Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm LỜI MỞ ĐẦU Trong thi Đại học, Cao Đẳng hàng năm nước ta phần phương trình lượng giác chiếm phần quan trọng thường xuất toán bắt buộc kì thi.Ngoài SGK hành việc giải tập phương trình lượng giác gây không khó khăn cho học sinh phổ thông nay.Vì để góp phần giúp em học sinh giải phương trình lượng cách có hiệu nhẹ nhàng ,sau xin đưa số kinh nghiệm để phân tích yếu tố góc,bậc phương trình lượng giác nhằm định hướng đưa đến việc giải phương trình lượng giác hiệu I ) Phương pháp chung để giải phương trình lượng giác: - Người làm toán vào mối quan hệ bậc,góc phương trình lượng giác cho.Bậc hiểu số mũ lũy thừa sin,cos,tan.cot phương trình lượng giác đó.Ví dụ: sin2x,cos2x ta gọi bậc hai.Mối quan hệ góc hiểu tất mối quan hệ sau đây: +1:Mối quan hệ góc đối nhau,phụ nhau,bù nhau,hơn π / ,khác π , kπ … +2:Mối quan hệ góc gấp đôi,gấp ba,gấp bốn,một nửa,một phần ba,một phần bốn,… +3 : Mối quan hệ tổng hiệu.Ví dụ phương trình có chứa tổng hai góc với góc khác,hiệu hai góc với góc khác,tổng hai góc tổng hai góc khác,tổng hai góc chia hai góc khác,hiệu hai góc chia hai góc khác,….Khi có quan hệ tổng hiệu ta hay sử dụng ba loại công thức:tổng thành tích,tích thành tổng công thức cộng Trình tự suy luận để giải phương trình lượng giác người làm toán suy nghĩ theo cách sau:Căn vào mối quan hệ bậc góc để giải phương trình lượng giác người làm toán phải làm theo hướng sau : Hướng 1:Phân tích làm xuất số hạng đồng dạng theo nguyên tắc góc giảm bậc tăng ,bậc giảm góc tăng.Dựa vào nguyên tắc người làm toán đưa số hạng phương trình lượng giác số hạng đồng dạng đơn giản ,rút gọn để đưa phương trình lượng phương trình: +1: sinu=sinv ⇔ u=v+k 2π u= π − v + k 2π Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm  u = v + k 2π ⇔ u = −v + k 2π +2 :cosu=cosv +3 : tanu=tanv ⇔ u = v + kπ (cosv ≠ ) +4 :cotu=cotv ⇔ u = v + kπ (sinv ≠ ) k∈ Z Hướng 2: Phân tích biến đổi làm cho tất góc phương trình GIỐNG NHAU.Khi người làm toán đưa phương trình dạng thường gặp Sách giáo khoa,đó dạng sau đây: Dạng 1: Phương trình bậc sin α ( x), cos α ( x) : a.sin α ( x ) + b.cos α ( x ) = c Dạng 2: Phương trình chứa hàm số lượng giác.Phương trình hiểu theo nghĩa sau biến đổi đưa phương trình chứa hàm số lượng giác :sinx cosx tanx cotx.Các góc α ( x ) Có thể chứa phép tính thức,phân thức,giá trị tuyệt đối … Ví dụ: 2sin3x-3sin2x+4sinx-3=0; tan x + tan x − = tan x + ; cos x − = cos x − ,… Dạng 3:Phương trình đẳng cấp bậc hai,bậc ba sinx,cosx.Đó phương trình có dạng sau: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d.( a,b,c,d ∈ R) asin3x+bsin2xcosx+csinxcos2x+dcos3x=0 ( a,b,c,d ∈ R) asin3x+bsin2xcosx+csinxcos2x+dcos3x+esinx+fcosx=0 ( a,b,c,d,e,f ∈ R) Các góc α ( x) Dạng 4: Phương trình đối xứng hai hàm số lượng giác :sinx,cosx tanx,cotx.Phương trình phản đối xứng sinx,cosx.Phương trình đối xứng sinx,cosx hiểu phương trình thay sinx bỡi cosx,thay cosx bỡi sinx phương trình không thay đổi.Tương tự cho phương trình đối xứng tanx,cotx mà dạng đơn giản đưa SGK là: a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c=0 a(sinx-cosx)+bsinxcosx+c=0 (phản đối xứng) a(tanx+cotx)+b(tan2x+cot2x)+c(tan3x+cot3x)=d Nếu biến đổi đưa tất góc giống dạng thường gặp nói trên,hoặc biến đổi để làm cho tất góc giống ta thường sử dụng hướng sau đây: Hướng 3: Làm cho phần số hạng phương trình giống để Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm đưa dạng tích.Tức nhóm thành :tích số hạng không số hạng dạng dạng thường gặp nói Trong trường hợp gặp phương trình phức tạp phương trình chứa nhiều số hạng mà hàm số lượng giác chứa nhiều loại góc mối quan hệ đặc biệt quan hệ nói bậc phương trình lớn ta sử dụng hướng sau đây: Hướng 4: Giải phương trình phương pháp bất đẳng thức.