇔  cos  x − ÷ − 3cos x − sin x =    ⇔ (cos x + sin x)3 − 3cos x − sin x = ⇔ cos3 x + sin x + 3cos x sin x + 3cos x sin x − 3cos x − sin x =  cos x =   sin x − sin x = ⇔ cos x ≠    1 + tan x + tan x + tan x − 3(1 + tan x) − tan x(1 + tan x) = π   x = + kπ k ∈¢   x = π + kπ  sin x =  cos x = ⇔ ⇔  tan x =  tan x = 33 DB B2005 59 cos 2x − π  tan  + x ÷− tan x = cos x 2  x=− π + kπ ; k ∈ ¢ (1) 59 Điều kiện : sin x ≠ 2sin x ⇔ − cot x − tan x = − cos x (1) ⇔ + tan x = ⇔ tan x = −1 ⇔ tan x = −1 tan x sin x  3π  tan  − x ÷+ =2   + cos x 34 DB D2005 (1) Điều kiện : sin x ≠ sin x cos x sin x ⇔ cot x + =2⇔ + =2 + cos x sin x + cos x ⇔ cos x(1 + cos x) + sin x = 2sin x(1 + cos x) ⇔ cos x + cos x + sin x = 2sin x(1 + cos x) (1) 35 DB D2005 cos x = −1( L) ⇔ (1 + cos x) ( − 2sin x ) = ⇔  sin x = = sin π  sin 2x + cos 2x + 3sin x − cos x − = ⇔ 2sin x cos x + − 2sin x + 3sin x − cos x − = ⇔ 2sin x − (2 cos x + 3) sin x + cos x + = (1) sin x Chú ý : (1) phương trình bậc với biến ∆ = (2 cos x + 3) − 8(cos x + 1) = (2 cos x + 1) π   x = + k 2π k ∈¢   x = 5π + k 2π  π   x = + k 2π   x = 5π + k 2π  k ∈¢   x = π + k 2π   x = π + k 2π  Ta có : cos x + + cos x +  = cos x + sin x =  sin x = cos x + − cos x − =  Nghiệm (1) : π  x = + k 2π  π sin x = = sin ⇔  k ∈¢  x = π + k 2π   60 60  36 A2006 π π  sin x = cos x + ⇔ sin x − cos x = ⇔ sin  x − ÷ = = sin 4  ( cos x + sin x ) − sin x cos x − 2sin x ( =0 sin x ≠ sin x ≠ (1) điều kiện : ) ⇔ sin + cos x − sin x cos x = 2 : π   x ≠ + k 2π ⇔  x ≠ 3π + k 2π  (1)  3sin 2 x  ⇔ 1 − ÷− sin x =   sin x = ⇔ 3sin 2 x + sin x − = ⇔  sin x =  sin x = ⇔ x = 2 Nghiệm (1) x= π π + k 2π ⇔ x = + kπ ; k ∈ ¢ 5π + k 2π ; k ∈ ¢  37 B2006 x  cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 2  (1) sin x ≠   x cos ≠   Điều kiện : + tan x.tan x = cos x Ta có : cos x sin x ⇔ + =4⇔ =4 sin x cos x sin x cos x (1) π   x = 12 + kπ k ∈¢   x = 5π + kπ  12 π  x = + k 2π  π ⇔ 2sin x = ⇔ sin x = = sin ⇔   x = 5π + k 2π  38 D2006 61 cos 3x + cos 2x − cos x − =  x = kπ  k ∈¢  x = ± π + k 2π  61 ⇔ cos 3x − cos x + cos x − = ⇔ 2sin x sin x + 2sin x = ⇔ 2sin x ( sin x + sin x ) = ⇔ 2sin x (2sin x cos x − sin x) = sin x = ⇔ 2sin x ( cos x − 1) = ⇔   cos x = = cos π  39 DB A2006 cos 3x cos x − sin 3x sin x = 2+3 (1) Ta có : cos x = cos x − 3cos x ⇔ cos x = sin 3x = 3sin x − sin x ⇔ sin x = ⇔ ( cos x + 3cos x ) ( 3sin x − sin 3x ) 2+3  cos x ( cos x + 3cos x ) − sin 3x ( 3sin x − sin x )  = (1) x=± π kπ + ;k ∈ ¢ 16 2+3 2 ⇔ cos x + 3cos 3x cos x − 3sin x sin x + sin x = + ⇔ + ( cos 3x cos x − sin x sin x ) = + 2 π π ⇔ cos x = = sin ⇔ x = ± + k 2π ; k ∈ ¢ 4 ⇔ cos x ( cos 3x + 3cos x ) − sin 3x ( 3sin x − sin x ) = 40 DB A2006 62 π  2sin  2x − ÷+ 4sin x + = 6   x = kπ  k ∈¢  x = 7π + k 2π  62 π π  ⇔ sin x cos − cos x sin  + 4sin x + = 6  ⇔ sin x − cos x + sin x + = ⇔ sin x cos x + 4sin x + sin x = ⇔ 2sin x ( ) cos x + sin x + =  x = kπ sin x = ⇔ ⇔  cos  x − π ÷ = −1  cos x + sin x + =   6 41 DB B2006 ( 2sin x − 1) tan 2x + ( cos x − 1) = điều kiện : (1) cos x ≠ ⇔ − cos x.tan 2 x + 3cos x = ( ) ⇔ cos x tan 2 x − = ⇔ tan 2 x = x=± π kπ + ;k ∈¢ π   tan x = tan  tan x = ⇔ ⇔  tan x = tan  − π   tan x = −  ÷   3 (1) 42 DB B2006 cos 2x + ( + cos x ) ( sin x − cos x ) = ⇔ (cos x − sin x) + (1 + cos x)(sin x − cos x) = ⇔ (cos x − sin x) ( cos x + sin x − cos x − 1) =   π cos  x + ÷ =  4  cos x − sin x =  ⇔ ⇔   π π sin x − cos x = = sin sin  x − ÷ = 4   π  π π   x + = + kπ  x = + kπ   π π π  ⇔ x − = + k 2π ⇔  x = + k 2π   4  π 3π  x = π + k 2π x − =  + k 2π  4  63 π   x = + kπ   x = π + k 2π   x = π + k 2π   k ∈¢ ; k ∈¢ 63 43 DB D2006 cos3 x + sin x + 2sin x = ⇔ ( sin x + cos x ) ( − sin x cos x ) = cos x ⇔ ( sin x + cos x ) ( − sin x cos x ) = cos x − sin x ⇔ ( sin x + cos x ) [ sin x − cos x − sin x cos x + 1] = ⇔ ( sin x + cos x ) ( + sin x ) − cos x(1 + sin x)  = ⇔ ( sin x + cos x ) ( + sin x ) ( − cos x ) =   π sin  x + ÷ =    sin x + cos x =  π ⇔ sin x = −1 ⇔  x = − + k 2π  cos x = x = k π    44 DB D2006 4sin x + 4sin x + 3sin 2x + cos x = ⇔ 4sin x(sin x + 1) + cos x(sin x + 1) = ⇔ (sin x + 1)(4sin x + cos x) = ⇔ (sin x + 1)  4(1 − cos x) + cos x  =  sin x = −1 sin x = −1  ⇔ ⇔ cos x = 2  cos x − 3cos x − =  cos x = −  45 A2007 π   x = − + k 2π k ∈¢  π x = ± + k 2π  ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + sin 2x 2 ⇔ cos x + sin x cos x + sin x + cos x sin x = (sin x + cos x) ⇔ (sin x + cos x) + sin x cos x(sin x + cos x) − (sin x + cos x) = ⇔ (sin x + cos x) ( + sin x cos x − sin x − cos x ) = sin x + cos x = ⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x)(1 − cos x) = ⇔ 1 − sin x = 1 − cos x = 64 π   x = − + kπ   x = − π + k 2π ; k ∈ ¢   x = k 2π   π  x = − + kπ    x = π + k 2π ; k ∈ ¢   x = k 2π   64 46 B2007 sin 2x + sin 7x − = sin x π kπ  x = +   x = π + k 2π ; k ∈ ¢  18   x = 5π + k 2π 18  ⇔ sin x − sin x + 2sin 2 x − = ⇔ cos x.sin x − cos x =  cos x = ⇔ cos x ( 2sin x − 1) = ⇔  sin x = = sin π  47 D2007 x x   sin + cos ÷ + cos x = 2 2  π  x = + k 2π  k ∈¢   x = − π + k 2π  ⇔ + sin x + cos x = ⇔ sin x + cos x =  π π  x + = + k 2π π π  ⇔ sin  x + ÷ = = sin ⇔  3   x + π = 5π + k 2π  48 DB A2007 sin x + sin x − 1 − = cot x 2sin x sin x (1) điều kiện : (1) sin x ≠ ⇔ sin 2 x + sin x sin x − cos x − = cos x ⇔ sin 2 x − + cos x(2sin x − 1) = cos x ⇔ − cos x + cos x.cos x − cos x = ⇔ cos x (cos x + cos x + 2) = x= π kπ + ;k ∈¢  cos x = ⇔ cos x (2 cos x + cos x + 1) = ⇔   cos x + cos x + = (VN ) 65 65 49 DB A2007 cos x + sin x cos x + = 3(sin x + cos x) ⇔ cos x − + sin x + = 3(sin x + cos x) ⇔ cos x + sin x + = 3(sin x + cos x) 1  1  3 ⇔ +  cos x + sin x ÷ =  sin x + cos x ÷ ÷ ÷ 2 2  2  π π   ⇔ + cos  x − ÷ = cos  x − ÷ 3 6   π π   ⇔ + cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷ 6 6   π π   ⇔ cos  x − ÷− 3cos  x − ÷ = 6 6   x= 2π + kπ ; k ∈ ¢   π cos  x − ÷ = π  π      ⇔ cos  x − ÷ cos  x − ÷− 3 = ⇔     6  π   cos  x − ÷ = 6   50 DB B2007 3x  5x π  x π sin  − ÷− cos  − ÷ = cos  4 2 4 π  π x  3x  5x π  ⇔ sin  − ÷− sin  +  − ÷ = cos  4    51 DB B2007 π   3x π  3x  ⇔ cos  x + ÷sin  − ÷ = cos 4  2  π 3x 3x  ⇔ −2cos  x + ÷cos = cos 4 2  3x  cos =  3x  π   ⇔ cos  + cos  x + ÷ = ⇔  π 2      cos x + = −  ÷  4   π k 2π  x = +   x = π + k 2π ; k ∈ ¢   x = π + k 2π   sin x cos x + = tan x − cot x cos x sin x x=± (1) ⇔ điều kiện : sin x ≠ π + k 2π ; k ∈ ¢ cos x.cos x + sin x.sin x sin x cos x = − sin x cos x cos x sin x (1) 66 66 cos x sin x − cos x = sin x cos x sin x cos x ⇔ cos x + cos x = ⇔  cos x = −1 ( L) ⇔ cos x + cos x − = ⇔   cos x =  52 DB1 D2007 π   2 sin  x − ÷cos x = 12     π  π ⇔ sin  x − ÷− sin  = 12  12    π  π  ⇔ sin  x − ÷− sin = 12  12  π  π π π π  ⇔ sin  x − ÷ = sin + sin = 2sin cos 12  12 12  π   x = + kπ k ∈¢   x = π + kπ  π  π 5π   π 5π  ⇔ sin  x − ÷ = cos = cos  − ÷ = sin 12  12 12   12  π 5π   x − 12 = 12 + k 2π ⇔  x − π = 7π + k 2π  12 12 53 DB1 D2007 (1 − tan x)(1 + sin x) = + tan x (1) điều kiện : cos x ≠ cos x − sin x sin x + cos x ⇔ (sin x + cos x) = cos x cos x (1) ⇔ (cos x − sin x )(sin x + cos x ) = cos x + sin x ⇔ (cos x + sin x ) ( (cos x − sin x )(cos x + sin x) − 1) = ⇔ (cos x + sin x )(cos x − sin x − 1) = cos x + sin x = ⇔ (cos x + sin x )(cos x − 1) = ⇔  cos x = π   x = − + kπ k ∈ ¢   x = kπ   π  π π cos  x − ÷ = x − = + kπ  ⇔ ⇔ 4     cos x =  x = kπ 67 67 54 A2008 + sin x  7π  = 4sin  − x÷ 3π     sin  x − ÷   Điều kiện : ⇔ sin x ≠ (1)  ÷≠  1 + = −2 2(sin x + cos x) sin x cos x (1) 3π  sin  x −  Chú ý : ⇔ 3π  sin  x −   ÷ = cos x  π  7π   sin  − x ÷ = − sin  x + ÷ = − ( sin x + cos x ) 4    1 + = −2 2(sin x + cos x ) sin x cos x π   x = − + kπ   x = − π + kπ ; k ∈ ¢    x = 5π + kπ  (1) sin x + cos x = −2 2(sin x + cos x) sin x cos x   ⇔ (sin x + cos x)  + 2 ÷=  sin x cos x  ⇔ sin x + cos x =  + sin x   ⇔ ( sin x + cos x )  =0⇔  ÷  π ÷ sin x = − = sin  − ÷  sin x    4 55 B2008 68 sin x − cos3 x = sin x cos x − sin x cos x π kπ  x = + k ∈¢   x = − π + kπ  68 ⇔ sin x(cos x − sin x) + cos x(cos x − sin x) = ⇔ cos x(sin x + cos x) = cos x = cos x = ⇔ ⇔  sin  x + π ÷ = sin x + cos x =   3 56 D2008 2sin x ( + cos 2x ) + sin 2x = + cos x 2π   x = ± + k 2π k ∈¢   x = π + kπ  ⇔ 4sin x cos x + sin x = + cos x ⇔ sin x(2 cos x + 1) − (1 + cos x) = ⇔ (2 cos x + 1)(sin x − 1) =   cos x = −1  cos x = − ⇔ ⇔  sin x = sin x = 57 CĐ 2008 sin 3x − cos 3x = 2sin 2x sin 3x − cos 3x = sin x 2 π  3x − = x + k 2π  π  ⇔ sin  x − ÷ = sin x ⇔  k ∈¢ 3  3x − π = π − x + k 2π  ⇔ 58 DB A2008 tan x = cot x + cos 2 x ⇔ (1) điều kiện : sin x ≠ cos x sin x − + cos 2 x = sin x cos x (1) ⇔ cos x + cos 2 x sin x = ⇔ cos x + sin x.cos x = π  x = + kπ  cos x = ⇔ cos x(1 + sin x) = ⇔  ⇔ sin x = −1  x = − π + k 2π  69 π   x = + k 2π k ∈¢   x = 4π + k 2π  15 π kπ  x = + k ∈¢   x = − π + kπ  69 59 DB A2008 π π   sin  x − ÷ = sin  x − ÷+ 4 4   1 ( sin x − cos x ) = ( sin x − cos x + 1) 2 ⇔ sin x − sin x − (1 + cos x) + cos x = ⇔ ⇔ sin x(2 cos x − 1) − cos x + cos x = ⇔ sin x(2 cos x − 1) − cos x(2 cos x − 1) = ⇔ (2 cos x − 1)(sin x − cos x) = π   x = ± + k 2π k ∈¢   x = π + kπ   cos x =   cos x − = ⇔ ⇔ sin  x − π  = sin x − cos x = ÷   4 60 DB B2008 π π   2sin  x + ÷− sin  x − ÷ = 3 6     1 ⇔ sin x + cos x −  sin x − cos x ÷ ÷= 2   − 2sin x ⇔ sin x + cos x − sin x cos x + = 2 ⇔ cos x ( − sin x ) + sin x ( − sin x ) = ⇔ (1 − sin x)( cos x + sin x) = π   x = − + kπ k ∈¢  π  x = + k 2π  π  x = + k 2π  sin x = ⇔ ⇔ cos x + sin x = sin  x + π  =  ÷   3 61 DB B2008 70 3sin x + cos x + sin x = sin x cos x π   x = + k 2π   x = − π + k 2π ; k ∈ ¢    x = 7π + k 2π  70  + cos x  ⇔ 3sin x + cos x + sin x = 4sin x  ÷   ⇔ 3sin x + cos x + sin x = 2sin x + sin x ⇔ cos x + sin x = ⇔ 2sin x − sin x − = sin x = ⇔ sin x = − = sin  − π ÷   6 62 DB D2008 63 DB D2008 ( ) sin x + cos x + cos x + sin x =  sin 2 x  ⇔ 1 − ÷+ − 2sin x + sin x =   sin x = −1 ⇔ 4sin x − sin x − = ⇔  sin x = ( L)  tan x + tan x π  = sin  x + ÷ tan x + 4  ⇔ (1) (1) điều kiện : x=− π + kπ ; k ∈ ¢ cos x ≠ tan x + tan x = ( sin x + cos x ) tan x + 2 ( ) ⇔ cos x tan x + tan x = sin x + cos x  sin x + sin x cos x  ⇔ cos x  ÷ = sin x + cos x cos x   ⇔ 2sin x ( sin x + cos x ) − ( sin x + cos x ) = ⇔ ( sin x + cos x ) ( 2sin x − 1) = π   x = − + kπ   x = π + k 2π ; k ∈ ¢    x = 5π + k 2π    π sin  x + ÷ =  sin x + cos x =  4 ⇔ ⇔   π  2sin x = sin x = = cos 71 71 64 A2009 sin x ≠   sin x ≠ − (1 − 2sin x) cos x = (1 + 2sin x)(1 − sin x) (1) điều kiện : ⇔ ( − 2sin x ) cos x = 3(1 + sin x)(1 − sin x) (1) ( ⇔ cos x − sin x = + sin x − 2sin x ) ⇔ cos x − sin x = ( cos x + sin x ) ⇔ cos x − sin x = sin x + cos x 3 cos x − sin x = sin x + cos x 2 2 π π  x − = x + + k 2π  π π   ⇔ cos  x + ÷ = cos  x − ÷ ⇔  3 6    x − π = − x − π + k 2π  π   x = + k 2π ⇔ k ∈¢  x = − π + k 2π  18 ⇔ 65 B2009 x=− π k 2π + 18 ; k ∈¢ sin x + cos x sin 2x + cos 3x = ( cos 4x + sin x ) ( ) ⇔ sin x − 2sin x + cos x sin x + cos x = cos x ⇔ sin x cos x + cos x sin x + cos x = cos x ⇔ sin x + cos 3x = cos x ⇔ sin x + cos x = cos x 2 π  x = x − + k 2π  π  ⇔ cos  x − ÷ = cos x ⇔  6   x = −3 x + π + k 2π  72 π   x = − + k 2π k ∈¢   x = π + k 2π  42 72 66 D2009 cos 5x − 2sin 3x cos 2x − sin x = ⇔ cos x − ( sin x + sin x ) − sin x = ⇔ cos x − sin x = 2sin x cos x − sin x = sin x 2 π π   x = − 5x + k 2π x = + k 2π   π  3 ⇔ sin  − x ÷ = sin x ⇔  ⇔ π   x =  −4 x = 2π + k 2π + 5x + k 