BÀI TỐN XÁC ĐỊNH GĨC – GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VÀ GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU - Góc đường thẳng SA mặt phẳng (P) góc tạo đường thẳng SA hình chiếu SB mặt phẳng (P) ( )) ( ̂ ) SB ⏊ (P)  SB hình chiếu SA Tức ( ̂ mặt phẳng (P) - Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng cắt nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) ) ( )) (̂) với { Tức (( ̂ ( ) ( ) ⏊ - Góc hai đường thẳng chéo góc tạo đường thẳng đường thẳng song song với đường thẳng Tức (̂) (̂) với d // Hoặc hai đường thẳng chéo góc hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng : Tức (̂) ( ̂) THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA = a , SB = a√ mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM , DN Giải : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Gọi H hình chiếu S AB => SH ⏊ (ABCD) hay SH đường cao hình chóp S.BMDN Ta có nên SAB vng S => SM = =a Do SAM cạnh a , nên ta có : SH = √ Diện tích tứ giác BNDM = √ Kẻ thêm MG // ND , ta có ND = √( √ ) √ ta có : √ MG = Kẻ thêm SK vng góc với MG , ta có : MH.MA = MK.MG  MK = √ √ => cos ( ̂ ) √ √ Chú ý : Ta tính diện tích tứ giác BNDM >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! √ ( MN ⏊ BD ) √ Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác SC = a√ Gọi H K trung điểm cạnh AB AD Chứng minh SH ⏊ (ABCD) , AC ⏊ (SHK) Tính số đo góc SC mặt phẳng (SHD) Giải : SB = BC = a => Do SBC vng B CB ⏊ (SAB) => CB ⏊ SH Mặt khác SH ⏊ AB => SH ⏊ (ABCD) Ta có HK // BD => HK ⏊ AC Suy AC ⏊ (SHK) Gọi I = CK HD => DIK ~ CDK  CK ⏊ (SHD) => CK ⏊ HD Góc ̂ góc SC (SHD) DIK ~ DHA => DI = SI = √ = √ √ √ => cos ̂ √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Thí dụ : Cho khối lăng trụ tam giác ABC có đáy tam giác cạnh 2a , điểm cách ba điểm A , B , C Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc α Hãy tìm α , biết thể tích khối lăng trụ ABC 2√ Giải : Ta có tam giác ABC cạnh 2a nên √ Mặt khác  tứ diện Gọi G trọng tâm tam giác ABC , ta có đường cao Trong tam giác ABC có : AG = √ Trong tam giác vng ̂ có : α α √ α >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ă ụ √ √ α Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a , SA = a vng góc với đáy (ABCD) Chứng tỏ mặt bên hình chóp tam giác vng Tính cosin góc nhị diện (SBC,SDC) Giải : Các mặt bên tam giác vng Ta có : SA ⏊ (ABCD) => { ⏊ ⏊  Các tam giác SAB , SAD vng A ⏊ Ta có : } => BC ⏊ (SAB) => BC ⏊ ⏊  Tam giác SCD vuông D Cosin góc nhị diện (SBC,SDC) Vẽ BE ⏊ SC Vì tam giác SBC tam giác SDC có cạnh tương ứng nên DE ⏊ SC BE = DE Tam giác SBC có : => BE = √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ta có cos(( ̂ )( )) = Thí dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SA = a√ Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh AH vng góc với mặt phẳng (SBC) tính AH Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Gọi O giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) Giải : Chứng minh AH ⏊ (SBC) tính AH : Ta có : BC ⏊ (SAB) => BC ⏊ AH mà SB ⏊ AH Tam giác SAB vuông cho :  √ Tính góc SC mặt phẳng (ABCD) : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Hình chiếu SC lên (ABCD) AC  Góc SC (ABCD) ̂ √ Ta có : tan ̂ = √ √ ̂ Tính khoảng cách từ O đến (SBC) : Ta có : AH ⏊ (SBC) => AH ⏊ HC Vẽ OI ⏊ HC  OI ⏊ (SBC) => OI khoảng cách từ O đến (SBC)  OI = √ ( đường trung bình ) Thí dụ : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = , CC’ = m ( m > ) Tìm m biết góc hai đường thẳng AB’ BC’ Giải : Kẻ BD // AB’ ( D A’B’ ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ( ̂ )  ̂ ( ̂ ) ̂ TH1 : Nếu ̂ Vì lăng trụ nên BB’ ⏊ (A’B’C’) Áp dụng định lý Pitago định lý cosin ta có : BD = BC’ = √ DC’ = √ Kết hợp ̂ ta suy BDC’ m=√ Do TH2 : Nếu ̂ Áp dụng đinh lý cosin cho BDC’ suy m = ( loại ) Vậy m = √ Chú ý : Có thể sử dụng phương pháp vecto tọa độ với nhận xét : Cos( ̂ ) | ( ̂ )| |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | Thí dụ : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC hình chóp tam giác cạnh đáy AB = a , cạnh bên AA’ = b Gọi α góc hai mp(ABC) mp(A’BC) Tính tanα thể tích chóp A’.BCC’B’ Giải : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Gọi O tâm đáy suy A’O ⏊ (ABC) góc α = ̂ Tính tanα tanα với OI = AI = = √ √ √ Tính = √ √ √ √ Thí dụ : Cho hình lăng trụ tam giác đề ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi C’’ trung điểm C’C , tính góc hai đường thẳng C’’B A’B’ Tính góc hai mặt phẳng (C’’AB) (ABC) Giải : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Vì AB // A’B’ nên góc BC’’ A’B’ góc BC’’ AB Dễ thấy AC’’ = BC’’ nên ABC’’ tam giác cân Từ ̂ Vậy góc AB BC’’ ̂ Gọi M trung điểm AB : MB = Từ cos ̂ √ , MB ⏊ MC’’ √ Cũng từ kết , ta có : (CMC’’) ⏊ AB CMC’’ tam giác vuông C Nên góc mp(BAC’’) (CAB) ̂ Ta có tan ̂ Vậy ̂ √ √ hay góc mp(ABC’’) mp(ABC) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Thí dụ 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật , AB = a ,BC = 2a , cạnh bên SA vng góc với đáy , SA = a Tính : a Các góc hai mặt phẳng chứa mặt bên mặt phẳng đáy hình chóp b Góc hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hai mặt bên đối diện hình chóp Giải : ( )⏊( a Dễ thấy { ( )⏊( mp(ABCD) ) nên góc mặt bên (SAB) (SAD) với ) Ta có (SDA) ⏊ CD SDA tam giác vuông A nên ̂ góc hai mặt phẳng (SDC) (ABCD) Từ : tan ̂ Tương tự tan ̂ ̂ Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc mà tan = mp(SBC) tạo với mp(ABCD) góc b Vì (SAD) ⏊ (SAB) nên góc hai mặt phẳng Ta có CD ⏊ (SAD) nên (SCD) ⏊ (SAD) Vậy góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 Tương tự , ta có góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Ta cần phải tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SDC) Trong mp(ABCD) , qua A kẻ đường thẳng vng góc với AC , cắt hai đường thẳng BC DC I J , IJ ⏊ SC ̂ góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Do ̂ Ta có : AJ = AC.tan ̂ √ => A Đặt ̂ α tan α = Đặt ̂ β tan β = Đặt ̂ tan = √ √ √ √ √ = 2√ ̂ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Vậy góc mp(SBC) (SCD) mà tan √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12