ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM 2012 – 2013 - THPT AN LƯƠNG ĐÔNG I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN 1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, ∀n lim = limun = - Sử dụng số dãy số có giới hạn 0: lim n = , lim 1 = , lim = , lim q n = với n n |q| < 2/ Tìm giới hạn dãy số, hàm số - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực dãy số: +) Nếu limun = +∞ lim un =0 limv limun=L n lim un + +∞ - −∞ L0 Dấu - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực hàm số: +) Nếu lim f ( x ) = +∞ lim x → x0 x → x0 f ( x) =0 lim f ( x ) x→ x L>0 lim g ( x) x→ x 0 L 0) - Khử dạng vô định ∞ ; ; ∞−∞; ∞ 0x∞ Ghi chú: * Nếu PT f(x) = có nghiệm x0 f(x) = (x-x0).g(x) * Liên hợp biểu thức: a− b a −b a+ b a + a b + b a+ b a +b a− b a − a b + b Bài toán Tính giới hạn dãy sô: Ví dụ: Tìm giới hạn: 1/ lim 8n −2 3n n 2/ lim 2n − 3n − −n + 3/ ( lim n − − n + ) 4/  3n − 4n +  lim  n n ÷  2.4 +  Giải: 1/ 8n − 3n lim = lim − = = 2 n n 2/ 2− − 2n − 3n − n n = = −2 lim = lim −n + −1 −1 + n 3/ ) ( lim n − − n + = lim −2n n −1 + n + 1− n  3n − 4n +  4/ lim  2.4n + 2n ÷=lim   −2 = lim 1 + 1+ n n = −1 n 3 1   −1+   4 4 = − n 1 2+  2 3/ Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải: Sử dụng công thức: S= u1 ,| q |< 1− q Bài toán 2: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Ví dụ: Tính tổng S = 1+ 1 + + + n + 22 Giải: Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn, với S= u1 = =2 1− q 1− q=  Nên phương trình chứng minh f ( x) = có nghiệm x0 ∈ ( 0;1) , toán BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau:  x2 −  1, f ( x) =  x +  −4  voi x ≠ − voi x = −2 x = -2 2, f(x) = 2 − x +1  nÕu x ≠  3−x 4 nÕu x =  x = 3, voi x <  x f ( x) =  1 − x voi x ≥ tai x = 4, 2 x − , x < f ( x) =  ,x ≥1  x x = Bài 2: Xét tính liên tục hàm số sau TXĐ chúng 1, 3,  x2 −  f ( x) =  x − 2  1 −  f ( x) =    5, f ( x ) = voi x≠ voi x= 2, 1− x , x ≠ x ,x = 4, 2− x  1− x  g ( x) =  ( x − 2) 3  voi x≠2 voi x=2  x2 − x −  f ( x) =  x −  5− x  6, f ( x ) = x > x ≤ x − +1 Bài 3: Tìm số thực a cho hàm số liên tục R: 1,  x2 f ( x) =   2ax − voi x < 2, voi x ≥  x2 − x −  f ( x) =  x +1  a  x ≠ −1 x = -1 Bài 4: Xét tính liên tục hàm số sau: a)  x2 −  f ( x) =  x +  −4  x ≠ -2 x = -2 x0 = -2 b)  x2 − x +  f ( x) =  x −   x x ≤ x0 = d)  − x +1  f ( x) =  − x   f)  x−2  f ( x) =  x − −  3x −  x ≠ x = x0 = e/  x2 −  f ( x) =  x − 2  x ≠ x0 = x = x > x ≤ x0 = ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục Bài 5: Xét tính liên tục hàm số sau TXĐ chúng: a) c)  x − 3x +  f ( x) =  x −    x2 − x −  f ( x) =  x −  5− x  x ≠ b) x = x > d) x ≤  1− x  f ( x) =  ( x − )   x ≠ x = x x <   f ( x) =  x2 ≤ x < − x − x + x ≥  ĐS: a) hsliên tục R ; đọan x = b) hs liên tục khoảng (-∞; 2), (2; +∞) bị gián c) hsliên tục R ; đọan x = d) hs liên tục khoảng (-∞; 1), (1; +∞) bị gián Bài 6: Tìm điều kiện số thực a cho hàm số sau liên tục x0 a) c)  x2 − x −  f ( x) =  x +1  a  x ≠ −1 x = −1  x+7 −3  f ( x) =  x −  a −1  ĐS: a) a = -3 b) a = x < x ≥ với x0 = với x0 = d)  3x − f ( x) =   2a + x < x ≥ với x0 = với x0 = -1 x ≠ x = b)  x2 f ( x) =   2ax − c) a = 7/6 d) a = 1/2 Bài 7: a) CMR phương trình sau có hai nghiệm: x − 10 x − = b) CMR phương trình sau có it nghiệm âm: x + 1000 x + 0,1 = c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – = có nghiệm khoảng (1; 2) d) Chứng minh phương trình e) Chứng minh phương trình trị m x sin x + x cos x + = m ( x − 1) có nghiệm x0 ∈ ( 0; π ) ( x − ) + x − = có nghiệm với giá Bài 8: a) x4 − 5x + = có nghiệm b) x5 − 3x − = có nghiệm c) x3 − 3x + = có nghiệm d) x3 − 10 x − = có nghiệm e) cosx = x có nghiệm thuộc khoảng (0; π/3) f) cos2x = 2sinx – = có nghiệm g) h) m i) x3 + 3x − = có nghiệm phân biệt ( − m ) ( x + 1) + x2 − x − = m ( x − 1) (x ) − + x4 − = có nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với có nghiệm với m CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 1/ Các công thức tính đạo hàm: Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp ( C ) ′ =0 (C lµ h»ng sè) ( x ) ′ =1 (kx)’=k (k lµ h»ng sè ) ( x )′ =n.xn-1 (n∈ N, n ≥ 2) ′ 1  ÷ =− x x (x ≠ 0) ′ U′ 1  ÷ =− U U (x>0) ( U) n ( x )′ = x 10 (U )′ =n.Un-1.U ′ n ′ = U′ U (U ≠ 0) (U > 0) ( sin x ) / = cos x ( cos x ) / = − sin x ( sin U ) / = cos U U / ( cos U ) / = − sin U U / = + tg x cos x ( cot gx ) / = − 12 = − + cot g x sin x ( tgU ) = ( tgx ) / U/ cos U ( cot gU ) / = − 12 U / sin U / = ( ) - Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)) ( U ± V) ′ = U′ ± V ′ ′  U  U′.V − U.V′  ÷= V2 V ( UV ) ′ (k.U)′ = k.U′ = U′V + UV′ (k số) ′ 1  ÷ =− V V   - Đạo hàm hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g' x = f 'u U x′ - Đạo hàm cấp cao hàm số Đạo hàm cấp : f "(x) = [ f(x)'] ' Đạo hàm cấp n : f n (x) =  f(x)n-1  ' 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Phương pháp:pt tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) 3/ Vi phân - Vi phân hàm số nột điểm: df ( x0 ) = f '( x0 ).∆x - Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: - Vi phân hàm số: df ( x) = f '( x )dx f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )∆x hay dy = y ' dx BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = x3 b) y = 3x + c) d) y = x +1 11 y= x −1 Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y = x2 + x ; x0 = ; x b) y = x0 = c) y = x −1 ; x +1 x0 = d) y = - x; x0 = x e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y = 2x −1 ; x −1 h) y = 4cos2x + sin3x; x0 = π3 g) y = x.sinx; x0 = π3 x0 = i) Cho f ( x) = x + , tính f ’’(1) k) Cho y = x cos2x Tính f”(x) π π     l) f ( x ) = sin 3x Tính f ''  − ÷; f '' ( ) ; f ''  ÷  2  18  m) Cho f ( x ) = ( x + 10 ) TÝnh f '' ( ) Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: x +3 y = x − x + y = x − y = 5x (3x − 1) y = ( x + 5) y = ( x + 1)( x + 2) 12 y = 5x − x + x +1 y = ( x + 1) x + x + 19) 23) y= a − b x2 x x (x + 2)2 y= (x + 1)3 (x + 3)4 3 ( x + 3) 13 y = 20) y = a + bx3 25) 28/ y= x 30/ y= (x2- 17 y = 1+ x x2 y = ( x + 2)( x + 1) + 1)(5 − 3x ) y = x (2 x − 1)(3x + 2) 2x − 6x + 11 y = 2x + x −1 + x + 3x − x + 2x − 3 3 26) y = 1+ x 1− x 21) y = x2 − 3x + + 2x x −1 14 y = x + 6x + x − 2x + 2x + 24) y = (x + x)2 1+ x2 y = ( x 10 y = 16 y = y = 10 x y = (a − b ) 15 18) y = 22) y = x2 x2 27) y = 31/ y= (2x+3)10 1− x 3x - x - x+ 2 x x 29/ y= x +1) 32/ y= (x2+3x-2)20 Bài 4: Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y = sin x sin 3x y = sin 2) y = (1 + cot x ) 3) y = cos x sin x x 12 4) y -= + sin x − sin x 5) x sin x + cos x π 7) y = cot (2x + ) 6) y = sin x − cos x 10) y -= + cos x 11) y = (1 + sin 2 x ) 14) y= 5sinx-3cosx 18) 8) 19) y= 16) x sin x + tan x 20) y= y=− cos x + cot x 3sin3 x 13) y = cos ( x3 ) 12) y = sin p - 3x 15) y = x.cotx y = sin (cos3x) 9) y = + tan x 17) y= sin(sinx) y = cot + x sin x x + x sin x 21) y = tan x +1 22) y = + tan x Bài 5: Tìm đạo hàm hàm số sau: ax + b cx + d y= y= y= Áp dung: 3x + − 2x + Bài 6: Cho hai hàm số : f '( x) = g '( x) ax + bx + c mx + nx + p y= − x2 + x − 2x − y= f ( x) = sin x + cos x g ( x) = (∀ x ∈ ℜ ) Bài 7: Cho ĐS: a) y= ax + bx + c dx + e y = x − 3x + x < x >  Tìm x để: b) − x − 3x + 2x + x + cos x Chứng a) y’ > minh rằng: b) y’ < < x < 1+ Bài 8: Giải phương trình : f’(x) = biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – Bài 9: Cho hàm số f(x) = + x Tính : sin x − cos x + x f(3) + (x − 3)f '(3) Bài 10: a) y= x −3 ; x+4 2y '2 = (y − 1)y" c) Cho hàm số y -1)y’’ e) Cho y = sin x + cos x = − sin x cos x b) ; y’' = - y − cot g x + cot gx + x + + ; y’ = cotg4x d) Cho y = f)Chof(x)= π π f ( ) − 3f ' ( ) = 4 g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 13 y = 2x − x ; x−3 x+4 y y"+ = ; 2(y’)2 =(y cos x + sin x ; h) Cho hàm số: y= x2 + 2x + Chứng minh rằng: 2y.y’’ – =y’2 i) Cho hàm số y = cos22x a) Tính y”, y”’ b) Tính giá trị biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – Bài 11: Chứng minh a/ f ( x) = f '( x ) > ∀x ∈ ℜ , x − x + x3 − 3x + x − Bài 12: Cho hàm số y= x2 + x x−2 biết: b/ f ( x ) = x + sin x (C) a) Tính đạo hàm hàm số x = b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = -1 Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + Bài 14: Gọi ( C) đồ thị hàm số : y = x3 − x + Viết phương trình tiếp tuyến (C ) a) Tại M (0;2) b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1 c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – Bài 15: Cho đường cong (C): y = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x−2 a) Tại điểm có hoành độ b) Tại điểm có tung độ c) Biết tiếp tuyến có hệ số góc −4 Bài 16: Tính vi phân hàm số sau: 14 a) y = x − 2x + b) x y = sin c) y = cos x sin x d) y = x + 6x + e) y = (1 + cot x ) Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: x +1 x−2 1) y= 5) y = x sin x y '' = ĐS: 1) y '' = 5) (x 2) 6) ( x − 2) y= 2x +1 x + x−2 x 3) y = x − y = (1 − x ) cos x 2) y '' = 7) y = x.cos2x x − 10 x + 30 x + 14 (x 4) + x−2 ) 8) y = sin5x.cos2x 3) y = x x2 + y '' = ( x x2 + (x ) −1 ) 4) x3 + 3x ) +1 ( x2 + ) y '' = − x sin x + x cos x 6) y '' = x sin x + ( x − 3) cos x 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x Bài 18: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: a) y= sinx ĐS: a) y ( n ) = ( −1) π  y ( n ) = sin  x + n ÷ 2  15 n n! ( x + 1) n +1 x +1 b) y = b) B HÌNH HỌC I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a b vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc hai đường thẳng a b 900 r r rr • Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u.v = ( u , v vectơ phương a b) • Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b b ⊥ ( β ) ⊃ a • Phương pháp 4: Áp dụng định lí đường vuông góc ( hình chiếu đt b lên mp chứa đt a) a ⊥ b ⇔ a ⊥ b' với b’  Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P) • Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P) • Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P) • Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q) • Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P)  Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) (Q) vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q) • Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q) • Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q)  Dạng 4: Tính góc đt a b • Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’)  Dạng 5: Tính góc đt d mp(P) • Phương pháp: Gọi góc đt d mp(P) ϕ +) Nếu d ⊥ (P) ϕ = 900 16 +) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ d lên mp(P) - Khi đó: ϕ = (d,d’)  Dạng 6: Tính góc ϕ hai mp (P) (Q) • Phương pháp 1: - Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b) • Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d - Tìm (R) ⊥ d - Xác định a = (R) ∩ (P) - Xác định b = (R) ∩ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b)  Dạng 7: Tính khoảng cách • Tính khoảng từ điểm M đến đt a: Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H hình chiếu vuông góc M a) • Tính khoảng từ điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H A lên (P) - d(M, (P)) = AH • Tính khoảng đt ∆ mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M điểm thuộc ∆) • Xác định đoạn vuông góc chung tính khoảng đt chéo a b: +) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b : - Dựng (P) ⊃ a (P) ⊥ b - Xác định A = (P) ∩ b - Dựng hình chiếu H A lên b - AH đoạn vuông góc chung a b +) Phương pháp 2: - Dựng (P) ⊃ a (P) // b 17 - Dựng hình chiếu b’ b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H - Dựng đt vuông góc với (P) H cắt đt b A - AH đoạn