Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t Mc Lc: Trang Phn I: T VN Phn II NI DUNG Phng phỏp 1: NNG LU THA Phng phỏp 2: A V PHNG TRèNH TR TUYT I Phng phỏp 3: T N PH Phng phỏp 4: PHNG PHP NH GI Phng phỏp 5: PHNG PHP HM S Phng phỏp 6: S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Bi tng hp: Phn III- KT LUN Ti liu tham kho 3-6 6-7 7-9 20-23 24 25-27 27-31 31-33 34 -Cỏc t vit tt: sỏng kin kinh nghim ( SKKN) - iu kin xỏc nh: (KX) Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t PHN I: T VN Phng trỡnh vụ t l mt ti ly thỳ v ca i s, ó lụi cun nhiu ngi nghiờn cu say mờ v t sỏng to tỡm li gii hay, y tng phong phỳ v ti u Tuy ó c nghiờn cu t rt lõu nhng phng trỡnh vụ t mói mói cũn l i tng m nhng ngi am mờ toỏn hc luụn tỡm tũi hc hi v phỏt trin t Mi loi bi toỏn phng trỡnh vụ t cú nhng cỏch gii riờng phự hp iu ny cú tỏc dng rốn luyn t toỏn hc mm do, linh hot v sỏng to Bờn cnh ú, cỏc bi toỏn gii phng trỡnh vụ t thng cú mt cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp THCS Sỏng kin kinh nghim ''Gii phng trỡnh vụ t'' c vit theo chng trỡnh SGK hin hnh nhm dy hc sinh i tr trờn lp cng nh ụn thi hc sinh gii lp v hc sinh ụn thi vo THPT i vi hoc sinh trng THCS Yờn Lc Trong SKKN ny ó gii thiu mt s phng phỏp hay dựng gii phng trỡnh vụ t: Phng phỏp 1: NNG LU THA Phng phỏp 2: A V PHNG TRèNH TR TUYT I ễn thi hc sinh gii , lp chn: Phng phỏp 3: T N PH Phng phỏp 4: PHNG PHP NH GI Phng phỏp 5: PHNG PHP HM S Phng phỏp 6: S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Trong chuyờn mi mt phng phỏp cú dnh nhiu bi cho hc sinh t luyn Tụi hy vng SKKN ny s mang li cho bn c nhiu iu b ớch v giỳp cỏc bn cm nhn thờm v p ca toỏn hc qua cỏc phng trỡnh vụ t Mc dự ó c gng rt nhiu, nhng chuyờn khụng trỏnh nhng sai sút Chỳng tụi mong nhn c nhng y kiờn úng gúp quy bỏu t cỏc thy cụ v cỏc em hc sinh chuyờn ngy cng hon thin hn! Mi úng gúp xin gi v : duc.hanh.yendong@gmail.com Tụi xin cm n! Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t PHN II- NI DUNG SNG KIN KINH NGHIM GII PHNG TRèNH Vễ T * PHNG PHP 1: NNG LU THA I-KIN THC: f ( x) f ( x) = g ( x ) g ( x ) f ( x) = g ( x) 1/ g ( x) f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x ) f ( x) 3/ f ( x) + g ( x) = h( x) g ( x) f ( x ) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x) f ( x) (n N * ) 4/ n f ( x) = n g ( x) g ( x) f ( x) = g ( x ) 2/ g ( x) f ( x) = g ( x ) (n N * ) 2n f ( x) = g ( x) 6/ n +1 f ( x) = n +1 g ( x) f ( x) = g ( x) (n N * ) 5/ 2n 7/ n +1 f ( x) = g ( x) f ( x) = g n +1 ( x) (n N * ) II-BI TP Bi 1: Gii phng trỡnh: x + = x (1) x x x x=3 x = x + = (x 1) x 3x = Bi 2: Gii phng trỡnh: x x + = HD:Ta cú: x x + = x + = x x 2 x + = x x x 2x = x x = x = x = HD: (1) Bi 3: Gii phng trỡnh: x + x = x HD: Ta cú: x + x = x x + = x + x Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t x x x + = x + x + (1 x)(1 x) x x x + x + = x 3x + (2 x + 1) = x x + x x x=0 x=0 x2 + x = x = Bi 4: Gii phng trỡnh: x x = x x (1) x x ( x 2)( x + 2) = x x + = HD:K: PT ( ) x2 =0 x + = ( ) x = x = 17 (2) Kờt hp (1) v (2) ta c:x = Bi Gii phng trỡnh : 3x = x 3+x HD:k: x ú pt ó cho tng ng: x + 3x + x = 3 10 10 x+ x= ữ = 3 3 Bi Gii phng trỡnh sau : x + = x x HD:k: x phng trỡnh tng ng : x = x + + = 3x 2 + + x = 9x x = 97 x + + = x 18 ( ) Bi Gii phng trỡnh sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) HD: pt ( x + 3x ) = x =1 Bi Gii v bin lun phng trỡnh: x = x m x m x m HD: Ta cú: x = x m 2 2 x = x 4xm + m 2mx (m + 4) = Nờu m = 