Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (PHÂN TÍCH NHÂN TỬ BẰNG MTBT) LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán trung học, mà cụ thể đề thi đại học hệ phương trình nội dung thường xuyên xuất đề thi, nội dung xem tương đối khó lấy điểm học sinh trung bình đề thi tuyển sinh đại học Đối với hệ phương trình có nhiều phương pháp giải biết đặt ẩn phụ, dùng hàm số, dùng số phức, lượng giác, đánh giá, bất đẳng thức… Có thể nói hệ phương trình có vẻ đẹp riêng phong phú tập cách giải Trong trình giảng dạy, học tập tham khảo nhiều tài liệu, thấy có mẹo nhỏ giải lớp tập hệ phương trình với dự hỗ trợ máy tính bỏ túi Hôm xin giới thiệu cho đồng nghiệp, bạn bè học sinh tham khảo Hy vọng tài liệu giúp đọc giả có thêm công cụ để học tập, giảng dạy Rất mong nhận góp ý, đóng góp bạn bè đồng nghiệp em học sinh để tài liệu hoàn chỉnh Bình Tân, Ngày 15 Tháng 12 Năm 2014 Ý TƯỞNG CỦA PHƯƠNG PHÁP Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) f ( x, y ) = Cho phương trình y=a Giả sử ta chọn f ( x) = phương trình (hoặc x = a = co nst ) Khi x = ka n + b; a, b, k ∈ Q, n ∈ Z giả sử có nghiệm , ta hy vọng phân tích phương trình f ( x, y ) = ( ) f ( x, y ) = ⇔ x − ky n − b g ( x, y ) = f ( x, y ) = được: (Chú ý: Nếu phương tình có mối quan hệ tuyến tính x,y chắn ta phân tích thành nhân tử) 1.1 Các ví dụ minh họa dùng máy tính bỏ túi phân tích nhân tử A = x − y + xy − x + y Ví dụ 1: Nhận xét: A tam thức bậc hai Giả sử ta cho y=1000, ta A = ( x − 500 ) ( x + 2998 ) = ( x − y ) ( x + y − ) A = x + xy − y + 3x + 36 y − 130 Ví dụ 2: Nhận xét: A tam thức bậc hai Giả sử ta cho y=1000, ta A = ( x + 1990 ) ( x − 987 ) = ( x + y − 10 ) ( x − y + 13) A = x3 − xy + x y − y − x + y Ví dụ 3: Nhận xét: A tam thức bậc hai với y Giả sử ta cho x=1000, ta ( ) A = − ( y − 1000000 ) ( y + 999 ) = x − y ( x + y − 1) A = x3 y + xy − x − y − xy + Ví dụ 4: Nhận xét: A tam thức bậc hai Giả sử ta cho x=1000, ta ( )   A = 1000  y − ÷( y + 999999 ) = ( xy − 1) y + x − 1000   A = x3 y − xy + x − xy − y − Ví dụ 5: Nhận xét: A tam thức bậc hai y Giả sử ta cho x=1000, ta Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) ( )   A = −1000  y + ÷( y − 99999 ) = ( xy + ) x − y − 500   A = x − y + xy − x + y Ví dụ 6: Nhận xét: A tam thức bậc hai Giả sử ta cho y=1000, ta A = ( x − 500 ) ( x + 2998 ) = ( x − y ) ( x + y − ) CÁC VÍ DỤ MINH HỌA  xy + x − =  2 2 x − x y + x + y − xy − y = 2.1 Giải hệ phương trình: Đại học khối D-2012 Nhận xét: Phương trình (2) hệ dạng tam thức bậc hai y Giả sử ta cho y = 1000000 = x ; y = 2001 = x + x=1000 Khi đó: phương trình (2) có hai nghiệm Bài giải: ( Pt (2) ⇔ y − x ) ( y − x − 1) =  y = x2 ⇔  y = 2x +1 Kết hợp với Pt (1) ta được:  y = x  y = 2x +1 ∨   xy + x − =  xy + x − =  y = x  y = x + ⇔ ∨  x + x − =  x + x − = y = ± y =1  ⇔ ∨ −1 ± x = x =  Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) Vậy nghiệm hệ phương trình là:   −1 +   −1 −   S = ( x; y ) = ( 1;1) ,  ; 5÷ , ; −  ÷ ÷ ÷       2.2 Giải hệ phương trình: 5 x y − xy + y − 2( x + y ) =  2  xy ( x + y ) + = ( x + y ) Đại học khối A-2011 Nhận xét: Phương trình (2) hệ phương trình bậc theo ẩn x, y Giả sử cho x= y=1000, phương trình có nghiệm 1 = 1000 y Khi đó, phương trình (2) ( xy − 1) có nhân tử Bài giải: ( ) pt (2) ⇔ ( xy − 1) x + y − =  xy − = ⇔ 2 x + y = Kết hợp pt(1) ta được: 5 x y − xy + y − ( x + y ) = 5 x y − xy + y − ( x + y ) = ∨  2  x + y =  xy = TH 1: 5 x y − xy + y − ( x + y ) = 3 y + x − y = ⇔   xy =  xy =  y4 − y2 + =  x =  x = −1  ⇔ ⇔ ∨  y =  y = −1 x = y  Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) ( TH 2: 5 x y − xy + y − x + y    x + y = ) ( x + y ) = ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = 2  x + y =  x = y  x = y ⇔ ∨ 2 x = 5 y =  2  −2 x = x =  x =  x = −1   ⇔ ∨ ∨ ∨  y =  y = −1  y = −  y =  Vậy nghiệm hệ phương trình là:    −2 −2   S = ( x; y ) = ( 1;1) , ( −1; −1)  ; ; ÷,  ÷ 5÷ 5÷      2.3 Giải hệ phương trình:  xy + x + y = x − y   x y − y x − = x − y Đại học khối D-2008 Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc theo ẩn x y Giả sử cho y=1000, x = −1000 = − y; x = 2001 = y + phương trình (1) có nghiệm Bài giải: Điều kiện: x ≥  y ≥ pt (1) ⇔ ( x + y ) ( x − y − 1) =  x + y = 0(l ) ⇔ x = y +1 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) Kết hợp phương trình (2) ta được:  x = y +  x = y + ⇔  ( y + 1) y − = ( y + 1) y − y y = y + ( ) x =  x = −1 ⇔ ( n) ∨  ( l) y =  y = −1 S = ( x; y ) = { ( 5; ) } Vậy hệ có nghiệm 2.4 Giải hệ phương trình:  y − xy + y = − x + x +   y + 13 − 15 − x = x + Đề thi thử đại học khối A-THPT Trần Phú –Hà Tĩnh– 2013 Nhận xét: Phương trình (1) có dạng trùng phương theo ẩn y Giả sử cho x=1000, y = 1001 = x + 1; y = 992 = x − phương trình (1) có nghiệm Bài giải: −1 ≤ x ≤ Điều kiện: ( 15 )( ) pt (1) ⇔ y − x − y − x + =  y2 = x +1 ⇔  y = x − Kết hợp phương trình (2) ta được:  y = x +  y = x − ∨  2  y + 13 − 15 − x = x +  y + 13 − 15 − x = x + Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) TH 1:  y = x +  y = x + ⇔   ( x + 1) ( 15 − x ) = x  x + 16 = 15 − x + x +  y2 = x +1  y2 = x +1    y = ±2 ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x =   x = 3( n); x = −5 / 6(l ) x − 13 x − 15 =   TH 2:  y = x − (l )   y + 13 − 15 − x = x + Do − ≤ x ≤ 15 ⇔ y = x − < 0(vn ) S = ( x; y ) = { ( 3; ) , ( 3; −2 ) } Vậy nghiệm hệ phương trình là: 2.5 Giải hệ phương trình:  x + = y − x y +   x − xy + y = x + Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc hai theo ẩn x y Giả sử ta cho y=1000, phương trình (1) có nghiệm x=1999=2y-1 Khi đó, phương trình (1) có ( x − y + 1) nhân tử Bài giải: Điều kiện:  y ≥ −1  3 y − x ≥ Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) ( pt (1) ⇔ x + x + = y − xy − x + y ⇔ ( x − y + 1) ( x + y + ) = ) x = y −1 ⇔  x = −6 y − Kết hợp phương trình (2) ta được:  x = y −  x = −6 y − ∨   x − xy + y = x +  x − xy + y = x +  x = y −  x = y − ⇔  2  x − xy + y = x + ( y − 1) − ( y − 1) y + y = y − + TH 1:  x = y −  x = −1  x = ⇔ ⇔ ∨ y = y = 2 y − y =  x = −6 y −  x = −6 y − ⇔  2 42 y + 124 y + 88 = ( y + ) + ( y + ) y + y = −6 y − TH 2:  −31 − 37  −31 + 37 x = x =   21 ⇔ ∨  y = −1 + 37  y = −1 − 37   7 Vậy hệ có nghiệm  −31 ± 37 −1 m2 37    S = ( x; y ) = ( −1;0 ) ; ( 3; ) ;  ; ÷ ÷ 21     2.6 Giải hệ phương trình:  y − xy + x =   y + xy − x = Nhận xét: Phương trình (1) phương trình bậc hai theo ẩn y, giả sử ta cho x=1000, y = 1; y = 1999 = x − phương trình (1) có nghiệm Khi đó, phương trình (1) ( y − 1) ( y − x + 1) = phân thích thành nhân tử Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) Bài giải: pt (1) ⇔ ( y − 1) ( y − x + 1) = y =1 ⇔  y = 2x −1 Kết hợp phương trình (2) ta được: TH 1: TH 2:  y =  y = x − ∨   y + xy − x =  y + xy − x = y =1 y =1  ⇔   −5 x =  x = −   y = x −  y = x − ⇔   y + xy − x = 6 x − 11x − =  x=−  x =  ⇔ ∨ y = y = −    −2   −1 −4   S = ( x; y ) = ( 2;3) ;  ;1÷;  ; ÷      Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 x3 + x y − xy = y − x − y  2 x − xy + x = 2.7 Giải hệ phương trình: Nhận xét: Phương trình (1) phương trình bậc hai theo ẩn y giả sử cho x=1000, y = −1000 = − x; y = 2000001 = x + phương trình (1) có nghiệm trình (1) thể phân tích thành nhân tử Khi đó, phương ( y + x ) ( y − x − 1) = Bài giải: Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) ( ) pt (1) ⇔ ( y + x ) y − x − =  y = −x ⇔  y = 2x +1   y = − x  y = 2x + ∨  2  x + x − =  x − x x + + x − = ( Kết hợp phương trình (2) ta được: TH 1: )  y = − x  y = −1 ⇔   x + x − =  x =  y = 10 + 17  y = 10 − 17  y = x +   ⇔  + 17 ∨  − 17  x =  x − x − =  x =   TH 2: Vậy hệ phương trình có nghiệm   − 17   + 17   S = ( x; y ) = ( 1; −1) ;  ;10 − 17 ÷ ; ;10 + 17  ÷ ÷ ÷       2.8 Giải hệ phương trình:  x − y + xy + x − y =  3 2  x − y + x y + y = −1 Nhận xét: Phương trình (1) phương trình bậc theo ẩn x, giả sử cho y=1000 Khi x = 1000 = y; x = 2001 = y + đó, phương trình (1) có hai nghiệm Do đó, phương trình ( x − y ) ( x − y − 1) = (1) phân tích thành nhân tử Bài giải: 10 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) pt (1) ⇔ ( x − y ) ( x − y − 1) = x = y ⇔ x = y +1 Kết hợp phương trình (2) ta được:  x = y  x = y + ∨   3 2 2  x − y + x y + y = −1  x − y + x y + y = −1 TH 1: TH 2:  y = −1  x = y  x = y ⇔ ⇔   3 2  x = −1  x − y + x y + y = −1 2 x + x + =  x = −1  x = y + ⇔   y = −1 15 y + 21y + y + = S = ( x; y ) = { ( −1; −1) } Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 x − xy − xy + y =  16 x + x − y + = 2.9 Giải hệ phương trình: Nhận xét: Phương trình (1) phương trình bậc hai theo ẩn x, giả sử cho y=1000 Khi x = 4000000 = y ; x = 500 = đó, phương trình (1) có hai nghiệm y Do đó, phương ( x − y ) ( 2x − y ) = trình (1) phân tích thành nhân tử Bài giải: ( ) pt (1) ⇔ x − y ( x − y ) =  x = y2 ⇔ x = y  11 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) Kết hợp phương