vuông góc chung a b +) Phương pháp 2: - Dựng đt (P) ⊥ a I cắt b O - Xác định hình chiếu b’ b (P) (b’ qua O) - Kẻ IK ⊥ b’ K - Dựng đt vuông góc với (P) K, cắt b H - Kẻ đt qua H song song với IK, cắt đt a A - AH đoạn vuông góc chung a b II BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB) b) SD ⊥ DC c) SC ⊥ BD Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC ⊥ AD b) Gọi AH đường cao ∆ADI Chứng minh: AH ⊥ (BCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, tâm O SA = SC = SB = SD = a 18 a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, K trung điểm AB BC Chứng minh IK⊥SD c) Tính góc đt SB mp(ABCD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD Gọi H hình chiếu A lên mp(BCD) Chứng minh: a) H trực tâm ∆BCD b) AC ⊥ BD Bài 6: Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối diện tứ diện vuông góc với đôi Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, tâm O AB = SA = a, BC = a , SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Gọi I trung điểm SC Chứng minh IO⊥ (ABCD) c) Tính góc SC (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, tâm O SA K hình chiếu vuông góc A lên SB, SD ⊥ (ABCD) Gọi H, a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b) Chứng minh SC ⊥ (AHK) c) Chứng minh HK ⊥ (SAC) Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, SA = AB = AC = a, SA ⊥ (ABC) Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC ⊥ (SAI) b) Tính SI c) Tính góc (SBC) (ABC) 19 Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B SA ⊥ (ABC) SA = a, AC = 2a a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB) b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) c) Tính góc (SBC) (ABC) d) Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung SA BC BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi vuông góc OA= OB = OC = a Gọi I trung điểm BC; H, K hình chiếu O lên đường thẳng AB AC CMR: BC ⊥ (OAI) CMR: (OAI) ⊥ (OHK) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC) ĐS: a / Tính côsin góc OA mp (OHK) ĐS: cos α = 6/3 Tính tang góc (OBC) (ABC) ĐS: tan ϕ = Tìm đường vuông góc chung hai đường thẳng HK OI Tính khoảng cách hai a/ đường ĐS: Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a SA ⊥ (ABCD) CMR: Các mặt bên hình chóp tam giác vuông CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) Tính góc ĐS: α = 450 , β = 300 α SC mp (ABCD), góc Tính tang góc ĐS: tan ϕ = ϕ β SC mp (SAB) hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) 20 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD) ĐS: a 6/3 Tìm đường vuông góc chung đường thẳng SC BD Tính khoảng cách hai đường thẳng ĐS: a/ Hãy điểm I cách S, A, B, C, D tính SI ĐS: SI = a Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, · SA = SB = BAD SD = =a 60 3/2 Gọi H hình chiếu S AC CMR: BD ⊥ (SAC) SH ⊥ (ABCD) CMR: AD ⊥ SB CMR: (SAC) ⊥ (SBD) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) SC SC = a / Tính sin góc ĐS: sin α = / α ĐS: SH = a 15 / SD (SAC), côsin góc β SC (SBD) cos β = / 14 Tính khoảng cách từ H đến (SBD) ĐS: a 10 / 12 Tính góc (SAD) (ABCD) ĐS: tan ϕ = Tìm đường vuông góc chung đường thẳng SH BC Tính khoảng cách hai đường thẳng ĐS: a 3/3 Hãy điểm I cách S, A, B, D tính MI ĐS: 15a / 20 · ADC = 450 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vuông A, AB = BC = a 21 Hai mặt bên SAB, SAD vuông góc với mặt đáy SA = a CMR: BC ⊥ mp(SAB) CMR: CD ⊥ SC Tính góc (SAC) ĐS: α SC (ABCD), góc β SC (SAB), góc γ SD α = 450 , β = 300 , tan γ = / Tính tang góc ϕ mp(SBC) mp(ABCD) ĐS: tan ϕ = Tính khoảng cách SA BD ĐS: 2a / Tính khoảng cách từ A đến (SBD) ĐS: 2a / 7 Hãy điểm M cách S, A, B, C; điểm N cách S, A, C, D Từ tính MS NS ĐS: MS = a , NS = a / Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a Gọi O tâm tứ giác ABCD; M, N trung điểm AB AD CMR: BD ⊥ (ACC'A ') A’C ⊥ (BDC') CMR: A 'C ⊥ AB' CMR: (BDC’) ⊥ (ACC’A’) (MNC’) ⊥ (ACC’A’) Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’) ĐS: Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’) ĐS: Tính tang góc AC (MNC’) ĐS: a/ 3a / 17 tan α = 2 / Tính tang góc mp(BDC’) mp(ABCD) ĐS: tan β = Tính côsin góc (MNC’) (BDC’) ĐS: cos ϕ = / 51 Tính khoảng cách AB’ BC’ a 3/3 22 ĐS: [...]