0: phng trỡnh vụ nghim m2 + m2 + Nờu m 0: x = iu kin cú nghim: x m m 2m 2m Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t Túm li: + Nờu m > 0: m2 + 2m2 m2 < m + Nờu m < 0: m2 + 2m2 m2 m m2 + Nờu m hoc < m 2: phng trỡnh cú mt nghim x = 2m Nờu < m hoc m > 2: phng trỡnh vụ nghim Bi Gii v bin lun phng trỡnh vi m l tham s: x = x m (ờ thi hoc sinh gioi cõp tinh nm hoc 1999 2000) x m x m x = x + m 2mx 2mx (m + 3) = HD: Ta cú: x = x m 2 Nờu m = 0: phng trỡnh vụ nghim m2 + m2 + m iu kin cú nghim: x m 2m 2m + Nờu m > 0: m2 + 2m2 m2 m + Nờu m < 0: m2 + 2m2 m2 m Nờu m 0: x = Túm li: Nờu m hoc m Phng trỡnh cú mt nghim: x= m2 + 2m Nờu < m hoc m > : phng trỡnh vụ nghim Bi 10 Gii v bin lun theo tham s m phng trỡnh: x x = m m HD: iu kin: x Nờu m < 0: phng trỡnh vụ nghim Nờu m = 0: phng trỡnh tr thnh x ( x 1) = cú hai nghim: x1 = 0, x2 = Nờu m > 0: phng trỡnh ó cho tng ng vi ( x m)( x + m 1) = x m =0 x = m + Nờu < m 1: phng trỡnh cú hai nghim: x1 = m; x2 = (1 m) + Nờu m > 1: phng trỡnh cú mt nghim: x = m III-Bi ỏp dng: Bi 1:Gii cỏc phng trỡnh sau: 1/ x + x = 13 2/ x + 34 x = 5/ x + = x 4/ + x x + = x + 7/ x x x + x + = 8/ x = 10/ 13/ =0 16 x + 17 = x 23 5x + 19 3x + + x = 11/ x + = 14/ Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t Bi 2: Gii phng trỡnh: b) x x + = a) x = x d) + x + x = e) 3x + x = g) x + = x + h) 3x + x + = x + Bi 3: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: x + x = 2m + x x Bi 4: Cho phng trỡnh: x x = m a) Gii phng trỡnh m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 5: Cho phng trỡnh: x + mx = x m a) Gii phng trỡnh m=3 b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú nghim Bi 6: Gii cỏc phng trỡnh sau: a/ x x = d/ x x + x = 17 b/ 2x = e/ x x 27 + x 12 = c/ 3x x + = f) ( x + 3) 10 x = x x 12 PHNG PHP 2: A V PHNG TRèNH TR TUYT I I-KIN THC: S dng hng ng thc sau: f ( x ) = g ( x) ( f ( x ) 0) f ( x) = g ( x ) f ( x) = g ( x) f ( x ) = g ( x ) ( f ( x) < 0) II-BI TP: Bi 1: Gii phng trỡnh: x 4x + + x = (1) HD: (1) (x 2) = x |x 2| = x Nờu x < 2: (1) x = x (vụ nghim) Nờu x : (1) x = x x = (tho món) Vy: x = Bi 2: Gii phng trỡnh: x + + x + + x + 10 x + = x + x + (2) x + HD: (2) x + + x + + + x + 2.3 x + + = x + x + + x (*) x + + 1+ | x + |= 2.| x + | t y = x + (y 0) phng trỡnh(*) ó cho tr thnh: y + 1+ | y |= | y 1| Nờu y < 1: y + + y = 2y y = (loi) Nờu y 3: y + + y = 2y y = Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t Nờu y > 3: y + + y = 2y (vụ nghim) Vi y = x + = x = (tho món) Vy: x = Bi 3:Gii phng trỡnh: x + x + x + + x = HD:K: x PT x + 2 x + + x + x + = 14 2x + + x + = 14 2x = x = 15 (Tho món) Vy:x = 15 Bi 4:Gii phng trỡnh: x + x + x x = HD:K: x Pt x + x + + x x + = x +1+ x 1 = Nờu x > pt x + + x = x = (Loi) Nờu x pt x + + x = x = (Luụn ỳng vi x ) Vy nghim ca phng trỡnh l: S = { x R | x 2} III-Bi ỏp dng: Gii cỏc phng trỡnh sau: 1/ x + x + = 2/ x x + = 3/ x x + = x 4/ 5/ x x + + x + x + = 7/ 6/ x x + x x + = 10 8/ x2 x + + x2 x + = x + x + = 5x + x2 x + + x2 + x + = x x + 9/ x + x + x x = 11/ 10/ x x + x x = 12/ x + x + x + + x = x + x + + x + 11 x + = 13/ x + x x + x + = 15/ x x + + x = 10 17/ 19/ 1 + x+ = 2 x+3 x + x + x x = x+ x+ 14/ x + + x + x 2 x = 16/ x x + + x = 18/ x + x +1 = 20/ x x + = x 21/ ( x 1) + x + x x + = 22/ x + x = PHNG PHP 3: T N PH Phng phỏp t n ph thụng thng i vi nhiu phng trỡnh vụ vụ t , gii chỳng ta cú th t t = f ( x ) v chỳ y iu kin ca t nờu phng trỡnh ban u tr thnh phng trỡnh Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t