2π   3 ⇔ 67 CĐ 2009 (1 + 2sin x) cos x = + sin x + cos x ⇔ (1 + 4sin x + 4sin x) cos x = + sin x + cos x ⇔ cos x + 2sin x + 4sin x cos x − − sin x − cos x = ⇔ ( 2sin x − 1) + sin x ( 2sin x − 1) = π  sin x = = sin  ⇔ ( 2sin x − 1) (sin x + 1) = ⇔  sin x = −  73 π kπ  x = − − k ∈¢   x = π + kπ  18 π   x = − + k 2π   x = π + kπ ; k ∈ ¢  12   x = 5π + kπ 12  73 [...]... đã cho là:    x = k 2π   x = π + arcsin  2 − 6  + k 2π  ÷ ÷  4 2      2− 6 5π − arcsin  x = ÷ ÷+ k 2π 4 2    (k ∈ Z) Bài tập vận dụng Bài 1 Gải các phương trình a c 3 ( s inx+cosx ) + 2 sin 2 x + 3 = 0 sin 2 x − 12 ( s inx - cosx ) + 12 = 0 e 1 + sin32x + cos32x = h 3 sin 4 x 2 1 + t anx = 2 2 s inx b d g s inx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 sin3 x + cos 3 x = 1 π  sin  x + ÷... sin ( x + β ) = a 2 + b2 hay c a 2 + b2 đặt = sin ϕ sinx + cosx = 2 2 Chia hai vế pt trên cho 3 2 ⇔ ⇔ sinx + 1 2 3 + 12 cosx = 1 π 6 π 6 cos sinx + sin cosx = 1 x+ π 6 = π 2 = 2 ta được + k2 π ⇔ x= π 3 π 6 ⇔ + k2 sin(x + ) = 1 π Ví dụ 2 cos3x – sin3x = 1 Chia hai vế pt trên cho 1 2 21 12 + (−1) 2 1 cos3x - 2 = 2 ta được 1 sin3x = 2 21 ⇔ ⇔ cos π 4 1 π 4 2 ⇔ cos3x - sin sin3x = π 4 cos(3x + ) = cos π... 3 6   ( 4) 6) 8) π x  sin 3 x + sin  − ÷ = 0  4 2   π π cot  2 x − ÷ = cot  x + ÷ 4 3   10) 13) cos x = 15) 1 2 ) ( ) tan x 2 + 2 x + 3 = tan 2 12) sin2 x = 2 cot x = 1 ( cos x 2 + x = 0 sin x 2 − 2 x = 0 11) ) sin x − 120 0 + cos 2 x = 0 14) 16) 1 2  π sin2  x − ÷ = cos2 x 4  II Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a Phương trình bậc nhất đối với một... 1 + sin x + cos x ) = sin 2 x 2 ) ( sin x + cos x ) − sin 2 x = 1 + 2 Bài 5 Giải các phương trình a c 33 sin 2 x − 4 ( cos x − sin x ) = 4 ( 1 − 2 ) ( 1 + sin x − cos x ) = sin 2 x b 5sin2x – 12( sinx – cosx) + 12 = 0 d cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0 33  π 2 sin  x − ÷ = 1  4 e sin2x + f ( sin x − cos x ) 2 − ( 2 + 1) (sin x − cos x ) + 2 = 0 3 ( 3 2 − 2) g sin x + cos x = 1 + sinx.cosx h 2sin2x –... đặt t bằng hàm số LG 11 11 Dạng t = sinx −1 ≤ t ≤ 1 a cos2 x + b cos x + c = 0 t = cosx −1 ≤ t ≤ 1 a tan2 x + b tan x + c = 0 t = tanx x≠ 2 π  x = + k 2π  4   x = π − π + k 2π 4 ⇔  =0 Ví dụ 3 : ( 12 3 ⇔ 2 2sinx = ⇔ 2tanx = 5 cotx – 3)(2cosx –1) = 0 cotx = 3 ⇔ sinx = π  x = + k 2π  4 (k ∈ Z )   x = 3π + k 2π 4 ⇔  Ví dụ 2 : 2tanx – 5 = 0 3 π + kπ (k ∈ Z ) 2 t = sin 2 x hoặc t = sin x thì điều... 0   x = kπ   x = − π + kπ  4  5π x = + k 2π  4 ⇔   π 2 cos  2 x + ÷ = 4 2     π cos  x − ÷ = −1 4   ⇔ π π   2 x + 4 = ± 4 + k 2π   x − π = π + k 2π  4 (k ∈ Z) (k ∈ Z) Bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương trình sau: a sinx + 3 2 cosx = c 2cosx – sinx = 2 b 2sinx – 5cosx = 5 d sin5x + cos5x = -1 e 3sinx – 4cosx = 1 g sin5x + cos5x = 3 2 f 2sin x + 2 cos13x h sinx = 2 sin2x... kπ  4 Cách 2: • Với cosx = 0  -Sin2x = 3 (vơ lý, vì….) • Với cosx 0 chia 2 vế cho cos2x ta được phương trình tương đương ≠ 4 + 3 tan x − tan 2 x = 3(1 + tan 2 x) 4 tan 2 x − 3 tan x − 1 = 0 Bài tập vận dụng Bài 1 Giải các phương trình: a c e 6 sin 2 x + s inxcosx - cos 2 x = 2 b 2 3cos 2 x + 6 s inxcosx = 3 + 3 d 2 sin 2 2 x − 3 s in2xcos2x + cos 2 2 x = 2 4 sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2cos 2 x =... 2 − 1 ) sin 2 x + sin 2 x + ( 2 + 1) cos2 x = 2 ( 3 + 1) sin 2 x − 2 3 sin x.cos x + ( 3 − 1) cos2 x = 0 10 3 cos4 x − 4 sin 2 x cos2 x + sin 4 x = 0 2 2 11 cos x + 3sin x + 0 29 2 3 sinx.cosx – 1 = 0 12 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 29 3 sin x.cos x − sin 2 x = 13 sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 14 2 −1 2 Bài 8: Tìm m để phương trình (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm Bài 9: Tìm m để phương... sin x + c = 0 Nếu đặt: (1) Đặt ⇔ cotx = 3⇔ ⇔ 2 2 ⇔ sinx = sin π 4 (k ∈ Z ) tanx = 5 2 ⇔ x = arctan 5 2 +k π ∈ (k Z)  3 cot x − 3 = 0 (1)  ⇔ 2 cos x − 1 = 0 (2) cotx = cot π 6 ⇔ x= π 6 +k π ∈ (k Z) 12 (2) ⇔ 2cosx =1 ⇔ cosx = 1 2 ⇔ cosx = cos Vậy nghiệm của phương trình là: π   x = 3 + k 2π  π  x = − π + k 2π 3 3 ⇔  π   x = 6 + kπ   x = π + k 2π  3   x = − π + k 2π  3 (k ∈ Z ) (k ∈... =0 3 17 Giải phương trình, ta được: x = π   x = + kπ (k ∈ Z ) 6   x = arctan + kπ Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x =  3π  x 4 + kπ  π  (k ∈ Z )  x = + kπ 6   x = arctan + kπ   Bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương trình sau: a 4sinx – 3 = 0 d 2cos3x + 1 = 0 g (2cosx + 2 e sin(3x + 1)= )(tan(x +100) - i 8sinx.cosx.cos2x = 3 l 3tan2x + p cot(x + π 4 tanx = 0 )=1 3 b 3cotx + 3 3