trình (2) ta được: TH 1:  x = y ( *)  16 x + 14 =  x = y  y = x1 ∨  2 16 x + x − y + 14 = 16 x + x − y + 14 = ( **) x≥0 Từ pt (*), suy ra: , kết hợp phương trình (**) suy hệ vô nghiệm  y = x  y = x ⇔   2 16 x + x − 32 x + 14 = ( x − 1) 16 x − 16 x − 14 = TH 2:  2±3  x= x = −  x =   x =  ⇔ ∨ ⇔ ∨ y =  y = 2±3 y = y = −   ( )   ± 2 ±   S = ( x; y ) = ( 1; ) ;  ; ÷ ÷     Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 x + xy − y = x − y −  2  x + y + x + y = 2.10 Giải hệ phương trình: Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc hai ẩn x y, giả sử cho y=1000 x = −998 = − y + 2; x = Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm 1001 y + = 2 Do đó, ( x + y − ) ( x − y − 1) = phương trình (1) phân tích thành nhân tử Bài giải: 12 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) pt (1) ⇔ ( x + y − ) ( x − y − 1) =  y = 2x −1 ⇔ y = 2− x Kết hợp phương trình (2) ta được: TH 1: TH 2:  y = x −  y = − x ∨   2  x + x + y + y =  x + x + y + y = −4  x=  y = x −  x =  ⇔ ∨  5 x − x − =  y =  y = −13  x + y = x =  y = − x ⇔ ⇔  2  xy = y =1  x + x + y + y = Vậy hệ phương trình có nghiệm 2.11 Giải hệ phương trình:   −4 −13   S = ( x; y ) = ( 1;1) ;  ; ÷  5    x3 − x + x + y = xy +  2 2 y − xy − x + x = y Nhận xét: Phương trình (2) có dạng bậc hai theo ẩn x y, giả sử cho x=1000 Khi đó, phương y = 3000 = x; y = trình (2) có hai nghiệm −2999 −3 x + = 2 Do đó, phương trình (2) có ( y − 3x ) ( y + 3x − 1) = thể phân tích thành Phương trình (1) phương trình bậc theo ẩn x, giả sử cho y=1000 Khi đó, phuognw x=3 trình (1) có nghiệm Do đó, phương trình (1) phân tích thành ( x − 3) ( x − y + 1) = 13 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) Bài giải: pt (2) ⇔ ( y − x ) ( y + x − 1) =  y = 3x ⇔ 2 y + 3x − = ( ) pt (1) ⇔ ( x − 3) x − y + = x = ⇔  x = y −1 Kết hợp phương trình (1); (2) ta được:  y = x  y = 3x 3x + y − = 3 x + y − = ∨ ∨ ∨   x =  x − y + =  x =  x − y + = TH 1: TH 2: TH 3: y =  x =  3± x =  y = 3x  ⇔   x − 3x + = y = 9±   y = −4  x = −1  x=  3 x + y − = 3 x + y − = x = −   ⇔ ⇔ ∨  y = y =  x − y + = 2 x + x + =  TH 4: Vậy hệ phương trình có nghiệm   −1   ± ±   S = ( x; y ) = ( 3; −4 ) ; ( 3;9 ) ;  ; ÷;  ; ÷ ÷  4     14 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) 2.12 Giải hệ phương trình:   y = ( 5x + ) ( − x )  2   y − x − xy + 16 x − y + 16 = Nhận xét: Phương trình (2) có dạng bậc hai theo ẩn x y, giả sử cho x=1000 Khi đó, phương y = 5004 = x + 4; y = −996 = − x + trình (2) có hai nghiệm Do đó, phương trình (2) ( y − 5x − ) ( y + x − ) = phân tích thành Bài giải: pt (2) ⇔ ( y − x − ) ( y + x − ) =  y = 5x + ⇔ y = 4− x Kết hợp phương trình (1) ta được: TH 1: TH 2:  y = x +  y = − x ∨   y = ( x + ) ( − x )  y = ( x + ) ( − x ) x = ⇒ y =  y = 5x +  y = 5x +   ⇔ ⇔   x = −4 ⇒ y = y = x + 4 − x x x + = ( )( )  ( )     y = − x x = ⇒ y =  y = − x ⇔ ⇔  6 x ( − x ) = x = ⇒ y =  y = ( x + ) ( − x ) Vậy hệ phương trình có nghiệm   −4   S = ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 4; ) ;  ;0 ÷    BÀI TẬP ÁP DỤNG 3.1 Giải hệ phương trình:  x + x − xy = y −  2 4 x y − xy + y = 15 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) 3.2 Giải hệ phương trình: 3.3 Giải hệ phương trình: 3.4 Giải hệ phương trình: 3.5 Giải hệ phương trình: 3.6 Giải hệ phương trình: 3.7 Giải hệ phương trình: 3.8 Giải hệ phương trình:  y + xy = x + y − 3  x − + − y =  y 12 = + x − y − x  x  y + + y = x2 − x −   x + y =   y − ( x + y − 1) = ( y − ) x + y  x3 + y = x y + xy   x − y − = x − y +  x + = ( y − x ) ( y + 1)   x − xy + y = x + 2 xy  2 x + y + x + y =   x + y = x2 − y  Đề thi thử đại học-THPT Lê Qúy Đôn -HCM– 2010 4 y + 16 xy − 16 y + x3 − 3x y − x =   x − y + x + y = Đề thi thử đại học khối -THPT Hùng Vương -HCM– 2013 ( x − y ) x + xy + y + = x + y +   4 x + + 16 − y = x + 3.9 Giải hệ phương trình: ( ) ( ) Đề thi thử đại học khối A-THPT Lương Tài 2-Bắc Ninh – 2013 16 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) 3.10 Giải hệ phương trình:  x3 − x − x + 22 = y + y − y   2 x + y − x + y =  Đại học khối A,A1-2012 2 xy − x y + y = ( x + y )   2  xy x + y + ( x + y ) = 3xy + 2 ( 3.11 Giải hệ phương trình: 3.12 Giải hệ phương trình: 3.13 Giải hệ phương trình: x  y − x − 2y = 6y +   x + x − y = x + 3y −   x − y + y − 3x − =  2  x + − x = y − y ( 3.14 Giải hệ phương trình: ) )  x + x + ( y − ) − y =   x − xy = y + ( 3.15 Giải hệ phương trình: ( 3.16 Giải hệ phương trình: 3.17 Giải hệ phương trình: ) ( )  x x2 + y = y4 y +    x + + y + = )  x x + + ( y − 3) − y =    x − − y =  x + x − = y + y + y  2  x + y − x + y − = 17 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT )  x3 − 3x + = y + y   3 x − = y + y 3.18 Giải hệ phương trình: Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ  x − y + + y − x + =   y ( y − x + ) = 3x + 3.19 Giải hệ phương trình:  x3 + y = x − x − y +  2  x + y − x + y − 10 = y + − x + y 3.20 Giải hệ phương trình:  x − x = y − y +   x − + y − = 3.21 Giải hệ phương trình:  x3 − x y = x − x + y +  3 2  x − y + ( x − y ) − 15 = x + 3.22 Giải hệ phương trình: Đề thi thử ĐH – Bắc Ninh  x + y + − − x − y = x − x − 10 y +  3  x − x + 13 x = y + y + 10 3.23 Giải hệ phương trình: 3.24 Giải hệ phương trình: THPT Thuận Thành – 7 x3 + y + 3xy ( x − y ) − 12 x + x =   x + y + + x + y = Đề thi thử ĐH – Hà Tĩnh 18 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) 3.25 Giải hệ phương trình: 3.26 Giải hệ phương trình: 3.27 Giải hệ phương trình: 3.28 Giải hệ phương trình: 3.29 Giải hệ phương trình: 3.30 Giải hệ phương trình: 3.31 Giải hệ phương trình: 3.32 Giải hệ phương trình:  x ( 3x − y + 1) = −2 y ( y + 1)   x + y + x + y = Đề thi thử ĐH – Thái Bình  x3 + y − xy − xy + x + y =    y + x + y + +1 =   x + y + xy =  2  x + y = x + y + 14 ( 17 − x ) − x + ( y − 14 ) − y =  2 x + y + + 3x + y + 11 = x + x + 13 ( x − y ) ( x + 3) + ( y + 3) + xy −  = y + 15 y + 23      x + x + y + = 4 x + xy − y + y − x =  2 2 x − xy + y + x = 10 3 x − xy + y − x + y + =  3 y − xy + x − 10 y + = 3  x + x + x = y + y + y +  2  x + y + 3x + xy − y + = 19 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) 3.33 Giải hệ phương trình: 3.34 Giải hệ phương trình: 3.35 Giải hệ phương trình: 3.36 Giải hệ phương trình: 43  =0 2 xy − y − xy + 27  6 x3 y + 3xy + xy = x y + x + y +  ( x + y ) + y − ( xy + 1) ( x + y − 1) + ( x + y ) = x +  3 x − y − x − y = ( x − 1) − ( y + 1) − 12 ( x − y ) + 24 =   2 x + y − x + y =  3 2   x − y − x y + xy − xy + y − x =    x − y = x − 2x + y + ( ( 3.37 Giải hệ phương trình: 3.38 Giải hệ phương trình: 3.39 Giải hệ phương trình: 3.40 Giải hệ phương trình: 3  x + y + y = y + x +  2 2 x − y − x + y + = 8 x3 + x + 18 x + x y + xy = y + 13 y + y  3 5 y + 16 x =  x3 + x − y + y + ( x − y ) + =   x + − x + y − − y = ( 3.41 Giải hệ phương trình: ) )  x + x + ( y − 3) − y =    x + x + xy − − x + 11 =  )( ) ( )  x − y x3 + y + y = x x − − 28 y + 32    x + + y + = 20 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) 3.42 Giải hệ phương trình: y 25  3  x + x − xy − y + − 24 =  2 x − x − xy + y + y + =   x2 − y + = 2x − y   2  x + x = y x + 3x − y ( 3.43 Giải hệ phương trình: 3.44 Giải hệ phương trình: 3.45 Giải hệ phương trình: 3.46 Giải hệ phương trình: 3.47 Giải hệ phương trình: 3.48 Giải hệ phương trình: 3.49 Giải hệ phương trình: 3.50 Giải hệ phương trình: )  2 y + y + x − x = − x    y +1 + y = + x + 3 x + y − xy + x − y =   x y − y x + = ( x − y ) 8 ( x + y ) − xy = x + y  2 4 − x + − y = x − y +  x − + ( x + 1) = y − + y  ( x + y ) ( x − y ) + x + y + =  x − y + ( x − 1) y + =    y x − x + + ( − x ) y + =  x + x = y + y + 15 y + 14   − x + + y = x + y − 3   x − 12 x − y + y − 16 =  2  4 x + − x − y − y + = 21 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) 3.51 Giải hệ phương trình:  x + y + x = xy + y +  ( x + y ) x − y + ( x + y ) x − y = ( y − ) x + = x y   ( y + 1) x + = ( y − 3) + x − 3x + y  ( 3.52 Giải hệ phương trình: 3.53 Giải hệ phương trình: 3.54 Giải hệ phương trình: 3.55 Giải hệ phương trình: 2 y + x − x = − x − y   y + = x + xy x +  x + = ( y − x ) ( y + 1)   x+5 = xy − y −  3y − −  ( − x ) − x = y y − 3  x + + y + =  x2 + y + = − y   3 2 x + y + y ( x + 1) + x ( x + 1) + = ( 3.56 Giải hệ phương trình: 3.57 Giải hệ phương trình: )  x − x = y − y +   x − + y − = ( 3.58 Giải hệ phương trình: 3.59 Giải hệ phương trình: ) ) ( ) 2 x x + − y y + = xy ( x − y )    ( x − ) = − y  y + y − xy ( y − 1) = x + 10 x   x − x + + 18 = y 22 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) ( 3.60 Giải hệ phương trình: 3.61 Giải hệ phương trình: 3.62 Giải hệ phương trình: 3.63 Giải hệ phương trình: ) ( x + y ) x + y + y + y =    x + y + = y − y − 4 x + xy + y + x + y − =  8 − x + y − =  x − y + xy − y =  2 6 x + y − xy − x + y + =  y − 2x + y − x +1 =  xy   2  − xy + x − y = ( y − ) x + = x y    x + y + = ( y − 3) + x − x + y  ( 3.64 Giải hệ phương trình: 3.65 Giải hệ phương trình: )  x3 + x +   x2 + x − ( ) 1 − ÷ = ( y − 1) − ( x − y )   y  y y   x − x −1 + −1 =  y2 y  ( 3.66 Giải hệ phương trình: ( ) )  2 x4 + y + x2 y x y  +  y x2 =  x2 + y   xy + y + x = ( ) 23 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) 3.67 Giải hệ phương trình: 3.68 Giải hệ phương trình: 3.69 Giải hệ phương trình: 3.70 Giải hệ phương trình: 3.71 Giải hệ phương trình:  y − y + 10 − x ( y + 3) + y + = x +   = x + 2y  y +1 + x +1  2 ( x − y ) + ( x + 1) ( y + 1) = ; ∀x ≥  3  y + = x − y − ( x + ) + ( y − 1) = xy + 13   x − xy − y 2 + x+ y =  x− y x − y2   x+3 y =1   y + 2x + y  1 −1  − =  3x − y − y −1   ( − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y   2 y − x + y + = x − y − x − y − Đề thi ĐH KB – 2014 ( 3.72 Giải hệ phương trình: )  x 12 − y + y 12 − x = 12    x − x − = y − Đề thi ĐH A – 2014 TỔNG KẾT 3.1 ƯU ĐIỂM - Có thể giải lớp tập hệ phương trình có dạng phân tích thành nhân tử - Một số hệ phương trình có sử dụng tính đơn điệu hàm số phương pháp này.( Những hàm số dạng đa thức) 3.2 NHƯỢC ĐIỂM 24 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử MTBT ) - - Bản chất việc học toán rèn luyện tư duy, phương pháp mẹo để giải nhạnh hệ phương trình, không nên lạm dụng làm cho người học hạn chế tư duy, sang tạo học toán Đối với em học sinh bắt đầu tham gia giải hệ phương trình không nên giải theo cách mà nên tập khả đặt nhân tử chung, tập phân tích toán TẠI LIỆU THAM KHẢO [1] Một số tài liệu internet có nguồn góc từ: Diễn đàn toán học, Tài liệu hệ phương trình Thầy Lê Văn Đoàn, Thầy Nguyễn Minh Hiếu, thủ thuật máy tính Alexander Viet,….Và nhiều nguồn khác internet 25 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang [...]... học toán là rèn luyện tư duy, còn phương pháp này là một cái mẹo để giải quyết nhạnh hệ phương trình, do đó không nên lạm dụng quá sẽ làm cho người học hạn chế được sự tư duy, sang tạo trong học toán Đối với các em học sinh khi mới bắt đầu tham gia giải hệ phương trình thì không nên giải theo cách này mà nên tập khả năng đặt nhân tử chung, tập phân tích bài toán TẠI LIỆU THAM KHẢO [1] Một số tài liệu. .. −1 2   ( 1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y  2  2 y − 3 x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3 Đề thi ĐH KB – 2014 ( 3.72 Giải hệ phương trình: )  x 12 − y + y 12 − x 2 = 12    x 3 − 8 x − 1 = 2 y − 2 Đề thi ĐH A – 2014 3 TỔNG KẾT 3.1 ƯU ĐIỂM - Có thể giải quyết được một lớp bài tập hệ phương trình có dạng phân tích thành nhân tử - Một số hệ phương trình có sử dụng tính đơn điệu hàm số... y + 6 ( x − 3 y ) − 15 = 3 6 x + 2 3.22 Giải hệ phương trình: Đề thi thử ĐH – Bắc Ninh  2 x + y + 5 − 3 − x − y = x 3 − 3 x 2 − 10 y + 6  3 2 3  x − 6 x + 13 x = y + y + 10 3.23 Giải hệ phương trình: 3.24 Giải hệ phương trình: THPT Thuận Thành – 7 x3 + y 3 + 3xy ( x − y ) − 12 x 2 + 6 x = 1   3 4 x + y + 1 + 3 x + 2 y = 4 Đề