cha mt biờn t quan trng hn ta cú th gii c phng trỡnh ú theo t thỡ vic t ph xem nh hon ton Bi Gii phng trỡnh: HD:iu kin: x Nhn xột x x2 + x + x2 = x x x + x = 1 t t = x x thỡ phng trỡnh cú dng: t + = t = t x = Thay vo tỡm c Bi Gii phng trỡnh: x x = x + HD:iu kin: x t2 Thay vo ta cú phng trỡnh sau: t 10t + 25 2 (t 5) = t t 22t 8t + 27 = 16 (t + 2t 7)(t 2t 11) = t t = x + 5(t 0) thỡ x = Ta tỡm c bn nghim l: t1,2 = 2; t3,4 = Do t nờn ch nhn cỏc gỏi tr t1 = + 2, t3 = + T ú tỡm c cỏc nghim ca phng trỡnh l: x = vaứ x = + Cỏch khỏc: Ta cú th bỡnh phng hai vờ ca phng trỡnh vi iu kin 2x2 6x Ta c: x ( x 3) ( x 1) = , t ú ta tỡm c nghim tng ng n gin nht l ta t : y = x + v a v h i xng (Xem phn t n ph a v h) Bi Gii phng trỡnh sau: x + + x = HD:iu kin: x t y = x 1( y 0) thỡ phng trỡnh tr thnh: y + y + = y 10 y y + 20 = ( vi y 5) + 21 + 17 (loaùi), y = 2 11 17 T ú ta tỡm c cỏc giỏ tr ca x = ( y + y 4)( y y 5) = y = ( )( Bi Gii phng trỡnh sau : x = 2004 + x x HD: K: x t y = x thỡ phng trỡnh tr thnh: 2( y) (y ) + y 1002 ) = y = x = Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t Bi Gii phng trỡnh sau : x + x x = 3x + x HD:iu kin: x < Chia c hai vờ cho x ta nhn c: x + x 1 = 3+ x x x t t = x , ta gii c Bi Gii phng trỡnh : x + x x = x + HD: x = khụng phi l nghim , Chia c hai vờ cho x ta c: 1 x ữ+ x = x x 1 t t= x , Ta cú : t + t = t = x = x Bi 7.Gii phng trỡnh: 3x + 21x + 18 + x + x + = HD:t y = x + x + ; y y= y =1 Phng trỡnh cú dng: 3y + 2y - = y =1 x = Vi y = x + x + = L nghim ca phng trỡnh ó cho x = Nhn xột : i vi cỏch t n ph nh trờn chỳng ta ch gii quyờt c mt lp bi n gin, ụi phng trỡnh i vi t li quỏ khú gii t n ph a v phng trỡnh thun nht bc i vi bin : Chỳng ta ó biờt cỏch gii phng trỡnh: u + uv + v = (1) bng cỏch u u Xột v phng trỡnh tr thnh : ữ + ữ+ = v v v = th trc tiờp Cỏc trng hp sau cng a v c (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) u + v = mu + nv Chỳng ta hóy thay cỏc biu thc A(x) , B(x) bi cỏc biu thc vụ t thỡ s nhn c phng trỡnh vụ t theo dng ny a) Phng trỡnh dng : a A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Nh vy phng trỡnh Q ( x ) = P ( x ) cú th gii bng phng phỏp trờn P ( x ) = A ( x ) B ( x ) nờu: Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xut phỏt t ng thc : x + = ( x + 1) ( x x + 1) Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t x + x + = ( x + x + 1) x = ( x + x + 1) ( x x + 1) ( )( ) x4 + = x2 x + x2 + 2x + x + = ( x x + 1) ( x + x + 1) Hóy to nhng phng trỡnh vụ t dng trờn vớ d nh: 4x2 2x + = x4 + cú mt phng trỡnh p , chỳng ta phi chn h s a,b,c cho phng trỡnh bc hai at + bt c = gii nghim p Bi Gii phng trỡnh : ( x + ) = x + HD: t u = x + (u 0) ; v = x x + (v ) u = 2v 37 phng trỡnh tr thnh : ( u + v ) = 5uv Tỡm c: x = u = v 2 x + x + (*) Bi Gii phng trỡnh : x x + = 4 2 2 HD:D thy: x + x + = ( x + x + 1) x = ( x + x + 1) ( x x + 1) 2 Ta viờt ( x + x + 1) + ( x x + 1) = ng nht vờ trỏi vi (*) ta c : ( x + x + 1) + ( x x + 1) = (x (x + x + 1) ( x x + 1) + x + 1) ( x x + 1) 3 2 t : u = x + x + u ữ ; v = x x + v ữ 4 phng trỡnh tr thnh :-3u+6v=- uv u = 3v T õy ta s tỡm c x Bi 3: Gii phng trỡnh sau : x + x = x3 (*) HD:k: x Nhn xột : Ta viờt ( x 1) + ( x + x + 1) = ( x 1) ( x + x + 1) ng nht vờ trỏi vi (*) ta c : ( x 1) + ( x + x + 1) = ( x 1) ( x + x + 1) v = 9u t u = x , v = x + x + > , ta c: 3u + 2v = uv v = u Ta c : x = Bi Gii phng trỡnh : x x + ( x + 2) 6x = HD:Nhn xột : t y = x + ta biờn pt trờn v phng trỡnh thun nht