40 BÀI TẬP PHƢƠNG TRINH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giải phương trình  x  2.3x  3 log3  x  1  log 27  3   x 1  9x ĐK: x > Với ĐK phương trình cho tương đương 3 2x   2.3x  log3  x  1   2.3x  32 x     3x  3x  log3  x  1  1   x  (l )   x  (tm)  Vậy phương trình cho có nghiệm : x  Giải phương trình: ( log3 x ) 10 + ( - log3 x ) 10 - 2x = ĐK: x > Ta có phương trình tương đương với: √ Đặt t = - √ √ ( log3 x ) 10 + - ( log3 x ) 10 - = log3 x 3 = ; t > ; Phương trình trở thành:  3t2 – 2t -3 = √ [ Với t = √ 1+ 10 ta giải x = 3 phương trình cho có nghiệm x = >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! iải phương trình au : log (4 x2  8x  4)  log x  2 x2  x  2  Đi u iện : x  log (4 x  x  4)  log x  2 x  x  (*)  log (4 x   8)   2(1  x) x 4  Ta có:  x    x   16  log (  x  8)  x x x VT (*)   Vậy  VP(*)   Do đó: VT  4 x   x  x  (t / m)  x   VP Vậy phương trình có nghiệm Giải phương trình: 32 x 6 x3  x 3 x1  2 x 6 x3 32 x 6 x3  x 3 x1  2 x 6 x3  32 x 2  3.9x 3 x1  6x 3 x1  2.4x 3 x 1 2 Chia vế phương trình cho 3   2 Đặt t x 3 x 1 x 3 x 1 2 6 x  21  6x 2 3 x 1  22x   3 ta được: 3  2 x 3 x 1 6 x  21 3   2 x 3 x 1 20 t  0 t  1 Ta được: 3t  t     t   l  2 , ta : x  3x    x =  x = Tập nghiệm phương trình S  2 ;1 Với t  Giải phương trình:  log x  log x  log x  Đi u iện ác định: ≥  log x  log x  log x    log x  log x  log x        log x  2 log x  1  log x  log x  2 log x  1  log x  log x    log x  vì:  log x  log x    x = >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Vậy nghiệm phương trình cho là: Giải bất phương trình: log3 ( x  x  4)  log (2 x  1)  log 3 ĐK: x  BPT  log3 ( x  x  4)  log3 (2 x  1)  log3  log3 ( x  x  4)  log 2.(2 x  1)  ( x  x  4)  2.(2 x  1) x  Ta BPT 3t  t    (t  1)(3t  2t  2)   t  Đặt t Thay lại ta có tập nghiệm S [0; ] 3 Giải bất phương trình : 6log4 (2 x  3)  2log2 ( x  1)  log (2 x  1)  2 x   x   ĐK:  x     2 x   x   Ta có: 6log (2 x  3)  2log ( x  1)3  log (2 x  1)3  6log 2 x   6log ( x  1)  6log (2 x  1)  x  ( x  1)  x  TH1: (1) x 2 (1)  (2 x  3)( x  1)  x   x  x    Kết hợp với u iện TH2: x  1  33 1  33 x 4 1  33 x  x 2 x  (1)  (2 x  3)( x  1)  x   x  3x     x    Kết hợp với u iện x   x  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  1  33    2;   2   KL: Tập nghiệm bất phương trình cho T   ; Giải phương trình log x   log x   log  Đ x  đ:   x  5 Phương trình  log x   log2 x   log2  log  x  x    log  x  x    x   x  5  2   x    x  5  64    x   x  5  8 x  Với  x   x  5   x  3x  18    thỏa mãn  x  6  3  17 x  Với  x   x    8  x  3x     thỏa mãn  3  17 x   3  17 Vậy phương trình có bốn nghiệm x  , x  6 , x  Giải phương trình log4 ( x  3)  log x 1   3log Đ đ: x  1 1 log ( x  3)  log ( x  1)   log 2 x3  log ( x  3)  log ( x  1)   log  log  log 2 x 1 x3    x   2x   x  thỏa mãn x 1 Vậy phương trình có nghiệm x  