... A lên b - AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2: - Dựng (P) ⊃ a và (P) // b 17 - Dựng hình chiếu b’ của b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H - Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A - AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2: - Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O - Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O) - Kẻ IK ⊥ b’ tại K - Dựng đt vuông góc với (P) tại K,... K, cắt b tại H - Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A - AH là đoạn vuông góc chung của a và b II BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB) b) SD ⊥ DC c) SC ⊥ BD Bài 3: Cho tứ... chóp là những tam giác vuông b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO⊥ (ABCD) c) Tính góc giữa SC và (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD ⊥ (ABCD) Gọi H, a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b) Chứng minh SC ⊥ (AHK) c) Chứng minh HK ⊥ (SAC) Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC... và (ABC) 19 Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA ⊥ (ABC) và SA = a, AC = 2a a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB) b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC) d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt... 7 Tính góc giữa (SAD) và (ABCD) ĐS: tan ϕ = 5 8 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy ĐS: a 3/3 9 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI ĐS: 3 15a / 20 · ADC = 450 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và 21 Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 1 CMR: BC ⊥ mp(SAB) 2 CMR:... đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2 18 a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IK⊥SD c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) Chứng minh: a) H là trực tâm ∆BCD b) AC ⊥ BD Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau... (OHK) ĐS: cos α = 6/3 6 Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC) ĐS: tan ϕ = 2 7 Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI Tính khoảng cách giữa hai a/ 2 đường ấy ĐS: Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 2 SA ⊥ (ABCD) 1 CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông 2 CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) 3 Tính góc ĐS: α = 450 , β = 300 α giữa SC và mp (ABCD), góc... b) y = b) B HÌNH HỌC I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 r r rr • Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u.v = 0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b) • Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b hoặc b ⊥ ( β ) ⊃ a • Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( hình chiếu của đt b lên mp... khoảng từ một điểm M đến đt a: Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a) • Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P) - d(M, (P)) = AH • Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ∆) • Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b: +) Phương pháp 1: Nếu a ⊥... '( x0 ).∆x - Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: - Vi phân của hàm số: df ( x) = f '( x )dx f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )∆x hay dy = y ' dx BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y = x3 b) y = 3x 2 + 1 c) d) y = x +1 11 y= 1 x −1 Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra: a) y = x2 + x ; x0 = 2 1 ; x b) y = x0 = 2 c) y = x −1 ; x +1 x0 = 0 d) y = - x; x0