bc i vi x v y : Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 10 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t PHNG PHP 5: PHNG PHP HM S S dng cỏc tớnh cht ca hm s gii phng trỡnh l dng toỏn khỏ quen thuc Ta cú hng ỏp dng sau õy: Hng 1: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = k Bc 2: Xột hm s y = f ( x) Bc 3: Nhn xột: Vi x = x0 f ( x) = f ( x0 ) = k ú x0 l nghim Vi x > x0 f ( x) > f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vi x < x0 f ( x) < f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 2: Thc hin theo cỏc bc Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = g ( x) Bc 2: Dựng lp lun khng nh rng f ( x) v g(x) cú nhng tớnh cht trỏi ngc v xỏc nh x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bc 3: Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 3: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng f (u ) = f (v) Bc 2: Xột hm s y = f ( x) , dựng lp lun khng nh hm s n iu Bc 3: Khi ú f (u ) = f (v) u = v ) ( ( ) 2 Vớ d: Gii phng trỡnh : ( x + 1) + x + x + + x + x + = HD:pt ( ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( x ) + ) ( x ) ) + f ( x + 1) = f ( x ) Xột hm s f ( t ) = t + t + , l hm ng biờn trờn R, ta cú x = Vớ D 2: Gii phng trỡnh: x + + x + + x + = HD: nhn thy x = -2 l mt nghim ca phng trỡnh t f ( x ) = x + + x + + x + Vi x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) vy hm s f(x) ng biờn trờn R Vy x = -2 l nghim nht ca phng trỡnh Bi ỏp dng: Gii phng trỡnh: c) x = + x x e) x + x + = a) x + x = b) x = x3 x + d) x = x + x x3 f) x + x + = x PHNG PHP 6: Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 24 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Mt s phng trỡnh vụ t ta cú th nhm c nghim x0 nh vy phng trỡnh luụn a v c dng tớch ( x x0 ) A ( x ) = ta cú th gii phng trỡnh A ( x ) = hoc chng minh A ( x ) = vụ nghim , chỳ ý iờu kin ca nghim ca phng trỡnh ta cú th ỏnh gớa A ( x ) = vụ nghim Bi 1:Gii phng trỡnh: x ( x + ) + x ( x 1) = x (1) HD: C1: K x 2; x ( 1) x2 x x2 2x x ( x 1) x ( x + ) x x ( x 1) x ( x + ) =2x ( 2) =2x x ( x 1) x ( x + ) = x ( x 1) = x + Nờu x ta cú x ( x 1) + x ( x + ) = x ( 3) Gii (3) ta tỡm c x x ( x 1) x ( x + ) = x ( x 1) = x + Nờu x -2 ta cú x ( x 1) + x ( x + ) = x ( 4) Gii (4) ta tỡm c x C2: K: x 2; x Nờu x ta chia c hai vờ cho x ta c: ( x + ) + ( x 1) = x Bỡnh phng hai vờ sau ú gii phng trỡnh ta tỡm c x Nờu x -2 t t = -x t Thay vo phng trỡnh ta c t ( t + ) + t ( t 1) = t ( t ) + t ( t + 1) = ( t) ( t ) 2 Chia c hai vờ cho t ta c ( t ) + ( t + 1) = t Bỡnh phng hai vờ tỡm c t Sau ú tỡm x Trong C1 ta ó s dng kiờn thc liờn hp Cũn C2 ta dng kiờn thc xỏc nh v n ca phng trỡnh.nhỡn chung thỡ vic dng theo C2 n gin hn Bi Gii phng trỡnh sau : x x + x = ( x x 1) x x + HD: 2 Ta nhn thy : ( 3x x + 1) ( 3x 3x 3) = ( x ) v (x ) ( x 3x + ) = ( x ) Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 25 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t Ta cú th trc cn thc vờ : x + 3x = x x + + ( x x + 1) x + x 3x + D dng nhn thy x = l nghim nht ca phng trỡnh Bi Gii phng trỡnh sau: x + 12 + = 3x + x + HD: phng trỡnh cú nghim thỡ : x + 12 x + = x x Ta nhn thy : x = l nghim ca phng trỡnh , nh vy phng trỡnh cú th phõn tớch v dng ( x ) A ( x ) = , thc hin c iu ú ta phi nhúm , tỏch nh sau : x2 x + 12 = x + x + x + 12 + x2 = 3( x 2) + x2 + + x+2 x +1 ( x 2) 3ữ= x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 < 0, x > D dng chng minh c : x + 12 + x2 + + Bi Gii phng