www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn A Lý chọ chọn đề đề tài Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ toán có mặt hầu hết kỳ thi HSG tuyển sinh Đại Học Không toán hay khó đề thi Trong chương trình giảng dạy học tập bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chủ đề hấp dẫn người dạy lẫn người học Việc giảng dạy để cho học sinh học tốt chủ đề môt vấn đề khó Chủ đề thường dành cho học sinh giỏi nên toán đưa thường hay khó Để chứng minh Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có nhiều phương pháp, phương pháp vạn để giải toán cực trị mà chỉ có phương pháp giải nhóm toán mà Một phương pháp hiệu dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng khảo sát biến, cách xem biến lại tham số cố định Không có thuật giải chi tiết cho phương pháp mà thông qua ví dụ để HS rèn luyện để tự tìm cách giải toán cụ thể từ tìm thấy sơ đồ giải cho riêng Vì lý viết chuyên đề nhằm giúp học sinh có nhìn rộng phương pháp sử dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm GTLN, GTNN B Nội Dung Phương pháp đưa v ề biế biến toán hai biế biến Biế đổi giả giả thiế thiết biể biểu thứ thức cầ cần tìm cự cực trị trị để tìm mố mối quan hệ hệ giữ giữ chúng rồ Biến đổ tìm tìm cách đặt ẩn phụ phụ hợp lý, lý, đưa biể biểu thứ thức cho về hàm hàm mộ biế biến để để khả khảo sát Thí dụ dụ 1: Cho x, y số thực thoả mãn xଶ + yଶ = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: 2008ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: - - ܲ = 2ሺ‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ ሻ − 3‫ݕݔ‬ ሺCao đẳ đẳng khố khối A, B – Từ giả thiết xଶ + yଶ = đưa toán ẩn không? Ta nghĩ tới đẳng thức: ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ − 2‫ ݔ ; ݕݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ݕݔ‬+‫ݕ‬2 Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất x ଶ + yଶ để sử dụng giả thiết Biến đổi biểu thức P vào ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ = ta có: ܲ = 2ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 3‫ݕݔ‬ Từ giả thiết: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ሻଶ − 2‫ = ݕݔ‬2 ⇒ ‫= ݕݔ‬ = 2ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ − ‫ ݕݔ‬ሻ − 3‫ݕݔ‬ ሺ௫ା௬ሻమିଶ ଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số ta đặt: ‫ ݔ = ݐ‬+ ‫ݕ‬ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ≥ Lời giả giải: Ta có: ሺ௫ା௬ሻమ ଶ ܲ = 2ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 3‫ݕݔ‬ = 2ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ − ‫ݕݔ‬ሻ − 3‫ݕݔ‬ Ta có: ‫= ݕݔ‬ ሺ௫ା௬ሻమ ିଶ ଶ Ta có: ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ≥ , sau đặt ‫ ݔ = ݐ‬+ ‫ݕ‬, ܲ ሺ‫ݐ‬ሻ = 2‫ ݐ‬ቆ2 − ሺ௫ା௬ሻమ ଶ ‫ݐ‬ଶ − ‫ݐ‬ଶ − ቇ−3 = −‫ ݐ‬ଷ − ‫ ݐ‬ଶ + 6‫ ݐ‬+ 2 ⇒ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ ≤ ⇒ −2 ≤ ‫ ≤ ݐ‬2 Xét hàm số: ܲ ሺ‫ݐ‬ሻ = −‫ ݐ‬ଷ − ‫ ݐ‬ଶ + 6‫ ݐ‬+ với −2 ≤ ‫ ≤ ݐ‬2 ଷ ଶ Ta có: ܲ ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ = −3‫ ݐ‬ଶ − 3‫ ݐ‬+ Ta có bảng biến thiên t -2 P’ሺtሻ − + ଵଷ Pሺtሻ Vậy: ଶ -7 max ሾିଶ;ଶሿ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ = ݂ ሺ1ሻ = ଵଷ ଶ ‫=ݔ‬ ;‫= ݕ‬ ଶ ଶ ቎ ଵା√ଷ ଵି√ଷ ;‫= ݕ‬ ‫=ݔ‬ ଵା√ଷ ଵି√ଷ ଶ ଶ minሾିଶ; ଶሿ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ = ݉݅݊ሼ݂ሺ−2ሻ; ݂ ሺ2ሻሽ = ݉݅݊ሼ−7; 1ሽ = −7 ‫ = ݕ = ݔ‬−1 SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Thí dụ dụ 2: Cho x, y ≥ x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: ܵ = ሺ4‫ ݔ‬ଶ + 3‫ݕ‬ሻሺ4‫ ݕ‬ଶ + 3‫ݔ‬ሻ + 25‫ݕݔ‬ 2009ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: - ሺĐạ ሺĐại họ học khố khối D – Từ giả thiết x + y = đưa toán cho ẩn không? Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬để sử dụng giả thiết Chú ý đẳng thức: ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ − 2‫ݕݔ‬ ‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ Sau khai triển vào x + y = 1, ta có: ܵ = 16‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ − 2‫ ݕݔ‬+ 12 - Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt: ‫ݕݔ = ݐ‬ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: ≤ ‫≤ ݕݔ‬ Lời giả giải: ሺ௫ା௬ሻమ ସ Ta có: ܵ = ሺ4‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݕ‬ሻሺ4‫ ݕ‬ଶ + 3‫ݔ‬ሻ + 25‫ = ݕݔ‬16‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ + 12ሺ‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ ሻ + 34‫ݕݔ‬ = 16‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ + 12ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ + 34‫ݕݔ‬ = 16‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ + 12ሾሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ − 3‫ݕݔ‬ሿ + 34‫ݕݔ‬ = 16‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ − 2‫ ݕݔ‬+ 12 ሺ݀‫ ݔ ݋‬+ ‫ = ݕ‬1ሻ Đặt xy = t Ta có: ‫ ≥ ݔ‬0, ‫ ≥ ݕ‬0 ݊ê݊ ≤ ‫≤ ݕݔ‬ ሺ௫ା௬ሻమ ସ ሺ݀‫ ݔ ݋‬+ ‫ = ݕ‬1ሻ = ଵ ସ ⇒ 0≤‫≤ݐ‬ ଵ ସ Xét hàm số: ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = 16‫ ݐ‬ଶ − 2‫ ݐ‬+ 12 với ≤ ‫ ≤ ݐ‬ Ta có: ݂ ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ = 32‫ ݐ‬− Bảng biến thiên t f’ሺtሻ fሺtሻ ଵ ସ ଵ ଵ଺ ଵ ସ 12 − SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 + www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ଶହ ଶ Vậy: minቂ଴;భቃ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ݂ ቀ ቁ = ଵ ଵ଺ ర ቎ ଵଽଵ ଵ଺ ‫=ݔ‬ ‫=ݔ‬ ଶା√ଷ ଵଽଵ ଵ଺ ;‫= ݕ‬ ସ ଶି√ଷ ;‫= ݕ‬ ସ max ቂ଴;భቃ ݂ ሺ‫ ݐ‬ሻ = ݉ܽ‫ ݔ‬ቄ݂ሺ0ሻ; ݂ ቀ ቁቅ = ݉ܽ‫ ݔ‬ቄ12; ଵ ଶହ ସ ర ଶ ଶି√ଷ ቅ= ସ ଶା√ଷ ସ ଶହ ଶ ‫= ݕ = ݔ‬ Thí dụ dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: ଵ ଶ ‫ = ܣ‬3ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + với x, y số thoả mãn điều kiện: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଷ + 4‫ ≥ ݕݔ‬2 ሺĐạ ሺĐại họ học khố khối B – 2009ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: - Vì giả thiết biểu thức phức tạp nên ta khai thác trước cho gọn để dễ sử dụng ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ − 2‫ݕݔ‬ Chú ý đẳng thức: ‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ = ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ ≥ 4‫ݕݔ‬ Khi điều kiện toán trở thành: ‫ ݔ‬+ ‫ ≥ ݕ‬1 - Ta biến đổi A sau: ‫ = ܣ‬3ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + = ଶ ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ + ଶ ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + ଷ ≥ ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ + ଷ ଶ hay - ଷ ଷ൫௫ మ ା௬ మ൯ ሺdo ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ ≥ ସ ൫௫ మା௬ మ൯ ଶ ‫ ≥ ܣ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + ଽ మ మ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + ሻ ସ Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa A hàm biến số không?ሺnếu ta đặt: ‫ ݔ = ݐ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức:‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ≥ Lời giả giải: ሺ௫ା௬ሻమ ଶ Theo bất đẳng thức hiển nhiên: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ ≥ 4‫ݕݔ‬, nên từ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଷ + 4‫ ≥ ݕݔ‬2 ⇒ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ሻଷ + ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ ≥ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଷ + 4‫ ≥ ݕݔ‬2 SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ⇒ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଷ + ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ ≥ ⇒ ሾሺx+yሻ-1ሿሾ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ + ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ + 2ሿ ≥ ⇒ ሺx+yሻ - 1≥ ଵ ଶ ሺdo ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻଶ + ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ + = ቂሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ + ቃ + > 0, ∀‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ଻ ଶ ସ Bài toán đưa tìm min, max của: ‫ = ܣ‬3ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + với x, y thoả mãn: x+y ≥ Ta biến đổi A sau: ‫ = ܣ‬3ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + = ଷ ଶ ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ + ሺ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ ሻ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + ≥ ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ + ଷ ଶ Vì ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ≥ ଶ ଶ ଽ ସ ଽ ସ ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ ⇒݂ = ‫ݐ‬−2 ଽ ସ Ta có bảng biến thiên: ସ +∞ ଽ ଽ ଵ଺ ଵ ଶ ଵ ଽ ଵ଺ ଵ ଶ ଶ + ଵ଺ ଽ ଵ଺ +∞ xẩy t = ଵ ଶ Mặt khác ta dễ thấy ‫ = ݕ = ݔ‬thì ‫= ܣ‬ Tóm lại: minA = ሻ ଶ f’ሺtሻ Vậy min௧ஹభ ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ = ݂ ቀ ቁ = ଶ ଶ మ ଵ ଽ fሺtሻ ൫௫ మା௬ మ൯ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻ + ሺdo x+y ≥ 1ሻ nên ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ≥ Ta có: ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ ݐ‬ଶ − 2‫ ݐ‬+ với ‫≥ ݐ‬ t ସ మ ‫ ≥ ܣ‬ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ሻଶ − 2ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ + ሺ௫ା௬ሻమ Đặt ‫ ݔ = ݐ‬+ ‫ݕ‬ ଶ Suy ‫≥ ܣ‬ ଶ ଷ൫௫ మ ା௬ మ൯ ሺdo ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ ≥ hay మ ଷ ‫= ݕ = ݔ‬ ଵ ଵ ଶ ଽ ଵ଺ ଶ Thí dụ dụ 4: Cho hai số thực x, y ሺkhác 0ሻ thay đổi thoả mãn điều kiện: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ‫ ݔ = ݕݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ − ‫ݕݔ‬ Tìm giá trị lớn biểu thức: SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ‫=ܣ‬ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Gv Thái Văn Duẩn 1 + ଷ ଷ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ሺĐạ ሺĐại họ học khố khối A – 2006ሻ 2006ሻ Từ giả thiết ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ‫ ݔ = ݕݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬có thể đưa toán ẩn không? Biến đổi biểu thức A, ta được: - ‫=ܣ‬ ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻሺ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ ‫ݔ‬+‫ ݕ‬ଶ 1 ଶ ‫ݔ‬ଷ + ‫ݕ‬ଷ ൬ ൰ ൬ = = + ൰ = ‫ݔ‬ଷ‫ݕ‬ଷ ‫ݕݔ‬ ‫ݕ ݔ‬ ‫ݔ‬ଷ‫ݕ‬ଷ Do giả thiết biểu thức mà số mũ hạng tử vế trái lớn vế phải nên ta đặt x = ty ta rút x y theo t: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ‫ ݔ = ݕݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ − ‫ ⟹ ݕݔ‬đặt x = - ty ⟹ ‫= ݕ‬ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ మ ା௧ ; ‫= ݕݐ = ݔ‬ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ାଵ Vậy đến ta đưa A hàm biến t Đến ta khảo sát hàm biến t đến kết - Lời giả giải: Từ giả thiết, ta có: ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ሻሺ‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ሻ 1 ‫ݔ‬ଷ + ‫ݕ‬ଷ ‫ݔ‬+‫ ݕ‬ଶ 1 ଶ ൰ = ൬ + ൰ ‫ =ܣ‬ଷ+ ଷ= = =൬ ‫ݔ‬ଷ‫ݕ‬ଷ ‫ݕ ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ‫ݔ‬ଷ‫ݕ‬ଷ ‫ݕݔ‬ Đặt: ‫ݕݐ = ݔ‬ từ giả thiết ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ‫ ݔ = ݕݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ − ‫ ⟹ ݕݔ‬ሺ‫ ݐ‬+ 1ሻ‫ ݕݐ‬ଷ = ሺ‫ ݐ‬ଶ − ‫ ݐ‬+ 1ሻ‫ ݕ‬ଶ đó: ‫= ݕ‬ Từ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ మ ା௧ ; ‫= ݕݐ = ݔ‬ Xét hàm số: Ta có bảng biến thiên: t f’ሺtሻ −∞ +∞ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ାଵ ‫ ݐ‬ଶ + 2‫ ݐ‬+ 1 ଶ ቇ ‫=ܣ‬൬ + ൰ = ቆ ଶ ‫ ݐ‬−‫ݐ‬+1 ‫ݕ ݔ‬ ݂ ሺ‫ ݐ‬ሻ = - ଶ ‫ ݐ‬ଶ + 2‫ ݐ‬+ −3‫ ݐ‬ଶ + ᇱሺ ሻ ܿó ݂ ‫ݐ‬ = ሺ‫ ݐ‬ଶ − ‫ ݐ‬+ 1ሻଶ ‫ݐ‬ଶ − ‫ ݐ‬+ -1 + SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 - www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN fሺtሻ Gv Thái Văn Duẩn ଵ Vậy: GTLN A là: ݂ ଶ ሺ1ሻ = 16 ‫ = ݕ = ݔ‬ ଶ khả ảo sát lầ Phương pháp kh lần lượ lượt từ biế biến toán ba biế biến Đối vớ với bấ bất đẳ đẳng thứ thức nhiề nhiều biế biến, ta thể khả khảo sát lầ lần lượ lượt từ biế biến mộ bằ cách chọ chọn mộ biế biến làm tham số số biế biến thiên cố cố định biế biến lạ lại, toán lúc trở trở thành bấ bất đẳ đẳng thứ thức mộ biế biến Luôn Luôn có tâm thế nhìn biể biểu thứ thức nhiề nhiều biế biến mà ta cầ cần tìm tìm GTLN, GTNN dướ dạng hàm số số để ta sử sử dụng đượ công cụ cụ hiệ hiệu quả giả giải toán đạ đạo hàm hàm Sơ đồ đồ tổng quát Giả