600 Bài tập nguyên hàm tích phân đủ dạng

22 552 2
600 Bài tập nguyên hàm tích phân đủ dạng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = 2. f(x) = ĐS. F(x) = . f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C 4. f(x) = ĐS. F(x) = 5. f(x) = ĐS. F(x) = 6. f(x) = ĐS. F(x) = 7. f(x) = ĐS. F(x) = 8. f(x) = ĐS. F(x) = 9. f(x) = ĐS. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx cotx – 4x + C 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx cotx + C 14. f(x) = ĐS. F(x) = cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =

I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = x2 – 3x + x 2x  x2 x 1 f(x) = x ( x  1) f(x) = x2 f(x) = x 3x   ln x  C 2x3 ĐS F(x) =  C x ĐS F(x) = lnx + + C x x ĐS F(x) =  2x   C x ĐS F(x) = f(x) = f(x) = x 3 x 4 x 3 2x 3x 4x   C ĐS F(x) = x  x  ln x  C 3 ĐS F(x) = x  x  C x f(x) = sin ĐS F(x) = x  33 x  C x x ( x  1) f(x) = x x 1 f(x) = ĐS F(x) = x ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C sin x cos x cos x 14 f(x) = sin x cos x 13 f(x) = 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = tanx - cotx + C ĐS F(x) = - cotx – tanx + C ĐS F(x) =  cos x  cos x  C ĐS F(x) = e x  e x  C ĐS F(x) =  cos 3x  C 16 f(x) = 2sin3xcos2x 17 f(x) = ex(ex – 1) 18 f(x) = ex(2 + 1 x  sin x  C ex ) cos x 19 f(x) = 2ax + 3x 20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 2a x x  C ln a ln ĐS F(x) = e x 1  C ĐS F(x) = 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x + f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = x  x3 1 x x x 40   3 x ĐS f(x) =   2x  x f’(x) = x  x f(4) = f’(x) = x - ĐS f(x) =  f(1) = x2 f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + b f’(x) = ax + , f ' (1)  0, f (1)  4, f (1)  x x2 ĐS f(x) =   x II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I =  f [u ( x)].u ' ( x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)  dt  u ' ( x)dx I =  f [u ( x)].u ' ( x)dx   f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau:  (5 x  1)dx  (2 x  1) xdx 3x dx  (3  x )  (x 3  5) x dx dx   2x3  x (1  x ) sin x 13  sin x cos xdx 14  dx cos x dx dx 17  18  sin x cos x x e tgx e dx 21  x 22  dx cos x e 3 dx 25  x  x dx 26  1 x2 29  cos dx 10 x sin xdx 30 x 11 15 ln x  x dx 12 16  cot gxdx 19  tgxdx 23    x.e x 1 dx tgxdx x  cos 20  x dx 24  e  x x dx dx  x2 dx 28  x  x 1 x dx 1 x2 dx 31  x e 1 dx  2x 1 x  dx x 5 x  1.xdx  27 x  1.dx  x dx  32 x x  1.dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I  u ( x).v' ( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u' ( x)dx Hay  udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau:  x sin xdx  x cos xdx  x sin xdx  x ln xdx  x cos xdx 10  ln xdx  (x  5) sin xdx x  x.e dx ln xdx 11  x  ( x  x  3) cos xdx  ln xdx 12  e dx x 13 x  cos x x 17  e cos xdx 21  xtg 18 x e 14 dx 22  x lg xdx 15 xdx x2  sin 16 x dx 19  x ln(1  x )dx ln(1  x )  x ln(1  x)dx 23  x dx TÍCH PHÂN dx  ln( x 20 24 x 2  1)dx x xdx cos xdx I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: e 1  ( x  x  1)dx  ( x  1   x )dx x x  x  dx   x  1dx 1  (2sin x  3cosx  x)dx   (e x  x )dx  ( x  x x )dx  ( x  1)( x  x  1)dx   (3sin x  2cosx  )dx x   (e x  x  1)dx 2 10  ( x  x x  x )dx 11  ( x  1)( x  x  1)dx 1 3 12  (x  1).dx 13 1 -1 e2 7x  x  14  dx x ( x  1).dx 16  x  x ln x 15 x.dx 2 x   dx x2  