thi thử ĐH – Hà Tĩnh 18 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT... x + 4 y − 3 3  x − 2 + 2 − y = 3  y 12 = 3 + x − 2 4 y − x  x  y + 3 + y = x2 − x − 3   x 2 + y 2 = 5   y − 1 ( x + y − 1) = ( y − 2 ) x + y  x3 + 2 y 2 = x 2 y + 2 xy  2  2 x − 2 y − 2 = x − 2 y + 3  x + 3 = 2 ( 3 y − x ) ( y + 1)  2  x − xy + y = x + 2 2 xy  2 2 x + y + x + y = 1   x + y = x2 − y  Đề thi thử đại học-THPT Lê Qúy ôn -HCM– 2010 4 y 4 + 16 xy − 16 y 2 +... Qúy ôn -HCM– 2010 4 y 4 + 16 xy − 16 y 2 + x3 − 3x 2 y − 4 x 2 = 0   x − 2 y + x + y = 2 3 Đề thi thử đại học khối -THPT Hùng Vương -HCM– 2013 ( x − y ) x 2 + xy + y 2 + 3 = 3 x 2 + y 2 + 2   4 x + 2 + 16 − 3 y = x 2 + 8 3.9 Giải hệ phương trình: ( ) ( ) Đề thi thử đại học khối A-THPT Lương Tài 2-Bắc Ninh – 2013 16 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên... giải hệ phương trình thì không nên giải theo cách này mà nên tập khả năng đặt nhân tử chung, tập phân tích bài toán TẠI LIỆU THAM KHẢO [1] Một số tài liệu trên internet có nguồn góc từ: Diễn đàn toán học, Tài liệu về hệ phương trình của Thầy Lê Văn Đoàn, Thầy Nguyễn Minh Hiếu, thủ thuật máy tính của Alexander Viet,….Và rất nhiều nguồn khác nhau trên internet 25 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang ... nhân tử bằng MTBT ) 3.10 Giải hệ phương trình:  x3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y   2 1 2 x + y − x + y =  2 Đại học khối A,A1-2 012 2 xy − x y + 3 y = 4 ( x + y )   2 2 2  xy x + y + ( x + y ) = 3xy + 1 2 2 3 ( 3.11 Giải hệ phương trình: 3 .12 Giải hệ phương trình: 3.13 Giải hệ phương trình: x  y − x − 2y = 6y + 2   x + x − 2 y = x + 3y − 2   x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0 ... y, giả sử cho y=1000 x = −998 = − y + 2; x = Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm 1001 y + 1 = 2 2 Do đó, ( x + y − 2 ) ( 2 x − y − 1) = 0 phương trình (1) có thể phân tích thành nhân tử Bài giải: 12 Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh giải HPT Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc ( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT ) pt (1) ⇔ ( x + y − 2 ) ( 2 x − y − 1) = 0  y = 2x −1... 3.28 Giải hệ phương trình: 3.29 Giải hệ phương trình: 3.30 Giải hệ phương trình: 3.31 Giải hệ phương trình: 3.32 Giải hệ phương trình:  x ( 3x − 7 y + 1) = −2 y ( y + 1)   x + 2 y + 4 x + y = 5 Đề thi thử ĐH – Thái Bình  x3 + 2 y 3 − 3 xy 2 − 2 xy + x 2 + y 2 = 0   1  y + x + 4 y + 2 +1 = 0   x 3 + y 3 + 6 xy = 8  2 2  x + y = 2 x + y + 14 ( 17 − 3 x ) 5 − x + ( 3 y − 14 ) 4 − y = 0... xy + 27  6 x3 y + 3xy 3 + 5 xy = 6 x 2 y 2 + 2 x 2 + y 2 + 1  ( x + y ) 3 + y 3 − ( xy + 1) ( 2 x + y − 1) + ( x + 2 y ) 2 = 7 x 2 + 1  2 3 x − 2 y 2 − 9 x − 8 y = 3 ( x − 1) 3 − ( y + 1) 3 − 12 ( x − y ) + 24 = 0   2 1 2 x + y − x + y =  2 3 3 2 2   x − y − x y + xy − 2 xy + y − x = 0  3 2   x − y = x − 2x + y + 2 ( ( 3.37 Giải hệ phương trình: 3.38 Giải hệ phương trình: 3.39 Giải