Để giải phương trình chứa thức,chứa giá trị tuyệt đối hay phương trình lượng giác phương trình mũ,logarít phương pháp bất đẳng thức thường sử dụng cách mà ta trình bày sau đủ để giải Giả sử ta cần giải phương trình: f(x)=g(x) (1) có tập xác định D  f ( x) ≤ k , ∀x ∈ D  Cách 1:Ta chứng minh :  g ( x) ≥ k , ∀x ∈ D Khi để phương trình  f ( x) = k  (1) có nghiệm thì:  g ( x) = k Ta giải hệ nghiệm phương trình (1)  f ( x ) ≤ g ( x)(2), ∀x ∈ D  Cách 2: Ta chứng minh:  f ( x) ≥ g ( x)(3), ∀x ∈ D Khi để phương trình (1) có nghiệm ta cần tìm x ∈ D để dấu (2) (3) xảy giá trị x nghiệm phương trình (1) Cách 3: Ta biến đổi (1) dạng: A(x)+B(x)+C(x)+….+Z(x)=0 cho :  A( x) ≥ 0; B ( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0; Z ( x) ≥  A( x) ≤ 0; B ( x) ≤ 0; C ( x) ≤ 0; Z ( x) ≤   A( x) =  B ( x) =  ⇔  C ( x) =   Khi phương trình (1)  Z ( x) = II ) Minh họa cho phương pháp hướng giải trên: A.Những toán giải phương trình lượng giác phương pháp dùng hướng 1,2,3: Để minh chứng cho bốn hướng giải phương trình lượng giác nói Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm trên,ta đưa ví dụ phân tích để minh hoạ ,việc giải phương trình có thành công hay không phụ thuợc nhiều vào phân tích để tìm hướng giải *Ví dụ 1: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm phương trình : cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (1) ( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2002-khối D) ố 1-Phân tích: Xét mối quan hệ góc : phương trình có chứa loại góc:x,2x,3x 2- Giải:Có quan hệ góc gấp đôi,gấp ba Vì ta dùng công thức nhân đôi,nhân ba đưa tất góc GIỐNG NHAU góc x.Và hàm bậc biến x cosx nên ta đưa phương trình chứa môt hàm số lượng giác cosx.Ap dụng công thức : cos2x=2cos2x-1;cos3x=4cos3x-3cosx ta kết sau: (1) ⇔ 4cos3x-3cosx –4(2cos2x-1)+3cosx-4=0 ⇔ 4cos3x-8cos2x=0 ⇔ 4cos2x(cosx-2)=0 ⇔ cosx=0 ⇔ x=k2 π Vì x ∈ [0;14] nên chọn k=0,1,2 Kết luậc nghiệm x phải tìm :x=0;x=2 π ;x=4 π *Ví dụ2: Giải phương trình: cos23x.cos2x-cos2x=0 (2) ( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2005-khối A) 1-Phân tích: Trong phương trình cho chứa góc x,2x,3x có quan hệ góc gấp đôi,gấp ba chứa lũy thừa bậc Hướng 1: Nếu đưa tất góc phương trình cho góc giống góc x từ góc 3x góc x bậc tăng lên bậc mà lũy thừa cos3x bậc đưa cos23x góc x bậc tăng lên bậc nghĩa bậc cao Hướng 2: Theo hướng thứ bậc phương trình đưa tất góc góc x bậc lên bậc 6.Vì lý cần giảm bậc ta tăng góc để giảm bậc ta đưa tất góc giống góc 2x để giảm từ bậc xuống bậc Ta dùng công thức sau: cos x = + cos x + cos3 x − 3cos x = 2 * Giải: + cos x cos2x= + cos3 x − 3cos x + cos x 2 (2) ⇔ ( )cos2x=0 ⇔ 4cos4(2x)-3cos2(2x)-1=0 Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm ⇔ *Ví dụ3:  cos 2 x =  cos x = −1/ kπ ⇔ cos22x=1 ⇔ cos2x= ±1 ⇔ 2x=k π ⇔ x= (k ∈ Z ) π π Giải phương trình:cos4x+sin4x+cos(x- )sin(3x- )- =0 (3) ( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2005-khối D) π π 1-Phân tích: Trong phương trình cho chứa góc x, (x- ),(3x- ) chứa lũy thừa bậc biến x.Để tạo đồng dạng góc ta nhận thấy:Tổng góc: π π π (x- ),(3x- ) 4x- mà góc có quan hệ với góc 4x bỡi quan hệ π π π Hiệu góc:(x- ),(3x- ) 2x –2x.vì suy nghĩ π dùng công thức tích thành tổng để biến đổi nhóm :cos(x- π )sin(3x- ) đưa hàm số lượng gíc góc 4x,2x.Sau nhóm: cos4x+sin4x ta dùng công thức hạ bậc để đưa góc 2x.Đồng thời nhóm chứa góc 4x ta dùng công thức nhân đôi để đưa góc 2x ta dùng phương pháp đưa tất góc giống 2x Giải: π (3) ⇔ (sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+1/2(sin(4x- )+sin 2x)- =0 (3) ⇔ 1-2(sinxcosx)2+1/2[-cos(4x)+sin 2x]- =0 1 (sin x )]2 ⇔ 1-2[ + [-(1-2sin2(2x))+sin2x]- =0 1 (sin 2 x) ⇔ 1- + [-(1-2sin2(2x))+sin2x]- =0 ⇔ 2- (sin x) +[-(1-2sin2(2x))+sin2x]-3=0 ⇔ sin2(2x)+sin2x-2=0  sin x =  ⇔ sin x = −2 ⇔ sin2x=1 ⇔ 2x= Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm π π + k 2π ⇔ x = + kπ ; k ∈ Z *Ví dụ 4: Giải phương trình:1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 (4) ( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2005-khối B) 1-Phân tích: Trong phương trình cho chứa góc x, 2x chứa lũy thừa bậc biến x,biến 2x.Hướng suy nghĩ thứ ta đưa tất góc phương trình cho góc x cách sử dụng công thức sin2x=2sinxcosx công thức cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x.Khi ta đưa tất góc phương trình giống nhau,cụ thể (4) ⇔ 1+sinx+cosx+2sinxcosx+cos2x-sin2x=0 hoặc: 1+sinx+cosx+2sinxcosx+2cos2x-1=0 hoặc: 1+sinx+cosx+2sinxcosx+1-2sin2x=0 Ta thấy phương trình dạng thường gặp : phương trình bậc theo sin α ( x), cos α ( x) ;phương trình hàm số lượng giác,phương trình đẳng cấp phương trình đối xứng (hoặc phản đối xứng).Vì ta biến đổi đưa phương trình cho dạng tích.,Để ý phương trình (4) có chứa số hạng đồng dạng là:sinx+cosx cos2x=cos2x-sin2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx);Vì ta biến đổi nhóm 1+2sinxcosx=sin2x+cos2x+2sinxcosx=(sinx+cosx)2 Giải: (4) ⇔ (sinx+cosx)+(sinx+cosx)2+(cosx-sinx) (cosx+sinx)=0 ⇔ (sinx+cosx)[1+sinx+cosx+cosx-sinx]=0 π   cos( x − ) =  sin x + cos x =  cos x = −  cos x + = ⇔ ⇔  ⇔  π π  x − = + kπ ; k ∈ Z   x = ± 2π + k 2π ; k ∈ Z  3π   x = + kπ ; k ∈ Z   x = ± 2π + k 2π ; k ∈ Z ⇔  *Ví dụ 5: Giải phương trình:2sin22x+sin7x-1=sinx (5) Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm ( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2007-khối B) 1-Phân tích: Trong phương trình cho chứa góc x, 2x ,7x chứa lũy thừa cao lũy thừa bậc biến sin2x.Nếu giải phương trình theo hướng đưa tất góc phương trình giống ta phải đưa góc x số hạng chứa sinx bậc tối giản với góc lớn phương trình 7x nên đưa góc x ta đến phương trình bậc 7, bậc cao.Mặt khác thời góc tham gia phương trình là:x,2x,7x tạm thời chưa thấy có mối quan hệ đặc biệt gì.Ta tìm mối quan hệ qua trung gian sau: cụ thể ta sử dụng công thức hạ bậc để đưa góc 2x thành 4x (7 x + x) = 4x nhận xét rằng: Như nói phần đầu góc đề có dạng tổng ,hiệu nên ta sử dụng công thức: công thức biến đổi tổng thành tích,biến đổi tích thành tổng công thức cộng.Nhưng đề cho dạng tổng nên ta sử dụng công thức tổng thành thành tích sau biến đổi ta làm xuất phần góc phương trình giống góc 4x ta đưa phương trình dạng tích Giải: (5) ⇔ (1-cos4x)+sin7x-1=sinx ⇔ sin7x-sinx-cos4x=0 ⇔ 2cos4xsin3x-cos4x=0 ⇔ cos4x(2sin3x1)=0 cos x =  sin x = ⇔ *Ví dụ 6: ⇔ π   x = + kπ ; k ∈ Z   3x = π + k 2π ; k ∈ Z   3 x = 5π + k 2π ; k ∈ Z  π π   x = + k ;k ∈Z   x = π + k 2π ; k ∈ Z  18   x = 5π + k 2π ; k ∈ Z 18 ⇔  2 Giải phương trình: sin3x- cos x = sin x cos x − sin x cos x (6) ( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2008-khối B)