x2 cos3 x.dx 17  sin x   18 tgx dx cos2 x  20 e x dx  ex  e x ln  22 dx e  e x x 24  (2 x  x  1)dx 1 19 ex  e x 0 ex  ex dx 21   22 dx 4x  8x dx   sin x 2 25  (2 x  x  )dx 26  x( x  3)dx 27  ( x  4)dx 2 3 1 28    dx x  1 x 29 x  2x 1 x dx e 30  e 16 dx x 31 e2 32 x dx  x   7x dx 1 x   33   x  dx x   II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:    sin xcos xdx   sin x   3cosx dx  sin xcos xdx    tgxdx   4  cot gxdx  6 x x  1dx x3   x  x dx  dx dx x 1   2 xdx  20  esin x cosxdx  dx x3  1 13  dx x  x  1 15  (1  3x 2 ) dx  16  esin x cosxdx 18  e x x 1 11 dx 1  1 x 14 x2  12  x dx x  x x  1dx 10  4sin xcosxdx  17  e cosx sin xdx   19  sin xcos xdx   21  e cosx sin xdx   22  e x 2 23  sin xcos xdx xdx    24  sin xcos xdx 25    26  tgxdx 27  cot gxdx   28 1  4sin xcosxdx  29 30  x dx x x  31 dx 33 x 1 dx x 1 sin(ln x) 36  dx x 38 e 35 42 e cos (1  ln x) dx 41 x  44  46  e 47 49  1 dx x 1  x 45 x 1 dx x 46  cos e  1 x x  1dx dx x 1  x  e  e 48 x dx x 1  1  ln x dx x  3ln x ln x dx x e2 dx 50  ln x e x ln x dx e2 51  ln x e x ln x dx 2ln x 1 x  3ln x ln x dx x 1 43 sin(ln x) dx x e  x dx 2x 1  e  x dx  ln x dx x e2 39 e 40 37 2ln x 1 x  1dx  e dx  e e x e x x 34 x  1dx x 1 32 sin x   3cosx dx dx (1  ln x ) 52  x x  5dx  53   sin x  1 cos xdx 54 55   x dx 56 0 57  e 1 59  dx  x2  x 3 58  e  x dx dx x  (2x  1) dx 60 61  x  xdx  x dx 2x  x 62 0 63 2x  0 x2  4x  4dx x3 0 x2  2x  1dx  65  (sin6 x  cos6 x)dx 4sin3 x dx  cos x 66    sin 2x dx cos x 67   68  cos4 2xdx   sin 2x  cos 2x  sin x  cos x dx  71  (cos x  sin x)dx 1 dx e 1 70  sin x 73  dx cos x  2x  75  dx x  2x  2 x  cos x dx  sin x 72    cos x dx  sin x dx 76  1 x  2x  74    77  cos3 x sin2 xdx 78  sin 4x 79  dx  cos2 x  cos 80  x3  x dx 82  cos e   1  ln x dx x xdx  81  sin 2x(1  sin x)3dx  83 4x  11 dx  5x  64  69  x dx 84 x dx  cos xdx e 1  ln x 85  dx x 86  x5 (1  x3 )6dx  87 cos x 0  5sin x  sin xdx 88   cos x  sin x 89  dx  sin x dx 91  x x 3 ln e  2e ln tg4 x dx cos 2x  sin x 90  cos x  sin x dx  sin x dx (  sin x ) 92    ln( tgx) 93  dx  sin x 94  (1  tg x )dx  95  sin x  cos x  sin x   dx sin x cos x 97  dx  cos x x dx 99  11 x 1   sin x 101  dx  sin x 98  (e sin x  cos x ) cos xdx x 1 102 104 dx  x2 x 106  dx x  x 1 dx  x 1 2 0  cos x  sin x dx 108 x2   x2 110    3x dx x2 x x 1 dx dx 1 x  2x  112   1 x4 115  dx 1 x6 117  x 113  109  x2  x2 dx 101  x dx   107  ln x ln x dx x e 100  1 0  x2 dx dx  105  cos x  103 sin x  sin x 96  114   116  118  dx x2  1 x (1  x )5 dx dx cos x dx  cos x cos x  cos2 x dx   3x dx x x 1 dx x5 119  121  1 x ln 123  2 x x 1 dx x3 120  ex  dx 122 x  x dx 124 dx  x 1 dx 3x  dx 125  x x  1dx 126  x x2  II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b b Công thức tích phân phần :  u( x)v'(x)dx  u ( x)v( x ) a   v( x )u '( x )dx a a Tích phân hàm số dễ phát u dv sin ax    @ Dạng  f ( x) cosax dx  eax  u  f ( x) du  f '( x)dx   sin ax  sin ax          dv  cos ax  dx v    cosax  dx   e ax   eax      @ Dạng 2:  f ( x) ln(ax)dx  dx  u  ln(ax) du  x Đặt   dv  f ( x )dx v  f ( x)dx    sin ax  @ Dạng 3:  e ax  dx cosax   Ví dụ 1: tính tích phân sau u  x5 u  x e x x xe x dx   a/  dx đặt  b/  đặt  dx x dx dv  ( x  1) ( x  1) dv    ( x  1) ( x  1)3   1 1 dx  x  x2 dx x dx c/   dx    I1  I 2 2 2 2    (1  x ) (1  x )  x (1  x ) 