Giả sử tìm cự cực trị trị biể biểu thứ thức ba biế biến x, y, z: Pሺx, y, zሻ với điề điều kiệ kiện T • Bướ Bước 1: Xem Pሺx, y, zሻ hàm theo biế biến x, y, z la hằ số số Khả Khảo sát hàm tìm cự cực trị trị với điề điều kiệ kiện T Ta đượ được: ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≥ ࢍሺ࢟, ࢠሻሺࢎ࢕ặࢉ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≤ ࢍሺ࢟, ࢠሻሻ • Bướ Bước 2: Xem gሺy, zሻ hàm biế biến y, z số số Khả Khảo sát hàm này vớ với điề điều kiệ kiện T Ta đượ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≥ ࢎሺࢠሻ ሺࢎ࢕ặࢉ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≤ ࢎሺࢠሻሻ • Bướ Bước 3: Cuố Cuối Khả Khảo sát hàm mộ biế biến hሺz hሺzሻ với điề điều kiệ kiện T tìm min, max hàm này Ta đế đến kế kết luậ luận: ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≥ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≥ ࢎሺࢠሻ ≥ ࢓ ሺࢎ࢕ặࢉ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≤ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≤ ࢎሺࢠሻ ≤ ࡹሻ Thí dụ dụ 5: Cho hai số thực x, y, z số thực thuộc ሾ1; 4ሿ ‫ݕ ≥ ݔ‬, ‫ݖ ≥ ݔ‬ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2011ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: ܲ= ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ‫ݖ‬ + + 2‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ ݕ‬+ ‫ ݖ ݖ‬+ ‫ݔ‬ ሺĐạ ሺĐại họ học khố khối A – Khảo sát biến nào? Xem P hàm theo biến z, x, y số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy GTNN P, tức ܲሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ݖ‬ሻ ≥ ܲሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ - Khảo sát hàm Pሺx, yሻ, đưa Pሺx, yሻ hàm biến không? - - Bằng cách đặt ẩn phụ ‫ = ݐ‬ට௬ để đưa ܲሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ hàm biến Tìm GTNN hàm ௫ biến ଷସ - Vậy ܲሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ݖ‬ሻ ≥ ܲ ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ = ܲሺ‫ݐ‬ሻ ≥ ଷଷ Lời giả giải: SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Ta có: Gv Thái Văn Duẩn ‫ݕ‬ ‫ݖ‬ ‫ݔ‬ + + 2‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ ݕ‬+ ‫ ݖ ݖ‬+ ‫ݔ‬ ܲ= Xem hàm theo biến z; x, y số ሺ‫ ݔ‬− ‫ݕ‬ሻሺ‫ ݖ‬ଶ − ‫ݕݔ‬ሻ ‫ݔ‬ −‫ݕ‬ + = ܲ ‫ݖ‬ሻ = ሺ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻଶ ሺ‫ ݖ‬+ ‫ݔ‬ሻଶ ሺ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻଶ ሺ‫ ݖ‬+ ‫ݔ‬ሻଶ ᇱሺ Theo giả thiết: ‫ ݔ ⇒ ݕ ≥ ݔ‬− ‫ ≥ ݕ‬0 ܲ ≥ ⇔ ‫ ≥ ݖ‬ඥ‫ ݕݔ‬ሺdo x, y, z ∈ ሾ1; 4ሿሻ t P’ሺzሻ ඥ‫ݕݔ‬ - Pሺzሻ + Từ bảng biến thiên: ܲ ≥ ܲ൫ඥ‫ݕݔ‬൯ = = ௫ ଶ௫ାଷ௬ ೣ ೤ ೣ ଶ೤ାଷ + + ଶ√ ௬ √௫ା√௬ ଶ ೣ ೤ ଵାට Đặt ‫ = ݐ‬ට , ‫ݕ ≥ ݔ‬, ‫ ݖ ≥ ݔ‬và x, y, z ∈ ሾ1; 4ሿ nên ≤ ‫ ≤ ݐ‬2 ௫ Xét hàm ௬ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ݂ ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ = ௧మ ଶ௧ మ ାଷ + ଶ ଵା௧ ିଶൣସ௧ య ሺ௧ିଵሻାଷሺଶ௧ మ ି௧ାଷሻ൧ ሺଶ௧ మ ାଷሻమ ሺଵା௧ሻమ < 0, ∀ ‫ ∈ ݐ‬ሾ1; 2ሿ Suy fሺtሻ giảm ሾ1; 2ሿ, ܲ ≥ ܲ൫ඥ‫ݕݔ‬൯ = ݂ ሺ‫ݐ‬ሻ ≥ ݂ሺ2ሻ = SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 ଷସ ଷଷ www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Đẳng thức xẩy ra: ቐ Vậy: ܲ௠௜௡ = ଷସ ଷଷ ‫ = ݖ‬ඥ‫ݕݔ‬ ‫=ݐ‬ට =2 ௫ ௬ Gv Thái Văn Duẩn ⇒ ‫ = ݔ‬4, ‫ = ݕ‬1, ‫ = ݖ‬2 ݇ℎ݅ ‫ = ݔ‬4, ‫ = ݕ‬1, ‫ = ݖ‬2 Thí dụ dụ 6: Cho hai số thực ܽ, ܾ, ܿ số thực thuộc ቂଷ ; 3ቃ Tìm giá trị lớn biểu ଵ thức: ܲ= Hoạ Hoạt độ động khám phá: ܽ ܾ ܿ + + ܽ+ܾ ܾ+ܿ ܿ+ܽ Khảo sát biến nào? Xem P hàm theo biến a, b, c số Khảo sát hàm số với điều kiện cho, suy GTLN P của, tức ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ݃ሺܾ, ܿሻ - Xem Pሺb, cሻ hàm theo biến c, b số Khảo sát hàm số với điều kiện cho, suy GTLN Pሺb, cሻ, tức ݃ሺ ܾ, ܿሻ ≤ ℎሺܾሻ ଼ - Tiếp theo khảo sát hàm hሺbሻ suy ℎሺܾሻ ≤ ହ - - Vậy: ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ݃ሺܾ, ܿሻ ≤ ℎሺܾሻ ≤ ହ ଼ Lời giả giải: Đặt ܲሺܽሻ = ܽ ܾ ܿ + + ܽ+ܾ ܾ+ܿ ܿ+ܽ Xem hàm theo biến a; b, c số ܲᇱ ሺܽሻ = ሺܾ − ܿሻሺܽ ଶ − ܾܿሻ ܾ ܿ − = ሺܽ + ܾሻଶ ሺܽ + ܿሻଶ ሺܽ + ܾሻଶ ሺܽ + ܿሻଶ • Trường hợp 1: ܽ ≥ ܾ ≥ ܿ ܽ, ܾ, ܿ ∈ ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ Suy ra: ܾ − ܿ ≥ 0; ܽ − ܾܿ ≥ nên