Phương trình  10 Giải phương trình: 1 log ( x  3)  log ( x  1)8  3log8 (4 x) iải phương trình: 1 log ( x  3)  log ( x  1)  log (4 x) (1) Điều kiện: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  x  3   x    x  x   Khi  log2  x  3  x    log2  x  1   x  3 x  1  x   x  3 x   x      x  3 x  1  x  x2  x     x  6x    x  1 loaïi   x3 x3     x  3   x  3    x  3   loại  Tập nghiệm phƣơng trình   S  3; 3  11 Giải bất phương trình au ( 10  1)log x  ( 10  1)log x  Đi u iện: x  2x Phương trình cho tương đương với: ( 10  1)log3 x  ( 10  1)log3 x  3log3 x 10  log3 x 10  log3 x ( ) ( )  (1) 3 10  log3 x 10  log3 x Đặt t  ( với t  )  ( ) )  3 t Bất phương trình trở thành:  10 Vì t  ) t    3t  2t    t  t 3 Từ ta có: log3 x   x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S  3; ) 12.Giải bất phương trình log3 ( x  1)2  log ( x  1)3 0 x2  5x  x   Đ :  x  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3log3 ( x  1) log3 0 ( x  1)( x  6) log3 ( x  1)  log3 ( x  1)  log ( x  1) 0  x2  5x   log3 ( x  1)  2log3  3 0  x  1 x   log3 ( x  1)  log3  3  )  (do x6  x  1 0 x6 Kết hợp đ uy nghiệm bất phương trình là:  x   13 iải phương trình : log5 (x 3) x ĐK : x > PT cho tương đương với : log5( x + 3) = log2x (1) Đặt t log2x, suy x = 2t t t 2 1 pt  log5   3  t           (2) 5 5 t t t 2 1 Xét hàm ố : f(t) =      5 5 t t t t  2 1 f'(t) =   ln    ln  0, t  R 5 5 Suy f t nghịch biến R Lại có : f nên PT có nghiệm t  x =2 Vậy nghiệm PT cho : hay log2x = 1 14.Giải bất phương trình: log3 x  5x   log x   log  x  3 3 Đi u iện: x  Bất phương trình cho tương đương: 1 log3  x  x    log31  x    log31  x  3 2 1  log3  x  x    log3  x     log3  x  3 2  log3  x   x  3  log3  x    log3  x  3 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  x2  log3  x   x  3   log   (Do x   x   )  x3 x2   x   x  3  x3  x   10  x   1(    x  10 Kết hợp với u iện, ta nghiệm bất phương trình cho là: x  10 15 Giải phương trình: 3x.2 x  3x  x  x x x Ta có: x   x   (2 x  1)  x  (1) -Nhận ét: -Với x  hông nghiệm phương trình 2x 1 2x 1 (2) Đặt: f ( x)  3x ; g ( x)  thì: (1)  3x  2x 1 2x 1 1  + Xét hoảng  ;  , ta có: 2  1  f '( x)  3x ln   f ( x) hàm đồng biến  ;  2  1 4  g '( x)    g ( x) hàm nghịch biến  ;  2   x  1 1  Suy phương trình có nghiệm  ;  Ta thấy: x  1 nghiệm 2  1  phương trình  ;  2  1  + Xét hoảng  ;   , ta có: 2  1  f '( x)  3x ln   f ( x) hàm đồng biến  ;   2  4 1  1  g '( x)   0, x   ;    g ( x) hàm nghịch biến  ;   2  2   x  1 1  Suy phương trình có nghiệm  ;   Ta thấy: x  nghiệm 2  1  phương trình  ,   2  Vậy phương trình có hai nghiệm x  1 16.Giải phương trình: ( x 1) log7  log7 (3x1  3)  log7 (11.3x  9) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! x 1  9 3   Đi u iện:   3x   x  log3 x 11 11  11.3   Khi phương trình tương đương với: log 3x 1  log (3x 1  3)  log (11.3x  9)  3x 1 (3x 