0 0 dx phương pháp đổi biến số  x2 Tính I1   x dx Tính I2 =  phương pháp phần : đặt (1  x ) u  x  x  dv  dx  (1  x )2  Bài tập e e ln x  dx x  x ln xdx e  x ln( x e  1)dx ln x dx x3  x ln( x e  1)dx x ln xdx  e  ( x  cosx) s inxdx 10  ln( x  x)dx 12 14  xdx xe x dx 16  x cos xdx  15  ln x dx x5   x tan  13 ( x  1 x ) ln xdx  11 ln xdx  x ln xdx e  x  e x cos xdx 0 Tính tích phân sau 1)  x.e x dx 2)  ( x  1) cos xdx e  x ln xdx 6) ) ln x.dx 7)  1).e x dx 10)  x cos x.dx  x ln x.dx 8) 11) x  x ln(  x ).dx   4)  x sin xdx  (2  x) sin 3xdx  (1  x  (x  e 9) 3) 0 5)    2 cos x.dx 12)  (x  x) sin x.dx  2 ln x 13)  dx x 14)  x cos xdx  e 17)  x ln2 xdx 18)  x  sin x dx cos2 x 21) x 15)  e sin xdx 16)  sin xdx 0    e 1 26)  xtg2 xdx 0 22)  (x  1)2 e2x dx 23)  (x ln x)2 dx ln x 1 ( x  1)2 dx 20)  x(2 cos2 x  1)dx 19)  x sin x cos2 xdx ln(1  x) 1 x dx e 25) 2 24)  cos x.ln(1  cos x)dx 1 27)  ( x  2)e x dx 0 28)  x ln(1  x )dx 0 e e ln x x 29)   dx 30)  ( x  cos x) sin xdx 31)  (2 x  7) ln( x  1)dx 32)  ln( x  x)dx III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 2x  1  dx x  3x  3 b a x  x 1 0 x  dx x2  dx (3x  1) x3  x  0 x  dx  ( x  2) 2x3  6x  9x  1 x  3x  dx x4 2 ( x  1) dx 10 11 x2  1 x( x  3x  2) dx 13  4 x 12 1 14 1 2 x  x  x dx 1 x2 19  dx 1 x 16 ) dx 3x  3x  2 x  3x  dx 20  1 x dx 22 1 x 0  x dx dx 18  x4 0  x dx 1 dx ) x  (1  x x6  x5  x4  dx 0 x6  4 23 x 21  x(1  x dx 15  dx x  2x  17 x n 3 0 (1  x ) n dx  1 x dx ( x  3) 2 2008 1 x 1 x(1  x 2008 ) dx  ( x  a)( x  b) dx 24  x  11 dx x2  5x  25  dx x2  x  26 x2  28    x  1dx 2x   27    dx x 1  0 1  x2 30  x  x  2x  0 x  dx  2x2  x   32    x  1dx x 1  0  x  x 1  31    x  1dx x 1  1  33  2x  1 3x   29    x  1dx x2  x  dx dx  4x  IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:    sin x cos xdx  2  sin x cos xdx   sin x cos xdx  (sin x  cos )dx 0    cos x(sin x  cos x)dx  (2 sin x  sin x cos x  cos x )dx 0   dx   sin x  (sin 10 x  cos10 x  cos x sin x )dx   dx   cos x 10 0   sin x 11  dx  cos x   sin x dx 12   sin dx x cos x  13  sin  15 17  dx x  sin x cos x  cos x cos x   cos x dx 14  sin x   sin x dx   cos x 0  cos x dx 16 cos x   cos x dx 18  sin x  cos x  dx  19  cos xdx   (1  cos x) 20  21  tg xdx 22  cot g   23  tg xdx   24 xdx   tgx dx  dx   cos x cos( x  )  26  28  sin x dx sin x  cos x   sin x  cos x  dx 2 27   25 sin x  cos x   sin x  cos x  dx dx  sin x  cos x   sin x 29  dx  cos x  31 33  cos x  sin x dx sin x  cos x 30   sin x   cos x dx 32  4  sin x 0 cos x dx 34  sin x(1  sin x ) dx  3  cos x sin xdx 36     37 dx   sin x  cos x dx     43 38 sin x  sin x dx sin xtgx  sin x  39  cos x sin xdx 41 dx   sin x  sin x  35 13 0  40 sin xdx x   cos  dx  sin x    sin     dx sin x sin( x   )  4 dx x cos x dx sin x cos( x   )  45   46  tgxtg ( x  )dx  sin xdx cos x   47 sin xdx 0 (sin x  cos x) 48   2  49  sin x dx 50 x 0   51  sin x.e x 1dx 53 sin x  (2  sin x) cos xdx  sin x   cos x e   52 x dx sin 3x sin x dx   tgx  cot g x 54  sin sin xdx x  sin x  6  55  cos(ln x )dx 56 58 xdx 60  e x sin xdx 0   62  ln(1  tgx)dx 0   dx  (sin x  cos x) 64 (1  sin x) cos x  (1  sin x)(2  cos    sin x sin xdx 66    sin x dx  cos x   69   xtg xdx 61  e sin x sin x cos xdx 67  x sin x cos  65 ln(sin x) dx cos x  57  (2 x  1) cos xdx 63    59  sin x sin xdx     cos 