trỡnh : x + x = x HD :k x Nhn thy x = l nghim ca phng trỡnh , nờn ta biờn i phng trỡnh ( x 3) ( x + 3x + ) = x2 + x2 + x3 + ( ) x+3 x+3 1+ = 1+ x ( ) + ) +( x (x 2 + + ) ) = 3.x +2 (x 3) = 27 x Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 26 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t x > x > ; x ( 2x ) 4 4 ( x 3) = x ( x ) 4( x 3) = x ( x ) Gii h trờn ta tỡm c x = 2 x2 = x+9 Bi 6:Gii phng trỡnh: + 2x ( x HD:K: x ( 2x2 + + x Pt ) ) = x+9 ( + 2x ) ( + + 2x ) x ( 18 + x + + x ) = x+9 2 4x2 + 2x = x = l nghim Bi dng: 1) x ( x 3) + x ( x ) = x 2) ( x + 3) ( x + ) + ( x + 3) ( x 1) = ( x + 3) Tng quỏt: f ( x ) g ( x ) + f ( x ) h ( x ) = f ( x ) 3) 3x x + 10 = 3x + BI TP TNG HP Bi 1: Tỡm tt c cỏc s thc x1; x2; ; x2013 tho món: x1 12 + x2 22 + + 2013 x2013 20132 = ( x1 + x2 + + x2013 ) Bi 2: Tỡm cỏc s thc x, y, z tha iu kin: x + y + z = ( x + y + z) Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh sau: x + 2x = 3( x x + 1) = ( x + x 1) x + x +1 = x + 48 = x + x + 35 2( x + 2) = x + 10 x = x x2 x + = ( )( ) x x = x x + 17 x + x 17 x = x = x 3+x Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 27 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t 27 x10 x + 864 = 3x + x = x + x + x Bi 4: Gii cỏc phng trỡnh sau: x x + + x x + + x2 x + = + 25 x 10 x = ( x) x + ( x 5) x x + x5 ( x + 3) ( x 3) ( x + 1) ( x 3) =2 x +1 +3= x x + x + 20 = x + 10 10 x = x x 12 2x + = x x2 + x + = 2 x + x + = x 20 3x + 3x x + x = + x + x = x + x x 12 = 48 + x 2x 2x = +1 3 +1 x + ữ x + ữ+ = x x x 20 + 2+ x + 2+ x 4x + + = x5 x 45 = x + x x x2 ( x) = x + x2 =4 x + ( x 5) x x + x5 9x + + x= x4 + x + 2005 = 2005 =2 3x 3+x a + b x = + a b x (a , b > 0) 64x6 - 112x4 + 56x2 - = x x + x + x + x + 28 = Bi 5: Ky hiu [x] l phn nguyờn ca x 2 3 Gii phng trỡnh sau: + + + x = 855 Bi 6:Cho phng trỡnh: x x + x +2 = x x + 62 x Gi tng cỏc nghim ca phng trỡnh l S,tớnh S15 Bi 7:Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau: a/ x + y = 1960 b/ x + y = 1980 c/ x y = 48 Bi 8:Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau: + x2 1225 + = 74 x y z 771 y z 771 Bi 9:Gii cỏc phng trỡnh sau : 3 x 14 x + x x 20 = x + x + = x x 15 x 1 30 x x ) = 2004 ( 2x + = + x x x x ( x 1) ( x3 + = x3 + x + ) ( x + = x + 3x + x + ( + x ) + 3 x2 + ( x ) = 2 ) ( ) 30060 x + + x x 10 = x x 10 x + x + 12 x + = 36 2008 x x + = 2007 x Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 28 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x = (2004 + x )(1 x ) x + x3 + x + x + = + x ( x + ) + 16 ( x ) + 16 ( x ) = x + 16 x + + x = + x3 + x x + 3x + = x x + + 2 x x + 16 x + 18 + x = x + 12 x + x = x + x + 3x3 = x 2 x 11x + 21 3 x = ( x) ( x) = x+ ( x ) ( 10 x ) x2 + = x + 2x x + + 3x + = x + + x + x + x + = ( x + 3) x + x + x +1 = x 3 (1 x ) x3 + = x x2 x + x + = 2x + 3x2 + 3x + 2 x +x+2 = 3x + Bi 10: Gii phng trỡnh: a) x + x + x + = 12 x b) x x + x + = x d) 3x + 15 x + x + x + = c) x x + = x x + 12 e) ( x + 4)( x + 1) x + x + = f) g) x + 3x + 2 x + x + = Bi 11: Gii phng trỡnh: (1 x ) x3 + x+ x x = = x ( x2 ) 35 12 x 2x x2 x2 + = x2 + 5x + 2 x2 + 5x = h) x + x + 11 = 31 + x2 ( x ) = + x2 x +1 = x3 ( 1+ x) ( x 3) ( x + 1) + ( x 3) 64 x 112 x + 56 x = x Bi 12: Cho phng trỡnh: + x + x + ( + x ) ( x ) = m a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim c) Tỡm m phng trỡnh cú nghim nht 1 + =m x x Gii phng trỡnh vi m = + Bi 13: Cho phng trỡnh: a) b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 14: Cho phng trỡnh: ( x x ) + x x m = a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 15:Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: y = x + x + x x x+ x+ x+ x = y y = + x2 4x y = x + x + + x +1 Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 29 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t y = x + 2x + x 2x y = x x + x + x Bi 16: Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: x + x + x + + x = y nờu: a/ Vờ trỏi cú 100 du cn b/ Vờ trỏi cú n du cn Bi 17:Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: x + x + x + + x + x = x (Vờ trỏi cú 100 du cn) Bi 18:Tỡm cỏc s hu t a v b tho món: Bi 19:Cho hai s x , y tho món: ( a+b x2 + x )( a b = 20 ) y + y = Tớnh x + y Bi 20:Gii phng trỡnh: x + + x = Bi 21:Cho cỏc s thc dng x,y,z tho iu kin: x y + y z + z x2 = Chng minh rng: x + y + z = Bi 22:Cho cỏc s thc dng a,b,c tho iu kin: a + b c = a+bc Chng minh rng: 2012 a + 2012 b 2012 c = 2012 a + b c Bi 23:Gii phng trỡnh nghim nguyờn: y = + 199 x x Bi 24:Tỡm cỏc s hu t a v b biờt: a b = 11 28 Bi 25:Gii phng trỡnh: x + x2 =1 x2 Bi 26:Tỡm cỏc s nguyờn k tho món: 1+ 1 1 1 20132 + + + + + + + + = 12 22 22 32 k ( k + 1) 2013 Bi 27:Gii phng trỡnh: 1/ + x + x = 2/ x + x + x x = x + 3/ x x 30 2007 30 + x 2007 = 30 2007 4/ x + x 3x = x + x + + x x + 5/ x + + x + + x + + + 100 x + 100 = 165 6/ 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x 7/ x + 25 x + 125 x + 45 16 x + 80 + =9 12 16 8/ x + 712671620 52408 x + 26022004 + x + 712619213 56406 x + 26022004 = 9/ 2009 + 2010 x + x + = 20 + 2009 2010 x + x + Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 30 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t 10/ ( x + 5)(2 x) = x + 3x Bi 28:Gii cỏc phng trỡnh sau: 15 x x = x 15 x + 11 ( x + 5)(2 x) = x + x (1 + x)(2 x) = + x x x + 17 x + x 17 x = 3x + x = x + 3x x + x + x + 11 = 31 n (1 + x) + n x + n (1 x) = ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x = (2004 + x )(1 x ) x2 + x2 = PHN III - KT LUN V KIN NGH 1)-Kt lun i vi hc sinh Qua vic dy chuyờn v gii phng trỡnh vụ t i vi hoc sinh lp núi chung v i tuyn hc sinh gii núi riờng, sau dy xong chuyờn trc nhim mt s hc sinh tụi thu c kờt qu di õy - Hc sinh khụng ngi gp dng toỏn gii phng trỡnh vụ t -Hoc sinh thy hng thỳ hn i vi mụn toỏn c bit l gii phng trỡnh vụ t - Sau kim tra ỏnh giỏ ln kờt qu thu c c th nh sau: im < 5 < 6,5 6,5 - < 8-10 T -10 SL % SL % SL % SL % SL % 14 41,4 26,4 20,5 11,7 20 58,8 10 29,4 23,5 10 29,4 17,6 24 70,6 5,8 14 41,3 23,5 10 29,4 32 94,1 2) Bi hc kinh nghim T nhng kờt qu c th trờn tụi ó rỳt mt s kinh nghim cho bn thõn cng nh cho ng nghip hng dn hc sinh gii phng trỡnh vụ t nh sau - Phng phỏp gii phng trỡnh vụ t khụng khú i vi hc sinh khỏ gii, m iu cn lu y i vi giỏo viờn dy toỏn l + Cn phõn dng cỏc phng trỡnh vụ t, v phng phỏp gii c th tng dng vi cỏc vớ d c th + Nhng dng bi giao cho hc sinh phi thc tờ d hiu v gi m, giỳp kớch thớch úc sỏng to ca hc sinh nhng khụng quỏ cao siờu tru tng + Hng dn cỏc em trc gii phng trỡnh cn phõn loi dng toỏn, phng phỏp gii hng dn hc sinh phõn tớch bi toỏn tỡm hiu cỏch Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 31 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t gii, phỏn oỏn cỏch gii, cỏc bc gii cỏc em i ờn li gii thụng minh ngn gn nht + Rốn k nng gii phng trỡnh vụ t cho hc sinh, thng xuyờn y giỳp cỏc em sa cha nhng sai lm thng mc phi gii phng trỡnh vụ t nht l KX + Trờn c s lm mt s bi mu tht cn thn giỏo viờn cn giao thờm lng bi v