1  3)  11.3x   32 x  10.3x   3 x  x  thỏa mãn  x  x     Kết luận : Nghiệm phương trình : 0; 17 Giải bất phương trình au log (2  x)  log (4  18  x )  * log (2  x)  log (4  18  x )  2  x  0, 18  x  Đi u iện:   2  x  18 4  18  x  Khi bất phương trình cho tương đương với log 2  x  log (4  18  x )   x   18  x Đặt t  18  x Khi  t  20 bất phương trình trở thành : 20  t   t 4  t  t  t  t        t  4 20  t  (4  t ) t  t  8t   (t  2)(t  2t  5t  2)  t   Suy 18  x   x  Kết hợp với u iện, ta có nghiệm bất phương trình   x   18.Giải phương trình:  Chia hai vế cho  2 3  Đặt t      x2 2 x  x2  x   3 3  ta     x2 2 x  x2  x 2 x2  x 4 3      x2 2 x  24 x2 2 x (t  0) ta t  16t   >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  3  t   63       iải  2 3    t   63       x  x   x  1  Suy   x  x  2 (VN) 19 iải phương trình: 2log3  x2    log3  x    log3  x    2  x2     x     x   ; 3   2;   (*) ĐKXĐ:  log  x      x    Biến đổi pt cho ta được: log3 x  4  x  2 2  log3  x      log  x    log  x     Đặt t  log3  x   (3) t  trở thành t  3t     t  4  Loai   x  2  (loai)    x  2     x  2  t  0 pt t   log3  x   2 Vậy nghiệm phương trình x  2  20 iải phương trình: 12  6x  4.3x  3.2x   pt    x x 3    x 3 x    x 4   x   x  Vậy PT có hai nghiệm x  1, x  21 iải bất phương trình : 5.36x  2.81x  3.16x  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Chia vế bất phương trình cho x x  36   16  5    3    81   81  x x ta bất phương trình tương đương: 2x 4 4  5   3    9 9 x 4 Đặt t    , đ t  9 Bất phương trình trở thành: 3t2-5t+2   t   Kết hợp với đ ta được:  t   0  t   t    x     x 9   Suy   x    x        22 iải bất phương trình : log x  2log x.log x  log x   ĐK: >0 log 32 x  log x.log x  log x    log x  log x(log x  2)  log x    log 22 x(log x  2)  3(log x  2)   (log x  2)(log 22 x  3)     log x   log x  x    Kết hợp với đ ta nghiệm bpt là: 2  x  x    2  x  23.Giải phương trình log8 (3  x)  log27 (1  x) log8 (3  x)  log 27 (1  x) Đi u kiện 3  x  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Đặt t  log8 (3  x)  log 27 (1  x), (*) 3  x  8t   2.8t  27t  t 1  x  27 Xét hàm ố f (t )  2.8t  27t 1 Với f '(t )  2.8t ln8  27t ln 27  0, t  Nên f (t ) hàm ố đồng biến phương trình 1 Mặt hác: f ( )   f (t )  t  3 Thay t  vào ta x  1 thoả mãn u kiện Vậy, x  1 nghiệm phương trình có nghiệm 24.Giải bất phương trình log  3x    1  log   10  x  ĐK :   x  10 Bất phương trình tương đương : log  3x  1  10  x  3x    3x   10  x    3x  110  x   23  x  10  x 369 Với   x  10 bất phương trình tương đương với 49x  418x  369    x  49 369 Kết hợp với u iện nghiệm  x  49 25.Giải bất phương trình: log  x  1   log log  x  1   log Đ :   x  log8  x    x  log8  x   (1) 4  x  x  1 1  log2 x    log   x   log  x     x  1  16  x  x   16  x     x  1  x  16  x    x  6  x  x  12  x      x   x    x  x  20   x    >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 Kết hợp với u iện uy nghiệm 2  x    4  x   26 iải phương trình: log2 ( x2  3x  2)  log (x  x  6)   log  x2  x  3x   Đi u iện:    x  3 x  x     log ( x2  3x  2)  log (x  x  6)   log  log ( x2  3x  2)( x  5x  6)   log 12  ( x  3x  2)(x  x  6)  12  (x  2)(x  1)(x  2)(x  3)  12  (x  x  6)( x  x  2)  12 Đặt t  x2  x  phương trình trở thành (t  2)(t  2)  12 t4  t   12  t  16   t  4  1  33 (t / m) x  2 Với t  x  x    x  x      1  33 (t / m) x    x  0(t / m)  x  1(t / m) Với t  4 x  x   4  x  x    Kêt luận : Vậy phương trình cho có nghiệm x  0, x  1, x  1  33 1  33 ,x  2 27 Tìm giá trị m để bất phương trình au có nghiệm với x  81 x  2m.9 x x  (2m  3).9 x 0 Đi u iện: x  Chia vế cho 32 x ta được: 32(2 24 x x Đặt t  4 x x)  2m.32 x x  2m   ĐK:  t  Bài toán tương đương tìm m để: m  t  với t,  t  2(t  1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 t  2t  4t  , y'=0  t=1, t=-3 với  t  , y '  2(t  1) 4(t  1)2 Từ bảng biến thiên ta m   Xét hàm ố: y  28.Giải phương trình log x  log2 x  log 2x  0  x  x    Đi u iện: 0  x    x  ()   0  x   x   Với u iện () phương trình tương đương với log 2 log log      log x log 2 x log 2 x log x  log x 1  log x      log x  4log x     log x  log x  log x log x  log x 1  x   x  thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x   3log x   log x  29.Giải phương trình:         3.2 x 1 x2 3   x2  5 3  x2 x2 x2  3.2 x 1 x2  3   3         6;                  x2  3  Đặt t     0.Pt  t   t   t  t  6t     t  x      1 x        x0  x  log 3 5    x        >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 30.Giải bất phương trình: log 22 x  log x   (log x  3) x  ĐK:  2 log x  log x   log 22 x  log x   (log x  3) Bất phương trình cho tương đương với (1) Đặt t = log2x, BPT (1)  t  2t   (t  3)  (t  3)(t  1)  (t  3)   t  1 t  3  t  1  t         t   (t  1)(t  3)  5(t  3)  t     (t  1)(t  3)  5(t  3)  log x  1 t  1   3  t  3  log x   0 x  1   Vậy BPT cho có tập nghiệm là:  0;    8;16    2 8  x  16 31.Giải bất phương trình au x  6.15log x ĐK x  Ta có: x  6.15log3  3log3 x   x  5log3 (3 x )   3log3 x  6.15  log3 x Chia hai vế (1) cho log3 x log3 x  5.5log3 x   5.5log3 x  (1) log3 x  3 Đặt t     5  5log3 (3 x )  3 ta BPT au:    5 log3 x  3     5 log3 x   (2) t  , t  Khi (2)  t  6t     t   3 Với t      5 log3 x  3 Với t      5   log x   x  log3 x   log3 x  log  Vậy nghiệm BPT x   0;9  5 x9 log 5 log 5    [1; )  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 32.Giải bất phương trình au log2  log4 x   log4  log2 x   x0  + Đi u iện log x   x  log x   + Ta có log  log x   log  log x  1   log  log x   log  log x  2   log  log x    log  log x   log2  log2 x    log2 x  x  16 + Vậy tập nghiệm bất phương trình S  16;   33.Giải bất phương trình: log2  x2  x  2  log0,5  x  1   x   x2  x    Đi u iện:     x  1  x  x 1  x   log  x  x    log0,5 ( x  1)   log  x  x     log ( x  1)   log  x    x   x  1    x  x    x  1   x( x  x  1)   x2  x   Vì theo u iện x  ) x  1  Kết hợp u iện ta x    x   Vậy tập nghiệm bất phương trình S  1  2;    x2  x   34.Giải phương trình: log4    2x  x  2x  4x    x2  x   0,x  R 2x  4x  PT  log4 ( x  x  )  log4 ( 2x  4x  )  2( 2x  4x  )  2( x  x  ) Có :  log ( x  x  )  2( x  x  )  log ( 2x  4x  )  2( 2x  4x  ) 2 2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 Xét hàm f ( t )  log t  2t ( 0;  ) ; f '( t )   f ( t ) đồng biến ( 0;  )   0,t  t ln f ( 2x  4x  )  f ( x  x  ) 2x  4x   0; x  x   PT trở thành 2 2  2x  4x   x  x   x  1; x  2 Vậy phương trình có hai nghiệm : x  1; x  2 2 35.Giải phương trình: log2  2x   x    log4  5x  10  2 x    Đi u iện:  x    x   5 x  10   (1)  log     x   x   log  x  10  2x 1  x 1   5x  10  x  3x   x  x    x  4   2 2 x  3x   x  x  16  x  x  15   x  4    x   85 (tm)  85   Vậy phương trình có nghiệm x      x   85 (loai )   36.Giải phương trình :  5x  24  5x    5x  24 iải phương trình :  5x  24   5x    5x  24   5  x  5x   25 5   5x   25 x 25x  49 25x  49   Đi u iện: x  log5 PT      5x  24 5 5x  24   5x  24   52.5   5x  24   5 x  5x  5x  5x   5x     5x   5x    x   x  (*) Xét hàm ố f (t )   t  0;  t2  f '(t )  2t.5t ln   với t   0;   uy hàm ố f (t )   t đồng biến  0;  t2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16 Phương trình (*)  2.5  48  2.5  x x 2x  49  52 x  49  24  25x  625  x  Vậy phương trình có nghiệm nhất: x  2 log (4  x) 37.Giải phương trình log 3 x  log (3  x) 1 log (4  x) log 3 x  1 log (3  x)   x  Đi u iện:   x  2 Phương trình  log 3 x log (3  x)  log (4  x)  log (3  x)  log  log (4  x)  log (3  x)  log  log (4  x)(3  x)   (4  x)(3  x)  x  x    x  2(l ) phương trình có nghiệm   x  3(tm ) 38 Giải phương trình: x  x  12  x  x  2 x x x 1 x 2 x  x  12  x  x2 x  x1  (2 x  6)( x  x  2)  2 x   x  x    x  log   x  1   x  Vậy phương trình cho có tập nghiệm: T  log 6; 1;2 39.Giải phương trình :  5x  24  5x    5x  24 iải phương trình :  5x  24   5x    5x  24   5   5x   25 5   5x   25 x 25x  49 x 25x  49   Đi u iện: x  log5 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17 PT      5x  24   52.5      24  5x  24 5 5x  24 x  5 x  5x  5x  5x   5x     5x   5x    x   x  (*) Xét hàm ố f (t )   t  0;  t2  f '(t )  2t.5t ln   với t   0;   uy hàm ố f (t )   t đồng biến  0;  t2 Phương trình (*)  2.5  48  2.5  x x 2x  49  52 x  49  24  25x  625  x  Vậy phương trình có nghiệm nhất: x  2 log (4  x) 40.Giải phương trình log 3 x  log (3  x) 1 log (4  x) log 3 x  1 log (3  x)   x  Điều kiện:   x  2 Phƣơng trình  log 3 x log (3  x)  log (4  x)  log (3  x)  log  log (4  x)  log (3  x)  log  log (4  x)(3  x)   (4  x)(3  x)  x  x    x  2(l ) phương trình có nghiệm   x  3(tm ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18