5x cos 3xdx   x 70  sin cos xdx x) dx cos x(sin x  cos x)dx 68  71  sin xdx V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b Trong R(x, f(x)) có dạng:  R( x, f ( x))dx a ax  ) Đặt x = a cos2t, t  [0; ] ax +) R(x, +) R(x, a  x ) Đặt x = a sin t x = a cos t +) R(x, n ax  b ) Đặt t = cx  d ax  b cx  d n +) R(x, f(x)) = Với ( x  x   )’ = k(ax+b) (ax  b) x   x   Khi đặt t = x  x   , đặt t = ax  b   2 +) R(x, a  x ) Đặt x = a tgt , t  [ ; ] +) R(x, +) R  n1 x  a ) Đặt x = n n a cos x  x ; x ; ; i x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni) Đặt x = tk  dx x x2   dx x x2 1 3 dx  (2 x  3)  x  12 x  2 x  2008 2  x  x dx (1  x ) dx  x 1  2 x 1 dx 10 x 1   2 dx 12 (1  x )  2 13 dx  1 11 x3  x  2008dx  dx x  x dx  , t [0;  ] \ { } 14  1 x dx 1 x dx (1  x ) x dx 1 x2  15 cos xdx  cos x   17 18  1 x 20  x 10  x dx xdx  22 2x   25 ln   cos x sin x cos xdx 26  0 27 ln dx 1 x  28 x2 1 1 e 12 x  x  8dx   x5  x3 1 x 32 dx cos x  3tgx cos x dx cos x   34 39  x2 x3  ln ln 36   cos xdx  cos x  e x dx ex 1 x  x  x dx 1 37  ln 33  x(e x  x  1)dx 35 ex 1  dx  ln x ln x dx x 30  31  29 x2 1 24  x 15  x dx 2x    x x dx dx  sin x  sin x dx  cos x  x dx 23  2  cos x 21 16  sin x cos x  cos x dx cos xdx  19  38  ln x x ln x  dx e x dx (e x  1) cos xdx  cos x 2a 40 dx  x  a dx VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: a Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó:  a Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục [3 Tính:   f ( x)dx a f ( x )dx   [ f ( x)  f ( x)]dx 3 3 ; ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2  cos x , x  sin x dx  1  x +) Tính a Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó: =  f ( x)dx a  Ví dụ: Tính:  ln( x   x )dx 1  cos x ln( x    x )dx a Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó: a  f ( x)dx =  f ( x )dx a  Ví dụ: Tính x x dx 1   x 1   x  cos x dx  sin x a a f ( x) a1  b x dx  0 f ( x)dx Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó: (1  b>0,  a) Ví dụ: Tính:  2 x 1 1 x  dx 3  sin x sin x cos x dx 1 ex Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục [0;  ],    f (sin x)   f (cos x)dx 0  Ví dụ: Tính  sin 2009 x 0 sin 2009 x  cos 2009 x dx  sin x dx sin x  cos x   Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó:  xf (sin x)dx   Ví dụ: Tính b Bài toán 6:   x 0  sin x dx a b  a  Ví dụ: Tính  x sin x  b f (b  x)dx   f ( x)dx   cos x sin x   cos x dx b f (a  b  x)dx   f ( x )dx  f (sin x )dx 0 x dx  sin x ln(1  tgx)dx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T thì: a T  T nT f ( x)dx   f ( x)dx a  Các tập áp dụng:  2008 Ví dụ: Tính   cos x dx T f ( x)dx  n  f ( x )dx 1 1 x dx 1 2x  1  (1  e 1 x  cos x ln(       cos x   1 x )dx 1 x sin x 2 dx )(1  x )  4  x7  x5  x3  x 1 dx cos x x  cos x dx x   sin  2  sin(sin x  nx)dx tga dx xdx 1  x  cot ga  e e dx  (tga>0) x (1  x ) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: x  1dx  x 3   x x  m dx  x  dx  sin x dx      sin x dx  tg x  cot g x  2dx  3 2  sin x dx    cos x dx  ( x   x  )dx 10 2 2 x  dx  11  cos x cos x  cos x dx 12 2)   2 14 x  4dx 2 17  16  2dx x2 x2    cos 2xdx  sin xdx  3x  2dx   3 2 1 13  ( x   x  )dx 15 x 18  x  x dx VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x =  Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x =  BÀI 1: Cho (p) : y = x + đường thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn hai đường có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích phía 0x phía 0x x  x  BÀI 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn y  o  x  y   Có hai phần diện tích 2 BÀI 4: (p): y =2x chia hình phẳng giới x +y = thành hai phần.Tính diện tích phần  x  2ax  3a y   1 a4 BÀI 5: Cho a > Tính diện tích hình phẳng giới hạn  Tìm a để a  ax y   1 a4 diện tích lớn BÀI 6: Tớnh diện tớch cỏc hỡnh phẳng sau:  x2 y   1) (H1):  y  x  4) y  x (H4):  x   y y  x  4x  2) (H2) :  y  x  y  x 5) (H5):  y   x 3x   y   x 1  3) (H3): y  x    y2  x   6) (H6):  x  y   7) ln x  y  x  (H7): y  x  e  x  y  x  2x 8) (H8) :  y   x  4x (C ) : y  x y  2y  x   10) (H10):  11) (d ) : y   x x  y  (Ox )   y  2x  13)  y  x 1  y    x 14)   x  y  3  y  x  x  9) (H9):  2 y  x  (C ) : y  e x  12) (d ) : y  () : x   15) y  x  x  y   y    x2  y  ln x, y  y    y  2x  16  17  18)   y  x, y  0, y  y   x  e , x  e  1 x 1   y  sin x ; y  cos x 19  20): y = 4x – x2 ; (p) tiếp tuyến (p) qua M(5/6,6) x   ; x    y  x 2   y  x  6x   y  x  4x   y    21)  y  2 x  22)  y   x  x  23)  x  y  x  11  y  x  15 y      x  e  y  / x  1/ 24)   y  / x / y  x  27)  y   x y  x3  30)  y   x  2; x    y  x 25)   y  x  y  x  2x   28)  y  x  x  y    y  sin x  cos x 31)  y   x  0; x    y  x  2x 33)  y  x   y  2x  2x  34)  y  x  x   x  0; x   y  2x2  36)  y  x  x  y   37)   y  / x  3x  / y   y  3x  / x /  26)  y   y  / x  / 29)   y   x   y  x   32)  x  y   y  / x  5x  / 35)  y   y  / x  5x  / 38)  y  x 1 y  eÏ  41)  y  e  x x    y  2x  44)  y  x  x  y    y  ( x  1) 47)   x  sin y  y  / x  3x  /  y   x  y  / x  4x  / 39)  40)   x2 y  42)  x2  x6  x  0; x   43)   y  2x  45) 2 x  y   y    y  x (a  x ) 46)  a   y  / x  1/ 48)  y   y  sin/ x /  y  / x /  x  / y  1/ 49)  32) x  x     x  x  0;  x  ( y  1) y      34)  y  sin x 33)  x  2 x  y  x     x ;y 0 y  1 x4   y  x x2 y    y  x x2   35)  y  36)  37) 38) y   27  x  y  16  x  0; y   x   27   y  x   y  / log x /  y  (4  x )  39)  y    y  x   x  , x  10 10  y  x ax  y  y  x  40)  (a>0) 41) y  sin x  x 42) 43) x2/25+y2/9 = hai   2 ay  x 27 y  8( x  1) 0  x    tiếp tuyến qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn (p) (d) nhỏ  y  x3  2x  4x  45)  y  TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: O y xa a xb (C ) : y  f ( x) y0 b y b x0 a x yb (C ) : x  f ( y) ya x b O b V     f ( y ) dy V     f ( x ) dx a a Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y  x; y   x; y  Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y  (x  2)2 y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y   x ; y  x  Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn đường : y  x2 ; y  x2  Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn đường y = 2x2 y = 2x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường y = y2 = 4x y = x Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x Bài 8: Cho miền D giới hạn đường y = x e ; y = ; x= ; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn đường y = x ln(1  x ) ; y = ; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox  y  ( x  2) 1)  y   y  x , y  4x 2)  y  quay quanh trục a) 0x; b) 0y quay quanh trục a) 0x; b) 0y  y  3)  x 1  y  0, x  0, x   y  2x  x2 4)  y   y  x ln x  5)  