ܲ ܽ ሻ ≥ Do đó: Pሺaሻ tăng ቂ ; 3ቃ ଶ ᇱሺ ܾ ܿ ⇒ ܲ ሺܽ ሻ ≤ ܲ ሺ3ሻ = + + = ݃ሺܿ ሻ 3+ܾ ܾ+ܿ ܿ+3 ሺxem gሺcሻ hàm theo biến cሻ Mặt khác ݃ᇱ ሺܿሻ = ଵ ଷ ሺܾ − 3ሻሺ3ܾ − ܿ ଶ ሻ −ܾ + = ≤0 ሺܾ + ܿሻଶ ሺܿ + 3ሻଶ ሺܾ + ܿሻଶ ሺܿ + 3ሻଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Do đó: gሺcሻ giảm ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ 3ܾ 1 + + = ℎሺܾሻ ⇒ ݃ሺܿ ሻ ≤ ݃ ൬ ൰ = + ܾ 3ܾ + 10 ሺxem hሺbሻ hàm theo biến bሻ Ta có ℎ ᇱ ሺܾ ሻ = Ta có bảng biến thiên: b ሺ1 − ܾሻሺ1 + ܾሻ 3 − = ሺ3ܾ + 1ሻଶ ሺܾ + 3ሻଶ ሺ3ܾ + 1ሻଶ ሺܾ + 3ሻଶ ଵ ଷ h’ሺbሻ + ଼ ହ hሺbሻ Suy ℎሺܾ ሻ ≤ ℎሺ1ሻ = - ଼ ହ Vậy: ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ܲሺ3, ܾ, ܿሻ ≤ ܲ ቀ3, ܾ, ቁ ≤ ܲ ቀ3, 1, ቁ = ଵ ଷ ଵ ଷ • Trường hợp 2: ܿ ≥ ܾ ≥ ܽ ܽ, ܾ, ܿ ∈ ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ Từ kết trường hợp 1, ta có: ܲሺܿ, ܾ, ܽሻ ≤ Mặt khác: ܲ ሺܽ, ܾ, ܿሻ − ܲ ሺܿ, ܾ, ܽ ሻ = = ଼ ହ ܽ = 3; ܾ = 1; ܿ = ଵ ଷ ଼ ହ ሺܽ − ܾሻሺܾ − ܿሻሺܽ − ܿሻ ≤0 ሺܽ + ܾሻሺܾ + ܿሻሺܽ + ܿ ሻ ⇒ ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ Vậy ‫ = ܵ ݔܽܯ‬, xẩy ሺܽ, ܾ, ܿ ሻ = ቄቀ3, 1, ቁ ; ቀ , 3, 1ቁ ; ቀ3, ଼ ହ ଵ ଷ ଵ ଷ ଵ ଷ , 1ቁቅ Thí dụ dụ 7: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: abc + a + c = b SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 10 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Tìm giá trị lớn biểu thức: ܲ= 2008 2008ሻ 08ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Gv Thái Văn Duẩn 2 − + ܽଶ + ܾଶ + ܿଶ + ሺĐề ሺĐề thi GV giỏ giỏi tỉ tỉnh– nh– Từ giả thiết abc + a + c = b đưa toán ẩn không? ௔ା௖ - Biến đổi giả thiết ܽ + ܿ = ܾሺ1 − ܽܿ ሻ > : ta có ܾ = , đưa P biến ଵି௔௖ - - ሺchặn biến: ܽ < ௖ ሻ ଵ Khi đó: ܲ = ௔మାଵ + ሺ௔మାଵሻሺ௖ మାଵሻ − + ௖ మାଵ ሺ0 < ܽ < ௖ ሻ ଶ ଶሺ௔ା௖ሻమ ଷ Với suy nghĩ khám phá hàm số nào? Ta nhìn biểu thức P hàm biến a, c xem số ଵ ଶ௖ ଷ Khảo sát hàm biến a fሺaሻ với < ܽ < ௖ suy ݂ሺܽሻ ≤ √ଵା௖ మ + ௖ మାଵ = ݃ሺܿሻ Tiếp tục khảo sát hàm gሺcሻ với ܿ ∈ ሺ0, +∞ሻ suy ݃ሺܿሻ ≤ Vậy: ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ଴ ሻ = Lời giả giải: ଵ଴ ଷ Biến đổi giả thiết thành: ܽ + ܿ = ܾ ሺ1 − ܽܿ ሻ > ⇒ ܽ < Thay vào biểu thức P ta được: ܲ= Xét hàm số: Ta có ଵ ݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ = ଵ଴ ଷ ܽ+ܿ ‫ݒ‬à ܾ = − ܽܿ ܿ 2ሺܽ + ܿሻଶ + + −2 ܽ ଶ + ܿ ଶ + ሺܽ ଶ + 1ሻሺܿ ଶ + 1ሻ 2ሺܽ + ܿሻଶ = ଶ + ଶ −2+ ଶ ଶ ܽ + ሺܽ + 1ሻሺܿ + 1ሻ ܿ +1 ሺ‫ ݔ‬+ ܿሻଶ + − ‫ݒ‬ớ݅ < ‫ݒ < ݔ‬à ܿ‫݈ ܿ ݅݋‬à ‫ݐ‬ℎܽ݉ ‫ݏ‬ố ሺܿ > 0ሻ ଶ ଶ ଶ ‫ ݔ‬+ ሺ‫ ݔ‬+ 1ሻሺܿ + 1ሻ ܿ ݂ ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ = −2ܿሺ‫ ݔ‬ଶ + 2ܿ‫ ݔ‬− 1ሻ =0 ሺ1 + ‫ ݔ‬ଶ ሻଶ ሺ1 + ܿ ଶ ሻ ⇔ ‫ݔ‬଴ = −ܿ + √ܿ ଶ + ∈ ቀ0, ቁ ଵ ௖ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 11 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Bảng biến thiên: x ଵ ୡ f’ሺxሻ fሺxሻ ‫ݔ‬଴ + ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≤ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ = ܵ = 2݂ ሺܽ ሻ + Ta có ݃ Bảng biến thiên: c g’ሺcሻ gሺcሻ ᇱ ሺܿሻ = ܿଶ ܿ= ଵ √଼ √1 + ܿ ଶ 2ሺ1 − 8ܿ ଶ ሻ ሺ1 + ܿ ଶ ሻଶ ሺ3ܿ + √1 + ܿ ଶ ሻ ଵ √଼ ∈ ሺ0, +∞ሻ ܿ଴ + ⇒ ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ଴ ሻ = , ܽ= √ଶ ଶ , ܾ = √2 ‫ݐ‬ℎì ‫= ܵ ݔܽܯ‬ =0 - gሺܿ଴ ሻ Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ଴ ሻ Vậy với ܿ 2ܿ 3 ≤ + ଶ = ݃ሺܿሻ + √1 + ܿ ଶ ܿ + ⇔ܿ = ܿ଴ = +∞ - fሺ‫ݔ‬଴ ሻ Khi đó: Từ bảng biến thiên Gv Thái Văn Duẩn 10 ଵ଴ ଷ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Thí dụ dụ 8: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ܲ= + + ܽ ܾ ܿ ሺĐề ሺĐề thi Olympic Olympic 30/4 – 2004ሻ 2004ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Với suy nghĩ khám phá hàm số nào? ሺcó thể chuyển theo ẩn không?ሻ - Có thể biểu diễn để biểu thức P giả thiết cho đơn giản không? ଵ ଵ ଵ - Nếu đặt: ‫ = ݔ‬, ‫ = ݕ‬, ‫ = ݖ‬bài toán chuyển thành toán gì? ௔ ௕ ௖ - Có thể chuyển toán cho ẩn không? ଶ௫ା଼௬ ଻ - Từ giả thiết: 2‫ ݔ‬+ 8‫ ݕ‬+ 21‫ ≤ ݖ‬12‫≥ ݖ ⇒ ݖݕݔ‬ ‫ݒ‬à ‫> ݔ‬ ଵଶ௫௬ିଶଵ ସ௬ - - - - Khi đó: ܵ ≥ ‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ସ௫௬ି଻ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ଶ௫ା଼௬ Khảo sát hàm fሺxሻ xem y tham số cố định Ta được: ܵ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ = 2‫ ݕ‬+ ସ௬ + ඥଷଶ௬ మାଵସ ଶ௬ = ݃ሺ‫ݕ‬ሻ Tiếp tục khảo sát biến gሺyሻ Ta đến kết luận: ܵ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ ݃ሺ‫ݕ‬ሻ ≥ Lời giả giải: Đặt: Từ: ‫=ݔ‬ ଽ ଵହ ଶ 1 , ‫ = ݕ‬, ‫ݔ ⇒ = ݖ‬, ‫ݕ‬, ‫ > ݖ‬0; 2‫ ݔ‬+ 8‫ ݕ‬+ 21‫ ≤ ݖ‬12‫ݒ ݖݕݔ‬à ܵ = ‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ 3‫ݖ‬ ܽ ܾ ܿ 2‫ ݔ‬+ 8‫ ݕ‬+ 21‫ ≤ ݖ‬12‫≥ ݖ ⇒ ݖݕݔ‬ Từ biểu thức S suy được: ܵ ≥ ‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ 2‫ ݔ‬+ 8‫ݕ‬ ‫ݒ‬à ‫> ݔ‬ 12‫ ݕݔ‬− 21 4‫ݕ‬ 2‫ ݔ‬+ 8‫ݕ‬ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ 4‫ ݕݔ‬− ⇒ ݂ ᇱ ሺ‫ ݔ‬ሻ = − 14 − 32‫ ݕ‬ଶ =0 ሺ4‫ ݕݔ‬− 7ሻଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 13 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ⇔ ‫ݔ = ݔ‬଴ = Bảng biến thiên: x f’ሺxሻ ଻ ସ௬ + ඥଷଶ୷మାଵସ ସ୷ +∞ fሺxሻ ଻ ସ௬ , +∞ቁ ‫ݔ‬଴ ଻ ସ௬ ∈ ቀ + Gv Thái Văn Duẩn - fሺ‫ݔ‬଴ ሻ Khi đó: Từ bảng biến thiên ඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 ܵ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ = 2‫ ݕ‬+ + = ݃ሺ‫ݕ‬ሻ 4‫ݕ‬ 2‫ݕ‬ ⇒ ݃ ᇱ ሺ‫ ݕ‬ሻ = ሺ8‫ ݕ‬ଶ − 9ሻඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 − 28 4‫ ݕ‬ଶ ඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 Đặt: ‫ = ݐ‬ඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 phương trình ݃ᇱ ሺ‫ݕ‬ሻ = =0 ⇔ ሺ8‫ ݕ‬ଶ − 9ሻඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 − 28 ⇔ ‫ ݐ‬ଷ − 50‫ ݐ‬− 122 = ⇔ ‫ = ݐ‬8 ⇔ ‫= ݕ‬ y g’ሺxሻ gሺxሻ +∞ ହ ସ ହ ସ - + ଵହ ଶ Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺ‫ݕ‬ሻ ≥ ݃ ቀ ቁ ହ ସ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 14 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 15 ⇒ ܵ ≥ ݃ሺ‫ݕ‬ሻ ≥ ݃ ൬ ൰ = Vậy với: ‫=ݕ‬ ହ ସ Gv Thái Văn Duẩn , ‫ = ݔ‬3, ‫= ݖ‬ ଶ ଷ ⇔ ܽ = , ܾ = ,ܿ = ଵ ସ ଷ ହ ଷ ଶ ‫ݐ‬ℎì ‫= ܵ ݊݅ܯ‬ ଵହ ଶ Thí dụ dụ 9: Chứng minh ܽ, ܾ, ܿ độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ của: ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Bài toán cần chứng minh chứa ẩn a, b, c thoả mãn ܽ + ܾ + ܿ = Hãy suy nghĩ biến đổi ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ cho ẩn hơn? ଷ - Từ giả thiết: ܽ + ܾ + ܿ = ⇒ ܽ + ܾ = − ܿ, ݉à ܽ + ܾ > ܿ ⇒ ≤ ܿ ≤ ଶ - - Khi đó: ܶ = 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ Tích ab tổng a + b = – c gợi cho em nghĩ đến bất đẳng thức nào? - Khi ܶ ≥ 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ - ܽ+ܾ ଶ 3−ܿ ଶ ൰ =൬ ൰ ܾܽ ≤ ൬ 2 ଷି௖ ଶ Khảo sát hàm biến fሺcሻ đen kết Ta đến kết luận ܶ ≥ ݂ ሺܿ ሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 ଶ ቁ = ܿଷ − ܿଶ + ଷ ଶ ଶ଻ ଶ = ݂ሺܿሻ Lời giả giải: Do vai trò bình đẳng a, b, c nên ta giả sử: < ܽ ≤ ܾ ≤ ܿ Chu vi nên ܽ + ܾ + ܿ = ⇒ ܽ + ܾ = − ܿ, ݉à ܽ + ܾ > ܿ ⇒ ≤ ܿ ≤ Ta biến đổi: ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ ሻ + 3ܿ ଶ + 4ܾܽܿ Măt khác: ܾܽ ≤ ቀ Do đó: ଶ = 3ሾሺܽ + ܾ ሻଶ − 2ܾܽሿ + 3ܿ ଶ + 4ܾܽܿ = 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ ௔ା௕ ଶ ଶ ଷ ଷି௖ ଶ ቁ =ቀ ଶ ቁ ⇒ ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ ≥ ቀ ଷି௖ ଶ ଶ ቁ ሺ2ܿ − 3ሻ ሼ‫ݒ‬ì ܿ < ⇒ 2ܿ − < 0ሽ ܶ ≥ 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ Xét hàm số: ݂ ሺܿ ሻ = ܿ ଷ − ܿ ଶ + ଷ ଶ ଶ଻ ଶ , ‫ݎݐ‬ê݊ ቂ1; ቃ ଷ ଷ ଶ ଷି௖ ଶ ଶ ቁ = ܿଷ − ܿଶ + ଷ ଶ ଶ଻ ଶ = ݂ሺܿሻ ଷ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 15 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ⇒ ݂ ᇱ ሺܿ ሻ = 3ܿ ଶ − 3ܿ = ⇔ ܿ = Bảng biến thiên c f’ሺcሻ ଷ ଷ + fሺcሻ 13 Khi đó: Từ bảng biến thiên suy ݂ ሺܿ ሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 Suy ܶ ≥ ݂ ሺܿሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 ܿ = 1, ܽ = 1, ܾ = Vậy P =13 c = 1, a = 1, b = ‫ݔ‬+‫ݕ‬+‫=ݖ‬4 ‫ = ݖݕݔ‬2 Thí dụ dụ 10: Cho số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau: ൜ Chứng minh rằng: 2004ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: 183 − 165√5 ≤ ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݖ‬ସ ≤ 18 ሺĐề ሺĐề thi Olympic Toán THPT Việ Việt Nam – Biểu thức ܲ = ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݖ‬ସ đối xứng với ba ẩn x, y, z Biến đổi P theo ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬, ‫ݖݕݔ‬, ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݖݕ‬+ ‫ ݔݖ‬như nào? - Ta có ܲ = ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݖ‬ସ = ሺ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݖ‬ଶ ሻଶ − 2ሺ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ‫ ݖ‬ଶ + ‫ ݖ‬ଶ ‫ ݔ‬ଶ ሻ - = ሺ4ଶ − 2ሺ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݖݕ‬+ ‫ݔݖ‬ሻሻଶ − 2ሺ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݖݕ‬+ ‫ݔݖ‬ሻଶ − 2‫ݖݕݔ‬ሺ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻ - - Với quan hệ trên, chuyển P theo biến nào? Đặt ‫ ݕݔ = ݐ‬+ ‫ ݖݕ‬+ ‫ ݔݖ‬và từ giả thiết ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬4; ‫ = ݖݕݔ‬2 ta có ܲ = 2ሺ‫ ݐ‬ଶ − 32‫ ݐ‬+ 144ሻ Tìm điều kiện theo ẩn nào? ଶ ଶ Từ điều kiện x, y, z ta ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬4 − ‫ = ݖݕ ;ݔ‬௫ ‫ ݔ = ݐ‬ሺ4 − ‫ݔ‬ሻ + ௫ Tìm điều kiện ẩn x chuyển điều kiện theo ẩn t Áp dụng bât đẳng thức Côsi cho số dương y, z ta có SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 16 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ሺ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻଶ ≥ 4‫ ⇔ ݖݕ‬ሺ4 − ‫ݔ‬ሻଶ ≥ ⇔ ‫ ݔ‬ଷ − 8‫ ݔ‬ଶ + 16‫ ݔ‬− ≥ ⇔ ሺ‫ ݔ‬− 2ሻሺ‫ ݔ‬ଶ − 6‫ ݔ‬+ ଼ ௫ 4≥0 - ⇔ − √5 ≤ ‫ ≤ ݔ‬2 Xét hàm số ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ሺ4 − ‫ݔ‬ሻ + ௫ đoạn ൣ3 − √5; 2൧, ta có ‫ ݐ‬ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ = ଶ Từ việc xét dấu ‫ ݐ‬ᇱ ሺ‫ݔ‬ሻ đoạn ൣ3 − √5; 2൧, ta ≤ ‫≤ ݐ‬ Khảo sát hàm số ܲ = 2ሺ‫ ݐ‬− 32‫ ݐ‬+ 144ሻ ≤ ‫≤ ݐ‬ ଶ ଷ ଶ 183 − 165√5 ≤ ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݕ‬ସ + ‫ ݖ‬ସ ≤ 18 Bài tậ tập đề đề nghị nghị ଶ ହ√ହିଵ ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ ≥ ݖ‬0 Cho ൜ ‫ݔ‬+‫ݕ‬+‫=ݖ‬1 Tìm GTLN ܵ = ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬+ ‫ ݕ‬ଶ ‫ݖ‬+‫ ݖ‬ଶ ‫ݔ‬ ିଶሺ௫ିଵሻሺ௫ మ ି௫ିଵሻ ௫మ ହ√ହିଵ ଶ suy Đáp số số: ܵ = ଶ଻ ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫ = ݔ‬ଷ , ‫ = ݕ‬0, ‫= ݖ‬ ସ ଵ Cho x, y, z số thực thoả mãn ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݖ‬ଶ = Tìm GTLN, GTNN biểu thức: ܲ = ‫ ݔ‬ଷ +‫ ݕ‬ଷ + ‫ ݕ‬ଷ − 3‫ݖݕݔ‬ Đáp số số: max ܲ = 2√2 ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫√ = ݔ‬2, ‫ = ݖ = ݕ‬0 ܲ = −2√2 ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫ = ݔ‬−√2, ‫ = ݖ = ݕ‬0 Cho ‫ > ݔ‬0, ‫ > ݕ‬0, ‫ > ݔ‬0 thoả mãn điều kiện ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬1 Tìm giá trị lớn biểu thức: ܲ = ‫ ݕݔ‬+ ‫ ݖݕ‬+ ‫ ݔݖ‬− 2‫ݖݕݔ‬ ଵ ଷ Cho ܽ, ܾ, ܿ ∈ ሾ1; 2ሿ Chứng minh rằng: Tìm GTNN của: Đáp số số: ܲ = ଶ଻ ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫= ݖ = ݕ = ݔ‬ ଻ 1 ሺܽ + ܾ + ܿሻ ൬ + + ൰ ≤ 10 ܽ ܾ ܿ ܽ ସ ܾସ ܽଶ ܾ ଶ ܽ ܾ ቇ ቆ + − + + + ܾସ ܽସ ܾଶ ܽ ଶ ܾ ܽ Đáp số số: ܶ = −2 ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ܽ = −ܾ Cho ܽ, ܾ, ܿ ∈ ሾ0; 1ሿ Chứng minh ܾ ܿ ܽ + + + ሺ1 − ܽሻሺ1 − ܾሻሺ1 − ܿሻ ≤ ܾ+ܿ+1 ܿ+ܽ+1 ܽ+ܾ+1 ܶ= SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 17 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Cho ‫ > ݔ‬0, ‫ > ݕ‬0, ‫ > ݔ‬0 thoả mãn điều kiện ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫≤ ݖ‬ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ܲ =‫ݔ‬+‫ݕ‬+‫ݖ‬+ ଵ ଶ C Kết luậ luận 1 + + ‫ݖ ݕ ݔ‬ Đáp số số: ܲ = SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 ଷ ଶ ଵହ ଶ ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫= ݖ = ݕ = ݔ‬ 18 [...]... KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ܲ= 2008 2008ሻ 08ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Gv Thái Văn Duẩn 2 2 3 − + ܽଶ + 1 ܾଶ + 1 ܿଶ + 1 ሺĐề ሺĐề thi GV giỏ giỏi tỉ tỉnh– nh– Từ giả thiết abc + a + c = b có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không? ௔ା௖ - Biến đổi giả thiết ܽ + ܿ = ܾሺ1 − ܽܿ ሻ > 0 : ta có ܾ = , có thể đưa P về 2 biến ଵି௔௖... ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ Xét hàm số: ݂ ሺܿ ሻ = ܿ ଷ − ܿ ଶ + ଷ ଶ ଶ଻ ଶ , ‫ݎݐ‬ê݊ ቂ1; ቃ ଷ ଷ ଶ ଷି௖ ଶ ଶ ቁ = ܿଷ − ܿଶ + ଷ ଶ ଶ଻ ଶ = ݂ሺܿሻ ଷ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 15 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ⇒ ݂ ᇱ ሺܿ ሻ = 3ܿ ଶ − 3ܿ = 0 ⇔ ܿ = 1 Bảng biến thiên c f’ሺcሻ 1 ଷ 0 ଷ + fሺcሻ 13 Khi đó: Từ bảng biến thiên suy ra ݂ ሺܿ ሻ ≥ ݂... 1 √1 + ܿ ଶ ܿ + 1 ⇔ܿ = ܿ଴ = 0 +∞ - fሺ‫ݔ‬଴ ሻ Khi đó: Từ bảng biến thiên Gv Thái Văn Duẩn 10 3 ଵ଴ ଷ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Thí dụ dụ 8: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 3 ܲ= + + ܽ ܾ ܿ ሺĐề ሺĐề thi Olympic... ݕݔ‬− 7 ⇒ ݂ ᇱ ሺ‫ ݔ‬ሻ = 1 − 14 − 32‫ ݕ‬ଶ =0 ሺ4‫ ݕݔ‬− 7ሻଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 13 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ⇔ ‫ݔ = ݔ‬଴ = Bảng biến thiên: x f’ሺxሻ ଻ ସ௬ + ඥଷଶ୷మାଵସ ସ୷ +∞ fሺxሻ ଻ ସ௬ , +∞ቁ ‫ݔ‬଴ ଻ ସ௬ ∈ ቀ + Gv Thái Văn Duẩn 0 - fሺ‫ݔ‬଴ ሻ Khi đó: Từ bảng biến thiên 9 ඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 ܵ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≥ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ = 2‫ ݕ‬+ + = ݃ሺ‫ݕ‬ሻ 4‫ݕ‬ 2‫ݕ‬... ඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 Đặt: ‫ = ݐ‬ඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 thì phương trình ݃ᇱ ሺ‫ݕ‬ሻ = 0 =0 ⇔ ሺ8‫ ݕ‬ଶ − 9ሻඥ32‫ ݕ‬ଶ + 14 − 28 ⇔ ‫ ݐ‬ଷ − 50‫ ݐ‬− 122 = 0 ⇔ ‫ = ݐ‬8 ⇔ ‫= ݕ‬ y g’ሺxሻ gሺxሻ 0 +∞ ହ ସ ହ ସ - 0 + ଵହ ଶ Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺ‫ݕ‬ሻ ≥ ݃ ቀ ቁ ହ ସ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 14 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 5 15 ⇒ ܵ ≥ ݃ሺ‫ݕ‬ሻ ≥ ݃ ൬ ൰ = 4 2 Vậy... www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Bảng biến thiên: x 0 ଵ ୡ f’ሺxሻ fሺxሻ ‫ݔ‬଴ + ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≤ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ = ܵ = 2݂ ሺܽ ሻ + Ta có ݃ Bảng biến thiên: c g’ሺcሻ gሺcሻ ᇱ ሺܿሻ = ܿଶ ܿ= ଵ √଼ √1 + ܿ ଶ 2ሺ1 − 8ܿ ଶ ሻ ሺ1 + ܿ ଶ ሻଶ ሺ3ܿ + √1 + ܿ ଶ ሻ ଵ √଼ ∈ ሺ0, +∞ሻ ܿ଴ + ⇒ ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ଴ ሻ = , ܽ= √ଶ ଶ , ܾ = √2 ‫ݐ‬ℎì ‫= ܵ ݔܽܯ‬ =0 - gሺܿ଴ ሻ Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺܿሻ... và chuyển điều kiện đó theo ẩn t Áp dụng bât đẳng thức Côsi cho 2 số dương y, z ta có SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 16 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ሺ‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬ሻଶ ≥ 4‫ ⇔ ݖݕ‬ሺ4 − ‫ݔ‬ሻଶ ≥ ⇔ ‫ ݔ‬ଷ − 8‫ ݔ‬ଶ + 16‫ ݔ‬− 8 ≥ 0 ⇔ ሺ‫ ݔ‬− 2ሻሺ‫ ݔ‬ଶ − 6‫ ݔ‬+ ଼ ௫ 4≥0 - ⇔ 3 − √5 ≤ ‫ ≤ ݔ‬2 Xét hàm số ‫ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ሺ4 − ‫ݔ‬ሻ + ௫... ܽ+ܾ+1 ܶ= SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 17 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Cho ‫ > ݔ‬0, ‫ > ݕ‬0, ‫ > ݔ‬0 và thoả mãn điều kiện ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫≤ ݖ‬ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ܲ =‫ݔ‬+‫ݕ‬+‫ݖ‬+ ଵ ଶ C Kết luậ luận 1 1 1 + + ‫ݖ ݕ ݔ‬ Đáp số số: min ܲ = SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 ଷ ଶ ଵହ ଶ ‫ݔ‬ẩ‫݇ ܽݎ ݕ‬ℎ݅ ‫= ݖ... - - ሺchặn biến: ܽ < ௖ ሻ ଵ Khi đó: ܲ = ௔మାଵ + ሺ௔మାଵሻሺ௖ మାଵሻ − 2 + ௖ మାଵ ሺ0 < ܽ < ௖ ሻ ଶ ଶሺ௔ା௖ሻమ ଷ Với bài này suy nghĩ khám phá hàm số như thế nào? Ta nhìn biểu thức P là hàm một biến a, còn c xem như hằng số ଵ ଶ௖ ଷ Khảo sát hàm biến a là fሺaሻ với 0 < ܽ < ௖ suy ra ݂ሺܽሻ ≤ √ଵା௖ మ + ௖ మାଵ = ݃ሺܿሻ Tiếp tục khảo sát hàm gሺcሻ với ܿ ∈ ሺ0, +∞ሻ suy ra ݃ሺܿሻ ≤ Vậy: ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ଴ ሻ = Lời giả giải: ଵ଴ ଷ Biến đổi... thi Olympic Olympic 30/4 – 2004ሻ 2004ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Với bài này suy nghĩ khám phá hàm số như thế nào? ሺcó thể chuyển theo ẩn mới được không?ሻ - Có thể biểu diễn để biểu thức P và giả thiết cho đơn giản hơn không? ଵ ଵ ଵ - Nếu đặt: ‫ = ݔ‬, ‫ = ݕ‬, ‫ = ݖ bài toán chuyển thành bài toán là gì? ௔ ௕ ௖ - Có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn được không? ଶ௫ା଼௬ ଻ - Từ giả thiết: 2‫ ݔ‬+ 8‫ ݕ‬+ 21‫