nh cú ni dng tng t hoc m rng hn cỏc em c t mỡnh gii quyờt cỏc phng trỡnh vụ t y - Nờu cú c nhng vic lm trờn tụi tin chc rng tt c cỏc em hc sinh s khụng cũn lỳng tỳng gii phng trỡnh c bit l pt vụ t 3) iu kin ỏp dng Nh tụi ó trỡnh by trờn bn kinh nghim ny c ỏp dng vic ging dy cỏc chuyờn cỏc trng THCS hoc s dng bi dng hc sinh gii nhm nõng cao kiờn thc cho cỏc i tuyn hc sinh gii lp 9, l c s vng chc cho cỏc em hc tt hn chng trỡnh cp i vi bụ mụn toỏn c bit l hc v phng trỡnh vụ t Cỏc phng phỏp gii phng trỡnh vụ t m tụi cp trờn cng ó c s dng rng rói xong phn no giỳp hc sinh lp v giỏo viờn dy toỏn nõng cao cht lng dy v hc ca mỡnh 4) Kt lun Sau mt thi gian t nghiờn cu cựng vi cỏc phng phỏp tỡm c ti liu tham kho, su tm cỏc bi v kờt hp vi thc tờ ging dy tụi thy rng sỏng kiờn kinh nghim ó gúp phn giỳp hc sinh gii phng trỡnh vụ t bc THCS ó phn no giỳp cỏc em hng thỳ hc hn, khụng cũn s gp dng toỏn ny Trong SKKN ny tụi ó c gng sp xờp cỏc phng phỏp gii phng trỡnh vụ t t d ờn khú, t n gin ờn phc giỳp hc sinh dng mt cỏch linh hot tng phng phỏp c th tng trng hp nht nh Qua ú hc sinh cú th o sõu kiờn thc, tỡm tũi nhiu cỏch gii cho mt bi toỏn, bờn cch ú cỏc vớ d giỳp hc sinh cú th rốn k nng gii toỏn i vi cỏc dng toỏn khỏc nhau, Tuy nhiờn khụng phi i vi tt c cỏc i tng hc sinh chỳng ta u truyn ti nhng ni dng trờn m cn xỏc nh ỳng i tng cung cp kiờn thc phự hp vi trỡnh v qu thi gian ca hc sinh Toỏn gii phng trỡnh c nhc ờn nhiu cỏc loi sỏch c thờm hoc cỏc ti liu tham kho ú giỏo viờn toỏn thng vt v vic su tm tuyn chn mi gõy c s hng thỳ hc tp, lũng say mờ hc toỏn ca hc sinh Vi mong mun cú c ti liu giỳp hc sinh d dng hn hc toỏn gii phng trỡnh vụ t tụi ó viờt SKKN ny Do thi gian cú hn v kinh nghim cũn hn chờ nờn quỏ trỡnh viờt khú trỏnh c nhng sai sút cỏch trỡnh by cng nh h thng cỏc bi tõp Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 32 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t a cũn hn chờ , cha y , cha khoa hc tụi rt mong cỏc thy cụ v bn bố ng nghip úng gúp y kiờn SKKN c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n! Yờn Lc , ngy 15 thỏng 03 nm 2013 Ngi viờt sỏng kiờn kinh nghim (Ký, ghi rừ ho tờn) T Vn c Ti liu tham kho: Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 33 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t - Nõng cao v phỏt trin toỏn - Tp - V Hu Bỡnh - Ti liu chuyờn toỏn lp V Hu Bỡnh - Cỏc thi hc sinh gii ca cỏc tnh thnh c nc - Bỏo toỏn hc tui tr -Bo toỏn tui th - Cỏc trang bỏo mng v toỏn NH GI, XP LOI CA HI NG KHOA HC, SNG KIN CP TRNG Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 34 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 35 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t NH GI, XP LOI CA HI NG KHOA HC, SNG KIN CP HUYN Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 36 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t NH GI, XP LOI CA HI NG KHOA HC, SNG KIN CP TNH Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 37 Sỏng kin kinh nghim v gii phng trỡnh vụ t Giỏo viờn vit v thc hin - T Vn c THCS Yờn Lc 38 [...]... đối với học sinh Qua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh lớp 9 nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi dạy xong chuyên đề trắc nhiệm ở một số học sinh tôi thu được kết quả dưới đây - Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phương trình vô tỉ -Hoc sinh thấy hứng thú hơn đối với môn toán đặc biệt là khi giải phương trình vô tỉ - Sau khi kiểm tra đánh giá... 8 8-10 Từ 5 -10 Đề SL % SL % SL % SL % SL % Đề 1 14 41,4 9 26,4 7 20,5 4 11,7 20 58,8 Đề 2 10 29,4 8 23,5 10 29,4 6 17,6 24 70,6 Đề 3 2 5,8 14 41,3 8 23,5 10 29,4 32 94,1 2) Bài học kinh nghiệm Từ những kết quả cụ thể trên tôi đã rút ra một số kinh nghiệm cho bản thân cũng như cho đồng nghiệp khi hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ như sau - Phương pháp giải phương trình vô tỉ không khó đối... 1 + x 2 + 3 = 4 − x PHƯƠNG PHÁP 6: Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 24 Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = 0 ta có thể giải phương trình A ( x ) = 0 hoặc chứng minh A ( x ) = 0 vô nghiệm , chú ý điều... 12: Cho phương trình: 1 + x + 8 − x + ( 1 + x ) ( 8 − x ) = m a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 1 1 + =m 2 x 1− x 2 Giải phương trình với m = 2 + 3 Bài 13: Cho phương trình: a) b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: 2 ( x 2 − 2 x ) + x 2 − 2 x − 3 − m = 0 a) Giải phương trình với m = 9 b) Tìm m để phương. .. thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 31 Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ giải, phán đoán cách giải, các bước giải để các em đi đến lời giải thông minh ngắn gọn nhất + Rèn kĩ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh, thường xuyên để ý giúp các em sửa chữa những sai lầm thường mắc phải khi giải phương trình vô tỉ nhất là ĐKXĐ + Trên cơ sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo... trong chương trình cấp 3 đối với bô môn toán đặc biệt là khi học về phương trình vô tỉ Các phương pháp giải phương trình vô tỉ mà tôi đề cập ở trên cũng đã được sử dụng rộng rãi xong phần nào giúp học sinh lớp 9 và giáo viên dạy toán 9 nâng cao chất lượng dạy và học của mình 4) Kết luận Sau một thời gian tự nghiên cứu cùng với các phương pháp tìm đọc tài liệu tham khảo, sưu tầm các bài tập và kết... viết lại phương trình: 2 ( x 2 − 4 x − 5 ) + 3 ( x + 4 ) = 5 ( x 2 − 4 x − 5)( x + 4) Đến đây bài toán được giải quyết 3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn  Từ những phương trình tích ( 2x + 3 − x )( ) ( )( ) x +1 −1 x +1 − x + 2 = 0 , 2x + 3 − x + 2 = 0 Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương. .. + 7 x = t + 2 Kết hợp với đầu bài ta được hệ phương trình:  7t 2 + 7t = x + 1  2 HD:Đặt Giải hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm Bài tập áp dụng: Giải phương trình: 2 x 2 + 2 x + 1 = 4 x + 1 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I-KIẾN THỨC: Giáo viên viết và thực hiện - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 19 Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ 1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai bộ số... tương tự hoặc mở rộng hơn để các em được tự mình giải quyết các phương trình vô tỉ ấy - Nếu có được những việc làm trên tôi tin chắc rằng tất cả các em học sinh sẽ không còn lúng túng khi giải phương trình đặc biệt là pt vô tỉ 3) Điều kiện áp dụng Như tôi đã trình bày ở trên bản kinh nghiệm này được áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trong các trường THCS hoặc sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi... giải phương trình vô tỉ PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta có 3 hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f ( x) = k Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) Bước 3: Nhận xét: • Với x = x0 ⇔ f ( x) = f ( x0 ) = k do đó x0 là nghiệm • Với x > x0 ⇔ f ( x) > f ( x0 ) = k do đó phương