y   x  1; x  e   y  x ( x  0)  6) (D)  y  3 x  10 y    y  x 7)   y  x quay quanh trục a) 0x; b) 0y quay quanh trục a) 0x; b) 0y quay quanh trục a) 0x; quay quanh trục a) 0x; ( H) nằm y = x2 quay quanh trục a) 0x; 8) Miền hình tròn (x – 4)2 + y2 = quay quanh trục a) 0x; b) 0y 9) Miền (E):  y  xe Ï  10)  y   x  1, ;0  x   x2 y2  1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y quay quanh trục 0x;   y  cos x  sin x  11)  y  quay quanh trục 0x;   x  ; x    y  x2 12)  quay quanh trục 0x; y  10  x  13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = quay quanh trục a) 0x; b) 0y   14)  y  x4   x  0; x  y  x 1  15)  y   x  0; y   quay quanh trục 0x; quay quanh trục a) 0x; b) 0y [...]... 2  x dx 0 VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành... thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dưới 0x bằng nhau x  x 3  BÀI 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y  o  x  1 y  0  Có hai phần diện tích bằng nhau 2 2 2 BÀI 4: (p): y =2x chia hình phẳng... Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y  1 x2 ; y  x2  1 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 1 2 x 2 Bài. .. xdx 1  cos 2 x 2a 40 dx  x 2  a 2 dx 0 VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: a Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:  a Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [3 2 Tính:   f ( x)dx 3 2 a f ( x )dx   [ f ( x)  f ( x)]dx 0 3 3 ; ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2 2 2  2 cos 2 x , 1 x 4  sin x dx 2  1 1  x +) Tính a Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:... D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y  x; y  2  x; y  0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y  (x  2)2 và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y  4  x 2 ; y  x 2  2 Tính thể tích khối tròn xoay được... 2  Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2  2 BÀI 1: Cho (p) : y = x +...  x 2 )dx 2 a Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: a  f ( x)dx = 2  f ( x )dx a  2 1 Ví dụ: Tính x x dx 4 1  2  x 1   2 0 x  cos x dx 4  sin 2 x a a f ( x) a1  b x dx  0 f ( x)dx Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: (1  b>0,  a) 3 Ví dụ: Tính:  2 2 x 1 1 2 x  dx 3  sin x sin 3 x cos 5 x dx 1 ex 2 Bài toán 4: Nếu... y  0  Có hai phần diện tích bằng nhau 2 2 2 BÀI 4: (p): y =2x chia hình phẳng giới bởi x +y = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần  x 2  2ax  3a 2 y   1 a4 BÀI 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  Tìm a để 2 a  ax y   1 a4 diện tích lớn nhất BÀI 6: Tớnh diện tớch của cỏc hỡnh phẳng sau:  x2 y  4  4 1) (H1):  2 y  x  4 2 4) 2 y  x (H4):  2 x   y... giới hạn bởi các đường y = x e ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài1 0: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln(1  x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox  y... số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất  y  x3  2x 2  4x  3 45)  y  0 TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: O y xa a xb (C ) : y  f ( x) y0 b y b x0 a x yb (C ) : x  f ( y) ya x b O 2 b 2 V     f ( y ) dy V     f ( x ) dx a a Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo

Ngày đăng: 04/10/2016, 23:27

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan